Šaknų savybėmis grindžiamos kitos dvi transformacijos, vadinamos jų perkėlimas po šaknies ženklu ir pašalinimas iš po šaknies ženklo, į kurį dabar kreipiamės.
Daugiklio įvedimas po šaknies ženklu
Įvedus daugiklį po ženklu, reikia pakeisti išraišką , kur B ir C yra kai kurie skaičiai arba išraiškos, o n yra natūralusis skaičius, didesnis nei vienas, yra identiškai lygus formos arba išraiškai.
Pavyzdžiui, neracionali išraiška po šaknies ženklu įvedus koeficientą 2, jis įgauna formą .
Šios pertvarkos teoriniai pagrindai, jos įgyvendinimo taisyklės, taip pat įvairių sprendimų sprendimai tipiniai pavyzdžiai pateikta straipsnyje, įvedančiame daugiklį po šaknies ženklu.
Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo
Transformacija į tam tikra prasme Daugiklio pridėjimas po šaknies ženklu yra atvirkštinis, kai daugiklis pašalinamas iš po šaknies ženklo. Jį sudaro šaknis kaip nelyginio n sandauga arba lyginio n sandauga, kur B ir C yra kai kurie skaičiai arba išraiškos.
Pavyzdžiui, grįžkime prie ankstesnės pastraipos: neracionali išraiška, pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo, įgauna formą . Kitas pavyzdys: pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo reiškinyje gaunamas sandauga, kurią galima perrašyti kaip .
Kuo pagrįsta ši transformacija ir kokiomis taisyklėmis ji atliekama, atskirame straipsnyje išnagrinėsime daugiklio pašalinimą iš po šaknies ženklo. Ten taip pat pateiksime sprendimų sprendimus ir išvardysime būdus, kaip radikalią išraišką sumažinti iki formos, patogios dauginti.
Konvertuojamos trupmenos, kuriose yra šaknų
Iracionaliose išraiškose gali būti trupmenų, kurių šaknys yra skaitiklyje ir vardikliu. Su tokiomis trupmenomis galite atlikti bet kurią iš pagrindinių trupmenų tapatumo transformacijos.
Pirma, niekas netrukdo jums dirbti su skaitiklio ir vardiklio išraiškomis. Kaip pavyzdį apsvarstykite trupmeną. Iracionalioji išraiška skaitiklyje akivaizdžiai identiškai lygi , o kreipiantis į šaknų savybes, vardiklyje esančią išraišką galima pakeisti šaknimi . Dėl to pradinė trupmena konvertuojama į formą .
Antra, galite pakeisti ženklą prieš trupmeną, pakeisdami skaitiklio arba vardiklio ženklą. Pavyzdžiui, vyksta šios neracionalios išraiškos transformacijos: 
.
Trečia, kartais įmanoma ir patartina sumažinti dalį. Pavyzdžiui, kaip atsisakyti malonumo sumažinti trupmeną 
į neracionalią išraišką, todėl gauname 
.
Aišku, kad daugeliu atvejų, prieš mažinant trupmeną, jos skaitiklyje ir vardiklyje esančias išraiškas tenka suskaičiuoti, o tai paprastais atvejais galima pasiekti sutrumpintomis daugybos formulėmis. Ir kartais tai padeda sumažinti trupmeną pakeičiant kintamąjį, leidžiantį pereiti nuo pradinės trupmenos su neracionalumu prie racionalios trupmenos, su kuria patogiau ir pažįstama dirbti.
Pavyzdžiui, paimkime išraišką . Įveskime naujus kintamuosius ir šiuose kintamuosiuose pradinė išraiška turi formą . Atlikęs skaitiklyje
Išraiškos, turinčios radikalų ženklą (šaknį), vadinamos iracionaliosiomis.
Aritmetinė šaknis natūralus laipsnis$n$ iš neneigiamo skaičiaus a vadinamas tam tikru neneigiamu skaičiumi, pakėlus iki laipsnio $n$, gaunamas skaičius $a$.
$(√^n(a))^n=a$
Žymėjime $√^n(a)$ "a" vadinamas radikaliu skaičiumi, $n$ yra šaknies arba radikalo eksponentas.
$n$-osios šaknų savybės $a≥0$ ir $b≥0$:
1. Produkto šaknis lygi šaknų sandaugai
$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$
Apskaičiuokite $√^5(5)∙√^5(625)$
Produkto šaknis lygi šaknų sandaugai ir atvirkščiai: šaknų sandauga su tuo pačiu šaknies rodikliu yra lygi radikalių išraiškų sandaugai
$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
2. Trupmenos šaknis yra atskira šaknis nuo skaitiklio ir atskira šaknis nuo vardiklio
$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, $b≠0$
3. Kai šaknis pakeliama iki galios, radikali išraiška pakeliama iki šios galios
$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$
4. Jei $a≥0$ ir $n,k$ yra natūralūs skaičiai, didesni už $1$, tada lygybė yra teisinga.
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
5. Jei šaknies ir radikalinės išraiškos rodikliai bus padauginti arba padalinti iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis.
$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$
6. Nelyginio laipsnio šaknis galima išskirti iš teigiamų ir neigiami skaičiai, o lyginio laipsnio šaknis yra tik teigiama.
