Kaip išspręsti logaritmus su lygiomis bazėmis. Logaritmai: pavyzdžiai ir sprendimai

Kas yra logaritmas?

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač lygtys su logaritmais.

Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netikite manimi? gerai. Dabar vos per 10–20 minučių jūs:

1. Suprasite kas yra logaritmas.

2. Išmokite spręsti visą klasę eksponentinės lygtys. Net jei nieko apie juos negirdėjote.

3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.

Be to, tam jums tereikia žinoti daugybos lentelę ir kaip skaičių pakelti į laipsnį...

Jaučiu, kad tau kyla abejonių... Na, gerai, pažymėk laiką! einam!

Pirmiausia savo galvoje išspręskite šią lygtį:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir žurnalas a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. žurnalas a x+ žurnalas a y= žurnalas a (x · y);
2. žurnalas a x− žurnalas a y= žurnalas a (x : y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis taškasČia - identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės jums apskaičiuoti logaritminė išraiška net kai atskiros jo dalys neskaičiuojamos (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Turime:

[Paveikslo antraštė]

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Tegu pateikiamas logaritmo žurnalas a x. Tada už bet kokį skaičių c toks kad c> 0 ir c≠ 1, lygybė yra teisinga:

[Paveikslo antraštė]

Visų pirma, jei įdėtume c = x, gauname:

[Paveikslo antraštė]

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai sutinkamos įprastose skaitinės išraiškos. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:

[Paveikslo antraštė]

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

[Paveikslo antraštė]

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

[Paveikslo antraštė]

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumentu stovinčio laipsnio rodikliu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Štai kaip jis vadinamas: pagrindinis logaritminė tapatybė.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei numeris b pakelti iki tokios galios, kad skaičius bšiai galiai suteikia skaičių a? Teisingai: jūs gaunate tą patį numerį a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

[Paveikslo antraštė]

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemose ir, stebėtinai, kelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. žurnalas a a= 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo šio pagrindo yra lygus vienetui.
2. žurnalas a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet koks, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Nes a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

1. Patikrinkite, ar po logaritmo ženklu yra neigiamų skaičių arba vienas. Šis metodas taikomas formos išraiškoms log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Tačiau kai kuriais ypatingais atvejais jis netinka:

   • Neigiamojo skaičiaus logaritmas neapibrėžtas jokiame bazėje (pavyzdžiui, log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) arba log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4) (-5))). Tokiu atveju parašykite „nėra sprendimo“.
   • Nulio logaritmas bet kokiam pagrindui taip pat neapibrėžtas. Jei tave sugaus ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), parašykite "nėra sprendimo".
   • Vieneto logaritmas bet kokiam pagrindui ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) visada yra nulis, nes x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) visoms vertybėms x. Vietoj šio logaritmo parašykite 1 ir nenaudokite toliau pateikto metodo.
   • Jei logaritmai turi skirtingų priežasčių, Pavyzdžiui l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), ir nesumažinti iki sveikųjų skaičių, išraiškos reikšmės negalima rasti rankiniu būdu.

2. Konvertuoti išraišką į vieną logaritmą. Jei išraiška netaikoma aukščiau nurodytais ypatingais atvejais, ji gali būti išreikšta kaip vienas logaritmas. Tam naudokite šią formulę: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • 1 pavyzdys: apsvarstykite išraišką log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2))).
     Pirmiausia pavaizduokime išraišką kaip vieną logaritmą, naudodami aukščiau pateiktą formulę: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2) (16)).
   • Ši logaritmo „pagrindo pakeitimo“ formulė yra kilusi iš pagrindinių logaritmų savybių.

3. Jei įmanoma, įvertinkite išraiškos reikšmę rankiniu būdu. Norėdami rasti log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), įsivaizduokite posakį " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)“, tai yra, užduokite tokį klausimą: „Į kokią galią turėtumėte pakelti a gauti x?. Norint atsakyti į šį klausimą, gali prireikti skaičiuotuvo, bet jei jums pasiseks, galite jį rasti rankiniu būdu.

