Semplifica l'espressione. Articoli taggati "semplificare l'espressione algebrica"

Alcuni esempi algebrici da soli possono terrorizzare gli scolari. Le espressioni lunghe non solo intimidiscono, ma rendono anche molto difficili i calcoli. Cercando di capire subito cosa segue cosa, non ci vorrà molto per confondersi. È per questo motivo che i matematici cercano sempre di semplificare il più possibile un problema “terribile” e solo dopo iniziano a risolverlo. Stranamente, questo trucco accelera notevolmente il processo di lavoro.

La semplificazione è uno dei punti fondamentali dell’algebra. Se dentro compiti semplici Puoi ancora farne a meno, ma gli esempi più difficili da calcolare potrebbero rivelarsi troppo difficili. È qui che queste abilità tornano utili! Inoltre, non sono richieste conoscenze matematiche complesse: basterà ricordare e imparare ad applicare nella pratica alcune tecniche e formule di base.

Indipendentemente dalla complessità dei calcoli, quando si risolve qualsiasi espressione è importante seguire l'ordine di esecuzione delle operazioni con i numeri:

1. parentesi;
2. esponenziazione;
3. moltiplicazione;
4. divisione;
5. aggiunta;
6. sottrazione.

Gli ultimi due punti possono essere facilmente scambiati e ciò non influenzerà in alcun modo il risultato. Ma sommare due numeri adiacenti quando accanto a uno di essi è presente il segno di moltiplicazione è assolutamente vietato! La risposta, se esiste, non è corretta. Pertanto, è necessario ricordare la sequenza.

L'uso di tale

Tali elementi includono numeri con una variabile dello stesso ordine o dello stesso grado. Esistono anche i cosiddetti termini liberi che non hanno accanto la lettera che indica l'ignoto.

Il punto è che in assenza di parentesi puoi semplificare l'espressione aggiungendo o sottraendo simili.

Alcuni esempi illustrativi:

• 8x 2 e 3x 2 - entrambi i numeri hanno la stessa variabile del secondo ordine, quindi sono simili e quando sommati si semplificano in (8+3)x 2 =11x 2, mentre quando sottratti ottengono (8-3)x 2 = 5×2;
• 4x 3 e 6x - e qui “x” ha gradi diversi;
• 2y 7 e 33x 7 - contengono variabili diverse, quindi, come nel caso precedente, non sono simili.

Fattorizzare un numero

Questo piccolo trucco matematico, se impari a usarlo correttamente, ti aiuterà più di una volta ad affrontare un problema complicato in futuro. E non è difficile capire come funziona il “sistema”: la scomposizione è il prodotto di più elementi, il cui calcolo dà il valore originale. Quindi 20 può essere rappresentato come 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 o in qualche altro modo.

Nota: I fattori sono sempre uguali ai divisori. Quindi è necessario cercare una “coppia” funzionante per la scomposizione tra i numeri in cui l'originale è divisibile senza resto.

Questa operazione può essere eseguita sia con termini liberi che con numeri in una variabile. La cosa principale è non perdere quest'ultimo durante i calcoli, nemmeno dopo la decomposizione, l’ignoto non può semplicemente “andare da nessuna parte”. Rimane ad uno dei moltiplicatori:

• 15x=3(5x);
• 60 anni 2 = (15 anni 2)4.

I numeri primi che possono essere divisi solo per se stessi o per 1 non vengono mai espansi: non ha senso.

Metodi fondamentali di semplificazione

La prima cosa che attira la tua attenzione:

• la presenza di parentesi;
• frazioni;
• radici.

Gli esempi algebrici nel curriculum scolastico sono spesso scritti con l'idea che possano essere meravigliosamente semplificati.

Calcoli tra parentesi

Prestare molta attenzione al segno davanti alle parentesi! La moltiplicazione o divisione viene applicata a ciascun elemento all'interno e un segno meno inverte i segni "+" o "-" esistenti.

Le parentesi vengono calcolate secondo le regole o utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate, dopo di che vengono fornite quelle simili.

