Vidutinės statistikos reikšmės vaidina svarbų vaidmenį, nes... jie leidžia gauti bendrą analizuojamo reiškinio charakteristiką. Dažniausias vidurkis, žinoma, yra . Jis atsiranda, kai agreguojantis rodiklis sudaromas naudojant elementų sumą. Pavyzdžiui, kelių obuolių masė, visos pajamos už kiekvieną pardavimo dieną ir kt. Tačiau taip nutinka ne visada. Kartais suvestinis rodiklis susidaro ne dėl sumavimo, o dėl kitų matematinių operacijų.
Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. Mėnesinė infliacija – tai vieno mėnesio kainų lygio pokytis, palyginti su praėjusiu mėnesiu. Jei žinomi kiekvieno mėnesio infliacijos lygiai, kaip gauti metinę vertę? Statistiniu požiūriu tai yra grandininis indeksas, todėl teisingas atsakymas: padauginus mėnesinius infliacijos rodiklius. Tai yra, bendras infliacijos lygis yra ne suma, o produktas. Kaip sužinoti vidutinę mėnesio infliaciją, jei yra metinė vertė? Ne, ne dalyti iš 12, o paimti 12 šaknį (laipsnis priklauso nuo faktorių skaičiaus). Paprastai geometrinis vidurkis apskaičiuojamas pagal formulę:
Tai yra, tai yra pradinių duomenų sandaugos šaknis, kur laipsnį lemia veiksnių skaičius. Pavyzdžiui, dviejų skaičių geometrinis vidurkis yra kvadratinė šaknis iš savo darbų
iš trijų skaičių – gaminio kubo šaknis
ir tt
Jei kiekvienas pradinis skaičius bus pakeistas jų geometriniu vidurkiu, produktas duos tą patį rezultatą.
Norėdami geriau suprasti, kas yra geometrinis vidurkis ir kuo jis skiriasi nuo aritmetinio vidurkio, apsvarstykite toliau pateiktą paveikslą. Apskritime yra įbrėžtas stačiakampis trikampis.
Iš stačiu kampu mediana praleista a(iki hipotenuzės vidurio). Taip pat stačiu kampu aukštis nuleidžiamas b, kuris yra taške P padalija hipotenuzą į dvi dalis m Ir n. Nes Hipotenuzė yra apibrėžto apskritimo skersmuo, o mediana yra spindulys, tada akivaizdu, kad medianos ilgis a yra aritmetinis vidurkis m Ir n.
Paskaičiuokime, koks aukštis b. Dėl trikampių panašumo GKŠP Ir BCP lygybė yra tiesa
Tai yra, stačiojo trikampio aukštis yra segmentų, į kuriuos jis padalija hipotenuzę, geometrinis vidurkis. Toks aiškus skirtumas.
Programoje MS Excel geometrinį vidurkį galima rasti naudojant funkciją SRGEOM.
Viskas labai paprasta: iškvieskite funkciją, nurodykite diapazoną ir viskas.
Praktikoje šis rodiklis nenaudojamas taip dažnai, kaip aritmetinis vidurkis, bet vis tiek pasitaiko. Pavyzdžiui, yra tai žmogaus raidos indeksas, kuris naudojamas lyginant gyvenimo lygį skirtingos šalys. Jis apskaičiuojamas kaip kelių indeksų geometrinis vidurkis.
Yra ir kitų vidutinių verčių. Apie juos kitą kartą.
Aritmetinio vidurkio ir geometrinio vidurkio tema įtraukta į 6-7 klasių matematikos programą. Kadangi pastraipą gana lengva suprasti, ji greitai baigiama ir baigiama mokslo metus moksleiviai jį pamiršta. Tačiau tam reikalingos pagrindinės statistikos žinios išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, taip pat tarptautiniams SAT egzaminams. Taip ir už kasdienybė išvystyta analitinis mąstymas niekada neskauda.
Kaip apskaičiuoti skaičių aritmetinį ir geometrinį vidurkį
Tarkime, kad yra skaičių eilutė: 11, 4 ir 3. Aritmetinis vidurkis yra visų skaičių suma, padalyta iš pateiktų skaičių. Tai yra, skaičių 11, 4, 3 atveju atsakymas bus 6. Kaip gauti 6?