   • 1 pavyzdys (tęsinys): Perrašyti kaip 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Turite rasti, koks skaičius turėtų stovėti vietoje ženklo "?". Tai galima padaryti naudojant bandymus ir klaidas:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^ (3) = 4 * 2 = 8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^ (4) = 8 * 2 = 16)
     Taigi mūsų ieškomas skaičius yra 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2) (16)) = 4 .

4. Palikite atsakymą logaritmine forma, jei negalite jo supaprastinti. Daugelį logaritmų labai sunku apskaičiuoti ranka. Tokiu atveju, norint gauti tikslų atsakymą, reikės skaičiuotuvo. Tačiau jei problemą sprendžiate klasėje, greičiausiai mokytojas bus patenkintas atsakymu logaritmine forma. Toliau aptariamas metodas naudojamas sudėtingesniam pavyzdžiui išspręsti:

   • 2 pavyzdys: kas lygu log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Paverskime šią išraišką į vieną logaritmą: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Atkreipkite dėmesį, kad abiem logaritmams bendra 3 bazė išnyksta; tai tiesa dėl bet kokios priežasties.
   • Perrašykime išraišką formoje 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) ir pabandykime surasti vertę?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^ (2) = 7 * 7 = 49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3) = 49*7 = 343)
     Kadangi 58 yra tarp šių dviejų skaičių, jis neišreiškiamas kaip sveikas skaičius.
   • Atsakymą paliekame logaritmine forma: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7) (58)).

Šio straipsnio akcentas yra logaritmas. Čia pateiksime logaritmo apibrėžimą, parodysime priimtą žymėjimą, pateiksime logaritmų pavyzdžių, pakalbėsime apie natūraliuosius ir dešimtainius logaritmus. Po to apsvarstysime pagrindinę logaritminę tapatybę.

Puslapio naršymas.

Logaritmo apibrėžimas

Logaritmo sąvoka atsiranda sprendžiant uždavinį tam tikra prasme atvirkštinė, kai reikia rasti eksponentą naudojant žinomą eksponento reikšmę ir žinomą bazę.

Bet užtenka įvadų, laikas atsakyti į klausimą „kas yra logaritmas“? Pateiksime atitinkamą apibrėžimą.

Apibrėžimas.

B logaritmas iki a bazės, kur a>0, a≠1 ir b>0 yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte b.

Šiame etape pastebime, kad ištartas žodis „logaritmas“ turėtų iš karto iškelti du tolesnius klausimus: „koks skaičius“ ir „kokiu pagrindu“. Kitaip tariant, logaritmo tiesiog nėra, o tik skaičiaus logaritmas tam tikram pagrindui.

Įeikime tuoj pat logaritmo žymėjimas: skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a paprastai žymimas kaip log a b. Skaičiaus b logaritmas iki bazės e ir logaritmas iki 10 bazės turi savo specialius žymėjimus atitinkamai lnb ir logb, tai yra, jie rašo ne log e b, o lnb, o ne log 10 b, o lgb.

Dabar galime duoti:.
Ir įrašai nėra prasmės, nes pirmame iš jų po logaritmo ženklu yra neigiamas skaičius, antroje yra neigiamas skaičius bazėje, o trečioje yra neigiamas skaičius po logaritmo ženklu ir vienetas bazėje.

Dabar pakalbėkime apie logaritmų skaitymo taisyklės. Žymėjimas log a b skaitomas kaip "logaritmas nuo b iki pagrindo a". Pavyzdžiui, log 2 3 yra logaritmas nuo trijų iki 2 bazės ir yra dviejų taškų dviejų trečdalių logaritmas iki 2 bazės kvadratinė šaknis iš penkių. Vadinamas logaritmas iki pagrindo e natūralusis logaritmas, o žymėjimas lnb yra „natūralus b logaritmas“. Pavyzdžiui, ln7 yra natūralusis septynių logaritmas, ir mes jį skaitysime kaip natūralųjį pi logaritmą. 10 bazinis logaritmas taip pat turi specialų pavadinimą - dešimtainis logaritmas, o lgb skaitomas kaip „b dešimtainis logaritmas“. Pavyzdžiui, lg1 yra dešimtainis vieneto logaritmas, o lg2.75 yra dviejų taškų septynių penkių šimtųjų dalių dešimtainis logaritmas.