Riduzione delle frazioni

Ridurre le frazioniÈ anche facile. Loro stessi “fuggono volentieri” di tanto in tanto, non appena vengono effettuate operazioni per attirare tali membri. Ma puoi semplificare l'esempio anche prima: prestare attenzione al numeratore e al denominatore. Spesso contengono elementi espliciti o nascosti che possono essere reciprocamente ridotti. È vero, se nel primo caso devi solo cancellare ciò che non è necessario, nel secondo dovrai pensare, portando parte dell'espressione in forma per semplificazione. Metodi utilizzati:

• cercare e mettere tra parentesi il massimo comun divisore di numeratore e denominatore;
• dividendo ogni elemento superiore per il denominatore.

Quando un'espressione o parte di essa è sotto la radice, il compito principale della semplificazione è quasi simile a quello delle frazioni. È necessario cercare modi per eliminarlo completamente o, se ciò non è possibile, ridurre al minimo il segno che interferisce con i calcoli. Ad esempio fino al discreto √(3) o √(7).

Il modo giusto semplifica l'espressione radicale: prova a fattorizzarla, alcuni dei quali sono riportati all'esterno del cartello. Un esempio illustrativo: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Altri piccoli trucchi e sfumature:

• questa operazione di semplificazione può essere effettuata con le frazioni, togliendole dal segno sia nel suo insieme che separatamente come numeratore o denominatore;
• Una parte della somma o della differenza non può essere espansa e portata oltre la radice;
• quando si lavora con le variabili, assicurarsi di prendere in considerazione il suo grado, deve essere uguale o multiplo della radice per poter essere estratto: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• a volte è possibile eliminare la variabile radicale elevandola a una potenza frazionaria: √(y 3)=y 3/2.

Semplificare un'espressione di potere

Se nel caso di calcoli semplici con meno o più, gli esempi vengono semplificati citando quelli simili, che dire quando si moltiplicano o si dividono variabili con potenze diverse? Possono essere facilmente semplificati ricordando due punti principali:

1. Se tra le variabili c'è il segno della moltiplicazione le potenze si sommano.
2. Quando vengono divisi tra loro, alla potenza del numeratore viene sottratta la stessa potenza del denominatore.

L'unica condizione per tale semplificazione è stessa base entrambi i membri. Esempi per chiarezza:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Notiamo che le operazioni con valori numerici davanti alle variabili avvengono secondo il solito regole matematiche. E se guardi da vicino, diventa chiaro che gli elementi di potere dell'espressione "funzionano" in modo simile:

• elevare un termine a potenza significa moltiplicarlo per se stesso un certo numero di volte, cioè x 2 =x×x;
• la divisione è simile: se espandi i poteri del numeratore e del denominatore, alcune variabili verranno cancellate, mentre le rimanenti verranno “raccolte”, il che equivale a sottrarre.

Come per qualsiasi cosa, la semplificazione delle espressioni algebriche richiede non solo la conoscenza delle nozioni di base, ma anche la pratica. Dopo poche lezioni, gli esempi che prima sembravano complessi verranno ridotti senza troppe difficoltà, trasformandosi in esempi brevi e facilmente risolvibili.

Video

Questo video ti aiuterà a capire e ricordare come vengono semplificate le espressioni.

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Spesso le attività richiedono una risposta semplificata. Sebbene siano corrette sia le risposte semplificate che quelle non semplificate, il tuo insegnante potrebbe abbassarti il ​​voto se non semplifichi la risposta. Inoltre, l'espressione matematica semplificata è molto più semplice da utilizzare. Pertanto, è molto importante imparare a semplificare le espressioni.

Passi

Ordine corretto delle operazioni matematiche

1. Ricorda l'ordine corretto per eseguire operazioni matematiche. Quando si semplifica un'espressione matematica, è necessario seguire un certo ordine, poiché alcune operazioni matematiche hanno la precedenza su altre e devono essere eseguite per prime (infatti, non seguire l'ordine corretto delle operazioni porterà a un risultato errato). Ricorda il seguente ordine delle operazioni matematiche: espressione tra parentesi, esponenziazione, moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione.

   • Tieni presente che conoscere l'ordine corretto delle operazioni ti consentirà di semplificare la maggior parte delle espressioni semplici, ma per semplificare un polinomio (un'espressione con una variabile) devi conoscere trucchi speciali (vedi la sezione successiva).