7. Bet kuri šaknis gali būti pavaizduota kaip laipsnis su trupmeniniu (racionaliuoju) rodikliu.
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Raskite reiškinio $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ reikšmę $s>0$
Produkto šaknis lygi šaknų sandaugai
$(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$
Iš skaičių galime iš karto išgauti šaknis
$(√9∙√(√^11(s)))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(s)))/(2∙ √^11(√с))$
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
$(3∙√(√^11(s))))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(s))/(2∙√^22(s))$
Sumažiname $22$ šaknis iš $с$ ir gauname $(3)/(2)=1.5$
Atsakymas: 1,5 USD
Jei radikalui su lyginiu laipsniu mes nežinome radikalios išraiškos ženklo, tai išimant šaknį išeina radikalios išraiškos modulis.
Raskite reiškinio $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ reikšmę ties $7< c < 9$
Jei virš šaknies nėra indikatoriaus, tai reiškia, kad dirbame su kvadratinė šaknis. Jo rodiklis yra du, t.y. sąžiningas. Jei radikalui su lyginiu laipsniu mes nežinome radikalios išraiškos ženklo, tai išimant šaknį išeina radikalios išraiškos modulis.
$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$
Pagal sąlygą $7 nustatykime išraiškos ženklą po modulio ženklu< c < 9$
Norėdami patikrinti, paimkite bet kurį skaičių iš nurodyto diapazono, pavyzdžiui, 8 USD
Patikrinkime kiekvieno modulio ženklą
$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.
$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$
Laipsnių su racionaliuoju rodikliu savybės:
1. Dauginant laipsnius su tais pačiais pagrindais, bazė išlieka ta pati, o laipsniai pridedami.
$a^n∙a^m=a^(n+m)$
2. Didinant laipsnį iki laipsnio, bazė išlieka ta pati, bet rodikliai dauginami
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
3. Didinant sandaugą iki laipsnio, kiekvienas koeficientas padidinamas iki šios laipsnio
$(a∙b)^n=a^n∙b^n$
4. Keliant trupmeną iki laipsnio, skaitiklis ir vardiklis didinami iki šios laipsnio
Treneris Nr.1
Tema: Galios ir neracionalių išraiškų konvertavimas
Pasirenkamųjų matematikos kursų programa 10 klasės mokiniams
ProgramaTaikymas. Pagrindinių trigonometrinių formulių taikymas transformacija posakius. Tema 4. Trigonometrinės funkcijos ir jų grafikai. Apibendrinti.... 16.01-20.01 18 Konversija raminantis Ir neracionalus posakius. 23.01-27.01 19 ...
Mokomosios medžiagos algebros kalendorinis ir teminis planavimas bei analizės pradžia, 11 kl
Kalendorius ir teminis planavimasIr racionalus rodiklis. Konversija raminantis Ir neracionalus posakius. 2 2 2 Rugsėjis Logaritmų savybės. Konversija logaritminis posakius. 1 1 1 ... laikomi visa apimtimi nuo tie studentai, kurie siekia aukštų...
Pamokos tema Pamokos tipas (4)
Pamoka... transformacija skaitiniai ir abėcėliniai posakius, kurių sudėtyje yra laipsnių ... laipsniųŽinokite: koncepcija laipsnį su neracionaliu indikatoriumi; pagrindinės savybės laipsnių. Gebėti: rasti prasmę laipsnių Su neracionalus... 3 iki tema « Laipsnis teigiamas skaičius...
Tema: Psichologinių žinių ugdymo darbe kultūriniai ir istoriniai pagrindai Tema: Darbas kaip socialinė-psichologinė realybė
dokumentasir tt) tema darbas yra glaudžiai susijęs su socialine ir ekonomine transformacijos. Pavyzdžiui, ... sąmonės, instinktų pertvarka, neracionalus tendencijas, t.y. vidiniai konfliktai... išaiškinant buvimą ir laipsnių sunkumožmogus turi tam tikrą...
Reiškių, kuriose yra kvadratinių šaknų, konvertavimas (1)
PamokaRedagavo S.A. Telakovskis. Tema pamoka: Konversija posakius, kuriame yra kvadratas...) transformacija produkto šaknys, frakcija ir laipsnių, daugyba... (tapačio įgūdžių formavimas transformacijos neracionalus posakius). Nr. 421. (prie lentos...
Konvertuojant aritmetines šaknis, naudojamos jų savybės (žr. 35 pastraipą).
Pažvelkime į kelis aritmetinių šaknų savybių panaudojimo paprasčiausioms radikalų transformacijoms pavyzdžius. Šiuo atveju laikysime visus kintamuosius tik neneigiamas reikšmes.
1 pavyzdys. Ištraukite produkto šaknį Sprendimas. Taikant 1° savybę, gauname:
2 pavyzdys. Pašalinkite daugiklį iš po šaknies ženklo
Sprendimas.
Ši transformacija vadinama faktoriaus pašalinimu iš po šaknies ženklo. Transformacijos tikslas – supaprastinti radikalią išraišką.