Atskirai verta pasilikti ties sąlygomis a>0, a≠1 ir b>0, kurioms esant pateikiamas logaritmo apibrėžimas. Paaiškinkime, iš kur atsiranda šie apribojimai. Tai padaryti padės formos lygybė, kuri tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto logaritmo apibrėžimo.

Pradėkime nuo a≠1. Kadangi vienas bet kuriai laipsniai yra lygus vienetui, lygybė gali būti teisinga tik tada, kai b=1, bet log 1 1 gali būti bet kokia realus skaičius. Siekiant išvengti šios dviprasmybės, daroma prielaida, kad a≠1.

Pagrįskime sąlygos a>0 tikslingumą. Jei a=0, pagal logaritmo apibrėžimą, turėtume lygybę, kuri įmanoma tik esant b=0. Bet tada log 0 0 gali būti bet koks realusis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, nes nuo nulio iki bet kurios nulinės galios yra nulis. Sąlyga a≠0 leidžia išvengti šios dviprasmybės. Ir kai a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Galiausiai sąlyga b>0 išplaukia iš nelygybės a>0, nes , o laipsnio su teigiama baze a reikšmė visada yra teigiama.

Baigdami šį klausimą, tarkime, kad nurodytas logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto nurodyti logaritmo reikšmę, kai skaičius po logaritmo ženklu yra tam tikra bazės galia. Iš tiesų, logaritmo apibrėžimas leidžia teigti, kad jei b=a p, tai skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra lygus p. Tai yra, lygybės log a a p =p yra teisinga. Pavyzdžiui, žinome, kad 2 3 = 8, tada log 2 8 = 3. Daugiau apie tai kalbėsime straipsnyje.

Pradėkime nuo vieneto logaritmo savybės. Jo formuluotė yra tokia: vienybės logaritmas lygus nuliui, tai yra, log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1. Įrodymas nėra sudėtingas: kadangi a 0 =1 bet kuriai a, tenkinančiai aukščiau nurodytas sąlygas a>0 ir a≠1, tai įrodinėtina lygybė log a 1=0 iš karto išplaukia iš logaritmo apibrėžimo.

Pateiksime nagrinėjamos savybės taikymo pavyzdžius: log 3 1=0, log1=0 ir .

Pereikime prie į toliau nurodytą nuosavybę: skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas lygus vienetui, tai yra, log a a=1 jei a>0, a≠1. Iš tiesų, kadangi a 1 =a bet kuriam a, tada pagal apibrėžimą logaritmo žurnalas a a=1.

Šios logaritmų savybės panaudojimo pavyzdžiai yra lygybės log 5 5=1, log 5.6 5.6 ir lne=1.

Pavyzdžiui, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ir .

Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas x ir y yra lygūs šių skaičių logaritmų sandaugai: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Įrodykime sandaugos logaritmo savybę. Dėl laipsnio savybių a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, o kadangi pagal pagrindinę logaritminę tapatybę log a x =x ir log a y =y, tai log a x ·a log a y =x · y. Taigi log a x+log a y =x·y, iš kurio pagal logaritmo apibrėžimą išplaukia įrodoma lygybė.

Parodykime gaminio logaritmo savybės panaudojimo pavyzdžius: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ir .

Produkto logaritmo savybę galima apibendrinti baigtinio skaičiaus n teigiamų skaičių x 1 , x 2 , …, x n sandaugai kaip log a (x 1 · x 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Šią lygybę galima įrodyti be problemų.

Pavyzdžiui, sandaugos natūralusis logaritmas gali būti pakeistas trijų suma natūralūs logaritmai skaičiai 4 , e ir .

Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas x ir y yra lygus šių skaičių logaritmų skirtumui. Dalinio logaritmo savybę atitinka formos formulė, kur a>0, a≠1, x ir y yra kai kurie teigiami skaičiai. Šios formulės pagrįstumas įrodytas kaip ir sandaugos logaritmo formulė: kadangi , tada pagal logaritmo apibrėžimą.

