Le equazioni sono identità logaritmica di base. Espressioni logaritmiche

Oggi parleremo di formule logaritmiche e daremo indicativo esempi di soluzioni.

Essi stessi implicano schemi di soluzione secondo le proprietà di base dei logaritmi. Prima di applicare le formule dei logaritmi da risolvere, ricordiamoci di tutte le proprietà:

Ora, sulla base di queste formule (proprietà), mostreremo esempi di risoluzione dei logaritmi.

Esempi di risoluzione di logaritmi basati su formule.

Logaritmo un numero positivo b in base a (indicato con log a b) è un esponente al quale a deve essere elevato per ottenere b, con b > 0, a > 0 e 1.

Secondo la definizione, log a b = x, che equivale a a x = b, quindi log a a x = x.

Logaritmi, esempi:

log 2 8 = 3, perché 23 = 8

log 7 49 = 2, perché 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, perché 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimale- questo è un logaritmo ordinario, la cui base è 10. È indicato come lg.

log 10 100 = 2, perché 10 2 = 100

Logaritmo naturale- anch'esso un logaritmo ordinario, un logaritmo, ma in base e (e = 2,71828... - un numero irrazionale). Indicato come ln.

È consigliabile memorizzare le formule o le proprietà dei logaritmi, perché ne avremo bisogno in seguito per risolvere logaritmi, equazioni logaritmiche e disequazioni. Esaminiamo nuovamente ciascuna formula con esempi.

• Nozioni di base identità logaritmica
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmo del prodotto pari alla somma logaritmi
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietà della potenza di un numero logaritmico e base del logaritmo

  Esponente del numero logaritmico log a b m = mlog a b

  Esponente della base del logaritmo log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  se m = n, otteniamo log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Transizione ad una nuova fondazione
  log a b = log c b/log c a,

  se c = b, otteniamo log b b = 1

  allora log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Come puoi vedere, le formule per i logaritmi non sono così complicate come sembrano. Ora, dopo aver esaminato esempi di risoluzione dei logaritmi, possiamo passare alle equazioni logaritmiche. Considereremo esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche in modo più dettagliato nell'articolo: "". Da non perdere!

Se hai ancora domande sulla soluzione, scrivile nei commenti all'articolo.

Nota: abbiamo deciso di scegliere un corso diverso di istruzione e di studiare all'estero come opzione.

Logaritmo di un numero N basato su UN chiamato esponente X , a cui devi costruire UN per ottenere il numero N

A condizione che
,
,

Dalla definizione di logaritmo segue che
, cioè.
- questa uguaglianza è l'identità logaritmica di base.

I logaritmi in base 10 sono detti logaritmi decimali. Invece di
scrivere
.

Logaritmi alla base e sono detti naturali e sono designati
.

Proprietà fondamentali dei logaritmi.

Il logaritmo di uno è uguale a zero per qualsiasi base.

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

3) Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi

Fattore
chiamato modulo di transizione dai logaritmi alla base UN ai logaritmi alla base B .

Usando le proprietà 2-5, è spesso possibile ridurre il logaritmo di un'espressione complessa al risultato di semplici operazioni aritmetiche sui logaritmi.

Per esempio,

Tali trasformazioni di un logaritmo sono chiamate logaritmi. Le trasformazioni inverse ai logaritmi sono chiamate potenziamento.

Capitolo 2. Elementi di matematica superiore.

1. Limiti

Limite della funzione
è un numero finito A se, as xx 0 per ciascuno predeterminato
, esiste un tale numero
quello non appena
, Quello
.

Una funzione che ha un limite differisce da esso di una quantità infinitesimale:
, dove- b.m.v., i.e.
.

Esempio. Considera la funzione
.

Quando ti sforzi
, funzione sì tende a zero:

1.1. Teoremi fondamentali sui limiti.

Limite valore costante uguale a questo valore costante

.

Il limite della somma (differenza) di un numero finito di funzioni è uguale alla somma (differenza) dei limiti di queste funzioni.

Il limite del prodotto di un numero finito di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni.

Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore non è zero.

Limiti meravigliosi

,
, Dove

1.2. Esempi di calcolo dei limiti

Tuttavia, non tutti i limiti vengono calcolati così facilmente. Più spesso, il calcolo del limite si riduce a rivelare un’incertezza del tipo: O .

