Raskite informaciją apie išvestinės geometrinę reikšmę. Funkcijos išvestinės apibrėžimas, jos geometrinė ir fizikinė reikšmė

Pamokos tikslai:

Švietimas:

• Sudaryti sąlygas mokiniams prasmingai įsisavinti fizinę vedinio reikšmę.
• Skatinti praktinio išvestinių priemonių panaudojimo sprendžiant įvairias fizines problemas įgūdžių ugdymą.

Švietimas:

• Atskleidžiant informaciją, skatinti mokinių matematinio požiūrio ir pažintinio susidomėjimo ugdymą praktinė būtinybė ir teorinė temos reikšmė.
• Sudaryti sąlygas tobulinti mokinių mąstymo įgūdžius: lyginti, analizuoti, apibendrinti.

Švietimas:

• Skatinkite domėjimąsi matematika.

Pamokos tipas: Naujų žinių įsisavinimo pamoka.

Darbo formos: frontalinis, individualus, grupinis.

Įranga: Kompiuteris, interaktyvi lenta, pristatymas, vadovėlis.

Pamokos struktūra:

1. Organizacinis momentas, nustatydami pamokos tikslą
2. Naujos medžiagos mokymasis
3. Pirminis naujos medžiagos konsolidavimas
4. Savarankiškas darbas
5. Pamokos santrauka. Atspindys.

Pamokos eiga

aš. Organizacinis momentas, pamokos tikslo nustatymas (2 min.)

II. Naujos medžiagos mokymasis (10 min.)

Mokytojas: Ankstesnėse pamokose susipažinome su išvestinių skaičiavimo taisyklėmis, mokėmės rasti išvestines tiesinės, galios, trigonometrinės funkcijos. Sužinojome, kokia geometrinė išvestinės reikšmė. Šiandien pamokoje sužinosime, kur ši sąvoka naudojama fizikoje.

Norėdami tai padaryti, prisiminkite išvestinės apibrėžimą (2 skaidrė)

Dabar pereikime prie fizikos kurso (3 skaidrė)

Mokiniai kalbasi ir prisimena fizinės sąvokos ir formules.

Tegul kūnas juda pagal dėsnį S(t)= f(t) Panagrinėkime kūno nueitą kelią per laiką nuo t 0 iki t 0 + Δ t, kur Δt yra argumento prieaugis. Laiko momentu t 0 kūnas įveikė kelią S(t 0), momentu t 0 +Δt - kelią S(t 0 +Δt). Todėl per laiką Δt kūnas praėjo kelią S(t 0 +Δt) – S(t 0), t.y. gavome funkcijos prieaugį. Vidutinis kūno greitis per šį laikotarpį υ==

Kuo trumpesnis laiko intervalas t, tuo tiksliau galime sužinoti, kokiu greičiu kūnas juda momentu t. Nukreipę t →0, gauname momentinį greitį – greičio skaitinę reikšmę šio judėjimo momentu t.

υ= , esant Δt → 0 greitis yra kelio išvestinė laiko atžvilgiu.

4 skaidrė

Prisiminkime pagreičio apibrėžimą.

Naudodami aukščiau pateiktą medžiagą galime daryti išvadą, kad esant t a(t)= υ’(t) pagreitis yra greičio išvestinė.

Toliau interaktyvioje lentoje atsiranda srovės stiprumo, kampinio greičio, emf ir kt. formulės. Studentai prideda momentines duotų fizikinių dydžių vertes per išvestinės sąvoką. (Jei nėra interaktyvi lenta naudoti pristatymą)

5-8 skaidrės

Mokiniai suformuluoja išvadą.

Išvada:(9 skaidrė) Išvestinė yra funkcijos kitimo greitis. (Kelio, koordinačių, greičio, magnetinio srauto ir kt.)

υ (x) = f ’(x)

Mokytojas: Matome, kad ryšys tarp pačių įvairiausių fizikos, technikos mokslų ir chemijos tyrinėtų procesų kiekybinių charakteristikų panašus į ryšį tarp kelio ir greičio. Galite pateikti daug uždavinių, kurių sprendimui taip pat reikia rasti tam tikros funkcijos kitimo greitį, pvz.: tirpalo koncentracijos tam tikru momentu radimas, skysčio srauto greičio, kampo radimas. kūno sukimosi greitis, tiesinis tankis taške ir kt. Dabar išspręsime kai kurias iš šių problemų.