Sprendimas: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Vardiklyje turi būti skaičius, lygus skaičių, kurių vidurkį reikia rasti, skaičiui. Suma dalijasi iš 3, nes yra trys nariai.
Dabar turime išsiaiškinti geometrinį vidurkį. Tarkime, kad yra skaičių serija: 4, 2 ir 8.
Skaičių geometrinis vidurkis yra visų pateiktų skaičių sandauga, esanti po šaknimi, kurios galia lygi nurodytų skaičių skaičiui. Tai reiškia, kad skaičių 4, 2 ir 8 atveju atsakymas bus 4. Štai kaip. paaiškėjo:
Sprendimas: ∛(4 × 2 × 8) = 4
Abiejuose variantuose gavome ištisus atsakymus, nes pavyzdžiui buvo paimti specialūs skaičiai. Taip nutinka ne visada. Daugeliu atvejų atsakymas turi būti suapvalintas arba paliktas šaknyje. Pavyzdžiui, skaičių 11, 7 ir 20 aritmetinis vidurkis yra ≈ 12,67, o geometrinis vidurkis yra ∛1540. O į skaičius 6 ir 5 atsakymai bus atitinkamai 5,5 ir √30.
Ar gali atsitikti taip, kad aritmetinis vidurkis taps lygus geometriniam vidurkiui?
Žinoma, kad gali. Bet tik dviem atvejais. Jei yra skaičių serija, susidedanti tik iš vienetų arba nulių. Taip pat pažymėtina, kad atsakymas nepriklauso nuo jų skaičiaus.
Įrodymas su vienetais: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetinis vidurkis).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinis vidurkis).
Įrodymas su nuliais: (0 + 0) / 2=0 (aritmetinis vidurkis).
√(0 × 0) = 0 (geometrinis vidurkis).
Kito varianto nėra ir negali būti.
Taikomas geometrinis vidurkis tais atvejais, kai individualios charakteristikos reikšmės reiškia santykines dinamikos reikšmes, sudarytas grandininių verčių pavidalu, kaip santykį su ankstesniu kiekvieno lygio dinamikos serijoje lygiu, t.y. vidutinis koeficientas augimas.
Modumas ir mediana labai dažnai skaičiuojami statistikos uždaviniuose ir yra papildomos prie vidutinių populiacijos charakteristikų ir naudojami matematinėje statistikoje analizuojant skirstinių eilučių tipą, kuris gali būti normalus, asimetrinis, simetriškas ir kt.
Kaip ir mediana, apskaičiuojamos charakteristikos, dalijančios populiaciją į keturias lygias dalis, reikšmės - kvarteliai, į penkias dalis - kvinteliai, į dešimt lygių dalių - lėtėja, į šimtą lygių dalių - procenteliai. Nagrinėjamų charakteristikų pasiskirstymas statistikoje analizuojant variacijų eilutes leidžia išsamiau ir išsamiau apibūdinti tiriamą populiaciją.
Jis pasimeta skaičiuojant vidurkį.
Vidutinis prasmė skaičių aibė yra lygi skaičių S sumai, padalytai iš šių skaičių. Tai yra, pasirodo, kad vidutinis prasmė lygu: 19/4 = 4,75.
Atkreipkite dėmesį
Jei jums reikia rasti tik dviejų skaičių geometrinį vidurkį, jums nereikia inžinerinio skaičiuotuvo: galite išgauti antrąją šaknį (kvadratinę šaknį) iš bet kurio skaičiaus naudodami įprastą skaičiuotuvą.
Skirtingai nuo aritmetinio vidurkio, geometrinį vidurkį ne taip stipriai veikia dideli atskirų verčių nukrypimai ir svyravimai tiriamų rodiklių rinkinyje.
Šaltiniai:
- Internetinis skaičiuotuvas, apskaičiuojantis geometrinį vidurkį
- geometrinio vidurkio formulė
Vidutinis reikšmė yra viena iš skaičių aibės savybių. Reiškia skaičių, kuris negali būti už diapazono, apibrėžto didžiausiomis ir mažiausiomis tos skaičių rinkinio reikšmėmis. Vidutinis aritmetinė reikšmė yra dažniausiai naudojamas vidurkio tipas.
