Kaip rasti sudėtingų antidarinių. Funkcijos antidarinys

Panagrinėkime taško judėjimą tiesia linija. Tegul tai užtrunka t nuo judesio pradžios taškas nuėjo atstumą s(t). Tada momentinis greitis v(t) lygus funkcijos išvestinei s(t), tai yra v(t) = s"(t).

Praktikoje susiduriame su atvirkštine problema: atsižvelgiant į taško judėjimo greitį v(t) rasti kelią, kuriuo ji ėjo s(t), tai yra rasti tokią funkciją s(t), kurio išvestinė lygi v(t). Funkcija s(t), toks kad s"(t) = v(t), vadinamas funkcijos antidariniu v(t).

Pavyzdžiui, jei v(t) = аt, Kur A yra duotas skaičius, tada funkcija
s(t) = (аt 2) / 2v(t), nes
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Funkcija F(x) vadinamas funkcijos antidariniu f(x) tam tikru intervalu, jei visiems X iš šio tarpo F"(x) = f(x).

Pavyzdžiui, funkcija F(x) = sin x yra funkcijos antidarinys f(x) = cos x, nes (sin x)" = cos x; funkcija F(x) = x 4 /4 yra funkcijos antidarinys f(x) = x 3, nes (x 4 / 4)" = x 3.

Panagrinėkime problemą.

Užduotis.

Įrodykite, kad funkcijos x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 yra tos pačios funkcijos f(x) = x 2 antidarinės.

Sprendimas.

1) Pažymime F 1 (x) = x 3 /3, tada F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 / 3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 / 3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 / 3 + 1)" = (x 3 / 3)" + (1)" = x 2 = f ( x).

3) F 3 (x) = x 3 / 3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 / 3 - 4)" = x 2 = f (x).

Apskritai bet kuri funkcija x 3 /3 + C, kur C yra konstanta, yra funkcijos x 2 antidarinė. Tai išplaukia iš to, kad konstantos išvestinė lygi nuliui. Šis pavyzdys rodo, kad tam tikrai funkcijai jos antidarinys nustatomas dviprasmiškai.

Tegul F 1 (x) ir F 2 (x) yra du tos pačios funkcijos f(x) antidariniai.

Tada F 1 "(x) = f(x) ir F" 2 (x) = f(x).

Jų skirtumo g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) išvestinė lygi nuliui, nes g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

Jei g"(x) = 0 tam tikrame intervale, tai funkcijos y = g(x) grafiko liestinė kiekviename šio intervalo taške yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl funkcijos y = grafikas g(x) yra lygiagreti Ox ašiai, ty g(x) = C, kur C yra tam tikra konstanta g(x) = C, g(x) = F 1 (x). – F 2 (x) iš to išplaukia, kad F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Taigi, jei funkcija F(x) yra funkcijos f(x) antidarinė tam tikrame intervale, tai visos antidarinės funkcijos f(x) parašytos F(x) + C forma, kur C yra savavališka konstanta. .

Panagrinėkime visų duotosios funkcijos f(x) antidarinių grafikus. Jei F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, tai bet kuri šios funkcijos antidarinė gaunama prie F(x) pridėjus kokią nors konstantą: F(x) + C. Funkcijų grafikai y = F( x) + C gaunami iš grafiko y = F(x) poslinkio išilgai Oy ašies. Pasirinkę C, galite užtikrinti, kad antidarinės grafikas eina per nurodytą tašką.

Atkreipkime dėmesį į antidarinių paieškos taisykles.

Prisiminkite, kad vadinama duotosios funkcijos išvestinės radimo operacija diferenciacija. Vadinamas atvirkštinis tam tikros funkcijos antidarinės radimo veiksmas integracija(iš lotyniško žodžio "atkurti").

Antidarinių lentelė kai kurioms funkcijoms jį galima sudaryti naudojant išvestinių lentelę. Pavyzdžiui, žinant tai (cos x)" = -sin x, gauname (-cos x)" = sin x, iš ko išplaukia, kad visos antidarinės funkcijos nuodėmė x yra parašyti formoje -cos x + C, Kur SU– pastovus.

Pažvelkime į kai kurias antidarinių reikšmes.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1. Antidarinis: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkcija: 1/x, x > 0. Antidarinis: ln x + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1. Antidarinis: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkcija: e x. Antidarinis: e x + C.