III.Įgytų žinių įtvirtinimas (darbas grupėse) (15 min.)

Po to diskusijos valdyboje

Prieš spręsdami uždavinius, išsiaiškinkite fizikinių dydžių matavimo vienetus.

Greitis – [m/s]
Pagreitis – [m/s 2 ]
Stiprumas – [N]
Energija – [J]

1 užduoties grupė

Taškas juda pagal dėsnį s(t)=2t³-3t (s – kelias metrais, t – laikas sekundėmis). Apskaičiuokite taško greitį ir jo pagreitį laiku 2s

2 užduoties grupė

Smagratis sukasi aplink ašį pagal dėsnį φ(t)= t 4 -5t. Raskite jo kampinį greitį ω momentu 2s (φ – sukimosi kampas radianais, ω – kampinis greitis rad/s)

3 užduoties grupė

2 kg sveriantis kūnas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t)=2-3t+2t²

Raskite kūno greitį ir jo kinetinę energiją praėjus 3 s nuo judėjimo pradžios. Kokia jėga šiuo laiko momentu veikia kūną? (t matuojamas sekundėmis, x matuojamas metrais)

4 užduotis

Taškas atlieka svyruojančius judesius pagal dėsnį x(t)=2sin3t. Įrodykite, kad pagreitis yra proporcingas x koordinatei.

IV. Savarankiškas uždavinių sprendimas Nr.272, 274, 275, 277

[A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov ir kiti „Algebra ir analizės pradžia, 10-11 klasė“] 12 min

Duota:	Sprendimas:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=х’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t) = 0; -t+6=0; t = 6; υ(6)=+6·6=-18+36=18m/s Atsakymas: t=6c; υ(6)= 18m/s

Sprendžiant įvairias geometrijos, mechanikos, fizikos ir kitų žinių šakų problemas, atsirado poreikis naudoti tą patį šios funkcijos analitinį procesą. y=f(x) gauti naują funkciją, pavadintą išvestinė funkcija(arba tiesiog duotosios funkcijos f(x) išvestinė ir yra pažymėtas simboliu

Procesas, kurio metu iš tam tikros funkcijos f(x) gauti naują funkciją f“ (x), paskambino diferenciacija ir jis susideda iš šių trijų žingsnių: 1) pateikite argumentą x prieaugis  x ir nustatyti atitinkamą funkcijos prieaugį  y = f(x+ x) -f(x);

2) užmegzti ryšį x 3) skaičiavimas  x pastovus ir
0, randame f“ (x), kurį žymime x, tarsi pabrėžiant, kad gaunama funkcija priklauso tik nuo reikšmės , ties kuria einame iki ribos.: Apibrėžimas Išvestinė y " =f " (x) duota funkcija y=f(x) duotam x
vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, su sąlyga, kad argumento prieaugis linkęs į nulį, jei, žinoma, ši riba egzistuoja, t.y. baigtinis.

Taigi, x, arba Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę, pavyzdžiui, kai
x=a  x, požiūris f(x) adresu Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę0 nėra linkęs į baigtinę ribą, tada šiuo atveju jie sako, kad funkcija Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę adresu Atkreipkite dėmesį, kad jei už tam tikrą vertę.

(arba taške

) neturi išvestinės arba taške nėra diferencijuojamas

f(x)

2. Geometrinė išvestinės reikšmė.

Apsvarstykite funkcijos y = f (x), diferencijuojamos taško x 0 kaimynystėje, grafiką.

Dabar sumažinsime ∆x, t.y. ∆х→ 0. Šiuo atveju taškas B pagal grafiką priartės prie taško A, o sekantė AB suksis. Sekanto AB ribinė padėtis taške ∆x→ 0 bus tiesė (a), vadinama funkcijos y = f (x) grafiko liestine taške A.

Jei lygybėje tgβ =∆y/∆x eisime į ribą kaip ∆x → 0, gausime
ortg =f "(x 0), kadangi
 - Ox ašies teigiamos krypties liestinės polinkio kampas
, pagal išvestinės apibrėžimą. Bet tg = k yra liestinės kampinis koeficientas, o tai reiškia, kad k = tg = f "(x 0).

Taigi, geometrinė išvestinės reikšmė yra tokia:

Funkcijos taške x išvestinė 0 lygus nuolydis funkcijos grafiko liestinė, nubrėžta taške su abscise x 0 .