Instrukcijos
Sudėkite visus aibės skaičius ir padalykite juos iš terminų skaičiaus, kad gautumėte aritmetinį vidurkį. Atsižvelgiant į konkrečias skaičiavimo sąlygas, kartais lengviau kiekvieną skaičių padalyti iš rinkinio verčių skaičiaus ir susumuoti rezultatą.
Naudokite, pavyzdžiui, įtrauktą į "Windows" OS, jei neįmanoma apskaičiuoti aritmetinio vidurkio. Jį galite atidaryti naudodami programos paleidimo dialogo langą. Norėdami tai padaryti, paspauskite sparčiuosius klavišus WIN + R arba spustelėkite mygtuką Pradėti ir pagrindiniame meniu pasirinkite Vykdyti. Tada įvesties lauke įveskite calc ir paspauskite Enter arba spustelėkite mygtuką Gerai. Tą patį galima padaryti per pagrindinį meniu - atidarykite jį, eikite į skyrių „Visos programos“, skiltyje „Standartinis“ ir pasirinkite eilutę „Skaičiuoklė“.
Įveskite visus rinkinyje esančius skaičius paeiliui, po kiekvieno iš jų paspausdami pliuso klavišą (išskyrus paskutinį) arba spustelėdami atitinkamą mygtuką skaičiuoklės sąsajoje. Skaičius taip pat galite įvesti naudodami klaviatūrą arba spustelėdami atitinkamus sąsajos mygtukus.
Įvedę paskutinę nustatytą reikšmę, paspauskite pasvirojo brūkšnio klavišą arba spustelėkite jį skaičiuotuvo sąsajoje ir įveskite skaičių skaičių sekoje. Tada paspauskite lygybės ženklą ir skaičiuotuvas apskaičiuos ir parodys aritmetinį vidurkį.
Tam pačiam tikslui galite naudoti „Microsoft Excel“ skaičiuoklių rengyklę. Tokiu atveju paleiskite redaktorių ir gretimuose langeliuose įveskite visas skaičių sekos reikšmes. Jei įvedę kiekvieną skaičių paspausite Enter arba rodyklės žemyn arba dešinėn klavišą, redaktorius pats perkels įvesties židinį į gretimą langelį.
Spustelėkite langelį šalia paskutinio įvesto skaičiaus, jei nenorite matyti tik vidurkio. Išplėskite Graikijos sigmos (Σ) išskleidžiamąjį meniu skirtuke Pagrindinis skirtuko Redaguoti komandas. Pasirinkite eilutę " Vidutinis“ ir redaktorius į pasirinktą langelį įterps norimą aritmetinio vidurkio skaičiavimo formulę. Paspauskite Enter klavišą ir vertė bus apskaičiuota.
Aritmetinis vidurkis yra vienas iš centrinės tendencijos matų, plačiai naudojamas matematikoje ir statistiniuose skaičiavimuose. Rasti kelių verčių aritmetinį vidurkį yra labai paprasta, tačiau kiekviena užduotis turi savo niuansų, kuriuos tiesiog būtina žinoti norint atlikti teisingus skaičiavimus.
Kas yra aritmetinis vidurkis
Aritmetinis vidurkis nustato vidutinę viso pradinio skaičių masyvo reikšmę. Kitaip tariant, iš tam tikros skaičių aibės parenkama visiems elementams bendra reikšmė, kurios matematinis palyginimas su visais elementais yra maždaug vienodas. Aritmetinis vidurkis pirmiausia naudojamas rengiant finansines ir statistines ataskaitas arba skaičiuojant panašių eksperimentų rezultatus.Kaip rasti aritmetinį vidurkį
Ieškokite vidurkio aritmetinis skaičius skaičių masyve turėtumėte pradėti nustatydami šių reikšmių algebrinę sumą. Pavyzdžiui, jei masyve yra skaičiai 23, 43, 10, 74 ir 34, tai jų algebrinė suma bus lygi 184. Rašant aritmetinis vidurkis žymimas raide μ (mu) arba x (x su a) baras). Tada algebrinė suma turėtų būti padalinta iš skaičių masyve. Nagrinėjamame pavyzdyje buvo penki skaičiai, todėl aritmetinis vidurkis bus lygus 184/5 ir bus 36,8.Darbo su neigiamais skaičiais ypatybės
Jei masyve yra neigiami skaičiai, tada aritmetinis vidurkis randamas naudojant panašų algoritmą. Skirtumas egzistuoja tik skaičiuojant programavimo aplinkoje arba jei problema turi papildomų sąlygų. Šiais atvejais surandant skaičių aritmetinį vidurkį su skirtingi ženklai susideda iš trijų žingsnių:1. Bendrojo aritmetinio vidurkio radimas standartiniu metodu;