5) Funkcija: nuodėmė x. Antidarinis: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antidarinis: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funkcija: e kx + b, k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. Antidarinis: (1/k) sin (kx + b).

Integracijos taisyklės galima gauti naudojant diferenciacijos taisyklės. Pažvelkime į kai kurias taisykles.

Leiskite F(x) Ir G(x)– atitinkamai funkcijų antidariniai f(x) Ir g(x) tam tikru intervalu. Tada:

1) funkcija F(x) ± G(x) yra funkcijos antidarinys f(x) ± g(x);

2) funkcija aF(x) yra funkcijos antidarinys af(x).

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Antidarinių lentelė

Apibrėžimas. Funkcija F(x) tam tikrame intervale vadinama funkcijos f(x) antiderivatine visiems x iš šio intervalo, jei F"(x)=f(x) .

Funkcijos antidarinės radimo operacija vadinama integracija. Tai atvirkštinė diferenciacijos operacija.

Teorema. Kiekviena funkcija (x), kuri tęsiasi intervale, turi antidarinį tame pačiame intervale.

Teorema (pagrindinė antidarinės savybė). Jei tam tikru intervalu funkcija F(x) yra funkcijos f(x) antidarinė, tai šiame intervale funkcija F(x)+C taip pat bus f(x) antidarinė, kur C yra savavališka konstanta. .

Iš šios teoremos išplaukia, kad kai f(x) tam tikrame intervale turi antidarinę funkciją F(x), tada šių primityvų yra daug. Pateikdami C savavališkas skaitines reikšmes, kiekvieną kartą gausime antiderivatinę funkciją.

Norėdami rasti antidarinius, naudokite antidarinių lentelė. Jis gaunamas iš išvestinės lentelės.

Neriboto integralo sąvoka

Apibrėžimas. Iškviečiama visų funkcijos f(x) antidarinių funkcijų aibė neapibrėžtas integralas ir yra paskirtas.

Šiuo atveju iškviečiamas f(x). integrand funkcija, ir f(x) dx – integrandas.

Todėl, jei F(x) yra f(x) antidarinys, tada .

Neapibrėžtinio integralo savybės

Apibrėžtinio integralo sąvoka

Pasvarstykime plokščia figūra, apribotas ištisiniu ir neneigiamu grafiku intervale [a; b] funkcija f(x) , atkarpa [a; b] , o tiesės x=a ir x=b .

Gauta figūra vadinama lenkta trapecija. Apskaičiuokime jo plotą.

Norėdami tai padaryti, padaliname atkarpą [a; b] į n lygių atkarpų.

Kiekvieno segmento ilgis lygus Δx.
Tai dinamiškas GeoGebra piešinys.

Raudonus elementus galima keisti

Ryžiai. 1. Apibrėžtinio integralo sąvoka

Ant kiekvienos atkarpos statysime stačiakampius, kurių aukščiai f(x k-1) (1 pav.).

Kiekvieno tokio stačiakampio plotas lygus S k = f(x k-1)Δx k. .

Visų tokių stačiakampių plotas lygus Ši suma vadinama integralioji suma

funkcijai f(x) .

Jei n →∞, tai taip sukonstruotos figūros plotas vis mažiau skirsis nuo kreivinės trapecijos ploto. Apibrėžimas. Integraliosios sumos riba, kai vadinama n→∞ apibrėžtasis integralas .

, ir parašyta taip: skaito:

"integralas nuo a iki b f iš xdx"

Skaičius a vadinamas apatine integravimo riba, b – viršutine integracijos riba, atkarpa [a; b] – integravimo intervalas.

Apibrėžtinio integralo savybės

Niutono-Leibnizo formulė Apibrėžtinis integralas yra glaudžiai susijęs su antidariniu ir neapibrėžtuoju integralu

.