.

2. Derivato di una funzione

Diamo una funzione
, continuo sul segmento
.

Discussione ottenuto qualche aumento
. Quindi la funzione riceverà un incremento
.

Valore dell'argomento corrisponde al valore della funzione
.

Valore dell'argomento
corrisponde al valore della funzione.

Quindi, .

Troviamo il limite di questo rapporto a
. Se questo limite esiste, allora viene chiamato derivata della funzione data.

Definizione 3 Derivata di una data funzione
per argomento è chiamato limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento, quando l'incremento dell'argomento tende arbitrariamente a zero.

Derivata di una funzione
possono essere designati come segue:

; ; ; .

Definizione 4Si chiama l'operazione di trovare la derivata di una funzione differenziazione.

2.1. Significato meccanico della derivata.

Consideriamo il moto rettilineo di un corpo rigido o di un punto materiale.

Lasciamo che ad un certo punto nel tempo punto in movimento
era a distanza dalla posizione di partenza
.

Dopo un certo periodo di tempo
si è allontanata
. Atteggiamento =- velocità media punto materiale
. Troviamo il limite di questo rapporto, tenendo conto di ciò
.

Di conseguenza, determinare la velocità istantanea di movimento di un punto materiale si riduce a trovare la derivata del percorso rispetto al tempo.

2.2. Valore geometrico della derivata

Consideriamo una funzione definita graficamente
.

Riso. 1. Significato geometrico della derivata

Se
, quindi puntare
, si sposterà lungo la curva, avvicinandosi al punto
.

Quindi
, cioè. il valore della derivata per un dato valore dell'argomento numericamente uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente in un dato punto con la direzione positiva dell'asse
.

2.3. Tabella delle formule di differenziazione di base.

Funzione di potenza

Funzione esponenziale

Funzione logaritmica

Funzione trigonometrica

Funzione trigonometrica inversa

2.4. Regole di differenziazione.

Derivato di

Derivata della somma (differenza) di funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

Derivata del quoziente di due funzioni

2.5. Derivato di funzione complessa.

Sia data la funzione
tale da poter essere rappresentato nella forma

E
, dove la variabile è un argomento intermedio, quindi

La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione data rispetto all'argomento intermedio e della derivata dell'argomento intermedio rispetto a x.

Esempio 1.

Esempio 2.

3. Funzione differenziale.

Lascia che ci sia
, differenziabile su un certo intervallo
e lascia A questa funzione ha una derivata

,

allora possiamo scrivere

(1),

Dove - una quantità infinitesima,

da quando

Moltiplicando tutti i termini di uguaglianza (1) per
abbiamo:

Dove
- b.m.v. ordine superiore.

Grandezza
chiamato differenziale della funzione
ed è designato

.

3.1. Valore geometrico del differenziale.

Sia data la funzione
.

Fig.2. Significato geometrico del differenziale.

.

Ovviamente, il differenziale della funzione
è uguale all'incremento dell'ordinata della tangente in un dato punto.

3.2. Derivati ​​e differenziali di vario ordine.

Se c'è
, Poi
è detta derivata prima.

La derivata della derivata prima si chiama derivata del secondo ordine e si scrive
.

Derivato dell'ennesimo ordine della funzione
è detta derivata dell'ordine (n-1) e si scrive:

.

Il differenziale del differenziale di una funzione è chiamato differenziale del secondo o differenziale del secondo ordine.

.

.

3.3 Risoluzione di problemi biologici mediante la differenziazione.

Compito 1. Gli studi hanno dimostrato che la crescita di una colonia di microrganismi obbedisce alla legge
, Dove N – numero di microrganismi (in migliaia), T – tempo (giorni).

b) La popolazione della colonia aumenterà o diminuirà durante questo periodo?

Risposta. La dimensione della colonia aumenterà.

Attività 2. L'acqua nel lago viene periodicamente analizzata per monitorare il contenuto di batteri patogeni. Attraverso T giorni dopo il test, la concentrazione di batteri è determinata dal rapporto

.

Quando il lago avrà una concentrazione minima di batteri e sarà possibile farci il bagno?

Soluzione: una funzione raggiunge il massimo o il minimo quando la sua derivata è zero.

,

Determiniamo il massimo o il minimo tra 6 giorni. Per fare ciò, prendiamo la derivata seconda.

Risposta: Dopo 6 giorni ci sarà una concentrazione minima di batteri.

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.

Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi cominciamo.

Somma e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: log UN X e registrare UN sì. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. tronco d'albero UN X+ registro UN sì= registro UN (X · sì);
2. tronco d'albero UN X− registro UN sì= registro UN (X : sì).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Notare che: punto chiave Qui - motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi lezione “Cos'è un logaritmo”). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Ceppo 6 4 + ceppo 6 9.

Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.

Estrarre l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: UN > 0, UN ≠ 1, X> 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

[Didascalia dell'immagine]

Si noti che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

[Didascalia dell'immagine]

Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.

Transizione ad una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Lascia che sia dato registro dei logaritmi UN X. Quindi per qualsiasi numero C tale che C> 0 e C≠ 1, l'uguaglianza è vera:

[Didascalia dell'immagine]

In particolare, se mettiamo C = X, otteniamo:

[Didascalia dell'immagine]

Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente in quelle convenzionali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

[Didascalia dell'immagine]

Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

[Didascalia dell'immagine]

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

[Didascalia dell'immagine]

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

Nel primo caso, il numero N diventa un indicatore del grado di validità dell'argomentazione. Numero N può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo un valore logaritmico.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: identità logaritmica di base.

In effetti, cosa accadrà se il numero B elevare a una potenza tale che il numero B a questa potenza dà il numero UN? Esatto: ottieni questo stesso numero UN. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.

Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

[Didascalia dell'immagine]

Nota che log 25 64 = log 5 8 - abbiamo semplicemente preso il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Considerando le regole per moltiplicare i poteri con la stessa base, otteniamo:

[Didascalia dell'immagine]

Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Appaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.

1. tronco d'albero UN UN= 1 è un'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: logaritmo in base qualsiasi UN da questa stessa base è uguale a uno.
2. tronco d'albero UN 1 = 0 è zero logaritmico. Base UN può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché UN 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

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Come sai, quando si moltiplicano le espressioni per potenze, i loro esponenti si sommano sempre (a b *a c = a b+c). Questa legge matematica fu derivata da Archimede e più tardi, nell'VIII secolo, il matematico Virasen creò una tabella di esponenti interi. Sono stati loro a servire all'ulteriore scoperta dei logaritmi. Esempi di utilizzo di questa funzione possono essere trovati quasi ovunque sia necessario semplificare moltiplicazioni complesse mediante semplici addizioni. Se dedichi 10 minuti a leggere questo articolo, ti spiegheremo cosa sono i logaritmi e come lavorare con essi. In un linguaggio semplice e accessibile.

Definizione in matematica

Un logaritmo è un'espressione nella seguente forma: log a b=c, ovvero il logaritmo di qualsiasi numero non negativo (ovvero qualsiasi numero positivo) “b” in base “a” è considerato la potenza “c ” alla quale è necessario alzare la base “a” per ottenere alla fine il valore “b”. Analizziamo il logaritmo usando esempi, diciamo che c'è un'espressione log 2 8. Come trovare la risposta? È molto semplice, devi trovare una potenza tale che da 2 alla potenza richiesta ottieni 8. Dopo aver fatto alcuni calcoli a mente, otteniamo il numero 3! E questo è vero, perché 2 elevato a 3 dà la risposta come 8.

Tipi di logaritmi

Per molti alunni e studenti questo argomento sembra complicato e incomprensibile, ma in realtà i logaritmi non sono così spaventosi, l'importante è comprenderne il significato generale e ricordare le loro proprietà e alcune regole. Esistono tre tipi distinti di espressioni logaritmiche:

1. Logaritmo naturale ln a, dove la base è il numero di Eulero (e = 2,7).
2. Decimale a, dove la base è 10.
3. Logaritmo di qualsiasi numero b in base a>1.

Ciascuno di essi viene risolto in modo standard, inclusa la semplificazione, la riduzione e la successiva riduzione a un singolo logaritmo utilizzando teoremi logaritmici. Per ottenere i valori corretti dei logaritmi, dovresti ricordare le loro proprietà e la sequenza di azioni durante la loro risoluzione.

Regole e alcune restrizioni

In matematica esistono diverse regole-vincoli che vengono accettate come assiomi, cioè non sono oggetto di discussione e sono la verità. Ad esempio, è impossibile dividere i numeri per zero, ed è anche impossibile estrarne la radice pari numeri negativi. Anche i logaritmi hanno le loro regole, seguendo le quali puoi facilmente imparare a lavorare anche con espressioni logaritmiche lunghe e capienti:

• La base “a” deve essere sempre maggiore di zero, e non uguale a 1, altrimenti l'espressione perde di significato, perché “1” e “0” in qualunque misura sono sempre uguali ai loro valori;
• se a > 0, allora a b >0, risulta che anche “c” deve essere maggiore di zero.

Come risolvere i logaritmi?

Ad esempio, viene assegnato il compito di trovare la risposta all'equazione 10 x = 100. Questo è molto semplice, devi scegliere una potenza elevando il numero dieci a cui otteniamo 100. Questo, ovviamente, è 10 2 = 100.

Ora rappresentiamo questa espressione in forma logaritmica. Otteniamo log 10 100 = 2. Quando si risolvono i logaritmi, tutte le azioni convergono praticamente per trovare la potenza alla quale è necessario inserire la base del logaritmo per ottenere un dato numero.

Per determinare con precisione il valore di un grado sconosciuto, devi imparare come lavorare con una tabella dei gradi. Sembra questo:

Come puoi vedere, alcuni esponenti possono essere indovinati intuitivamente se hai una mente tecnica e conoscenza della tavola pitagorica. Tuttavia, per valori maggiori sarà necessaria una tabella di potenza. Può essere utilizzato anche da chi non sa nulla di argomenti matematici complessi. La colonna di sinistra contiene numeri (base a), la riga superiore di numeri è il valore della potenza c a cui viene elevato il numero a. All'intersezione, le celle contengono i valori numerici che costituiscono la risposta (a c = b). Prendiamo, ad esempio, la prima cella con il numero 10 e la eleviamo al quadrato, otteniamo il valore 100, che è indicato all'intersezione delle nostre due celle. Tutto è così semplice e facile che anche il più vero umanista capirà!

Equazioni e disequazioni

Si scopre che in determinate condizioni l'esponente è il logaritmo. Pertanto, qualsiasi espressione numerica matematica può essere scritta come un'uguaglianza logaritmica. Ad esempio, 3 4 =81 può essere scritto come il logaritmo in base 3 di 81 uguale a quattro (log 3 81 = 4). Per poteri negativi le regole sono le stesse: 2 -5 = 1/32 lo scriviamo come logaritmo, otteniamo log 2 (1/32) = -5. Una delle sezioni più affascinanti della matematica è il tema dei “logaritmi”. Di seguito esamineremo esempi e soluzioni di equazioni, subito dopo aver studiato le loro proprietà. Ora diamo un'occhiata a come appaiono le disuguaglianze e come distinguerle dalle equazioni.

Data un'espressione della seguente forma: log 2 (x-1) > 3 - lo è disuguaglianza logaritmica, poiché il valore sconosciuto "x" è sotto il segno del logaritmo. E anche nell'espressione si confrontano due quantità: il logaritmo del numero desiderato in base due è maggiore del numero tre.

La differenza più importante tra equazioni e disuguaglianze logaritmiche è che le equazioni con logaritmi (ad esempio, il logaritmo 2 x = √9) implicano uno o più valori numerici specifici nella risposta, mentre quando si risolve una disuguaglianza, sia l'intervallo di accettabilità i valori​​e i punti vengono determinati interrompendo questa funzione. Di conseguenza, la risposta non è un semplice insieme di singoli numeri, come nella risposta a un'equazione, ma una serie o insieme continuo di numeri.

Teoremi fondamentali sui logaritmi

Quando si risolvono compiti primitivi per trovare i valori del logaritmo, le sue proprietà potrebbero non essere note. Tuttavia, quando si tratta di equazioni o disequazioni logaritmiche, prima di tutto è necessario comprendere chiaramente e applicare nella pratica tutte le proprietà di base dei logaritmi. In seguito esamineremo esempi di equazioni; esamineremo prima ciascuna proprietà in modo più dettagliato.

1. L'identità principale assomiglia a questa: a logaB =B. Si applica solo quando a è maggiore di 0, non uguale a uno, e B è maggiore di zero.
2. Il logaritmo del prodotto può essere rappresentato nella seguente formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In questo caso la condizione obbligatoria è: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Puoi dare una dimostrazione di questa formula logaritmica, con esempi e soluzioni. Sia log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2, quindi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otteniamo che s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietà di gradi ), e quindi per definizione: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, che è ciò che doveva essere dimostrato.
3. Il logaritmo del quoziente è simile a questo: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Il teorema assume la forma di una formula vista successiva: log a q b n = n/q log a b.

Questa formula è chiamata “proprietà del grado del logaritmo”. Assomiglia alle proprietà dei gradi ordinari e non è sorprendente, perché tutta la matematica si basa su postulati naturali. Diamo un'occhiata alla prova.

Sia log a b = t, risulta a t = b. Se eleviamo entrambe le parti alla potenza m: a tn = b n ;

ma poiché a tn = (a q) nt/q = b n, quindi log a q b n = (n*t)/t, allora log a q b n = n/q log a b. Il teorema è stato dimostrato.

Esempi di problemi e disuguaglianze

I tipi più comuni di problemi sui logaritmi sono esempi di equazioni e disequazioni. Si trovano in quasi tutti i libri di problemi e sono anche una parte obbligatoria degli esami di matematica. Per l'ammissione all'università o il superamento esami di ammissione in matematica devi sapere come risolvere correttamente tali problemi.

Sfortunatamente, non esiste un unico piano o schema per risolvere e determinare il valore sconosciuto del logaritmo, ma alcune regole possono essere applicate a ciascuna disuguaglianza matematica o equazione logaritmica. Prima di tutto dovresti scoprire se l'espressione può essere semplificata o riconducibile a qualcosa aspetto generale. Puoi semplificare le espressioni logaritmiche lunghe se utilizzi correttamente le loro proprietà. Conosciamoli velocemente.

Quando risolviamo equazioni logaritmiche, dobbiamo determinare quale tipo di logaritmo abbiamo: un'espressione di esempio può contenere un logaritmo naturale o decimale.

Ecco gli esempi ln100, ln1026. La loro soluzione si riduce al fatto che devono determinare la potenza alla quale la base 10 sarà uguale a 100 e 1026, rispettivamente. Per soluzioni logaritmi naturaliè necessario applicare identità logaritmiche o le loro proprietà. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di problemi logaritmici di vario tipo.

Come utilizzare le formule dei logaritmi: con esempi e soluzioni

Quindi, diamo un'occhiata agli esempi di utilizzo dei teoremi di base sui logaritmi.

1. La proprietà del logaritmo di un prodotto può essere utilizzata in attività in cui è necessario espandersi grande valore i numeri b in fattori più semplici. Ad esempio, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La risposta è 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - come puoi vedere, utilizzando la quarta proprietà della potenza del logaritmo, siamo riusciti a risolvere un'espressione apparentemente complessa e irrisolvibile. Devi solo fattorizzare la base e poi togliere i valori dell'esponente dal segno del logaritmo.

Compiti dell'Esame di Stato Unificato

I logaritmi si trovano spesso negli esami di ammissione, in particolare molti problemi logaritmici nell'Esame di Stato Unificato (esame di stato per tutti i diplomati). In genere, questi compiti sono presenti non solo nella parte A (la parte più semplice dell'esame), ma anche nella parte C (i compiti più complessi e voluminosi). L'esame richiede una conoscenza accurata e perfetta dell'argomento “Logaritmi naturali”.

Esempi e soluzioni ai problemi sono presi dal funzionario Opzioni dell'Esame di Stato Unificato. Vediamo come vengono risolti tali compiti.

Dato log 2 (2x-1) = 4. Soluzione:
riscriviamo l'espressione semplificandola un po' log 2 (2x-1) = 2 2, per definizione del logaritmo otteniamo che 2x-1 = 2 4, quindi 2x = 17; x = 8,5.

• È meglio ridurre tutti i logaritmi alla stessa base in modo che la soluzione non sia complicata e confusa.
• Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo sono indicate come positive, quindi, quando l'esponente di un'espressione che è sotto il segno del logaritmo e la cui base viene tolta come moltiplicatore, l'espressione che rimane sotto il logaritmo deve essere positiva.