3. Fizinė vedinio reikšmė.

Apsvarstykite taško judėjimą tiesia linija. Tegu yra taško koordinatė bet kuriuo momentu x(t). Yra žinoma (iš fizikos kurso), kad vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį yra lygus per šį laikotarpį nuvažiuoto atstumo ir laiko santykiui, t.y.

Vav = ∆x/∆t. Eikime į ribą paskutinėje lygybėje kaip ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - momentinis greitis momentu t 0, ∆t → 0.

ir lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (pagal išvestinės apibrėžimą).

Taigi, (t) =x"(t).

Fizinė išvestinės reikšmė yra tokia: funkcijos išvestinėy = f(x) taškex 0 yra funkcijos kitimo greitisf(x) taškex 0

Išvestinė naudojama fizikoje norint rasti greitį pagal žinomą koordinačių ir laiko funkciją, pagreitį pagal žinomą greičio ir laiko funkciją.

(t) = x"(t) - greitis,

a(f) = "(t) – pagreitis arba

Jei žinomas materialaus taško judėjimo apskritime dėsnis, tada galima rasti kampinį greitį ir kampinį pagreitį sukimosi metu:

φ = φ(t) – kampo pokytis laikui bėgant,

ω = φ"(t) – kampinis greitis,

ε = φ"(t) – kampinis pagreitis arba ε = φ"(t).

Jei žinomas nehomogeninio strypo masės pasiskirstymo dėsnis, tai galima rasti nehomogeninio strypo tiesinį tankį:

m = m(x) – masė,

x  , l - strypo ilgis,

p = m"(x) – tiesinis tankis.

Naudojant išvestinę, sprendžiami tamprumo ir harmoninių virpesių teorijos uždaviniai. Taigi, pagal Huko dėsnį

F = -kx, x – kintamoji koordinatė, k – spyruoklės elastingumo koeficientas. Padėję ω 2 =k/m, gauname spyruoklės švytuoklės diferencialinę lygtį x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

čia ω = √k/√m virpesių dažnis (l/c), k – spyruoklės standumas (H/m).

Formos y" + ω 2 y = 0 lygtis vadinama harmoninių virpesių (mechaninių, elektrinių, elektromagnetinių) lygtimi. Tokių lygčių sprendimas yra funkcija.

y = Asin(ωt + φ 0) arba y = Acos(ωt + φ 0), kur

A - virpesių amplitudė, ω - ciklinis dažnis,

φ 0 – pradinė fazė.

Matematinės problemos pritaikomos daugelyje mokslų. Tai ne tik fizika, chemija, technologijos ir ekonomika, bet ir medicina, ekologija ir kitos disciplinos. Viena svarbi sąvoka, kurią reikia įsisavinti, norint rasti svarbių dilemų sprendimus, yra funkcijos išvestinė. Jo fizinę prasmę nėra taip sunku paaiškinti, kaip gali atrodyti tiems, kurie nesusipažinę su klausimo esme. Jums tereikia rasti tinkamų pavyzdžių kad in tikras gyvenimas ir įprastos kasdienės situacijos. Tiesą sakant, bet kuris vairuotojas kiekvieną dieną susidoroja su panašia užduotimi, kai žiūri į spidometrą, nustatydamas savo automobilio greitį konkrečiu fiksuoto laiko momentu. Juk būtent šiame parametre slypi darinio fizinės reikšmės esmė.

Kaip rasti greitį

Bet kuris penktos klasės mokinys gali nesunkiai nustatyti žmogaus greitį kelyje, žinodamas nuvažiuotą atstumą ir kelionės laiką. Norėdami tai padaryti, padalykite pirmąją iš nurodytų verčių iš antrosios. Tačiau ne kiekvienas jaunas matematikas žino, kad šiuo metu randa funkcijos ir argumento prieaugio santykį. Iš tiesų, jei įsivaizduosite judėjimą grafiko pavidalu, nubrėždami kelią išilgai ordinačių ašies ir laiką išilgai abscisės, tai bus būtent taip.

Tačiau pėsčiojo ar bet kurio kito objekto greitis, kurį nustatome didelėje tako atkarpoje, laikydami judėjimą vienodu, gali keistis. Fizikoje žinoma daug judėjimo formų. Tai gali atsirasti ne tik nuolat greitėjant, bet ir savavališkai sulėtėti bei didėti. Reikėtų pažymėti, kad šiuo atveju linija, apibūdinanti judėjimą, nebebus tiesi. Grafiškai jis gali turėti sudėtingiausias konfigūracijas. Bet bet kurio grafiko taško visada galime nubrėžti liestinę, pavaizduotą tiesine funkcija.

