1 problema. Pateikiamos viršūnių koordinatės trikampis ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Raskite: 1) kraštinės AB ilgį; 2) kraštinių AB ir BC lygtys ir jų kampiniai koeficientai; 3) kampas B radianais dviejų skaitmenų tikslumu; 4) aukščio CD ir jos ilgio lygtis; 5) medianos AE lygtis ir šios medianos susikirtimo su aukščiu CD taško K koordinatės; 6) tiesės, einančios per tašką K, lygiagrečią kraštinei AB, lygtis; 7) taško M koordinatės, esančios simetriškai taškui A tiesės CD atžvilgiu.

Sprendimas:

1. Atstumas d tarp taškų A(x 1 ,y 1) ir B(x 2 ,y 2) nustatomas pagal formulę

Taikydami (1) randame kraštinės AB ilgį:

2. Tiesės, einančios per taškus A(x 1 ,y 1) ir B(x 2 ,y 2), lygtis turi tokią formą

(2)

Pakeitę taškų A ir B koordinates į (2), gauname kraštinės AB lygtį:

Išsprendę paskutinę y lygtį, randame kraštinės AB lygtį tiesios lygties su kampiniu koeficientu forma:

kur

Pakeitę taškų B ir C koordinates į (2), gauname tiesės BC lygtį:

Arba

3. Yra žinoma, kad kampo liestinė tarp dviejų tiesių, kurių kampiniai koeficientai yra atitinkamai lygūs, apskaičiuojama pagal formulę

(3)

Norimą kampą B sudaro tiesės AB ir BC, kurių kampiniai koeficientai randami: Taikant (3) gauname

Arba džiaugiuosi.

4. Einančios tiesės lygtis šį tašką tam tikra kryptimi turi formą

(4)

Aukštis CD yra statmenas kraštinei AB. Norėdami rasti aukščio CD nuolydį, naudojame linijų statmenumo sąlygą. Nuo tada Pakeitę į (4) taško C koordinates ir rastą kampinį aukščio koeficientą, gauname

Norėdami rasti aukščio CD ilgį, pirmiausia nustatome taško D koordinates - tiesių AB ir CD susikirtimo tašką. Sistemos sprendimas kartu:

randame tie. D(8;0).

Naudodami (1) formulę randame aukščio CD ilgį:

5. Norėdami rasti medianos AE lygtį, pirmiausia nustatome taško E, kuris yra kraštinės BC vidurys, koordinates, naudodami atkarpos padalijimo į dvi lygias dalis formules:

(5)

Vadinasi,

Pakeitę taškų A ir E koordinates į (2), randame medianos lygtį:

Norėdami rasti aukščio CD ir medianos AE susikirtimo taško koordinates, kartu sprendžiame lygčių sistemą

Mes randame.

6. Kadangi norima tiesė lygiagreti kraštinei AB, jos kampinis koeficientas bus lygus tiesės AB kampiniam koeficientui. Pakeisdami į (4) rasto taško K koordinates ir kampo koeficientą gauname

3x + 4m – 49 = 0 (KF)

7. Kadangi tiesė AB yra statmena tiesei CD, tai norimas taškas M, esantis simetriškai taškui A tiesės CD atžvilgiu, yra tiesėje AB. Be to, taškas D yra atkarpos AM vidurio taškas. Naudodami (5) formules randame norimo taško M koordinates:

Trikampis ABC, aukštis CD, mediana AE, tiesė KF ir taškas M yra sukonstruoti xOy koordinačių sistemoje Fig. 1.

2 užduotis. Sukurkite lygtį taškų, kurių atstumai iki tam tikro taško A(4; 0) ir nurodytos tiesės x=1 yra lygūs 2.

Sprendimas:

xOy koordinačių sistemoje sukonstruojame tašką A(4;0) ir tiesę x = 1. Tegul M(x;y) yra savavališkas norimos geometrinės taškų vietos taškas. Nuleiskime statmeną MB iki duotosios tiesės x = 1 ir nustatykime taško B koordinates. Kadangi taškas B yra ant duotosios tiesės, jo abscisė lygi 1. Taško B ordinatė lygi taško M ordinatei. Todėl B(1;y) (2 pav.).