Niutono-Leibnizo formulė

Integralo naudojimas

Kūnų tūrių skaičiavimas

Pateikiame funkciją, kuri nurodo kūno skerspjūvio plotą, priklausantį nuo kokio nors kintamojo S = s(x), x[a; b]. Tada tam tikro kūno tūrį galima rasti integruojant šią funkciją atitinkamose ribose.
Jei mums duotas kūnas, kuris gaunamas sukant kreivinę trapeciją aplink Ox ašį, apribotą tam tikra funkcija f(x), x [a; b]. (3 pav.). Ta aikštė skerspjūviai galima apskaičiuoti naudojant gerai žinomą formulę S = π f 2 (x). Todėl tokio revoliucijos kūno tūrio formulė yra

Tikslas:

• Antidarinio sampratos susiformavimas.
• Pasiruošimas integralo suvokimui.
• Skaičiavimo įgūdžių formavimas.
• Grožio jausmo ugdymas (gebėjimas įžvelgti grožį neįprastame).

Matematinė analizė – tai matematikos šakų visuma, skirta funkcijoms ir jų apibendrinimams diferencialinio ir integralinio skaičiavimo metodais tirti.

Iki šiol studijavome matematinės analizės šaką, vadinamą diferencialiniu skaičiavimu, kurios esmė yra funkcijos tyrimas „mažajame“.

Tie. funkcijos tyrimas pakankamai mažose kiekvieno apibrėžimo taško apylinkėse. Viena iš diferenciacijos operacijų yra išvestinės (diferencalo) radimas ir jos taikymas funkcijų tyrimui.

Ne mažiau svarbi ir atvirkštinė problema. Jei žinoma funkcijos elgsena šalia kiekvieno jos apibrėžimo taško, tai kaip galima atkurti funkciją kaip visumą, t.y. visoje apibrėžimo srityje. Ši problema yra vadinamojo integralinio skaičiavimo tyrimo objektas.

Integracija yra atvirkštinis diferenciacijos veiksmas. Arba funkcijos f(x) atkūrimas iš nurodytos išvestinės f`(x). Lotyniškas žodis „integro“ reiškia atkūrimą.

1 pavyzdys.

Tegul (x) = 3x 2.
Raskime f(x).

Sprendimas:

Remiantis diferenciacijos taisykle, nesunku atspėti, kad f(x) = x 3, nes (x 3)` = 3x 2
Tačiau galite lengvai pastebėti, kad f(x) nerastas vienareikšmiškai.
Kaip f(x) galime imti
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 ir kt.

Kadangi kiekvieno iš jų išvestinė lygi 3x 2. (Konstantos išvestinė yra 0). Visos šios funkcijos viena nuo kitos skiriasi pastoviu terminu. Štai kodėl bendras sprendimas uždavinys gali būti parašytas forma f(x)= x 3 +C, kur C yra bet koks pastovus realusis skaičius.

Iškviečiama bet kuri iš rastų funkcijų f(x). PRIMODIUM funkcijai F`(x)= 3x 2

Apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) antiderivatine tam tikrame intervale J, jei visiems x iš šio intervalo F`(x)= f(x). Taigi funkcija F(x)=x 3 yra išvestinė, kai f(x)=3x 2 (- ∞ ; ∞).
Kadangi visiems x ~R lygybė yra teisinga: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kaip jau pastebėjome, ši funkcija turi be galo daug antidarinių (žr. pavyzdį Nr. 1).

2 pavyzdys. F(x)=x funkcija yra antidarinė visiems f(x)= 1/x intervale (0; +), nes visiems x iš šio intervalo galioja lygybė.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

3 pavyzdys. F(x)=tg3x funkcija yra antidarinė f(x)=3/cos3x intervale (-n/ 2; p/ 2),
nes F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

4 pavyzdys. Funkcija F(x)=3sin4x+1/x-2 yra antiderivinė f(x)=12cos4x-1/x 2 intervale (0;∞)
nes F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

2 paskaita.

Tema: Antidariniai. Pagrindinė antiderivatinės funkcijos savybė.

Tirdami antidarinį, remsimės šiuo teiginiu. Funkcijos pastovumo ženklas: Jei intervale J funkcijos išvestinė Ψ(x) lygi 0, tai šiame intervale funkcija Ψ(x) yra pastovi.

Šį teiginį galima parodyti geometriškai.