Norint patikslinti poslinkio pokyčio parametrą priklausomai nuo laiko, reikia sutrumpinti išmatuojamus segmentus. Kai jie tampa be galo maži, apskaičiuotas greitis bus momentinis. Ši patirtis padeda mums apibrėžti darinį. Iš tokio samprotavimo logiškai išplaukia ir jo fizinė prasmė.

Geometrijos požiūriu

Yra žinoma, kad kuo didesnis kūno greitis, tuo statesnis yra poslinkio priklausomybės nuo laiko grafikas, taigi ir grafiko liestinės polinkio kampas tam tikrame taške. Tokių pokyčių indikatorius gali būti kampo tarp abscisių ašies ir liestinės linijos liestinė. Būtent tai lemia išvestinės vertę ir apskaičiuojama pagal priešingos ir gretimos kojos ilgių santykį stačiakampiame trikampyje, kurį sudaro statmenas, numestas iš tam tikro taško į abscisių ašį.

Tai yra pirmojo darinio geometrinė reikšmė. Fizinė atsiskleidžia tuo, kad priešingos pusės reikšmė mūsų atveju reiškia nuvažiuotą atstumą, o gretimos pusės – laiką. Šiuo atveju jų santykis yra greitis. Ir vėl prieiname prie išvados, kad momentinis greitis, nustatomas, kai abu intervalai yra be galo maži, yra esmė, nurodanti jo fizinę prasmę. Antroji išvestinė šiame pavyzdyje bus kūno pagreitis, kuris savo ruožtu parodo greičio kitimo laipsnį.

Išvestinių radimo pavyzdžiai fizikoje

Išvestinė yra bet kurios funkcijos kitimo greičio rodiklis, net kai kalbame ne apie judėjimą tiesiogine to žodžio prasme. Norėdami tai aiškiai parodyti, pateikiame keletą konkrečių pavyzdžių. Tarkime, srovės stiprumas, priklausomai nuo laiko, keičiasi pagal kitas įstatymas: aš= 0,4t 2 . Reikia rasti greičio, kuriuo šis parametras keičiasi, reikšmę 8-osios proceso sekundės pabaigoje. Atkreipkite dėmesį, kad pati norima reikšmė, kaip galima spręsti iš lygties, nuolat didėja.

Norint išspręsti, reikia rasti pirmąjį vedinį, kurio fizikinė reikšmė buvo aptarta anksčiau. Čia dI/ dt = 0,8 t. Toliau jį rasime adresu t=8 , mes nustatome, kad dabartinių pokyčių greitis yra lygus 6,4 A/ c. Čia laikoma, kad srovės stiprumas matuojamas amperais, o laikas atitinkamai sekundėmis.

Viskas keičiasi

Matomas supantis pasaulis, susidedantis iš materijos, nuolat keičiasi, būdamas įvairių jame vykstančių procesų judėjime. Jiems apibūdinti galima naudoti įvairius parametrus. Jei juos vienija priklausomybė, tada jie užrašomi matematiškai funkcijos forma, kuri aiškiai parodo jų pokyčius. O ten, kur yra judėjimas (kad ir kokia forma jis būtų išreikštas), egzistuoja ir darinys, kurio fizinę prasmę svarstome šiuo metu.

Toliau pateiktas pavyzdys yra apie tai. Tarkime, kūno temperatūra kinta pagal įstatymą T=0,2 t 2 . Jo įkaitimo greitį turėtumėte rasti 10 sekundės pabaigoje. Problema išspręsta panašiai kaip aprašyta ankstesnėje byloje. Tai yra, mes randame išvestinę ir pakeičiame reikšmę t= 10 , gauname T= 0,4 t= 4. Tai reiškia, kad galutinis atsakymas yra 4 laipsniai per sekundę, tai yra, šildymo procesas ir temperatūros pokytis, matuojamas laipsniais, vyksta būtent tokiu greičiu.