Pagal uždavinio sąlygas |MA|: |MV| = 2. Atstumai |MA| ir |MB| iš 1 uždavinio formulės (1) randame:

Kairę ir dešinę puses kvadratu gauname

arba

Gauta lygtis yra hiperbolė, kurios tikroji pusašis yra a = 2, o jos įsivaizduojama pusašis yra

Apibrėžkime hiperbolės židinius. Dėl hiperbolės lygybė tenkinama ir – hiperboliniai triukai. Kaip matote, duotasis taškas A(4;0) yra dešinysis hiperbolės židinys.

Nustatykime gautos hiperbolės ekscentriškumą:

Hiperbolės asimptotų lygtys turi formą ir . Todėl arba ir yra hiperbolės asimptotai. Prieš sudarydami hiperbolę, sukonstruojame jos asimptotes.

3 problema. Sukurkite lygtį taškų, esančių vienodu atstumu nuo taško A(4; 3) ir tiesės y = 1, lokuso. Sumažinkite gautą lygtį iki jos paprasčiausios formos.

Sprendimas: Tegu M(x; y) yra vienas iš norimos geometrinės taškų lokuso taškų. Numeskime statmeną MB iš taško M į šią tiesę y = 1 (3 pav.). Nustatykime taško B koordinates. Akivaizdu, kad taško B abscisė lygi taško M abscisei, o taško B ordinatė lygi 1, ty B(x; 1). Pagal uždavinio sąlygas |MA|=|MV|. Vadinasi, bet kuriam taškui M(x;y), priklausančiam norimam geometriniam taškų lokusui, yra teisinga ši lygybė:

Gauta lygtis apibrėžia parabolę su viršūne taške. Kad parabolės lygtis būtų paprasčiausia, nustatykime ir y + 2 = Y, tada parabolės lygtis įgauna tokią formą:

Kaip išmokti spręsti analitinės geometrijos uždavinius?
Tipinė trikampio problema plokštumoje

Ši pamoka sukurta apie artėjimą prie pusiaujo tarp plokštumos geometrijos ir erdvės geometrijos. Šiuo metu reikia susisteminti sukauptą informaciją ir labai atsakyti svarbus klausimas: kaip išmokti spręsti analitinės geometrijos uždavinius? Sunkumas yra tas, kad galite sugalvoti begalę geometrijos uždavinių ir jokiame vadovėlyje nebus daugybė ir įvairių pavyzdžių. Tai ne funkcijos išvestinė su penkiomis diferenciacijos taisyklėmis, lentele ir keliomis technikomis...

Yra sprendimas! Garsiai nekalbėsiu apie tai, kad sukūriau kažkokią grandiozinę techniką, tačiau, mano nuomone, yra efektyvus požiūris į nagrinėjamą problemą, leidžiantis net su visu arbatinuku pasiekti gerų ir puikių rezultatų. Bent jau bendras sprendimo algoritmas geometrinės problemos labai aiškiai susiformavo mano galvoje.

KĄ TURITE ŽINOTI IR GEBĖTI DARYTI
sėkmingai išspręsti geometrijos uždavinius?

Nuo to niekur nepabėgsi – kad nereikėtų atsitiktinai kišti nosimi mygtukų, reikia įvaldyti analitinės geometrijos pagrindus. Todėl, jei ką tik pradėjote mokytis geometrijos arba visiškai ją pamiršote, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai. Be vektorių ir veiksmų su jais, jūs turite žinoti pagrindinės sąvokos plokštumos geometrija, ypač tiesės lygtis plokštumoje Ir . Erdvės geometrija pateikiama straipsniuose Plokštumos lygtis, Tiesės lygtys erdvėje, Pagrindinės tiesės ir plokštumos problemos bei kai kurios kitos pamokos. Lenktos linijos ir erdviniai paviršiai antros eilės kažkiek išsiskiria, o specifinių užduočių su jais nėra tiek daug.

Tarkime, kad studentas jau turi pagrindinių žinių ir įgūdžių sprendžiant paprasčiausius analitinės geometrijos uždavinius. Bet atsitinka taip: perskaitai problemos teiginį ir... nori viską uždaryti, mesti į tolimiausią kampą ir pamiršti, kaip košmaras. Be to, tai iš esmės nepriklauso nuo jūsų kvalifikacijos lygio, aš pats retkarčiais susiduriu su užduotimis, kurių sprendimas nėra akivaizdus. Ką daryti tokiais atvejais? Nereikia bijoti užduoties, kurios nesuprantate!