Štai šios logaritmo savybės naudojimo pavyzdys: .

Pereikime prie galios logaritmo savybė. Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir šio laipsnio pagrindo modulio logaritmui. Parašykime šią laipsnio logaritmo savybę kaip formulę: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.

Pirmiausia įrodome šią savybę teigiamam b. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada b p =(a log a b) p , o gauta išraiška dėl galios savybės yra lygi a p·log a b . Taigi gauname lygybę b p =a p·log a b, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą darome išvadą, kad log a b p =p·log a b.

Belieka įrodyti šią savybę neigiamam b. Čia pažymime, kad reiškinys log a b p neigiamam b turi prasmę tik lyginiams eksponentams p (kadangi laipsnio b p reikšmė turi būti didesnė už nulį, antraip logaritmas neturės prasmės), o šiuo atveju b p =|b| p. Tada b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, iš kur log a b p =p·log a |b| .

Pavyzdžiui, ir ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Tai išplaukia iš ankstesnio turto logaritmo savybė nuo šaknies: n-osios šaknies logaritmas yra lygus trupmenos 1/n sandaugai pagal radikalios išraiškos logaritmą, tai yra, , kur a>0, a≠1, n – natūralusis skaičius, didesnis nei vienas, b>0.

Įrodymas grindžiamas lygybe (žr.), kuri galioja bet kuriam teigiamam b, ir galios logaritmo savybe: .

Štai šios nuosavybės naudojimo pavyzdys: .

Dabar įrodykime perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė malonus . Tam pakanka įrodyti lygybės log c b=log a b·log c a pagrįstumą. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia mums pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada log c b=log c a log a b . Belieka naudoti laipsnio logaritmo savybę: log c a log a b =log a b log c a. Tai įrodo lygybę log c b=log a b·log c a, o tai reiškia, kad įrodyta ir perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė.

Parodykime keletą šios logaritmų savybės naudojimo pavyzdžių: ir .

Perėjimo prie naujos bazės formulė leidžia pereiti prie darbo su logaritmais, kurie turi „patogų“ pagrindą. Pavyzdžiui, jį galima naudoti norint pereiti prie natūraliųjų arba dešimtainių logaritmų, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę iš logaritmų lentelės. Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat leidžia kai kuriais atvejais rasti tam tikro logaritmo reikšmę, kai žinomos kai kurių logaritmų su kitomis bazėmis reikšmės.

Dažnai naudojamas ypatingas atvejis formulės perėjimui į naują logaritmo bazę su formos c=b . Tai rodo, kad log a b ir log b a – . Pavyzdžiui, .

Formulė taip pat dažnai naudojama , kuris patogus ieškant logaritmų reikšmių. Norėdami patvirtinti savo žodžius, parodysime, kaip jį galima naudoti apskaičiuojant formos logaritmo reikšmę. Turime . Norėdami įrodyti formulę pakanka naudoti perėjimo prie naujos logaritmo bazės a formulę: .

Belieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.

Įrodykime, kad bet kurių teigiamų skaičių b 1 ir b 2 atveju b 1 log a b 2, o a>1 – nelygybė log a b 1

Galiausiai belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų logaritmų savybių. Apsiribokime jo pirmosios dalies įrodymu, tai yra, įrodysime, kad jei a 1 >1, a 2 >1 ir a 1 1 yra tiesa log a 1 b>log a 2 b . Likusieji šios logaritmų savybės teiginiai įrodomi panašiu principu.

Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad 1 > 1, 2 > 1 ir 1 1 yra tiesa log a 1 b≤log a 2 b . Remiantis logaritmų savybėmis, šias nelygybes galima perrašyti kaip Ir atitinkamai, o iš jų išplaukia, kad atitinkamai log b a 1 ≤log b a 2 ir log b a 1 ≥log b a 2. Tada pagal tų pačių bazių laipsnių savybes turi galioti lygybės b log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, tai yra a 1 ≥a 2 . Taigi mes priėjome prietarą sąlygai a 1

Nuorodos.

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).