Questa lezione è destinata a coloro che stanno appena iniziando a imparare le equazioni esponenziali. Come sempre, iniziamo con la definizione e semplici esempi.
Se stai leggendo questa lezione, sospetto che tu abbia già almeno una conoscenza minima delle equazioni più semplici: lineari e quadratiche: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, ecc. Riuscire a risolvere tali costruzioni è assolutamente necessario per non “rimanere intrappolati” nell'argomento che ora verrà trattato.
Quindi, equazioni esponenziali. Lascia che ti faccia un paio di esempi:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Alcuni di essi potrebbero sembrarti più complessi, mentre altri, al contrario, sono troppo semplici. Ma hanno tutti una caratteristica importante in comune: la loro notazione contiene la funzione esponenziale $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Introduciamo quindi la definizione:
Un'equazione esponenziale è qualsiasi equazione contenente una funzione esponenziale, cioè espressione della forma $((a)^(x))$. Oltre alla funzione indicata, tali equazioni possono contenere qualsiasi altra costruzione algebrica: polinomi, radici, trigonometria, logaritmi, ecc.
OK allora. Abbiamo chiarito la definizione. Ora la domanda è: come risolvere tutto questo schifo? La risposta è allo stesso tempo semplice e complessa.
Cominciamo con la buona notizia: dalla mia esperienza di insegnamento a molti studenti, posso dire che la maggior parte di loro trova le equazioni esponenziali molto più facili degli stessi logaritmi, e ancor di più la trigonometria.
Ma c'è una brutta notizia: a volte i compilatori di problemi per tutti i tipi di libri di testo ed esami sono colpiti da "ispirazione" e il loro cervello infiammato dalla droga inizia a produrre equazioni così brutali che risolverle diventa problematico non solo per gli studenti, ma anche per molti insegnanti. rimanere bloccato su tali problemi.
Tuttavia non parliamo di cose tristi. E torniamo a quelle tre equazioni fornite all'inizio della storia. Proviamo a risolverli ciascuno.
Prima equazione: $((2)^(x))=4$. Ebbene, a quale potenza devi elevare il numero 2 per ottenere il numero 4? Probabilmente il secondo? Dopotutto, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - e abbiamo ottenuto l'uguaglianza numerica corretta, ovvero infatti $x=2$. Bene, grazie, Cap, ma questa equazione era così semplice che persino il mio gatto poteva risolverla :).
Consideriamo la seguente equazione:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Ma qui è un po’ più complicato. Molti studenti sanno che $((5)^(2))=25$ è la tavola pitagorica. Alcuni sospettano anche che $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ sia essenzialmente la definizione poteri negativi(per analogia con la formula $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).
Infine, solo pochi eletti si rendono conto che questi fatti possono essere combinati e produrre il seguente risultato:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Pertanto, la nostra equazione originale verrà riscritta come segue:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Freccia destra ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Ma questo è già completamente risolvibile! A sinistra nell'equazione c'è una funzione esponenziale, a destra nell'equazione c'è una funzione esponenziale, non c'è nient'altro da nessuna parte tranne loro. Pertanto, possiamo “scartare” le basi e stupidamente equiparare gli indicatori:
Abbiamo ottenuto l'equazione lineare più semplice che qualsiasi studente può risolvere in appena un paio di righe. Ok, in quattro righe:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Se non capisci cosa stava succedendo nelle ultime quattro righe, assicurati di tornare all'argomento " equazioni lineari"e ripetetelo. Perché senza una chiara comprensione di questo argomento, è troppo presto per affrontare le equazioni esponenziali.
\[((9)^(x))=-3\]
Quindi come risolvere questo problema? Primo pensiero: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, quindi l'equazione originale può essere riscritta come segue:
\[((\sinistra(((3)^(2)) \destra))^(x))=-3\]
Ricordiamo poi che quando si eleva una potenza a potenza si moltiplicano gli esponenti:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
E per tale decisione ne riceveremo due onestamente meritati. Infatti, con l'equanimità di un Pokemon, abbiamo portato il segno meno davanti al tre alla potenza di questo stesso tre. Ma non puoi farlo. Ed ecco perché. Dai un'occhiata ai diversi poteri di tre:
\[\begin(matrice) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]
Nel compilare questa tavoletta non ho pervertito nulla: ho guardato le potenze positive, quelle negative e anche quelle frazionarie... beh, dov'è qui almeno un numero negativo? Se n'è andato! E non può essere, perché la funzione esponenziale $y=((a)^(x))$, in primo luogo, assume sempre solo valori positivi (non importa quanto uno venga moltiplicato o diviso per due, sarà comunque un numero positivo) e in secondo luogo, la base di tale funzione - il numero $a$ - è per definizione un numero positivo!