Pirmiausia, turėtų būti įdiegta - Ar tai „plokščia“ ar erdvinė problema? Pavyzdžiui, jei sąlyga apima vektorius su dviem koordinatėmis, tada, žinoma, tai yra plokštumos geometrija. O jei mokytojas dėkingam klausytojui užkrovė piramidę, tai aiškiai matosi erdvės geometrija. Pirmojo žingsnio rezultatai jau gana geri, nes mums pavyko atpjauti didžiulį šiai užduočiai nereikalingos informacijos kiekį!

Antra. Sąlyga paprastai bus susijusi su kokia nors geometrine figūra. Iš tiesų, eikite savo gimtojo universiteto koridoriais ir pamatysite daug susirūpinusių veidų.

„Plokščiuose“ uždaviniuose, jau nekalbant apie akivaizdžius taškus ir linijas, populiariausia figūra yra trikampis. Mes jį išanalizuosime labai išsamiai. Toliau seka lygiagretainis, o daug rečiau pasitaiko stačiakampio, kvadrato, rombo, apskritimo ir kitos formos.

Atliekant erdvines užduotis gali skristi tie patys plokščios figūros+ pačios plokštumos ir įprastos trikampės piramidės su gretasieniais.

Antras klausimas - Ar žinote viską apie šią figūrą? Tarkime, kad sąlyga kalba apie lygiašonį trikampį, o jūs labai miglotai prisimenate, koks tai trikampis. Atsiverčiame mokyklinį vadovėlį ir skaitome apie lygiašonis trikampis. Ką daryti...gydytojas pasakė rombas, vadinasi, rombas. Analitinė geometrija yra analitinė geometrija, bet problemą išspręs pačių figūrų geometrinės savybės, mums žinoma iš mokyklos programos. Jei nežinote, kokia yra trikampio kampų suma, galite ilgai kentėti.

Trečia. VISADA stenkitės vadovautis piešiniu(ant juodraščio / užbaigimo kopijos / mintyse), net jei to nereikalauja sąlyga. Esant „plokščiams“ problemoms, pats Euklidas liepė pasiimti liniuotę ir pieštuką - ir ne tik norėdamas suprasti būklę, bet ir savęs patikrinimo tikslu. Šiuo atveju patogiausia skalė yra 1 vienetas = 1 cm (2 bloknoto langeliai). Nekalbėkime apie neatsargius mokinius ir kapuose besisukančius matematikus – tokiuose uždaviniuose suklysti beveik neįmanoma. Erdvinėms užduotims atliekame scheminį brėžinį, kuris taip pat padės išanalizuoti būklę.

Piešimas arba schematinis brėžinys dažnai leidžia iš karto pamatyti kelią į problemos sprendimą. Žinoma, tam reikia žinoti geometrijos pagrindus ir suprasti geometrinių formų savybes (žr. ankstesnę pastraipą).

Ketvirta. Sprendimo algoritmo kūrimas. Daugelis geometrijos uždavinių yra daugiapakopiai, todėl sprendimą ir jo dizainą labai patogu skaidyti į taškus. Dažnai algoritmas iškart ateina į galvą perskaičius sąlygą arba užbaigus piešinį. Iškilus sunkumams pradedame nuo užduoties KLAUSIMO. Pavyzdžiui, pagal sąlygą „reikia nutiesti tiesią liniją...“. Čia logiškiausias klausimas yra: „Ką pakanka žinoti, kad būtų sukurta ši tiesi linija? Tarkime, „mes žinome tašką, turime žinoti krypties vektorių“. Užduodame tokį klausimą: „Kaip rasti šį krypties vektorių? kur?" ir tt

Kartais yra „klaida“ - problema neišspręsta ir viskas. Sustojimo priežastys gali būti šios:

– Didelis pagrindinių žinių trūkumas. Kitaip tariant, jūs nežinote ir/arba nematote kažkokio labai paprasto dalyko.

– Geometrinių figūrų savybių nežinojimas.

– Užduotis buvo sunki. Taip, pasitaiko. Nėra prasmės valandų valandas garuoti ir rinkti ašaras nosinėje. Klauskite savo mokytojo, kolegų studentų patarimo arba užduokite klausimą forume. Be to, geriau konkretizuoti jo teiginį – apie tą sprendimo dalį, kurios jūs nesuprantate. Šauksmas „Kaip išspręsti problemą? neatrodo labai gerai... ir, svarbiausia, dėl savo reputacijos.