Praktinių problemų sprendimas

Žinoma, realiame gyvenime viskas gali būti daug sudėtingiau nei teorinėse problemose. Praktikoje dydžių reikšmė dažniausiai nustatoma eksperimento metu. Šiuo atveju naudojami prietaisai, kurie matavimų metu pateikia rodmenis su tam tikra paklaida. Todėl skaičiuodami turite atsižvelgti į apytiksles parametrų reikšmes ir imtis nepatogių skaičių apvalinimo bei kitų supaprastinimų. Atsižvelgdami į tai, vėl pereikime prie fizinės išvestinės reikšmės problemų, atsižvelgiant į tai, kad tai tik tam tikras matematinis sudėtingiausių gamtoje vykstančių procesų modelis.

Vulkano išsiveržimas

Įsivaizduokime, kad išsiveržia ugnikalnis. Kiek jis gali būti pavojingas? Norint išsiaiškinti šią problemą, reikia atsižvelgti į daugelį veiksnių. Į vieną iš jų pasistengsime atsižvelgti.

Iš „ugnies pabaisos“ žiočių akmenys metami vertikaliai aukštyn, turint pradinį greitį nuo tada, kai jie išeina, reikia apskaičiuoti, kokį maksimalų aukštį jie gali pasiekti.

Norėdami rasti norimą reikšmę, sudarysime aukščio H, išmatuoto metrais, priklausomybės nuo kitų verčių lygtį. Tai apima pradinį greitį ir laiką. Pagreičio reikšmę laikome žinoma ir maždaug lygia 10 m/s 2 .

Dalinė išvestinė

Dabar panagrinėkime funkcijos išvestinės fizikinę reikšmę kiek kitu kampu, nes pačioje lygtyje gali būti ne vienas, o keli kintamieji. Pavyzdžiui, ankstesnėje užduotyje iš ugnikalnio kraterio išmestų akmenų pakilimo aukščio priklausomybę lėmė ne tik laiko charakteristikų pasikeitimas, bet ir pradinio greičio reikšmė. Pastaroji buvo laikoma pastovia, pastovia verte. Tačiau kitose problemose su visiškai skirtingomis sąlygomis viskas gali būti kitaip. Jei kiekiai, nuo kurių priklauso sudėtinga funkcija, keli, skaičiavimai atliekami pagal toliau pateiktas formules.

Fizinė dažno vedinio reikšmė turėtų būti nustatyta kaip įprastu atveju. Tai yra funkcijos kitimo greitis tam tikrame taške, kai didėja kintamojo parametras. Jis apskaičiuojamas taip, kad visi kiti komponentai būtų imami kaip konstantos, tik vienas laikomas kintamuoju. Tada viskas vyksta pagal įprastas taisykles.

Išvestinės fizinės reikšmės supratimas, sprendimo pavyzdžiai paini ir sudėtingos problemos, atsakymą į kurį galima rasti tokių žinių nesunku duoti. Jei turime funkciją, kuri nusako kuro sąnaudas priklausomai nuo automobilio greičio, galime paskaičiuoti, prie kokių pastarojo parametrų benzino sąnaudos bus mažiausios.

Medicinoje galima numatyti, kaip žmogus reaguos žmogaus kūnas dėl gydytojo paskirto vaisto. Vaisto vartojimas veikia įvairius fiziologinius rodiklius. Tai apima pakeitimus kraujospūdis, pulsas, kūno temperatūra ir daug daugiau. Visi jie priklauso nuo vartojamos dozės vaistas. Šie skaičiavimai padeda numatyti gydymo eigą tiek esant palankioms apraiškoms, tiek esant nepageidaujamiems įvykiams, galintiems mirtinai paveikti paciento kūno pokyčius.

Be jokios abejonės, svarbu suprasti fizinę vedinio reikšmę techninius klausimus, ypač elektrotechnikos, elektronikos, projektavimo ir statybos srityse.

Stabdymo kelias

Panagrinėkime kitą problemą. Važiuodamas pastoviu greičiu automobilis, artėdamas prie tilto, buvo priverstas stabdyti likus 10 sekundžių iki įvažiavimo, nes vairuotojas pastebėjo kelio ženklą, draudžiantį važiuoti didesniu nei 36 km/h greičiu. Ar vairuotojas pažeidė taisykles, jei jo stabdymo kelią galima apibūdinti formule S = 26t - t 2?

Apskaičiavę pirmąją išvestinę, randame greičio formulę, gauname v = 28 - 2t. Toliau į nurodytą išraišką pakeičiame reikšmę t=10.