Yra žinoma, kad Ψ`(x)=tgα, γde α yra funkcijos Ψ(x) grafiko liestinės polinkio kampas taške, kurio abscisė x 0. Jei Ψ`(υ)=0 bet kuriame intervalo J taške, tai tanα=0 δ bet kuriai funkcijos Ψ(x) grafiko liestinei. Tai reiškia, kad funkcijos grafiko liestinė bet kuriame taške yra lygiagreti abscisių ašiai. Todėl nurodytame intervale funkcijos Ψ(x) grafikas sutampa su tiesės atkarpa y=C.

Taigi funkcija f(x)=c yra pastovi intervale J, jei f`(x)=0 šiame intervale.

Iš tiesų, savavališkai x 1 ir x 2 iš intervalo J, naudodamiesi teorema apie vidutinę funkcijos reikšmę, galime parašyti:
f(x 2) – f(x 1) = f`(c) (x 2 – x 1), nes f`(c)=0, tada f(x2)= f(x1)

Teorema: (Pagrindinė antiderivatinės funkcijos savybė)

Jei F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių intervale J, tai visų šios funkcijos antidarinių aibė turi tokią formą: F(x)+C, kur C yra bet koks realusis skaičius.

Įrodymas:

Tegul F`(x) = f(x), tada (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), jei x Є J.
Tarkime, kad egzistuoja Φ(x) – dar vienas antidarinys f (x) intervale J, t.y. Φ`(x) = f (x),
tada (Φ(x) - F(x)) = f (x) – f (x) = 0, jei x Є J.
Tai reiškia, kad Φ(x) - F(x) yra pastovus intervale J.
Todėl Φ(x) - F(x) = C.
Iš kur Φ(x)= F(x)+C.
Tai reiškia, kad jei F(x) yra funkcijos f (x) intervale J antidarinė, tai visų šios funkcijos antidarinių aibė turi tokią formą: F(x)+C, kur C yra bet koks realusis skaičius.
Vadinasi, bet kurie du tam tikros funkcijos antidariniai skiriasi vienas nuo kito pastoviu terminu.

Pavyzdys: Raskite funkcijos f (x) = cos x antidarinių aibę. Nubraižykite pirmųjų trijų grafikus.

Sprendimas: Sin x yra vienas iš funkcijos f (x) = cos x antidarinių
F(x) = Sin x+C – visų antidarinių aibė.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrinė iliustracija: Bet kurios antidarinės F(x)+C grafiką galima gauti iš antidarinės F(x) grafiko, naudojant lygiagretų r (0;c) perdavimą.

Pavyzdys: Funkcijos f (x) = 2x atveju raskite antidarinę, kurios grafikas eina per t.M (1;4)

Sprendimas: F(x)=x 2 +C – visų antidarinių aibė, F(1)=4 – pagal uždavinio sąlygas.
Todėl 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f(x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F(9)-F(5), kur F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių, yra lygus riboto kreivinės trapecijos plotui. funkcijos y=f(x) grafiku, tiesės y=0 , x=9 ir x=5.

Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis 3. Jo plotas lygus

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Atsakymas

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas – viena iš funkcijos f(x) antidarinių, apibrėžtų intervale (-5; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties f(x)=0 sprendinių skaičių atkarpoje [-3; 4]. Pagal antidarinės apibrėžimą galioja lygybė: F"(x)=f(x). Todėl lygtį f(x)=0 galima parašyti kaip F"(x)=0. Kadangi paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas, reikia surasti tuos taškus intervale [-3; 4], kurioje funkcijos F(x) išvestinė lygi nuliui. Iš paveikslo aišku, kad tai bus F(x) grafiko kraštutinių taškų (maksimalaus arba minimumo) abscisės.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Nurodytame intervale jų yra lygiai 7 (keturi minimalūs ir trys didžiausi taškai).

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m.

Iš grafiko nustatome, kad nurodyta kreiva trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis 3. \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas – vienas iš kokios nors funkcijos f(x) antidarinių, apibrėžtos intervale (-5; 4).

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties f (x) = 0 sprendinių skaičių atkarpoje (-3; 3]).

Pagal antidarinės apibrėžimą galioja lygybė: F"(x)=f(x). Todėl lygtį f(x)=0 galima parašyti kaip F"(x)=0.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Kadangi paveiksle pavaizduotas funkcijos y=F(x) grafikas, reikia surasti tuos taškus intervale [-3; 3], kurioje funkcijos F(x) išvestinė lygi nuliui.