Bene, come risolvere allora l'equazione $((9)^(x))=-3$? Ma assolutamente no: non ci sono radici. E in questo senso, le equazioni esponenziali sono molto simili alle equazioni quadratiche: potrebbero anche non esserci radici. Ma se nelle equazioni quadratiche il numero di radici è determinato dal discriminante (discriminante positivo - 2 radici, negativo - nessuna radice), allora nelle equazioni esponenziali tutto dipende da ciò che si trova a destra del segno uguale.
Formuliamo quindi la conclusione chiave: l'equazione esponenziale più semplice della forma $((a)^(x))=b$ ha una radice se e solo se $b>0$. Conoscendo questo semplice fatto, puoi facilmente determinare se l'equazione che ti viene proposta ha radici o meno. Quelli. Vale la pena risolverlo o scrivere immediatamente che non ci sono radici.
Questa conoscenza ci aiuterà molte volte quando dovremo risolvere problemi più complessi. Per ora basta con i testi: è tempo di studiare l'algoritmo della soluzione di base equazioni esponenziali.
Come risolvere le equazioni esponenziali
Quindi, formuliamo il problema. È necessario risolvere l'equazione esponenziale:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
Secondo l’algoritmo “ingenuo” che abbiamo utilizzato in precedenza, è necessario rappresentare il numero $b$ come una potenza del numero $a$:
Inoltre, se al posto della variabile $x$ c'è qualche espressione, otterremo una nuova equazione che può già essere risolta. Per esempio:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Freccia destra ((3)^(-x))=((3)^(4))\Freccia destra -x=4\Freccia destra x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Freccia destra ((5)^(2x))=((5)^(3))\Freccia destra 2x=3\Freccia destra x=\frac(3)( 2). \\\fine(allinea)\]
E stranamente, questo schema funziona in circa il 90% dei casi. E che dire allora del restante 10%? Il restante 10% sono equazioni esponenziali leggermente “schizofreniche” nella forma:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Bene, a quale potenza devi aumentare 2 per ottenere 3? Primo? Ma no: $((2)^(1))=2$ non è sufficiente. Secondo? No neanche: $((2)^(2))=4$ è troppo. Quale allora?
Gli studenti esperti probabilmente hanno già intuito: in questi casi, quando non è possibile risolverlo “magnificamente”, entra in gioco l'“artiglieria pesante” - i logaritmi. Permettimi di ricordarti che usando i logaritmi, qualsiasi numero positivo può essere rappresentato come una potenza di qualsiasi altro numero positivo (tranne uno):
Ricordi questa formula? Quando parlo dei logaritmi ai miei studenti, avverto sempre: questa formula (è anche l'identità logaritmica principale o, se preferite, la definizione di logaritmo) vi perseguiterà per molto tempo e “apparirà” nei momenti più difficili. luoghi inaspettati. Bene, è emersa. Diamo un'occhiata alla nostra equazione e a questa formula:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Se assumiamo che $a=3$ sia il nostro numero originale a destra, e $b=2$ sia la base stessa della funzione esponenziale a cui vogliamo ridurre il membro di destra, otteniamo quanto segue:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Freccia destra ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Freccia destra x=( (\log )_(2))3. \\\fine(allinea)\]
Abbiamo ricevuto una risposta un po' strana: $x=((\log )_(2))3$. In qualche altro compito, molti avrebbero dei dubbi su una risposta del genere e inizierebbero a ricontrollare la loro soluzione: e se si fosse insinuato un errore da qualche parte? Mi affretto a farti piacere: qui non ci sono errori e i logaritmi nelle radici delle equazioni esponenziali sono una situazione del tutto tipica. Quindi abituati. :)
Ora risolviamo le restanti due equazioni per analogia:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Freccia Destra x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Freccia destra ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Freccia destra 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fine(allinea)\]
Questo è tutto! A proposito, l'ultima risposta può essere scritta diversamente:
Abbiamo introdotto un moltiplicatore nell'argomento del logaritmo. Ma nessuno ci impedisce di aggiungere alla base questo fattore:
Inoltre, tutte e tre le opzioni sono corrette: è semplice forme diverse record dello stesso numero. Quale scegliere e annotare in questa soluzione spetta a te decidere.