2. Neigiamų skaičių aritmetinio vidurkio radimas.
3. Teigiamų skaičių aritmetinio vidurkio apskaičiavimas.
Kiekvieno veiksmo atsakymai rašomi atskiriant kableliais.
Natūraliosios ir dešimtainės trupmenos
Jei pateikiamas skaičių masyvas po kablelio, sprendimas atliekamas naudojant sveikųjų skaičių aritmetinio vidurkio apskaičiavimo metodą, tačiau rezultatas sumažinamas pagal uždavinio reikalavimus atsakymo tikslumui.Dirbant su natūraliomis frakcijomis, jas reikia sumažinti iki bendras vardiklis, kuris padauginamas iš skaičių masyve. Atsakymo skaitiklis bus duotųjų pradinių trupmeninių elementų skaitiklių suma.
- Inžinerinis skaičiuotuvas.
Instrukcijos
Turėkite omenyje, kad apskritai vidutinis geometriniai skaičiai randamas padauginus šiuos skaičius ir paėmus iš jų skaičių skaičių atitinkančios laipsnio šaknį. Pavyzdžiui, jei jums reikia rasti penkių skaičių geometrinį vidurkį, tada iš sandaugos turėsite išgauti galios šaknį.
Norėdami rasti dviejų skaičių geometrinį vidurkį, naudokite pagrindinę taisyklę. Raskite jų sandaugą, tada paimkite iš jo kvadratinę šaknį, nes skaičius yra du, o tai atitinka šaknies galią. Pavyzdžiui, norėdami rasti skaičių 16 ir 4 geometrinį vidurkį, raskite jų sandaugą 16 4=64. Iš gauto skaičiaus išimkite kvadratinę šaknį √64=8. Tai bus norima vertė. Atkreipkite dėmesį, kad šių dviejų skaičių aritmetinis vidurkis yra didesnis ir lygus 10. Jei neišskiriama visa šaknis, suapvalinkite rezultatą iki norimos eilės.
Norėdami rasti daugiau nei dviejų skaičių geometrinį vidurkį, taip pat naudokite pagrindinę taisyklę. Norėdami tai padaryti, raskite visų skaičių sandaugą, kurių geometrinį vidurkį reikia rasti. Iš gautos sandaugos ištraukite laipsnio šaknį, lygią skaičių skaičiui. Pavyzdžiui, norėdami rasti skaičių 2, 4 ir 64 geometrinį vidurkį, raskite jų sandaugą. 2 4 64=512. Kadangi reikia rasti trijų skaičių geometrinio vidurkio rezultatą, paimkite trečiąją sandaugos šaknį. Sunku tai padaryti žodžiu, todėl naudokite inžinerinį skaičiuotuvą. Šiuo tikslu jame yra mygtukas "x^y". Surinkite numerį 512, paspauskite mygtuką "x^y", tada surinkite numerį 3 ir paspauskite mygtuką "1/x", norėdami rasti 1/3 reikšmę, paspauskite mygtuką "=". Gauname rezultatą padidinę 512 iki 1/3 laipsnio, kuris atitinka trečiąją šaknį. Gaukite 512^1/3=8. Tai yra geometrinis skaičių 2,4 ir 64 vidurkis.
Naudodami inžinerinį skaičiuotuvą galite rasti geometrinį vidurkį kitu būdu. Klaviatūroje raskite žurnalo mygtuką. Po to paimkite kiekvieno skaičiaus logaritmą, suraskite jų sumą ir padalykite ją iš skaičių. Iš gauto skaičiaus paimkite antilogaritmą. Tai bus geometrinis skaičių vidurkis. Pavyzdžiui, norėdami rasti tų pačių skaičių 2, 4 ir 64 geometrinį vidurkį, atlikite operacijų rinkinį skaičiuotuvu. Surinkite numerį 2, tada paspauskite žurnalo mygtuką, paspauskite mygtuką "+", surinkite numerį 4 ir dar kartą paspauskite log ir "+", surinkite 64, paspauskite žurnalą ir "=". Rezultatas bus skaičius lygi sumai skaičių 2, 4 ir 64 dešimtainiai logaritmai. Gautą skaičių padalinkite iš 3, nes tai yra skaičių, kurių geometrinio vidurkio ieškoma, skaičius. Iš rezultato paimkite antilogaritmą perjungdami didžiosios ir mažosios raidės mygtuką ir naudokite tą patį žurnalo klavišą. Rezultatas bus skaičius 8, tai yra norimas geometrinis vidurkis.
Skirtingai nuo aritmetinio vidurkio, geometrinis vidurkis leidžia įvertinti kintamojo pokyčio laipsnį laikui bėgant. Geometrinis vidurkis yra n reikšmių sandaugos n-oji šaknis (Excel programoje naudojama =SRGEOM funkcija):
G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Panašus parametras - pelno normos geometrinė vidutinė vertė - nustatoma pagal formulę:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,
kur R i yra pelno norma i-tas laikotarpis laiko.
Pavyzdžiui, tarkime, kad pradinė investicija yra 100 000 USD -metų laikotarpis lygus 0, nes pradinė ir galutinė lėšų sumos yra lygios viena kitai. Tačiau metinių grąžos normų aritmetinis vidurkis yra = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 arba 25%, nes pirmųjų metų grąžos norma R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 , o antrajame R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Tuo pačiu metu dviejų metų pelno normos geometrinis vidurkis yra lygus: G = [(1-0,5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Taigi geometrinis vidurkis tiksliau atspindi investicijų apimties pokytį (tiksliau, pokyčių nebuvimą) per dvejų metų laikotarpį nei aritmetinis vidurkis.
Įdomūs faktai. Pirma, geometrinis vidurkis visada bus mažesnis už tų pačių skaičių aritmetinį vidurkį. Išskyrus atvejį, kai visi paimti skaičiai yra lygūs vienas kitam. Antra, atsižvelgdami į stačiojo trikampio savybes, galite suprasti, kodėl vidurkis vadinamas geometriniu. Stačiakampio trikampio aukštis, nuleistas iki hipotenuzės, yra vidurkis, proporcingas tarp kojų projekcijų į hipotenuzą, o kiekviena kojelė yra proporcinga tarp hipotenuzės ir jos projekcijos į hipotenuzą. Tai suteikia geometrinį būdą sudaryti dviejų (ilgių) atkarpų geometrinį vidurkį: reikia sukonstruoti apskritimą iš šių dviejų atkarpų sumos kaip skersmens, tada atkuriamas aukštis nuo jų sujungimo taško iki sankirtos su apskritimu. duos norimą vertę:
Ryžiai. 4.
Antra svarbus turtas skaitiniai duomenys – jų kitimas, apibūdinantis duomenų sklaidos laipsnį. Dvi skirtingos imtys gali skirtis tiek vidurkiais, tiek dispersijomis.
Yra penki duomenų kitimo įverčiai:
tarpkvartilis diapazonas,
dispersija,
standartinis nuokrypis,
variacijos koeficientas.
Diapazonas yra skirtumas tarp didžiausio ir mažiausio imties elementų:
Diapazonas = X Max – X Min
Imties diapazonas, kuriame yra duomenys apie 15 investicinių fondų vidutinę metinę grąžą su labai aukšto lygio riziką galima apskaičiuoti naudojant sutvarkytą masyvą: Diapazonas = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Tai reiškia, kad labai didelės rizikos fondų didžiausios ir mažiausios vidutinės metinės grąžos skirtumas yra 24,6%.
Diapazonas matuoja bendrą duomenų sklaidą. Nors imties diapazonas yra labai paprastas bendro duomenų sklaidos įvertinimas, jo trūkumas yra tas, kad neatsižvelgiama į tai, kaip tiksliai duomenys paskirstomi tarp minimalių ir didžiausių elementų. B skalė parodo, kad jei imtyje yra bent viena kraštutinė reikšmė, imties diapazonas yra labai netikslus duomenų sklaidos įvertinimas.
Įkeliama...