Iš paveikslo aišku, kad tai bus F(x) grafiko kraštutinių taškų (maksimalaus arba minimumo) abscisės.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Nurodytame intervale jų yra lygiai 5 (du minimalūs taškai ir trys didžiausi taškai). Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas. Funkcija F(x)=-x^3+4.5x^2-7 yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: funkcijos antidarinys

Būklė

Nuspalvinta figūra yra kreivinė trapecija, kurią iš viršaus riboja funkcijos y=f(x) grafikas, tiesės y=0, x=1 ir x=3.

Funkcija Pagal Niutono-Leibnizo formulę jos plotas S lygus skirtumui F(3)-F(1), kur F(x) yra sąlygoje nurodytos funkcijos f(x) antidarinė.Štai kodėl ) S = F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\ctaškas 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\ctaškas 1^2 -7)= Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas.Štai kodėl) Funkcija F(x)=x^3+6x^2+13x-5 yra viena iš funkcijos f(x) antidarinių. Raskite užtamsintos figūros plotą. F(

xŠtai kodėl ) = paskambino(Štai kodėl ) .

antidarinis už funkciją 2 Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas.Štai kodėl ) = 2X f(

tam tikru intervalu, jei visiems 2 )" = 2x ◄

nuo šio intervalo galioja lygybė

F"( F(x) f f(x) Pavyzdžiui, funkcija f(x) F(x) = x , nes, Kur F"(x) = (x x = f(x).

Pagrindinė antidarinio savybė Jeigu - funkcijos antidarinys 2 + 1 tam tikru intervalu, tada funkcija Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas.Štai kodėl ) = 2X , nes turi be galo daug antidarinių, ir visi šie antidariniai gali būti parašyti formoje 1 )" = 2 F(x) + C; funkcija - funkcijos antidarinys 2 - 1 tam tikru intervalu, tada funkcija Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas.Štai kodėl ) = 2X SU tam tikru intervalu, jei visiems 2 - 1)" = 2F(x) + C ; funkcija už funkciją 2 - 3 yra savavališka konstanta. Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas.Štai kodėl) = 2X SU tam tikru intervalu, jei visiems 2 - 3)" = 2 Pavyzdžiui.; Funkcija už funkciją 2 + SU , Kur F"(x) = (x F(x) = x Paveiksle pavaizduotas kokios nors funkcijos y=f(x) grafikas.Štai kodėl) = 2X . ◄

yra funkcijos antidarinys

1. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , nes yra funkcijos antidarinys x = f(x) bet kokia funkcija - savavališka konstanta, ir tik tokia funkcija yra funkcijos antidarinys Antidarinių skaičiavimo taisyklės F(x) - antidarinis skirtas f(x) , A G(x) .
2. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , nes - antidarinis skirtas g(x) , Tai g(x) · F"(x) = (x 2 + - antidarinis skirtas g(x) · F(x) + G(x) , A - antidarinis skirtas .
3. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , nes - antidarinis skirtas g(x),f(x) + g(x). Kitaip tariant, sumos antidarinė lygi antidarinių sumai 0 Antidarinių skaičiavimo taisyklės 1 / , Ir k- tada nuolat f(x) pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo ) - antidarinis skirtas b(g(x) - pastovus ir k ≠) .

k

Neapibrėžtas integralas nuo funkcijos , nes vadinama išraiška , nes, tai yra visų tam tikros funkcijos antidarinių aibė F(x) + G(x) . Neapibrėžtas integralas žymimas taip:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- jie skambina integrand funkcija ;

f(x)dx- jie skambina integrandas ;

Štai kodėl - jie skambina integracijos kintamasis ;

F"(x) = (x 2 + - viena iš primityvių funkcijų , nes ;

F"(x) = (x x = f(x).

Pavyzdžiui, ∫ 2 x dx =X 2 + SU , ∫ cosx dx = nuodėmė X + SU ir taip toliau. ◄

Žodis „integralus“ kilęs iš lotyniško žodžio sveikasis skaičius , o tai reiškia „atkurta“. Atsižvelgiant į neapibrėžtą integralą 2 Štai kodėl, atrodo, kad atkuriame funkciją X 2 , kurio išvestinė lygi 2 Štai kodėl. Funkcijos atkūrimas iš jos išvestinės arba, kas yra tas pats, neapibrėžto integralo radimas per duotąjį integrandą vadinamas integracija šią funkciją. Integravimas – tai atvirkštinė diferenciacijos operacija Norint patikrinti, ar integracija atlikta teisingai, pakanka diferencijuoti rezultatą ir gauti integrandą.

Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės

1. Neapibrėžto integralo išvestinė lygi integrandui:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. Integralo pastovųjį koeficientą galima išimti iš integralo ženklo:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. Funkcijų sumos (skirtumo) integralas lygi sumaišių funkcijų integralų (skirtumai):

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. F"( g(x),f(x) + g(x). Kitaip tariant, sumos antidarinė lygi antidarinių sumai 0 , Tai

∫ f ( g(x) - pastovus ir k ≠) dx = 1 / , Ir k- tada nuolat f(x) pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo ) + C .

Antidarinių ir neapibrėžtųjų integralų lentelė

	F(x) + G(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
aš.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Šioje lentelėje pateikti antidariniai ir neapibrėžtieji integralai paprastai vadinami lentelės antiderivatai Ir lentelės integralai .

Apibrėžtasis integralas

Įsileiskite tarp [a; b] pateikiama nuolatinė funkcija y = f(x) , Tada apibrėžtasis integralas nuo a iki b funkcijas F(x) + G(x) vadinamas antidarinio prieaugiu F"(x) = (x 2 + ši funkcija, tai yra

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Skaičiai a Ir pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo atitinkamai vadinami žemesnė Ir viršuje integracijos ribos.

Pagrindinės apibrėžtojo integralo skaičiavimo taisyklės

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kur g(x) - pastovus;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kur , nes — tolygi funkcija;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kur F(x) + G(x) yra nelyginė funkcija.

komentuoti . Visais atvejais daroma prielaida, kad integrandai yra integruojami skaitiniais intervalais, kurių ribos yra integravimo ribos.

Geometrinė ir fizinė apibrėžtojo integralo reikšmė

Geometrinė reikšmė apibrėžtasis integralas	Fizinė prasmė apibrėžtasis integralas
Kvadratas S kreivinė trapecija (skaičius, apribotas nuolatinio teigiamo intervalo grafiku [a; b] funkcijas F(x) + G(x) , ašis Jautis ir tiesiai x=a , x=b ) apskaičiuojamas pagal formulę $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Kelias s, kurį materialusis taškas įveikė, judėdamas tiesia linija greičiu, kintančiu pagal dėsnį v(t) , tam tikrą laiką a ; b], tada figūros plotas, apribotas šių funkcijų grafikais ir tiesiomis linijomis x = a , x = b , apskaičiuotas pagal formulę $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Pavyzdžiui. Apskaičiuokime figūros, apribotos linijomis, plotą y = x 2 Ir y = 2-x . Schematiškai pavaizduokime šių funkcijų grafikus ir kita spalva paryškinkime figūrą, kurios sritį reikia rasti. Norėdami rasti integracijos ribas, išsprendžiame lygtį: Štai kodėl 2 = 2-x ; Štai kodėl 2 + x- 2 = 0 ; Štai kodėl 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Revoliucijos kūno tūris

	Jei dėl sukimosi apie ašį gaunamas kūnas Jautis kreivinė trapecija, apribota ištisiniu ir neneigiamu intervalo grafiku [a; b] funkcijas y = f(x) ir tiesiai x = a Ir x = b , tada jis vadinamas sukimosi kūnas . Sukimosi kūno tūris apskaičiuojamas pagal formulę $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Jei apsisukimų kūnas gaunamas sukant figūrą, kurią virš ir apriboja funkcijų grafikai y = f(x) Ir y = g(x) , atitinkamai, tada $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Pavyzdžiui. Apskaičiuokime kūgio tūrį spinduliu r ir aukščio h . Padėkime kūgį ties stačiakampė sistema koordinuoja taip, kad jo ašis sutaptų su ašimi Jautis , o bazės centras buvo ištakoje. Generatoriaus sukimasis AB apibrėžia kūgį. Kadangi lygtis AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
o mūsų turimam kūgio tūriui $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