Pertanto, abbiamo imparato a risolvere qualsiasi equazione esponenziale della forma $((a)^(x))=b$, dove i numeri $a$ e $b$ sono strettamente positivi. Tuttavia, la dura realtà del nostro mondo è proprio questa compiti semplici ti incontrerai molto, molto raramente. Molto spesso ti imbatterai in qualcosa del genere:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fine(allinea)\]
Quindi come risolvere questo problema? È possibile risolvere tutto questo? E se sì, come?
Niente panico. Tutte queste equazioni si riducono rapidamente e facilmente alle semplici formule che abbiamo già considerato. Devi solo ricordare un paio di trucchi del corso di algebra. E, naturalmente, non ci sono regole per lavorare con i titoli di studio. Ti racconto tutto questo adesso :)
Conversione di equazioni esponenziali
La prima cosa da ricordare: qualsiasi equazione esponenziale, non importa quanto complessa possa essere, in un modo o nell'altro deve essere ridotta alle equazioni più semplici, quelle che abbiamo già considerato e che sappiamo come risolvere. In altre parole, lo schema per risolvere qualsiasi equazione esponenziale è simile al seguente:
- Scrivi l'equazione originale. Ad esempio: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Fai delle cose strane. O anche qualche schifezza chiamata "converti un'equazione";
- All'output, ottieni le espressioni più semplici della forma $((4)^(x))=4$ o qualcosa del genere. Inoltre, un'equazione iniziale può fornire diverse espressioni simili contemporaneamente.
Con il primo punto tutto è chiaro: anche il mio gatto può scrivere l'equazione su un pezzo di carta. Anche il terzo punto sembra essere più o meno chiaro: abbiamo già risolto un sacco di equazioni simili sopra.
Ma che dire del secondo punto? Che tipo di trasformazioni? Convertire cosa in cosa? E come?
Bene, scopriamolo. Innanzitutto vorrei sottolineare quanto segue. Tutte le equazioni esponenziali sono divise in due tipi:
- L'equazione è composta da funzioni esponenziali con la stessa base. Esempio: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- La formula contiene funzioni esponenziali con basi diverse. Esempi: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ e $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.
Cominciamo con le equazioni del primo tipo: sono le più facili da risolvere. E nel risolverli, saremo aiutati da una tecnica come l'evidenziazione delle espressioni stabili.
Isolare un'espressione stabile
Consideriamo nuovamente questa equazione:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Cosa vediamo? I quattro sono elevati a livelli diversi. Ma tutte queste potenze sono semplici somme della variabile $x$ con altri numeri. Pertanto, è necessario ricordare le regole per lavorare con i titoli di studio:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fine(allinea)\]
In poche parole, l'addizione può essere convertita in un prodotto di potenze e la sottrazione può essere facilmente convertita in divisione. Proviamo ad applicare queste formule ai gradi della nostra equazione:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(allinea)\]
Riscriviamo l'equazione originale tenendo conto di questo fatto, e poi raccogliamo tutti i termini a sinistra:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fine(allinea)\]
I primi quattro termini contengono l'elemento $((4)^(x))$ - estraiamolo dalla parentesi:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fine(allinea)\]
Resta da dividere entrambi i membri dell'equazione per la frazione $-\frac(11)(4)$, cioè essenzialmente moltiplicare per la frazione invertita - $-\frac(4)(11)$. Otteniamo:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fine(allinea)\]
Questo è tutto! Abbiamo ridotto l'equazione originale alla sua forma più semplice e ottenuto la risposta finale.
Allo stesso tempo, durante il processo di risoluzione, abbiamo scoperto (e persino rimosso dalla parentesi) il fattore comune $((4)^(x))$: questa è un'espressione stabile. Può essere designato come una nuova variabile oppure puoi semplicemente esprimerlo attentamente e ottenere la risposta. In ogni caso, il principio chiave della soluzione è il seguente:
Trova nell'equazione originale un'espressione stabile contenente una variabile facilmente distinguibile da tutte le funzioni esponenziali.