2. Inizia risolvendo l'espressione tra parentesi. In matematica, le parentesi indicano che l'espressione al loro interno deve essere valutata per prima. Pertanto, quando si semplifica qualsiasi espressione matematica, iniziare risolvendo l'espressione racchiusa tra parentesi (non importa quali operazioni è necessario eseguire all'interno delle parentesi). Ma ricorda che quando lavori con un'espressione racchiusa tra parentesi, devi seguire l'ordine delle operazioni, ovvero i termini tra parentesi vengono prima moltiplicati, divisi, aggiunti, sottratti e così via.

   • Ad esempio, semplifichiamo l'espressione 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Qui iniziamo con le espressioni tra parentesi: 5 + 2 = 7 e 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • L'espressione nella seconda coppia di parentesi si semplifica in 5 perché 4/2 deve essere diviso per primo (secondo l'ordine corretto delle operazioni). Se non segui questo ordine, otterrai la risposta sbagliata: 3 + 4 = 7 e 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Se tra le parentesi è presente un'altra coppia di parentesi, inizia a semplificare risolvendo l'espressione tra parentesi interne e poi passa a risolvere l'espressione tra parentesi esterne.

3. Esponenziare. Dopo aver risolto le espressioni tra parentesi, passiamo all'elevamento a potenza (ricordiamo che una potenza ha un esponente e una base). Eleva a potenza l'espressione (o il numero) corrispondente e sostituisci il risultato nell'espressione che ti viene data.

   • Nel nostro esempio, l'unica espressione (numero) elevata è 3 2: 3 2 = 9. Nell'espressione che ti è stata data, sostituisci 3 2 con 9 e otterrai: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Moltiplicare. Ricorda che l'operazione di moltiplicazione può essere rappresentata dai seguenti simboli: "x", "∙" o "*". Ma se non ci sono simboli tra il numero e la variabile (ad esempio 2x) o tra il numero e il numero tra parentesi (ad esempio 4(7)), anche questa è un'operazione di moltiplicazione.

   • Nel nostro esempio ci sono due operazioni di moltiplicazione: 2x (due moltiplicati per la variabile “x”) e 4(7) (quattro moltiplicati per sette). Non conosciamo il valore di x, quindi lasceremo l'espressione 2x così com'è. 4(7) = 4 x 7 = 28. Ora puoi riscrivere l'espressione che ti è stata data come segue: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dividere. Ricorda che l'operazione di divisione può essere rappresentata dai seguenti simboli: “/”, “÷” o “–” (puoi vedere l'ultimo carattere nelle frazioni). Ad esempio, 3/4 è tre diviso quattro.

   • Nel nostro esempio non c'è più un'operazione di divisione, poiché hai già diviso 4 per 2 (4/2) risolvendo l'espressione tra parentesi. Quindi puoi passare al passaggio successivo. Ricorda che la maggior parte delle espressioni non contiene tutte le operazioni matematiche contemporaneamente (solo alcune di esse).

6. Piega. Quando aggiungi i termini di un'espressione, puoi iniziare con il termine più lontano (a sinistra) oppure puoi aggiungere per primi i termini che si aggiungono facilmente. Ad esempio, nell'espressione 49 + 29 + 51 +71, è prima più semplice sommare 49 + 51 = 100, poi 29 + 71 = 100 e infine 100 + 100 = 200. È molto più difficile sommare in questo modo: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Nel nostro esempio 2x + 28 + 9 + 5 ci sono due operazioni di addizione. Cominciamo con il termine più esterno (a sinistra): 2x + 28; non puoi sommare 2x e 28 perché non conosci il valore della variabile "x". Quindi aggiungi 28 + 9 = 37. Ora l'espressione può essere riscritta come segue: 2x + 37 - 5.

7. Sottrarre. Questa è l'ultima operazione effettuata nel giusto ordine eseguire operazioni matematiche. In questa fase puoi anche aggiungere numeri negativi oppure fallo nella fase di aggiunta dei membri: ciò non influirà in alcun modo sul risultato finale.

   • Nel nostro esempio 2x + 37 - 5 c'è una sola operazione di sottrazione: 37 - 5 = 32.