3 pavyzdys: supaprastinkite
Sprendimas. Pagal savybę 3° mes paprastai bando supaprastinti radikalią išraišką, kuriai faktorius išima iš šaknies ženklo. Turime
4 pavyzdys: supaprastinkite
Sprendimas. Transformuokime išraišką, įvesdami veiksnį po šaknies ženklu: Pagal savybę 4° turime
5 pavyzdys: supaprastinkite
Sprendimas. Pagal 5° savybę turime teisę dalyti šaknies ir radikalios išraiškos rodiklį iš to paties natūraliojo skaičiaus. Jei nagrinėjamame pavyzdyje nurodytus rodiklius padalinsime iš 3, gausime
6 pavyzdys. Supaprastinkite išraiškas: a)
Sprendimas, a) Pagal savybę 1° nustatome, kad norint padauginti to paties laipsnio šaknis, pakanka padauginti radikalų išraiškas ir iš gauto rezultato išskirti to paties laipsnio šaknį. Reiškia,
b) Pirmiausia turime sumažinti radikalus iki vieno rodiklio. Pagal 5° savybę šaknies ir radikalios išraiškos rodiklį galime padauginti iš to paties natūraliojo skaičiaus. Todėl toliau turime Ir dabar gautame rezultate šaknies rodiklius ir radikalios išraiškos laipsnį padalijus iš 3, gauname
Iracionalios išraiškos ir jų transformacijos
Paskutinį kartą prisiminėme (arba sužinojome, priklausomai nuo to), kas tai yra , išmoko išgauti tokias šaknis, po gabalėlį išsiaiškino pagrindines šaknų savybes ir sprendė paprastus pavyzdžius su šaknimis.
Ši pamoka bus ankstesnės tęsinys ir bus skirta įvairiausių posakių, turinčių įvairiausių šaknų, transformacijai. Tokios išraiškos vadinamos neracionalus. Čia atsiras išraiškos su raidėmis, papildomos sąlygos, neracionalumo pašalinimas trupmenomis ir keletas pažangių darbo su šaknimis technikų. Metodai, kurie bus aptariami šioje pamokoje, taps geru pagrindu sprendžiant beveik bet kokio sudėtingumo USE problemas (ir ne tik). Taigi pradėkime.
Pirmiausia čia pakartosiu pagrindines šaknų formules ir savybes. Kad nešokinėtum iš temos į temą. Štai jie:
adresu
Jūs turite žinoti šias formules ir mokėti jas taikyti. Ir į abi puses – tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę. Būtent jomis grindžiamas daugelio bet kokio sudėtingumo užduočių sprendimas. Pradėkime nuo kol kas paprasčiausio dalyko – tiesioginio formulių ar jų derinių taikymo.
Lengvas formulių pritaikymas
Šioje dalyje bus nagrinėjami paprasti ir nekenksmingi pavyzdžiai – be raidžių, papildomų sąlygų ir kitų gudrybių. Tačiau net ir juose, kaip taisyklė, yra galimybių. Ir kuo įmantresnis pavyzdys, tuo daugiau tokių variantų. O nepatyręs studentas susiduria su pagrindine problema – nuo ko pradėti? Atsakymas čia paprastas - Jei nežinai, ko tau reikia, daryk, ką gali. Kol jūsų veiksmai yra taikoje ir dera su matematikos taisyklėmis ir joms neprieštarauja.) Pavyzdžiui, ši užduotis:
Apskaičiuokite:
Net ir tokiame paprastame pavyzdyje yra keli galimi atsakymo keliai.
Pirmasis yra tiesiog padauginti šaknis iš pirmosios savybės ir išgauti šaknį iš rezultato:
Antrasis variantas yra toks: mes jo neliečiame, dirbame su . Mes išimame daugiklį iš po šaknies ženklo, o tada - pagal pirmąją savybę. kaip tai:
Galite nuspręsti tiek, kiek norite. Bet kuriame iš variantų atsakymas yra vienas - aštuoni. Pavyzdžiui, man lengviau padauginti iš 4 ir 128 ir gauti 512, o kubo šaknį galima lengvai išgauti iš šio skaičiaus. Jei kas nors neprisimena, kad 512 yra 8 kubeliai, tai nesvarbu: galite parašyti 512 kaip 2 9 (pirmosios 10 dviejų laipsnių, tikiuosi pamenate?) ir naudodami laipsnio šaknies formulę :
Kitas pavyzdys.
Apskaičiuokite:.
Jei dirbsi pagal pirmą savybę (viską padėdamas po viena šaknimi), gausi nemenką skaičių, iš kurio paskui bus galima ištraukti šaknį – taip pat ne cukrų. Ir tai nėra faktas, kad jis bus išgautas tiksliai.) Todėl čia naudinga pašalinti veiksnius iš skaičiaus šaknies. Ir išnaudokite visas galimybes:
O dabar viskas gerai:
Belieka po viena šaknimi įrašyti aštuonis ir du (pagal pirmąją savybę) ir darbas atliktas. :)
Dabar pridėkime keletą trupmenų.