Penktas etapas. Nusprendžiame-patikriname, nusprendžiame-tikriname, nusprendžiame-tikriname-duodame atsakymą. Pravartu patikrinti kiekvieną užduoties tašką iš karto po jo pabaigos. Tai padės nedelsiant pastebėti klaidą. Natūralu, kad niekas nedraudžia greitai išspręsti visos problemos, tačiau kyla rizika viską perrašyti iš naujo (dažnai kelis puslapius).

Tai, ko gero, visi pagrindiniai svarstymai, kuriais reikėtų vadovautis sprendžiant problemas.

Praktinė pamokos dalis pateikiama plokštumos geometrija. Bus tik du pavyzdžiai, bet to nepakaks =)

Peržvelkime algoritmo giją, kurią ką tik pažiūrėjau savo mažame moksliniame darbe:

1 pavyzdys

Duotos trys lygiagretainio viršūnės. Raskite viršūnę.

Pradėkime suprasti:

Pirmas žingsnis: Akivaizdu, kad kalbame apie „plokščią“ problemą.

Antras žingsnis: Problema susijusi su lygiagretainiu. Ar visi prisimena šią lygiagretainio figūrą? Šypsoti nereikia, daugelis išsilavinimą įgyja būdami 30-40-50 ir daugiau metų, todėl net paprasti faktai gali išsitrinti iš atminties. Lygiagretainio apibrėžimas pateiktas pamokos pavyzdyje Nr Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas.

Trečias žingsnis: Padarykime piešinį, kuriame pažymime tris žinomas viršūnes. Smagu, kad nesunku iš karto sukonstruoti norimą tašką:

Jį konstruoti, žinoma, gerai, bet sprendimas turi būti suformuluotas analitiškai.

Ketvirtas žingsnis: Sprendimo algoritmo kūrimas. Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra tai, kad tašką galima rasti kaip linijų sankirtą. Mes nežinome jų lygčių, todėl turėsime išspręsti šią problemą:

1) Priešingos pusės yra lygiagrečios. Pagal taškus Raskime šių pusių krypties vektorių. Tai paprasčiausia užduotis apie kurį buvo kalbama klasėje Manekenų vektoriai.

Pastaba: teisingiau sakyti „tiesės, turinčios kraštinę, lygtis“, bet čia ir toliau trumpumui panaudosiu frazes „kraštinės lygtis“, „kraštinės krypties vektorius“ ir kt.

3) Priešingos pusės yra lygiagrečios. Naudodami taškus randame šių kraštinių krypties vektorių.

4) Sukurkime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

1-2 ir 3-4 pastraipose tą pačią problemą, beje, sprendėme du kartus, apie tai buvo kalbama pamokos pavyzdyje Nr Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje. Buvo galima važiuoti ilgesniu maršrutu - pirmiausia susirasti tiesių lygtis ir tik tada iš jų „ištraukti“ krypties vektorius.

5) Dabar žinomos tiesių lygtys. Belieka sukurti ir išspręsti atitinkamą sistemą tiesines lygtis(žr. tos pačios pamokos pavyzdžius Nr. 4, 5 Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje).

Esmė rasta.

Užduotis gana paprasta ir jos sprendimas akivaizdus, ​​tačiau yra ir trumpesnis kelias!

Antras sprendimas:

Lygiagretainio įstrižainės dalinamos pusiau pagal jų susikirtimo tašką. Pažymėjau tašką, bet kad nebarstytų piešinys, pačių įstrižainių nebraižau.

Sudarykime šoninės lygtį taškas po taško :

Norėdami patikrinti, turėtumėte mintyse arba juodraštyje pakeisti kiekvieno taško koordinates gautoje lygtyje. Dabar suraskime nuolydį. Norėdami tai padaryti, perrašome bendrąją lygtį lygties su nuolydžio koeficientu forma:

Taigi nuolydis yra:

Panašiai randame kraštinių lygtis. Nematau prasmės aprašyti tą patį, todėl iš karto pateiksiu galutinį rezultatą:

2) Raskite kraštinės ilgį. Tai pati paprasčiausia klasėje nagrinėjama problema. Manekenų vektoriai. Už taškus mes naudojame formulę:

Naudojant tą pačią formulę lengva rasti kitų kraštinių ilgius. Patikrinti labai greitai galima naudojant įprastą liniuotę.