La buona notizia è che quasi tutte le equazioni esponenziali consentono di isolare un'espressione così stabile.
Ma la cattiva notizia è che queste espressioni possono essere piuttosto complicate e difficili da identificare. Consideriamo quindi un altro problema:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Forse qualcuno ora ha una domanda: “Pascià, sei lapidato? Ci sono basi diverse qui: 5 e 0,2. " Ma proviamo a convertire la potenza in base 0,2. Ad esempio, eliminiamo la frazione decimale riducendola a una frazione normale:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
Come puoi vedere, il numero 5 appariva ancora, anche se al denominatore. Allo stesso tempo, l'indicatore è stato riscritto in negativo. E ora ricordiamone uno le regole più importanti lavorare con i titoli di studio:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Qui, ovviamente, stavo mentendo un po'. Perché comprendere appieno la formula per liberarsene indicatori negativi avrebbe dovuto essere scritto così:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Freccia destra ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ destra))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
D’altronde nulla ci ha impedito di lavorare solo con le frazioni:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ destra))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Ma in questo caso bisogna essere in grado di elevare un potere a un altro potere (ti ricordo: in questo caso gli indicatori si sommano). Ma non ho dovuto "invertire" le frazioni, forse per alcuni sarà più facile :).
In ogni caso, l’equazione esponenziale originale verrà riscritta come:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fine(allinea)\]
Quindi si scopre che l'equazione originale può essere risolta in modo ancora più semplice di quella precedentemente considerata: qui non è nemmeno necessario selezionare un'espressione stabile: tutto si è ridotto da solo. Resta solo da ricordare che $1=((5)^(0))$, da cui si ottiene:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\fine(allinea)\]
Questa è la soluzione! Abbiamo la risposta finale: $x=-2$. Allo stesso tempo, vorrei sottolineare una tecnica che ha semplificato notevolmente tutti i calcoli per noi:
Nelle equazioni esponenziali, assicurati di sbarazzartene decimali, convertili in quelli normali. Questo ti permetterà di vedere le stesse basi dei gradi e semplificherà notevolmente la soluzione.
Passiamo ora a qualcosa di più equazioni complesse, in cui esistono basi diverse che non sono affatto riducibili tra loro utilizzando i gradi.
Utilizzo della proprietà Degrees
Permettetemi di ricordarvi che abbiamo due equazioni più particolarmente dure:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fine(allinea)\]
La difficoltà principale qui è che non è chiaro cosa dare e su quale base. Dove sono le espressioni stabili? Dove sono gli stessi motivi? Non c'è niente di tutto questo.
Ma proviamo ad andare in una direzione diversa. Se non ci sono pronti motivi identici, puoi provare a trovarli fattorizzando le basi esistenti.
Cominciamo con la prima equazione:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\fine(allinea)\]
Ma puoi fare il contrario: creare il numero 21 dai numeri 7 e 3. Questo è particolarmente facile da fare a sinistra, poiché gli indicatori di entrambi i gradi sono gli stessi:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\fine(allinea)\]
Questo è tutto! Hai preso l'esponente esterno al prodotto e hai subito ottenuto una bellissima equazione che può essere risolta in un paio di righe.
Consideriamo ora la seconda equazione. Qui è tutto molto più complicato:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
In questo caso, le frazioni si sono rivelate irriducibili, ma se qualcosa può essere ridotto, assicurati di ridurlo. Spesso appariranno ragioni interessanti con le quali puoi già lavorare.
Sfortunatamente per noi non è apparso nulla di speciale. Ma vediamo che gli esponenti a sinistra nel prodotto sono opposti:
Lascia che te lo ricordi: per eliminare il segno meno nell'indicatore, devi solo "capovolgere" la frazione. Bene, riscriviamo l'equazione originale:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fine(allinea)\]
Nella seconda riga, abbiamo semplicemente tolto l'esponente totale dal prodotto dalla parentesi secondo la regola $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, e nell'ultimo hanno semplicemente moltiplicato il numero 100 per una frazione.
Ora nota che i numeri a sinistra (alla base) e a destra sono in qualche modo simili. Come? Sì, è ovvio: sono potenze dello stesso numero! Abbiamo:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\fine(allinea)\]
Pertanto la nostra equazione verrà riscritta come segue:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\destra))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
In questo caso a destra si può ottenere anche una laurea con la stessa base, per la quale basta semplicemente “girare” la frazione:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
La nostra equazione assumerà infine la forma:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\fine(allinea)\]
Questa è la soluzione. La sua idea principale si riduce al fatto che anche con per motivi diversi stiamo cercando, con le buone o con le cattive, di ridurre queste basi alla stessa cosa. Trasformazioni elementari di equazioni e regole per lavorare con le potenze ci aiutano in questo.
Ma quali regole e quando utilizzarle? Come capisci che in un'equazione devi dividere entrambi i lati per qualcosa e in un'altra devi fattorizzare la base della funzione esponenziale?
La risposta a questa domanda arriverà con l’esperienza. Prova prima a eseguire semplici equazioni, quindi complica gradualmente i problemi e molto presto le tue capacità saranno sufficienti per risolvere qualsiasi equazione esponenziale dallo stesso esame di stato unificato o qualsiasi lavoro indipendente/di prova.
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Nella fase di preparazione per la prova finale, gli studenti delle scuole superiori devono migliorare le proprie conoscenze sull'argomento "Equazioni esponenziali". L'esperienza degli anni passati indica che tali compiti causano alcune difficoltà agli scolari. Pertanto, gli studenti delle scuole superiori, indipendentemente dal loro livello di preparazione, devono padroneggiare a fondo la teoria, ricordare le formule e comprendere il principio per risolvere tali equazioni. Avendo imparato ad affrontare questo tipo di problemi, i laureati possono contare su punteggi elevati nel superare l'Esame di Stato Unificato di matematica.
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1º. Equazioni esponenziali sono chiamate equazioni contenenti una variabile in un esponente.
La risoluzione delle equazioni esponenziali si basa sulla proprietà delle potenze: due potenze con la stessa base sono uguali se e solo se i loro esponenti sono uguali.
2º. Metodi di base per la risoluzione di equazioni esponenziali:
1) l'equazione più semplice ha una soluzione;
2) un'equazione della forma logaritmica rispetto alla base UN ridurre alla forma;
3) un'equazione della forma è equivalente all'equazione ;
4) equazione della forma 
è equivalente all'equazione
5) un'equazione della forma viene ridotta mediante sostituzione con un'equazione, e quindi viene risolto un insieme di semplici equazioni esponenziali;
6) equazione con reciproci 
per sostituzione si riducono a un'equazione e quindi risolvono un insieme di equazioni;
7) equazioni omogenee rispetto a un g(x) E bg(x) dato questo 
Tipo 
attraverso la sostituzione si riducono a un'equazione e quindi risolvono un insieme di equazioni.
Classificazione delle equazioni esponenziali.
1. Equazioni risolte andando ad una base.
Esempio 18. Risolvi l'equazione 
.
Soluzione: approfittiamo del fatto che tutte le basi delle potenze sono potenze del numero 5: .
2. Equazioni risolte passando ad un esponente.
Queste equazioni vengono risolte trasformando l'equazione originale nella forma , che si riduce alla sua forma più semplice sfruttando la proprietà della proporzione.
Esempio 19. Risolvi l'equazione:
3. Equazioni risolte togliendo il fattore comune dalle parentesi.
Se ciascun esponente di un'equazione differisce dall'altro di un certo numero, le equazioni vengono risolte mettendo tra parentesi l'esponente con l'esponente più piccolo.
Esempio 20. Risolvi l'equazione.
Soluzione: prendiamo il grado con l'esponente più piccolo tra parentesi sul lato sinistro dell'equazione:
Esempio 21. Risolvi l'equazione 
Soluzione: Raggruppiamo separatamente sul lato sinistro dell'equazione i termini contenenti potenze in base 4, sul lato destro - con base 3, quindi mettiamo tra parentesi le potenze con esponente più piccolo:
4. Equazioni che si riducono ad equazioni quadratiche (o cubiche)..
Le seguenti equazioni si riducono a un'equazione quadratica per la nuova variabile y:
a) la tipologia di sostituzione, in questo caso;
b) il tipo di sostituzione , e .
Esempio 22. Risolvi l'equazione 
.
Soluzione: cambiamo variabile e risolviamo equazione quadratica:
.
Risposta: 0; 1.
5. Equazioni omogenee rispetto a funzioni esponenziali.
Un'equazione della forma è un'equazione omogenea di secondo grado rispetto alle incognite un'x E bx. Tali equazioni vengono ridotte dividendo prima entrambi i membri per e quindi sostituendoli in equazioni quadratiche.
Esempio 23. Risolvi l'equazione.
Soluzione: dividi entrambi i membri dell'equazione per:
Mettendo , otteniamo un'equazione quadratica con radici .
Ora il problema si riduce a risolvere una serie di equazioni 
. Dalla prima equazione troviamo che . La seconda equazione non ha radici, poiché per qualsiasi valore X.
Risposta: -1/2.
6. Equazioni razionali rispetto a funzioni esponenziali.
Esempio 24. Risolvi l'equazione.
Soluzione: dividere il numeratore e il denominatore della frazione per 3 volte e invece di due otteniamo una funzione esponenziale:
7. Equazioni della forma 
.
Tali equazioni con un insieme di valori ammissibili (APV), determinati dalla condizione, prendendo il logaritmo di entrambi i lati dell'equazione vengono ridotti a un'equazione equivalente, che a sua volta è equivalente a un insieme di due equazioni o.
Esempio 25. Risolvi l'equazione: .
.
Materiale didattico.
Risolvi le equazioni:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Trova il prodotto delle radici dell'equazione 
.
27. Trova la somma delle radici dell'equazione 
.
Trova il significato dell'espressione:
28. , dove x0– radice dell'equazione;
29. , dove x0– radice intera dell’equazione 
.
Risolvi l'equazione:
31. 
; 32. .
Risposte: 1.0; 2. -2/9; 3.1/36; 4.0, 0,5; 5,0; 6,0; 7. -2; 8.2; 9.1, 3; 10.8; 11,5; 12.1; 13,¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Argomento n.8.
Disuguaglianze esponenziali.
1º. Viene chiamata una disuguaglianza contenente una variabile nell'esponente disuguaglianza esponenziale.
2º. Soluzione disuguaglianze esponenziali type si basa sulle seguenti affermazioni:
se , allora la disuguaglianza è equivalente a ;
se , allora la disuguaglianza è equivalente a .
Quando risolvi le disuguaglianze esponenziali, usa le stesse tecniche di quando risolvi le equazioni esponenziali.
Esempio 26. Risolvi la disuguaglianza 
(metodo per spostarsi su una base).
Soluzione: da allora 
, allora la disuguaglianza data può essere scritta come: 
. Poiché , allora questa disuguaglianza è equivalente alla disuguaglianza 
.
Risolvendo l'ultima disuguaglianza, otteniamo .
Esempio 27. Risolvi la disuguaglianza: ( togliendo il fattore comune tra parentesi).
Soluzione: Togliamo le parentesi sul lato sinistro della disuguaglianza, sul lato destro della disuguaglianza e dividiamo entrambi i lati della disuguaglianza per (-2), cambiando il segno della disuguaglianza nel contrario:
Da allora, quando si passa alla disuguaglianza degli indicatori, il segno della disuguaglianza cambia nuovamente nel contrario. Otteniamo. Pertanto, l’insieme di tutte le soluzioni a questa disuguaglianza è l’intervallo.
Esempio 28. Risolvere la disuguaglianza ( introducendo una nuova variabile).
Soluzione: lascia . Allora questa disuguaglianza assumerà la forma: 
O 
, la cui soluzione è l'intervallo .
Da qui. Poiché la funzione aumenta, allora .
Materiale didattico.
Specificare l'insieme delle soluzioni della disuguaglianza:
1. ; 2. ; 3. ;
6. A quali valori X I punti sul grafico della funzione si trovano sotto la linea retta?
7. A quali valori X I punti sul grafico della funzione si trovano almeno fino alla retta?
Risolvi la disuguaglianza:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Specifica la più grande soluzione intera della disuguaglianza 
.
14. Trova il prodotto delle soluzioni dell'intero più grande e dell'intero più piccolo della disuguaglianza 
.
Risolvi la disuguaglianza:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Trova il dominio della funzione:
27. 
; 28. 
.
29. Trova l'insieme dei valori degli argomenti per i quali i valori di ciascuna delle funzioni sono maggiori di 3:
E 
.
Risposte: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )
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