8. A questo punto, dopo aver eseguito tutte le operazioni matematiche, dovresti ottenere un'espressione semplificata. Ma se l'espressione che ti viene data contiene una o più variabili, ricorda che il termine con la variabile rimarrà così com'è. Risolvere (non semplificare) un'espressione con una variabile implica trovare il valore di quella variabile. A volte le espressioni variabili possono essere semplificate utilizzando metodi speciali(vedi sezione successiva).

   • Nel nostro esempio, la risposta finale è 2x + 32. Non puoi sommare i due termini finché non conosci il valore della variabile "x". Una volta che conosci il valore della variabile, puoi facilmente semplificare questo binomio.

   Semplificazione di espressioni complesse

   1. Aggiunta di termini simili. Ricorda che puoi solo sottrarre e aggiungere termini simili, cioè termini con la stessa variabile e lo stesso esponente. Ad esempio, puoi sommare 7x e 5x, ma non puoi sommare 7x e 5x 2 (poiché gli esponenti sono diversi).

      • Questa regola si applica anche ai membri con più variabili. Ad esempio, puoi aggiungere 2xy 2 e -3xy 2 , ma non puoi aggiungere 2xy 2 e -3x 2 y o 2xy 2 e -3y 2 .
      • Consideriamo un esempio: x 2 + 3x + 6 - 8x. Qui i termini simili sono 3x e 8x, quindi possono essere sommati. Un'espressione semplificata è questa: x 2 - 5x + 6.

   2. Semplifica la frazione numerica. In tale frazione, sia il numeratore che il denominatore contengono numeri (senza variabile). Frazione numerica semplificato in diversi modi. Per prima cosa dividi semplicemente il denominatore per il numeratore. In secondo luogo, fattorizza il numeratore e il denominatore e annulla i fattori simili (poiché dividendo un numero per se stesso otterrai 1). In altre parole, se sia il numeratore che il denominatore hanno lo stesso fattore, puoi eliminarlo e ottenere una frazione semplificata.

      • Consideriamo ad esempio la frazione 36/60. Usando una calcolatrice, dividi 36 per 60 per ottenere 0,6. Ma puoi semplificare questa frazione in un altro modo fattorizzando il numeratore e il denominatore: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Poiché 6/6 = 1, la frazione semplificata è: 1 x 6/10 = 6/10. Ma questa frazione può anche essere semplificata: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Se una frazione contiene una variabile, puoi cancellare fattori simili con la variabile. Fattorizza sia il numeratore che il denominatore e cancella i fattori simili, anche se contengono la variabile (ricorda che i fattori simili qui possono o meno contenere la variabile).

      • Consideriamo un esempio: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Questa espressione può essere riscritta (fattorizzata) nella forma: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Poiché il termine 3x è sia al numeratore che al denominatore, puoi cancellarlo per ottenere un'espressione semplificata: (x + 1)/(5 - x). Consideriamo un altro esempio: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Tieni presente che non puoi cancellare alcun termine: vengono cancellati solo i fattori identici presenti sia al numeratore che al denominatore. Ad esempio, nell'espressione (x(x + 2))/x, la variabile (fattore) “x” è sia al numeratore che al denominatore, quindi “x” può essere ridotto per ottenere un'espressione semplificata: (x + 2)/1 = x + 2. Tuttavia, nell'espressione (x + 2)/x, la variabile “x” non può essere ridotta (poiché “x” non è un fattore nel numeratore).

   4. Apri le parentesi. Per fare ciò, moltiplica il termine fuori parentesi per ciascun termine tra parentesi. A volte questo aiuta a semplificare un'espressione complessa. Questo vale sia per i membri che sono numeri primi sia per i membri che contengono una variabile.

      • Ad esempio, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 e 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Tieni presente che nelle espressioni frazionarie non è necessario aprire le parentesi se lo stesso fattore è presente sia al numeratore che al denominatore. Ad esempio, nell'espressione (3(x 2 + 8))/3x non è necessario espandere le parentesi, poiché qui puoi cancellare il fattore 3 e ottenere l'espressione semplificata (x 2 + 8)/x. È più facile lavorare con questa espressione; se espandessi le parentesi, otterresti la seguente espressione complessa: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Polinomi fattoriali. Usando questo metodo, puoi semplificare alcune espressioni e polinomi. La fattorizzazione è l'operazione opposta all'apertura di parentesi, ovvero un'espressione viene scritta come il prodotto di due espressioni, ciascuna delle quali è racchiusa tra parentesi. In alcuni casi, la fattorizzazione consente di ridurre la stessa espressione. In casi particolari (solitamente con equazioni quadratiche) La fattorizzazione ti consentirà di risolvere l'equazione.

      • Considera l'espressione x 2 - 5x + 6. È scomposta: (x - 3)(x - 2). Pertanto, se, ad esempio, l'espressione è data (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), allora puoi riscriverla come (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), ridurre l'espressione (x - 2) e ottenere un'espressione semplificata (x - 3)/2.
      • La fattorizzazione dei polinomi viene utilizzata per risolvere (trovare le radici) equazioni (un'equazione è un polinomio uguale a 0). Ad esempio, considera l'equazione x 2 - 5x + 6 = 0. Fattorizzandola, ottieni (x - 3)(x - 2) = 0. Poiché qualsiasi espressione moltiplicata per 0 è uguale a 0, possiamo scriverla come questo: x - 3 = 0 e x - 2 = 0. Quindi, x = 3 e x = 2, cioè hai trovato due radici dell'equazione che ti è stata data.

Semplificare le espressioni algebriche è uno dei punti chiave imparare l'algebra e un'abilità estremamente utile per tutti i matematici. La semplificazione consente di ridurre un'espressione complessa o lunga in un'espressione semplice con cui sia facile lavorare. Le competenze di base di semplificazione vanno bene anche per chi non è entusiasta della matematica. Osservandone diversi regole semplici, puoi semplificare molti dei tipi più comuni di espressioni algebriche senza alcuna conoscenza matematica speciale.

Passi

Definizioni importanti

1. Membri simili. Si tratta di membri con una variabile dello stesso ordine, membri con le stesse variabili o membri liberi (membri che non contengono una variabile). In altre parole, termini simili includono la stessa variabile nella stessa misura, includono diverse variabili identiche o non includono affatto una variabile. L'ordine dei termini nell'espressione non ha importanza.

   • Ad esempio, 3x 2 e 4x 2 sono termini simili perché contengono una variabile del secondo ordine (alla seconda potenza) "x". Tuttavia x e x2 non sono termini simili, poiché contengono la variabile “x” di ordine diverso (primo e secondo). Allo stesso modo, -3yx e 5xz non sono termini simili perché contengono variabili diverse.

2. Fattorizzazione. Si tratta di trovare numeri il cui prodotto porta al numero originale. Qualsiasi numero originale può avere diversi fattori. Ad esempio, il numero 12 può essere scomposto in riga successiva fattori: 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4, quindi possiamo dire che i numeri 1, 2, 3, 4, 6 e 12 sono fattori del numero 12. I fattori sono la stessa cosa dei divisori, cioè il numeri per i quali viene diviso il numero originale.

   • Ad esempio, se vuoi fattorizzare il numero 20, scrivilo in questo modo: 4×5.
   • Si noti che durante la fattorizzazione, la variabile viene presa in considerazione. Ad esempio, 20x = 4(5x).
   • I numeri primi non possono essere scomposti perché sono divisibili solo per se stessi e per 1.

3. Ricorda e segui l'ordine delle operazioni per evitare errori.

   • Parentesi
   • Grado
   • Moltiplicazione
   • Divisione
   • Aggiunta
   • Sottrazione

   Portare membri simili

   1. Scrivi l'espressione. Semplici espressioni algebriche (quelle che non contengono frazioni, radici, ecc.) possono essere risolte (semplificate) in pochi passaggi.

      • Ad esempio, semplifica l'espressione 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definire termini simili (termini con una variabile dello stesso ordine, termini con le stesse variabili o termini liberi).

      • Trova termini simili in questa espressione. I termini 2x e 4x contengono una variabile dello stesso ordine (prima). Inoltre, 1 e -3 sono termini liberi (non contengono una variabile). Quindi, in questa espressione i termini 2x e 4x sono simili, e i membri 1 e -3 sono anche simili.

   3. Fornisci membri simili. Ciò significa aggiungerli o sottrarli e semplificare l'espressione.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Riscrivi l'espressione tenendo conto dei termini indicati. Otterrai un'espressione semplice con meno termini. La nuova espressione è uguale a quella originale.

      • Nel nostro esempio: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x-2, ovvero l'espressione originale è semplificata e più facile da utilizzare.

   5. Segui l'ordine delle operazioni quando porti membri simili. Nel nostro esempio, è stato facile fornire termini simili. Tuttavia, nel caso espressioni complesse, in cui i termini sono racchiusi tra parentesi e sono presenti frazioni e radici, non è così facile riportare tali termini. In questi casi, seguire l'ordine delle operazioni.

      • Ad esempio, considera l'espressione 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Qui sarebbe un errore definire subito 3x e 2x come termini simili e darli, perché è necessario prima aprire le parentesi. Pertanto, eseguire le operazioni secondo il loro ordine.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ora, quando l'espressione contiene solo operazioni di addizione e sottrazione, puoi riportare termini simili.
        • x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x2 + 12x + 3

   Togliendo il moltiplicatore tra parentesi

   1. Trova il massimo comun divisore (MCD) di tutti i coefficienti dell'espressione. GCD lo è numero maggiore, per il quale vengono divisi tutti i coefficienti dell'espressione.

      • Ad esempio, considera l'equazione 9x 2 + 27x - 3. In questo caso, MCD = 3, poiché qualsiasi coefficiente di questa espressione è divisibile per 3.

   2. Dividi ciascun termine dell'espressione per MCD. I termini risultanti conterranno coefficienti più piccoli rispetto all'espressione originale.

      • Nel nostro esempio, dividi ciascun termine nell'espressione per 3.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Il risultato è stato un'espressione 3x2 + 9x - 1. Non è uguale all'espressione originale.

   3. Annota l'espressione originale come uguale al prodotto di mcd e l'espressione risultante. Cioè, racchiudi l'espressione risultante tra parentesi e togli il mcd dalle parentesi.

      • Nel nostro esempio: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x2 + 9x - 1)

   4. Semplificare le espressioni frazionarie mettendo il fattore tra parentesi. Perché mettere semplicemente il moltiplicatore tra parentesi, come è stato fatto prima? Quindi, per imparare a semplificare espressioni complesse, come le espressioni frazionarie. In questo caso, mettere il fattore tra parentesi può aiutare a eliminare la frazione (dal denominatore).

      • Ad esempio, considera l'espressione frazionaria (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizza la fattorizzazione per semplificare questa espressione.
        • Metti il ​​fattore 3 tra parentesi (come hai fatto prima): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Nota che ora c'è un 3 sia al numeratore che al denominatore. Questo può essere ridotto per ottenere l'espressione: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Poiché qualsiasi frazione che ha il numero 1 al denominatore è semplicemente uguale al numeratore, l'espressione frazionaria originale si semplifica in: 3x2 + 9x - 1.

   Ulteriori metodi di semplificazione

4. Consideriamo un semplice esempio: √(90). Il numero 90 può essere scomposto nei seguenti fattori: 9 e 10 ed estratto da 9 radice quadrata(3) e rimuovi 3 da sotto la radice.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Semplificare le espressioni con le potenze. Alcune espressioni contengono operazioni di moltiplicazione o divisione di termini con potenze. Nel caso di moltiplicazione di termini con la stessa base si sommano le loro potenze; nel caso di divisione di termini con la stessa base si sottraggono i loro gradi.

   • Consideriamo ad esempio l'espressione 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Nel caso della moltiplicazione sommare le potenze, nel caso della divisione sottrarle.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Quella che segue è una spiegazione delle regole per moltiplicare e dividere termini con potenze.
     • Moltiplicare i termini per le potenze equivale a moltiplicare i termini per se stessi. Ad esempio, poiché x 3 = x × x × x e x 5 = x × x × x × x × x, allora x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) o x8 .
     • Allo stesso modo, dividere i termini per gradi equivale a dividere i termini per se stessi. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Poiché i termini simili presenti sia al numeratore che al denominatore possono essere ridotti, il prodotto di due “x”, o x 2 , rimane al numeratore.

• Ricorda sempre i segni (più o meno) prima dei termini dell'espressione, poiché molte persone hanno difficoltà a scegliere il segno corretto.
• Chiedi aiuto se necessario!
• Semplificare le espressioni algebriche non è facile, ma una volta capito, è un'abilità che puoi utilizzare per il resto della tua vita.

Espressione algebrica in cui, insieme alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, divisione per espressioni letterali, è detta espressione algebrica frazionaria. Tali sono, ad esempio, le espressioni

Chiamiamo frazione algebrica un'espressione algebrica che ha la forma di un quoziente della divisione di due espressioni algebriche intere (ad esempio monomi o polinomi). Tali sono, ad esempio, le espressioni

La terza delle espressioni).

Le trasformazioni identiche delle espressioni algebriche frazionarie sono per la maggior parte destinate a rappresentarle nella forma frazione algebrica. Per trovare il denominatore comune, viene utilizzata la fattorizzazione dei denominatori delle frazioni, termini per trovare il loro minimo comune multiplo. Quando si riducono le frazioni algebriche, la stretta identità delle espressioni può essere violata: è necessario escludere valori di quantità ai quali il fattore con cui viene effettuata la riduzione diventa zero.

Diamo esempi di trasformazioni identiche di espressioni algebriche frazionarie.

Esempio 1: semplificare un'espressione

Tutti i termini possono essere ridotti a un denominatore comune (è conveniente cambiare il segno al denominatore dell'ultimo termine e il segno che lo precede):

La nostra espressione è uguale a uno per tutti i valori tranne questi valori; non è definita e ridurre la frazione è illegale).

Esempio 2. Rappresenta l'espressione come una frazione algebrica

Soluzione. Per denominatore comune possiamo accettare l'espressione . Troviamo in sequenza:

Esercizi

1. Trova i valori delle espressioni algebriche per i valori dei parametri specificati:

2. Fattorizzare.

Nota 1

Una funzione booleana può essere scritta utilizzando un'espressione booleana e può quindi essere spostata in un circuito logico. È necessario semplificare le espressioni logiche per ottenere il circuito logico più semplice (e quindi più economico) possibile. Essenzialmente una funzione logica, un'espressione logica e un circuito logico sono tre lingue diverse, raccontando di un'entità.

Per semplificare le espressioni logiche utilizzare leggi della logica algebrica.

Alcune trasformazioni sono simili alle trasformazioni di formule nell'algebra classica (togliendo il fattore comune tra parentesi, usando leggi commutative e combinatorie, ecc.), mentre altre trasformazioni si basano su proprietà che le operazioni dell'algebra classica non hanno (usando la proprietà distributiva legge della congiunzione, leggi dell'assorbimento, dell'incollaggio, regole di de Morgan, ecc.).

Le leggi dell'algebra logica sono formulate per le operazioni logiche di base: “NOT” – inversione (negazione), “AND” – congiunzione (moltiplicazione logica) e “OR” – disgiunzione (addizione logica).

La legge della doppia negazione significa che l'operazione “NOT” è reversibile: se la applichi due volte, alla fine il valore logico non cambierà.

La legge del terzo escluso afferma che qualsiasi espressione logica è vera o falsa (“non esiste un terzo”). Pertanto, se $A=1$, allora $\bar(A)=0$ (e viceversa), ciò significa che la congiunzione di queste quantità è sempre uguale a zero e la disgiunzione è sempre uguale a uno.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Semplifichiamo questa formula:

Figura 3.

Ne consegue che $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Risposta: Gli studenti $B$, $C$ e $D$ giocano a scacchi, ma lo studente $A$ non gioca.

Quando si semplificano le espressioni logiche, è possibile eseguire la seguente sequenza di azioni:

1. Sostituisci tutte le operazioni “non basilari” (equivalenza, implicazione, OR esclusivo, ecc.) con le loro espressioni attraverso le operazioni basilari di inversione, congiunzione e disgiunzione.
2. Espandi le inversioni di espressioni complesse secondo le regole di De Morgan in modo tale che le operazioni di negazione rimangano solo per le singole variabili.
3. Quindi semplifica l'espressione utilizzando parentesi aperte, posizionando i fattori comuni fuori parentesi e altre leggi dell'algebra logica.

Esempio 2

Qui si utilizzano successivamente la regola di De Morgan, la legge distributiva, la legge del terzo escluso, la legge commutativa, la legge di ripetizione, ancora la legge commutativa e la legge di assorbimento.