Mes naudojame formulę .

Raskime vektorius:

Taigi:

Beje, pakeliui radome ir šonų ilgius.

Dėl to:

Na, atrodo, kad tai tiesa, kad būtų įtikinama, galite pritvirtinti kampą.

Dėmesio! Nepainiokite trikampio kampo su kampu tarp tiesių. Trikampio kampas gali būti bukas, bet kampas tarp tiesių – ne (žr. paskutinę straipsnio pastraipą Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje). Tačiau norėdami rasti trikampio kampą, galite naudoti ir formules iš pirmiau pateiktos pamokos, tačiau šiurkštumas tas, kad tos formulės visada pateikia smailųjį kampą. Su jų pagalba išsprendžiau šią problemą juodraštyje ir gavau rezultatą. Ir ant galutinio egzemplioriaus turėčiau užrašyti papildomų pasiteisinimų, kad .

4) Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį.

Standartinė užduotis, išsamiai aptarta pamokos pavyzdyje Nr.2 Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje. Nuo bendroji lygtis tiesioginis Išimkime kreipiamąjį vektorių. Sukurkime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Kaip sužinoti trikampio aukštį?

5) Sukurkime aukščio lygtį ir raskime jos ilgį.

Nuo griežtų apibrėžimų nepabėgsi, todėl teks vogti iš mokyklinio vadovėlio:

Trikampio aukštis vadinamas statmenu, nubrėžtu iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga kraštinė.

Tai yra, reikia sukurti statmens, nubrėžto iš viršūnės į šoną, lygtį. Ši užduotis aptariama pamokos pavyzdžiuose Nr. 6, 7 Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje. Iš Eq. pašalinti normalų vektorių. Sudarykime aukščio lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Atkreipkite dėmesį, kad mes nežinome taško koordinačių.

Kartais aukščio lygtis randama iš statmenų tiesių kampinių koeficientų santykio: . Tokiu atveju: . Sudarykime aukščio lygtį naudodami tašką ir kampinį koeficientą (žr. pamokos pradžią Tiesės lygtis plokštumoje):

Aukščio ilgį galima rasti dviem būdais.

Yra žiedinis kelias:

a) rasti – aukščio ir kraštinės susikirtimo taškas;
b) Raskite atkarpos ilgį naudodami du žinomus taškus.

Bet klasėje Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje buvo svarstoma patogi atstumo nuo taško iki tiesės formulė. Taškas žinomas: , taip pat žinoma tiesės lygtis: , Taigi:

6) Apskaičiuokite trikampio plotą. Erdvėje trikampio plotas tradiciškai apskaičiuojamas naudojant vektorių sandauga, bet čia mums duotas trikampis plokštumoje. Mes naudojame mokyklos formulę:
– Trikampio plotas lygus pusei jo pagrindo ir aukščio sandaugos.

Šiuo atveju:

Kaip rasti trikampio medianą?

7) Sukurkime medianos lygtį.

Trikampio mediana vadinama atkarpa, jungiančia trikampio viršūnę su priešingos kraštinės viduriu.

a) Raskite tašką – kraštinės vidurį. Mes naudojame atkarpos vidurio taško koordinačių formulės. Žinomos atkarpos galų koordinatės: , tada vidurio koordinates:

Taigi:

Sudarykime medianinę lygtį taškas po taško :

Norėdami patikrinti lygtį, turite į ją pakeisti taškų koordinates.

8) Raskite aukščio ir medianos susikirtimo tašką. Manau, visi jau išmoko, kaip atlikti šį dailiojo čiuožimo elementą nenukritus:

Pratimai. Taškai A (2,1), B (1,-2), C (-1,0) yra trikampio ABC viršūnės.
a) Raskite trikampio ABC kraštinių lygtis.
b) Raskite trikampio ABC vienos iš medianų lygtį.
c) Raskite vieno iš trikampio ABC aukščių lygtį.
d) Raskite vieno iš trikampio ABC pusiausvyros lygtį.
e) Raskite trikampio ABC plotą.