Apskaičiuokite:
Pavyzdys gana primityvus, bet turi ir galimybių. Galite naudoti daugiklį, norėdami transformuoti skaitiklį ir sumažinti jį vardikliu:
Arba galite iš karto naudoti šaknų padalijimo formulę:
Kaip matome, taip ir taip yra teisinga.) Jei nesuklupsi pusiaukelėje ir nesuklysi. Nors kur man čia suklysti...
Dabar pažiūrėkime į patį paskutinį pavyzdį iš paskutinės pamokos namų darbų:
Supaprastinti:
Visiškai neįsivaizduojamas šaknų rinkinys ir netgi įdėtos. Ką turėčiau daryti? Svarbiausia nebijoti! Čia pirmiausia po šaknimis pastebime skaičius 2, 4 ir 32 – dviejų laipsnius. Pirmiausia reikia sumažinti visus skaičius iki dviejų: juk kuo daugiau identiškų skaičių pavyzdyje ir kuo mažiau skirtingų, tuo lengviau.) Pradėkime atskirai nuo pirmojo koeficiento:
Skaičius gali būti supaprastintas sumažinus du po šaknimi su keturiais šaknies eksponente:
Dabar, atsižvelgiant į darbo šaknį:
.
Skaičiuje išimame du kaip šaknies ženklą:
Ir mes susiduriame su išraiška naudodami šaknies formulės šaknį:
Taigi pirmasis veiksnys bus parašytas taip:
Likusios šaknys išnyko, skaičiai sumažėjo, tai jau džiugina. Tiesiog šaknys skirtingos, bet kol kas taip ir paliksime. Esant poreikiui juos konvertuosime į tokius pat. Paimkime antrąjį veiksnį.)
Antrąjį veiksnį transformuojame panašiai, naudodami sandaugos šaknies ir šaknies šaknies formulę. Jei reikia, sumažiname rodiklius naudodami penktąją formulę:
Įklijuojame viską į pradinį pavyzdį ir gauname:
Gavome visą krūvą visiškai skirtingų šaknų produktą. Būtų gerai juos visus suvesti į vieną rodiklį, o tada pamatysime. Na, tai visai įmanoma. Didžiausias iš šaknies rodiklių yra 12, o visi kiti - 2, 3, 4, 6 - yra skaičiaus 12 dalikliai. Todėl visas šaknis pagal penktąją savybę sumažinsime iki vieno eksponento - 12:
Suskaičiuojame ir gauname:
Mes negavome gražaus skaičiaus, bet tai gerai. Mūsų paklausė supaprastinti išraiška, ne skaičiuoti. Supaprastinta? tikrai! Ir atsakymo tipas (sveikasis skaičius ar ne) čia nebevaidina jokio vaidmens.
Kai kurios sudėjimo/atimties ir sutrumpintos daugybos formulės
Deja, bendrosios formulės šaknų pridėjimas ir atėmimas ne matematikoje. Tačiau užduotyse šie veiksmai su šaknimis dažnai aptinkami. Čia reikia suprasti, kad bet kokios šaknys yra lygiai tokie pat matematiniai simboliai, kaip ir raidės algebroje.) O šaknims galioja ta pati technika ir taisyklės kaip ir raidėms – skliaustų atidarymas, panašių atvedimas, sutrumpintos daugybos formulės ir pan.
Pavyzdžiui, visiems aišku, kad . Lygiai taip pat identiškasŠaknis galima gana lengvai pridėti/atimti viena nuo kitos:
Jei šaknys skirtingos, tuomet ieškome būdo, kaip jas padaryti vienodas – pridedant/atimant daugiklį arba naudojant penktąją savybę. Jei tai niekaip nesupaprastinta, tai galbūt transformacijos yra gudresnės.
Pažiūrėkime į pirmąjį pavyzdį.
Raskite posakio reikšmę: .
Visos trys šaknys, nors ir kubinės, yra iš skirtinga numeriai. Jie nėra grynai išgaunami ir pridedami / atimami vienas iš kito. Todėl bendrųjų formulių naudojimas čia netinka. Ką turėčiau daryti? Išimkime kiekvienos šaknies veiksnius. Bet kokiu atveju blogiau nebus.) Be to, iš tikrųjų nėra kitų galimybių:
Todėl,.
Štai ir sprendimas. Čia su pagalba perėjome nuo skirtingų šaknų prie tų pačių daugiklio pašalinimas iš po šaknies. O paskui tiesiog atnešė panašių.) Nusprendžiame toliau.
Raskite išraiškos reikšmę:
Tikrai nieko nepadarysi dėl septyniolikos šaknies. Dirbame pagal pirmąją savybę - iš dviejų šaknų sandaugos darome vieną šaknį:
Dabar pažiūrėkime atidžiau. Kas yra po mūsų didžiąja kubo šaknimi? Skirtumas yra nedidelis... Na, žinoma! Kvadratų skirtumas:
Dabar belieka išgauti šaknį: .
Apskaičiuokite:
Čia turėsite parodyti matematinį išradingumą.) Mes galvojame maždaug taip: „Taigi, pavyzdyje – šaknų produktas. Po viena šaknimi yra skirtumas, o po kita - suma. Labai panaši į kvadratų formulę. Bet... Šaknys kitokios! Pirmoji – kvadratinė, o antroji – ketvirto laipsnio... Būtų gerai, kad jos būtų vienodos. Pagal penktąją savybę iš kvadratinės šaknies galite lengvai padaryti ketvirtą šaknį. Norėdami tai padaryti, užtenka išlyginti radikalią išraišką.
Jei galvojote apie tą patį, tada esate pusiaukelėje į sėkmę. Visiškai teisingai! Pirmąjį veiksnį paverskime ketvirtąja šaknimi. kaip tai:
Dabar nieko nereikia daryti, bet turėsite prisiminti skirtumo kvadrato formulę. Tik tepant ant šaknų. Taigi ką? Kodėl šaknys blogesnės už kitus skaičius ar posakius?! Mes statome:
„Hm, na, jie jį pastatė, o kas? Krienai nėra saldesni už ridikus. Sustok! O jei išimsi keturis po šaknimi? Tada atsiras ta pati išraiška, kaip ir po antrąja šaknimi, tik su minusu, o mes būtent tai ir siekiame!
Teisingai! Paimkime keturis:
.
O dabar – technologijos reikalas:
Taip išpainiojami sudėtingi pavyzdžiai.) Dabar laikas praktikuoti su trupmenomis.
Apskaičiuokite:
Aišku, kad skaitiklį reikia konvertuoti. Kaip? Žinoma, naudojant sumos kvadrato formulę. Ar turime kitų galimybių? :) Padalijame kvadratu, išimame faktorius, mažiname rodiklius (kur reikia):
Oho! Gavome tiksliai savo trupmenos vardiklį.) Tai reiškia, kad visa trupmena akivaizdžiai lygi vienetui:
Kitas pavyzdys. Tik dabar kita sutrumpinto daugybos formulė.)
Apskaičiuokite:
Akivaizdu, kad skirtumo kvadratas turi būti naudojamas praktiškai. Atskirai išrašome vardiklį ir – važiuojam!
Iš po šaknų išimame veiksnius:
Vadinasi,
Dabar viskas, kas bloga, yra labai sumažinta ir pasirodo:
Na, perkelkime tai į kitą lygį. :)
Laiškai ir papildomos sąlygos
Pažodiniai posakiai su šaknimis yra sudėtingesnis dalykas nei skaitinės išraiškos ir yra neišsenkantis erzinančių ir labai rimtų klaidų šaltinis. Uždarykite šį šaltinį.) Klaidos kyla dėl to, kad tokiose užduotyse dažnai naudojami neigiami skaičiai ir išraiškos. Jie mums pateikiami tiesiogiai atliekant užduotį arba paslėpti laiškus ir papildomas sąlygas. O dirbdami su šaknimis turime nuolat tai atsiminti šaknyse lygus laipsnis tiek po pačia šaknimi, tiek dėl šaknų ištraukimo turėtų būti neneigiama išraiška. Pagrindinė šios pastraipos užduočių formulė bus ketvirtoji formulė:
Nekyla klausimų su nelyginio laipsnio šaknimis – viskas visada išgaunama, ir teigiama, ir neigiama. O minusas, jei ką, iškeliamas į priekį. Eikime tiesiai prie šaknų net laipsnių.) Pavyzdžiui, tokia trumpa užduotis.
Supaprastinti: , Jeigu .
Atrodytų, viskas paprasta. Tai tik pasirodys X.) Bet kodėl tada papildoma sąlyga? Tokiais atvejais pravartu įvertinti skaičiais. Grynai dėl savęs.) Jeigu, tada x akivaizdžiai yra neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, minus trys. Arba minus keturiasdešimt. Tegul . Ar galite padidinti minus tris iki ketvirtos laipsnio? tikrai! Rezultatas yra 81. Ar įmanoma išgauti ketvirtą šaknį iš 81? Kodėl gi ne? Gali! Gauni tris. Dabar išanalizuokime visą mūsų grandinę:
Ką mes matome? Įvestis buvo neigiamas skaičius, o išvestis jau buvo teigiama. Buvo minus trys, dabar plius trys.) Grįžkime prie raidžių. Be jokios abejonės, modulo tai bus lygiai X, bet tik pats X yra minusas (pagal sąlygą!), o ištraukimo rezultatas (dėl aritmetinės šaknies!) turi būti pliusas. Kaip gauti pliusą? Labai paprasta! Norėdami tai padaryti, tiesiog įrašykite minusą prieš akivaizdžiai neigiamą skaičių.) O teisingas sprendimas atrodo taip:
Beje, jei naudotume formulę, tai prisiminę modulio apibrėžimą iškart gautume teisingą atsakymą. Kadangi
|x| = -x ties x<0.
Išimkite faktorių iš šaknies ženklo: , Kur .
Pirmas žvilgsnis yra radikali išraiška. Viskas čia gerai. Bet kokiu atveju jis bus neneigiamas. Pradėkime išgauti. Naudodami produkto šaknies formulę, išskiriame kiekvieno veiksnio šaknį:
Nemanau, kad reikia aiškinti, iš kur atsirado moduliai.) Dabar išanalizuokime kiekvieną modulį.
Daugiklis | a | paliekame nepakeistą: neturime jokių sąlygų laiškuia. Mes nežinome, ar tai teigiama, ar neigiama. Kitas modulis |b 2 | galima drąsiai praleisti: bet kuriuo atveju posakisb 2 neneigiamas. Bet apie |c 3 | - čia jau yra problema.) Jei, tada c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть su minusu: | c 3 | = - c 3 . Apskritai teisingas sprendimas būtų:
O dabar – atvirkštinė problema. Ne pati lengviausia, iš karto perspėju!
Įveskite daugiklį po šaknies ženklu: .
Jei tučtuojau užrašysite sprendimą taip
tada tu pateko į spąstus. Tai neteisingas sprendimas! Kas atsitiko?
Pažvelkime atidžiau į posakį po šaknimi. Po ketvirtosios galios šaknimi, kaip žinome, turėtų būti neneigiamas išraiška. Priešingu atveju šaknis neturi reikšmės.) Todėl O tai, savo ruožtu, reiškia, kad ir, vadinasi, pati taip pat yra neteigiama: .
Ir čia klaida ta, kad mes pristatome iš esmės ne teigiamas numerį: ketvirtasis laipsnis paverčia jį neneigiamas ir gaunamas neteisingas rezultatas - kairėje yra sąmoningas minusas, o dešinėje jau pliusas. Ir įdėkite jį į šaknį net laipsnį turime tik teisę neneigiamas skaičiai ar išraiškos. Ir palikite minusą, jei toks yra, prieš šaknį.) Kaip galime pasirinkti ne neigiamą skaičiaus veiksnį, žinant, kad jis pats yra visiškai neigiamas? Taip, lygiai tas pats! Įdėkite minusą.) Ir kad niekas nepasikeistų, kompensuokite tai dar vienu minusu. kaip tai:
Ir jau dabar neneigiamas Ramiai įvedame skaičių (-b) po šaknimi pagal visas taisykles:
Šis pavyzdys aiškiai parodo, kad, skirtingai nei kitose matematikos šakose, šaknyse teisingas atsakymas ne visada išplaukia iš formulių. Turite pagalvoti ir asmeniškai priimti teisingą sprendimą.) Ypač turėtumėte būti atsargesni prisijungdami neracionalios lygtys ir nelygybės.
Pažvelkime į kitą svarbią techniką dirbant su šaknimis - atsikratyti iracionalumo.
Iracionalumo pašalinimas trupmenomis
Jei posakis turi šaknis, tai, priminsiu, tokia išraiška vadinama išraiška su neracionalumu. Kai kuriais atvejais gali būti naudinga atsikratyti šio neracionalumo (t. y. šaknų). Kaip galite pašalinti šaknį? Mūsų šaknis išnyksta, kai... pakeliama į galią. Su indikatoriumi, lygiu šaknies indikatoriui arba jo kartotiniu. Bet jei šaknį pakelsime į laipsnį (ty šaknį padauginsime iš pačios reikiamą skaičių kartų), išraiška pasikeis. Negerai.) Tačiau matematikoje yra temų, kur daugyba gana neskausminga. Pavyzdžiui, trupmenomis. Pagal pagrindinę trupmenos savybę, skaitiklį ir vardiklį padauginus (padalijus) iš to paties skaičiaus, trupmenos reikšmė nepasikeis.
Tarkime, kad mums duota ši trupmena:
Ar galima atsikratyti šaknies vardiklyje? Gali! Norėdami tai padaryti, šaknis reikia supjaustyti kubeliais. Ko mums trūksta viso kubo vardiklyje? Mums trūksta daugiklio, t.y.. Taigi trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš
Vardiklio šaknis dingo. Bet... jis pasirodė skaitiklyje. Nieko negalima padaryti, toks likimas.) Tai mums nebesvarbu: buvome paprašyti išlaisvinti vardiklį iš šaknų. Išleistas? Be jokios abejonės.)
Beje, tie, kurie jau yra susipažinę su trigonometrija, galėjo atkreipti dėmesį į tai, kad, pavyzdžiui, kai kuriuose vadovėliuose ir lentelėse jie žymimi skirtingai: kažkur , o kažkur . Kyla klausimas – kas teisinga? Atsakymas: viskas teisinga!) Jei atspėsite– tai tiesiog išsivadavimo iš iracionalumo trupmenos vardiklyje rezultatas. :)
Kodėl turėtume išsivaduoti nuo neracionalumo trupmenomis? Koks skirtumas – šaknis yra skaitiklyje ar vardiklyje? Skaičiuoklė vis tiek viską suskaičiuos.) Na, o tiems, kurie nesiskiria su skaičiuokle, tai tikrai praktiškai jokio skirtumo... Bet net ir skaičiuojant skaičiuotuvu galima atkreipti dėmesį į tai, kad padalintiįjungta visa numeris visada yra patogesnis ir greitesnis nei įjungtas neracionalus. Ir aš nutylėsiu apie padalijimą į koloną.)
Šis pavyzdys tik patvirtins mano žodžius.
Kaip čia galime pašalinti vardiklio kvadratinę šaknį? Jei skaitiklis ir vardiklis padauginami iš išraiškos, vardiklis bus sumos kvadratas. Pirmojo ir antrojo skaičių kvadratų suma duos mums tik skaičius be šaknų, o tai labai džiugina. Tačiau... jis pasirodys dvigubas produktas nuo pirmojo skaičiaus iki antrojo, kur vis tiek išliks trijų šaknis. Jis nekanalizuoja. Ką turėčiau daryti? Prisiminkite dar vieną nuostabią sutrumpinto daugybos formulę! Kur nėra dvigubų gaminių, o tik kvadratai:
Išraiška, kurią padauginus iš kokios nors sumos (arba skirtumo), gaunama kvadratų skirtumas, taip pat vadinamas konjuguota išraiška. Mūsų pavyzdyje konjuguota išraiška bus skirtumas. Taigi skaitiklį ir vardiklį padauginame iš šio skirtumo:
Ką aš galiu pasakyti? Dėl mūsų manipuliacijų ne tik dingo vardiklio šaknis, bet ir visai išnyko trupmena! :) Net ir su skaičiuotuvu atimti trijų šaknį iš trijų yra lengviau nei skaičiuoti trupmeną, kai vardiklyje yra šaknis. Kitas pavyzdys.
Išlaisvinkite save nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje:
Kaip iš to ištrūkti? Sutrumpinto daugybos su kvadratais formulės neveikia iš karto - visiškai pašalinti šaknų nepavyks dėl to, kad šį kartą mūsų šaknis yra ne kvadratas, o kub. Būtina, kad šaknis kažkaip būtų pakelta į kubą. Todėl reikia naudoti vieną iš formulių su kubeliais. Kurią? Pagalvokime apie tai. Vardiklis yra suma. Kaip galime pasiekti šaknies kubą? Padauginti iš dalinis kvadratinis skirtumas! Taigi, mes pritaikysime formulę kubelių suma. Šis:
Kaip a mes turime tris, ir kaip kokybę b– penkių kubo šaknis:
Ir vėl trupmena dingo.) Tokių situacijų, kai, išsivadavus iš iracionalumo trupmenos vardiklyje, pati trupmena visiškai išnyksta kartu su šaknimis, pasitaiko labai dažnai. Kaip jums patinka šis pavyzdys!
Apskaičiuokite:
Tiesiog pabandykite pridėti šias tris trupmenas! Jokių klaidų! :) Vieno bendro vardiklio verta. O kas, jei pabandytume išsivaduoti nuo neracionalumo kiekvienos trupmenos vardiklyje? Na, pabandykime:
Oho, kaip įdomu! Visos frakcijos dingo! Visiškai. O dabar pavyzdį galima išspręsti dviem būdais:
Paprasta ir elegantiška. Ir be ilgų ir varginančių skaičiavimų. :)
Štai kodėl išsivadavimo iš iracionalumo operaciją reikia mokėti atlikti trupmenomis. Tokiuose sudėtinguose pavyzdžiuose tai vienintelis dalykas, kuris gelbsti, taip.) Žinoma, niekas neatšaukė dėmesingumo. Yra užduočių, kuriose jūsų prašoma atsikratyti neracionalumo skaitiklis. Šios užduotys niekuo nesiskiria nuo aptartų, tik skaitiklis pašalinamas iš šaknų.)
Sudėtingesni pavyzdžiai
Belieka apsvarstyti keletą specialių darbo su šaknimis technikų ir praktikuoti išpainioti ne pačius paprasčiausius pavyzdžius. Ir tada gautos informacijos pakaks bet kokio sudėtingumo užduotims išspręsti. Taigi – pirmyn.) Pirmiausia išsiaiškinkime, ką daryti su įdėtomis šaknimis, kai šaknies formulė neveikia. Pavyzdžiui, čia yra pavyzdys.
Apskaičiuokite:
Šaknis yra po šaknimi... Be to, po šaknimis yra suma arba skirtumas. Todėl šaknies šaknies formulė (su eksponentų daugyba) yra čia neveikia. Taigi reikia kažką daryti radikalios išraiškos: Mes tiesiog neturime kitų galimybių. Tokiais pavyzdžiais dažniausiai užšifruojama didelė šaknis tobulas kvadratas tam tikra suma. Arba skirtumai. O aikštės šaknis jau puikiai ištraukta! O dabar mūsų užduotis yra jį iššifruoti.) Toks iššifravimas gražiai atliktas lygčių sistema. Dabar viską pamatysite patys.)
Taigi, po pirmąja šaknimi turime šią išraišką:
Ką daryti, jei atspėjote neteisingai? Patikrinkim! Mes jį kvadratu, naudodami sumos kvadrato formulę:
Teisingai.) Bet... Iš kur aš gavau tokį posakį? Iš dangaus?
Ne.) Sąžiningai jį sumažinsime. Paprasčiausiai naudodamas šią išraišką aš tiksliai parodysiu, kaip užduočių autoriai užšifruoja tokius kvadratus. :) Kas yra 54? Tai pirmojo ir antrojo skaičių kvadratų suma. Ir, atkreipkite dėmesį, jau be šaknų! Ir šaknis lieka viduje dvigubas produktas, kuris mūsų atveju yra lygus . Todėl tokių pavyzdžių aiškinimas prasideda nuo dvigubo produkto paieškos. Jei išnarpliojate su įprasta atranka. Ir, beje, apie ženklus. Čia viskas paprasta. Jei prieš dvigubą yra pliusas, tada sumos kvadratas. Jei tai minusas, tai skirtumai.) Turime pliusą – tai reiškia sumos kvadratą.) O dabar – žadėtasis analitinis dekodavimo metodas. Per sistemą.)
Taigi po mūsų šaknimi aiškiai slypi posakis (a+b) 2, o mūsų užduotis yra surasti a Ir b. Mūsų atveju kvadratų suma duoda 54. Taigi rašome:
Dabar padvigubinkite produktą. Mes jį turime. Taigi užrašome:
Turime tokią sistemą:
Išsprendžiame įprastu pakeitimo metodu. Pavyzdžiui, išreiškiame iš antrosios lygties ir pakeičiame ją pirmąja:
Išspręskime pirmąją lygtį:
Gauta bikvadratinis lygtis santykinėa . Apskaičiuojame diskriminantą:
Reiškia,
Gavome net keturias galimas reikšmesa. Mes nebijome. Dabar išrausime visus nereikalingus dalykus.) Jei dabar apskaičiuosime atitinkamas kiekvienos iš keturių rastų verčių reikšmes, gausime keturis mūsų sistemos sprendimus. Štai jie:
Ir čia kyla klausimas – kuris sprendimas mums tinka? Pagalvokime apie tai. Neigiamus sprendimus galima iš karto atmesti: kvadratuojant „išdegs“ minusai, o visa radikali išraiška kaip visuma nepasikeis.) Lieka pirmieji du variantai. Galite juos pasirinkti visiškai savavališkai: perstačius terminus suma vis tiek nesikeičia.) Tegul, pavyzdžiui, , a .
Iš viso gavome šios sumos kvadratą po šaknimi:
Viskas aišku.)
Ne veltui taip išsamiai aprašinėju sprendimo procesą. Kad būtų aišku, kaip vyksta iššifravimas.) Tačiau yra viena problema. Analitinis dekodavimo metodas, nors ir patikimas, yra labai ilgas ir gremėzdiškas: reikia išspręsti bikvadratinę lygtį, gauti keturis sistemos sprendinius ir tada dar galvoti, kuriuos pasirinkti... Vargina? Sutinku, tai vargina. Šis metodas veikia nepriekaištingai daugumoje šių pavyzdžių. Tačiau labai dažnai galite sutaupyti daug darbo ir kūrybiškai rasti abu skaičius. Pagal pasirinkimą.) Taip, taip! Dabar, naudodamas antrojo termino (antrosios šaknies) pavyzdį, parodysiu lengvesnį ir greitesnį būdą atskirti visą kvadratą po šaknimi.
Taigi dabar turime šią šaknį: 
.
Pagalvokime taip: „Po šaknimi greičiausiai yra užšifruotas pilnas kvadratas. Kai prieš dublį yra minusas, tai reiškia skirtumo kvadratą. Pirmojo ir antrojo skaičių kvadratų suma suteikia mums skaičių 54. Bet kokie tai kvadratai? 1 ir 53? 49 ir 5 ? Per daug variantų... Ne, geriau pradėti išpainioti nuo dvigubo produkto. Mūsųgali būti parašytas kaip. Kai produktas padvigubėjo, tada iškart atmetame abu. Tada kandidatai į vaidmenį a ir b lieka 7 ir . O jei 14 ir/2 ? Tai įmanoma. Bet mes visada pradedame nuo kažko paprasto! Taigi, tegul . Patikrinkime jų kvadratų sumą:
Suveikė! Tai reiškia, kad mūsų radikali išraiška iš tikrųjų yra skirtumo kvadratas:
Čia yra lengvas būdas išvengti problemų su sistema. Tai ne visada veikia, bet daugelyje šių pavyzdžių to visiškai pakanka. Taigi, po šaknimis yra pilni kvadratai. Belieka teisingai ištraukti šaknis ir apskaičiuoti pavyzdį:
Dabar pažvelkime į dar nestandartinę užduotį dėl šaknų.)
Įrodykite, kad skaičius A– sveikasis skaičius, jei .
Tiesiogiai nieko neišgaunama, šaknys įleistos, ir net įvairaus laipsnio... Košmaras! Tačiau užduotis turi prasmę.) Todėl yra jos sprendimo raktas.) O čia svarbiausia yra tai. Apsvarstykite mūsų lygybę
Kaip lygtis santykinė A. Taip, taip! Būtų malonu atsikratyti šaknų. Mūsų šaknys yra kubinės, todėl supjaustykime abi lygties puses. Pagal formulę sumos kubas:
Kubai ir kubinės šaknys panaikina vienas kitą, o po kiekviena didele šaknimi paimame po vieną skliaustelį iš kvadrato ir skirtumo bei sumos sandaugą sutraukiame į kvadratų skirtumą:
Atskirai apskaičiuojame kvadratų skirtumą po šaknimis:
Įkeliama...