Kadangi ši vertė buvo išreikšta sekundėmis, greitis pasirodo 8 m/s, o tai reiškia 28,8 km/h. Tai leidžia suprasti, kad vairuotojas pradėjo laiku stabdyti ir nepažeidė Kelių eismo taisyklių, taigi ir ženkle nurodyto greičio.

Tai įrodo fizinės išvestinės reikšmės svarbą. Šios problemos sprendimo pavyzdys labiausiai parodo šios sąvokos panaudojimo platumą skirtingos sritys gyvenimą. Įskaitant kasdienes situacijas.

Išvestinė ekonomikoje

Iki XIX amžiaus ekonomistai daugiausia operavo su vidurkiais, nesvarbu, ar tai būtų darbo našumas, ar pagamintos produkcijos kaina. Tačiau tam tikru momentu ribinės vertės tapo vis labiau reikalingos norint sudaryti veiksmingas prognozes šioje srityje. Tai gali būti ribinis naudingumas, pajamos arba išlaidos. To supratimas davė impulsą sukurti visiškai naują ekonominių tyrimų įrankį, kuris egzistuoja ir vystėsi daugiau nei šimtą metų.

Norint atlikti tokius skaičiavimus, kur dominuoja tokios sąvokos kaip minimumas ir maksimumas, tiesiog būtina suprasti išvestinės geometrinę ir fizinę reikšmę. Tarp šių disciplinų teorinio pagrindo kūrėjų galima įvardyti tokius iškilius anglų ir austrų ekonomistus kaip W. S. Jevons, K. Menger ir kt. Žinoma, ekonominiuose skaičiavimuose ne visada patogu naudoti ribines vertes. Ir, pavyzdžiui, ketvirtinės ataskaitos nebūtinai atitinka esamą schemą, bet vis tiek tokios teorijos taikymas daugeliu atvejų yra naudingas ir efektyvus.

Kartais užduotyje B9 iš vieningo valstybinio matematikos egzamino vietoj visų mėgstamų funkcijos ar išvestinių grafikų pateikiama tiesiog atstumo nuo taško iki pradžios lygtis. Ką tokiu atveju daryti? Kaip rasti greitį ar pagreitį iš atstumo.

Iš tikrųjų tai paprasta. Greitis yra atstumo išvestinė, o pagreitis yra greičio išvestinė (arba, lygiaverčiai, antroji atstumo išvestinė). Šiame trumpame vaizdo įraše pamatysite, kad tokios problemos išsprendžiamos ne sunkiau nei „klasikinis“ B9.

Šiandien analizuosime dvi vieningo valstybinio matematikos egzamino išvestinių fizinės reikšmės problemas. Šios užduotys yra B dalyje ir labai skiriasi nuo tų, kurias dauguma mokinių yra įpratę matyti pavyzdžiuose ir egzaminuose. Reikalas tas, kad jiems reikia suprasti fizinę funkcijos išvestinės prasmę. Šiuose uždaviniuose kalbėsime apie atstumus išreiškiančias funkcijas.

Jei $S=x\left(t \right)$, tai $v$ galime apskaičiuoti taip:

Šios trys formulės yra viskas, ko jums reikia norint išspręsti tokius pavyzdžius apie fizinę išvestinės reikšmę. Tiesiog nepamirškite, kad $v$ yra atstumo išvestinė, o pagreitis yra greičio išvestinė.

Pažiūrėkime, kaip tai veikia sprendžiant tikras problemas.

1 pavyzdys

kur $x$ – atstumas nuo atskaitos taško metrais, $t$ – laikas sekundėmis, praėjęs nuo judėjimo pradžios. Raskite taško greitį (m/s) momentu $t=2c$.

Tai reiškia, kad turime funkciją, kuri nurodo atstumą, bet reikia apskaičiuoti greitį momentu $t=2c$. Kitaip tariant, reikia rasti $v$, t.y.

Tai viskas, ką mums reikėjo išsiaiškinti iš sąlygos: pirma, kaip atrodo funkcija, ir, antra, ką turime rasti.

Nuspręskime. Pirmiausia apskaičiuokime išvestinę:

\[(x)"\left(t \right)=-\frac(1)(5)\cdot 5((t)^(4))+4(t)^(3))-3(( t)^(2))+5\]

\[(x)"\left(t \right)=-((t)^(4))+4(t)^(3))-3((t)^(2))+5\]

Turime rasti išvestinę taške 2. Pakeiskime:

\[(x)"\left(2 \right)=-((2)^(4))+4\ctaškas ((2)^(3))-3\ctaškas ((2)^(2)) +5=\]

\[=-16+32-12+5=9\]

Štai ir radome galutinį atsakymą. Iš viso mūsų materialaus taško greitis momentu $t=2c$ bus 9 m/s.

2 pavyzdys

Materialus taškas juda pagal dėsnį:

kur $x$ – atstumas nuo atskaitos taško metrais, $t$ – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Kuriuo laiko momentu jo greitis buvo lygus 3 m/s?

Žiūrėkite, praeitą kartą mums reikėjo rasti $v$ 2 s laiku, o šį kartą mes turime rasti tą patį momentą, kai šis greitis yra lygus 3 m/s. Galime sakyti, kad žinome galutinę reikšmę ir iš šios galutinės vertės turime rasti pradinę.

Pirmiausia vėl ieškome išvestinės:

\[(x)"\left(t \right)=\frac(1)(3)\cdot 3((t)^(2))-4\cdot 2t+19\]

\[(x)"\left(t \right)=((t)^(2))-8t+19\]

Mūsų prašoma išsiaiškinti, kuriuo momentu greitis bus 3 m/s. Mes sudarome ir išsprendžiame lygtį, kad surastume fizinę išvestinės reikšmę:

\[((t)^(2))-8t+19=3\]

\[((t)^(2))-8t+16=0\]

\[((\left(t-4 \right))^(2))=0\]

Gautas skaičius reiškia, kad momentu 4 s $v$ materialaus taško, judančio pagal aukščiau aprašytą dėsnį, bus lygiai 3 m/s.

Pagrindiniai taškai

Apibendrinant, dar kartą apžvelgsime svarbiausią šios dienos užduoties dalyką – taisyklę, kaip atstumą paversti greičiu ir pagreičiu. Taigi, jei problema mums tiesiogiai apibūdina dėsnį, kuris tiesiogiai nurodo atstumą nuo materialaus taško iki atskaitos taško, tai pagal šią formulę galime rasti bet kokį momentinį greitį (tai tik išvestinė). Ir dar daugiau – galime rasti ir pagreitį. Pagreitis savo ruožtu lygus greičio išvestinei, t.y. antroji atstumo išvestinė. Tokios problemos gana retos, todėl šiandien jų nenagrinėjome. Bet jei sąlygoje matote žodį „pagreitis“, neleiskite, kad tai jūsų gąsdintų, tiesiog suraskite kitą išvestinį variantą.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės pasiruošti vieningam valstybiniam matematikos egzaminui.

Panagrinėkime kokios nors funkcijos y = f(x) grafiką.

Pažymėkime jame tam tikrą tašką A su koordinatėmis (x, f(x)), o netoli nuo jo tašką B su koordinatėmis (x+h, f(x+h) Nubrėžkime tiesę (AB) per šiuos taškus apsvarstykite išraišką . Skirtumas f(x+h)-f(x) lygus atstumui BL, o atstumas AL lygus h. Santykis BL/AL yra kampo liestinė ε – tiesės polinkio kampas (AB). Dabar įsivaizduokime, kad h reikšmė yra labai labai maža. Tada tiesė (AB) beveik sutaps su funkcijos y = f(x) grafiko liestine taške x.

Taigi, pateikkime keletą apibrėžimų.

Funkcijos y = f(x) išvestinė taške x vadinama santykio riba kaip h linkęs į nulį. Jie rašo:

Geometrinė išvestinės reikšmė yra liestinės polinkio kampo liestinė.

Darinys turi ir fizinę reikšmę. Pradinėje mokykloje greitis buvo apibrėžiamas kaip atstumas, padalintas iš laiko. Tačiau realiame gyvenime, pavyzdžiui, automobilio greitis nėra pastovus visos kelionės metu. Tegu kelias yra kokia nors laiko funkcija - S(t) Fiksuokime laiko momentą t. Per trumpą laiką nuo t iki t+h automobilis nuvažiuos keliu S(t+h)-S(t). Per trumpą laiką greitis labai nepasikeis, todėl galite naudoti žinomą greičio apibrėžimą pradinė mokykla . Ir kadangi h linkęs į nulį, tai bus išvestinė.