Sprendimas Mes tai darome naudodami skaičiuotuvą.
Pateikiamos trikampio koordinatės: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektorinės koordinatės
Vektorių koordinates randame pagal formulę:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Pavyzdžiui, vektoriui AB

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Vektoriniai moduliai

3) Kampas tarp tiesių
Kampą tarp vektorių a 1 (X 1 ;Y 1), a 2 (X 2 ;Y 2) galima rasti naudojant formulę:

kur a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Raskite kampą tarp kraštinių AB ir AC

γ = arckos(0,6) = 53,13 0
4) Vektorinė projekcija
Vektorinė projekcija bį vektorių a galima rasti naudojant formulę:

Raskime vektoriaus AB projekciją į vektorių AC

5) Trikampio plotas



Sprendimas


Naudodami formulę gauname:

6) Atkarpos padalijimas šiame santykyje
Taško A spindulio vektorius r, dalijantis atkarpą AB santykiu AA:AB = m 1:m 2, nustatomas pagal formulę:

Taško A koordinatės randamos naudojant formules:




Trikampio medianos lygtis
Kraštinės BC vidurį pažymėkime raide M. Tada rasime taško M koordinates pagal atkarpos padalijimo per pusę formules.


M(0;-1)
Vidutinės AM lygtį randame naudodami tiesės, einančios per du, lygties formulę duotus taškus. AM mediana eina per taškus A(2;1) ir M(0;-1), todėl:

arba

arba
y = x -1 arba y -x +1 = 0
7) tiesės lygtis


Tiesės AB lygtis

arba

arba
y = 3x -5 arba y -3x +5 = 0
AC tiesės lygtis

arba

arba
y = 1/3 x + 1/3 arba 3y -x - 1 = 0
Tiesės BC lygtis

arba

arba
y = -x -1 arba y + x +1 = 0
8) Trikampio, nubrėžto iš viršūnės A, aukščio ilgis
Atstumas d nuo taško M 1 (x 1 ;y 1) iki tiesės Ax + By + C = 0 yra lygus absoliučiai dydžio vertei:

Raskite atstumą tarp taško A(2;1) ir tiesės BC (y + x +1 = 0)

9) Aukščio per viršūnę C lygtis
Tiesė, einanti per tašką M 0 (x 0 ;y 0) ir statmena tiesei Ax + By + C = 0, turi krypties vektorių (A;B), todėl yra pavaizduota lygtimis:


Šią lygtį galima rasti ir kitu būdu. Norėdami tai padaryti, suraskime tiesės AB nuolydį k 1.
AB lygtis: y = 3x -5, t.y. k 1 = 3
Iš dviejų tiesių statmenumo sąlygos raskime statmens kampinį koeficientą k: k 1 *k = -1.
Pakeitę šios linijos nuolydį vietoj k 1, gauname:
3k = -1, iš kur k = -1/3
Kadangi statmenas eina per tašką C(-1,0) ir turi k = -1 / 3, ieškosime jo lygties formoje: y-y 0 = k(x-x 0).
Pakeitę x 0 = -1, k = -1 / 3, y 0 = 0, gauname:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
arba
y = -1/3 x - 1/3
Trikampio pusiausvyros lygtis
Raskime kampo A pusiausvyrą. Bisektoriaus su kraštine BC susikirtimo tašką pažymėkime M.
Naudokime formulę:

AB lygtis: y -3x +5 = 0, AC lygtis: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Bisektorius dalija kampą pusiau, todėl kampas NAK ≈ 26,5 0
AB nuolydis lygus 3 (kadangi y -3x +5 = 0). Pasvirimo kampas yra 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 – (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Bisektorius eina per tašką A(2,1), naudojant formulę, gauname:
y - y 0 = k(x - x 0)
y – 1 = 1 (x – 2)
arba
y=x-1
Atsisiųsti

Pavyzdys. Pateiktos trikampio ABC viršūnių koordinatės: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Reikalinga: 1) apskaičiuoti orlaivio borto ilgį; 2) sudaryti lygtį kraštinei BC; 3) rasti vidinis kampas trikampis viršūnėje B; 4) sudaryti aukščio AK lygtį, nubrėžtą iš viršūnės A; 5) rasti vienalyčio trikampio svorio centro koordinates (jo medianų susikirtimo taškus); 6) padaryti brėžinį koordinačių sistemoje.

Pratimai. Pateiktos trikampio ABC viršūnių koordinatės: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Reikalinga:

1. parašykite medianos, nubrėžtos iš viršūnės B, lygtį ir apskaičiuokite jos ilgį.
2. parašykite iš viršūnės A nubrėžto aukščio lygtį ir apskaičiuokite jos ilgį.
3. raskite trikampio ABC vidinio kampo B kosinusą.

Padarykite piešinį.

Atsisiųskite sprendimą

3 pavyzdys. Duotos trikampio viršūnės A(1;1), B(7;4), C(4;5). Raskite: 1) kraštinės AB ilgį; 2) vidinis kampas A radianais 0,001 tikslumu. Padarykite piešinį.
Atsisiųsti

4 pavyzdys. Duotos trikampio viršūnės A(1;1), B(7;4), C(4;5). Raskite: 1) aukščio lygtį, nubrėžtą per viršūnę C; 2) per viršūnę C nubrėžtos medianos lygtis; 3) trikampio aukščių susikirtimo taškas; 4) nuo viršūnės C nuleisto aukščio ilgis. Padarykite brėžinį.
Atsisiųsti

5 pavyzdys. Duotos trikampio ABC viršūnės: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Nustatykite: 1) kraštinės AB ilgį; 2) kraštinių AB ir AC lygtis ir jų kampiniai koeficientai; 3) trikampio plotas.

Vektorių koordinates randame pagal formulę: X = x j - x i ; Y = y j - y i
Čia X,Y koordinatės vektorius; x i, y i - taško A i koordinatės; x j, y j - taško A j koordinatės
Pavyzdžiui, vektoriui AB
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Trikampio kraštinių ilgis
Vektoriaus a(X;Y) ilgis išreiškiamas jo koordinatėmis pagal formulę:


Trikampio plotas
Tegul taškai A 1 (x 1 ; y 1), A 2 (x 2 ; y 2), A 3 (x 3 ; y 3) yra trikampio viršūnės, tada jo plotas išreiškiamas formule:

Dešinėje pusėje yra antros eilės determinantas. Trikampio plotas visada yra teigiamas.
Sprendimas. Paėmę A kaip pirmąją viršūnę, randame:

Naudodami formulę gauname:

Linijos lygtis
Tiesi linija, einanti per taškus A 1 (x 1 ; y 1) ir A 2 (x 2 ; y 2), pavaizduota lygtimis:

Tiesės AB lygtis
Kanoninė linijos lygtis:

arba

arba
y = -3 / 4 x -15 / 4 arba 4 m + 3x +15 = 0
Tiesės AB nuolydis lygus k = -3 / 4
AC tiesės lygtis

arba

arba
y = 13 / 16 x + 65 / 16 arba 16y -13x - 65 = 0
Tiesės AB nuolydis lygus k = 13/16

Pratimai. Pateiktos ABCD piramidės viršūnių koordinatės. Reikalinga:

1. Surašykite vektorius ort sistemoje ir raskite šių vektorių modulius.
2. Raskite kampą tarp vektorių.
3. Raskite vektoriaus projekciją į vektorių.
4. Raskite veido sritį ABC.
5. Raskite piramidės ABCD tūrį.

Sprendimas
1 pavyzdys
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): 2 pavyzdys
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1,-5,2): 3 pavyzdys
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): 4 pavyzdys

Pratimai. Raskite smailųjį kampą tarp tiesių x + y -5 = 0 ir x + 4y - 8 = 0.
Rekomendacijos sprendimui. Problema išspręsta naudojant paslaugą Kampas tarp dviejų tiesių.
Atsakymas: 30,96 o

1 pavyzdys. Pateikiamos taškų A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) koordinatės. Raskite kraštinės A1A2 ilgį. Sukurkite lygtį briaunoms A1A4 ir veidui A1A2A3. Sudarykite aukščio, nuleisto nuo taško A4 iki plokštumos A1A2A3, lygtį. Raskite trikampio A1A2A3 plotą. Raskite trikampės piramidės A1A2A3A4 tūrį.

Vektorių koordinates randame pagal formulę: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
čia X,Y,Z vektoriaus koordinatės; x i, y i, z i - taško A i koordinatės; x j, y j, z j - taško A j koordinatės;
Taigi vektoriui A 1 A 2 jie bus tokie:
X = x 2 - x 1; Y = y2 - y1; Z = z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1; 1; -1)
A 1 A 3 (-2; 2; -2)
A 1 A 4 (-3; -1; -3)
A 2 A 3 (-3; 1; -1)
A 2 A 4 (-4; -2; -2)
A 3 A 4 (-1; -3; -1)
Vektoriaus a(X;Y;Z) ilgis išreiškiamas jo koordinatėmis pagal formulę: