All'inizio della lezione esamineremo le proprietà di base radici quadrate, e poi considerane alcuni esempi complessi per semplificare le espressioni contenenti radici quadrate.
Soggetto:Funzione. Proprietà della radice quadrata
Lezione:Conversione e semplificazione di espressioni più complesse con radici
1. Richiami sulle proprietà delle radici quadrate
Ripetiamo brevemente la teoria e ricordiamo le proprietà fondamentali delle radici quadrate.
Proprietà delle radici quadrate:
1. quindi, ;
3. 
;
4. 
.
2. Esempi di semplificazione di espressioni con radici
Passiamo agli esempi di utilizzo di queste proprietà.
Esempio 1: semplificare un'espressione 
.
Soluzione. Per semplificare, il numero 120 deve essere scomposto in fattori primi:
Riveleremo il quadrato della somma utilizzando la formula appropriata:
Esempio 2: semplificare un'espressione 
.
Soluzione. Teniamo presente che questa espressione non ha senso per tutti i possibili valori della variabile, poiché questa espressione contiene radici quadrate e frazioni, il che porta ad un "restringimento" dell'intervallo di valori consentiti. ODZ: 
().
Riduciamo l'espressione tra parentesi a denominatore comune e scrivi il numeratore dell'ultima frazione come differenza di quadrati:
Risposta. A.
Esempio 3: semplificare un'espressione 
.
Soluzione. Si può notare che la seconda parentesi del numeratore ha un aspetto scomodo e necessita di essere semplificata, proviamo a fattorizzarla utilizzando il metodo del raggruppamento;
Per poter ricavare un fattore comune, abbiamo semplificato le radici fattorizzandole. Sostituiamo l'espressione risultante nella frazione originale:
Dopo aver ridotto la frazione, applichiamo la formula della differenza dei quadrati.
3. Un esempio di come sbarazzarsi dell'irrazionalità
Esempio 4. Liberarsi dall'irrazionalità (radici) al denominatore: a) ; B) .
Soluzione. a) Per eliminare l'irrazionalità nel denominatore, viene utilizzato il metodo standard di moltiplicare sia il numeratore che il denominatore di una frazione per il fattore coniugato al denominatore (la stessa espressione, ma con il segno opposto). Questo viene fatto per completare il denominatore della frazione con la differenza dei quadrati, il che consente di eliminare le radici nel denominatore. Facciamo questo nel nostro caso:
b) eseguire azioni simili:
4. Un esempio per la dimostrazione e per isolare un quadrato completo in un radicale complesso
Esempio 5. Dimostrare l'uguaglianza 
.
Prova. Usiamo la definizione di radice quadrata, da cui segue che il quadrato dell'espressione di destra deve essere uguale all'espressione radicale:
. Apriamo le parentesi utilizzando la formula del quadrato della somma:
, abbiamo ottenuto l'uguaglianza corretta.
Comprovato.
Esempio 6. Semplifica l'espressione.
Soluzione. Questa espressione è solitamente chiamata radicale complesso (radice sotto radice). In questo esempio, devi indovinare per isolare un quadrato completo dall'espressione radicale. Per fare ciò, nota che dei due termini, è candidato al ruolo di doppio prodotto nella formula per la differenza al quadrato (differenza, poiché c'è un meno). Scriviamolo nella forma del seguente prodotto: , allora 1 pretende di essere uno dei termini del quadrato completo, e 1 pretende di essere il secondo.
Sostituiamo questa espressione sotto la radice.
Sezione 5 ESPRESSIONI ED EQUAZIONI
In questa sezione imparerai:
ü o espressioni e loro semplificazioni;
ü quali sono le proprietà delle uguaglianze;
ü come risolvere equazioni basate sulle proprietà delle uguaglianze;
ü quali tipi di problemi vengono risolti utilizzando le equazioni; cosa sono le linee perpendicolari e come costruirle;
ü quali linee sono chiamate parallele e come costruirle;
ü cos'è un piano di coordinate?
ü come determinare le coordinate di un punto su un piano;
ü cos'è un grafico della relazione tra quantità e come costruirlo;
ü come applicare nella pratica il materiale studiato
§ 30. ESPRESSIONI E LORO SEMPLIFICAZIONE
Sai già cosa sono le espressioni delle lettere e sai come semplificarle utilizzando le leggi dell'addizione e della moltiplicazione. Ad esempio, 2a ∙ (-4 b) = -8ab . Nell'espressione risultante, il numero -8 è chiamato coefficiente dell'espressione.
Fa l'espressione CD coefficiente? COSÌ. È uguale a 1 perché cd - 1 ∙ cd .
Ricordiamo che convertire un'espressione con parentesi in un'espressione senza parentesi si chiama espansione delle parentesi. Ad esempio: 5(2x + 4) = 10x+ 20.
L'azione inversa in questo esempio è togliere il fattore comune dalle parentesi.
I termini contenenti gli stessi fattori di lettere sono chiamati termini simili. Togliendo il fattore comune dalle parentesi, vengono sollevati termini simili:
5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =
= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =
Bx+ 7y - 5.
Regole per aprire le parentesi
1. Se c'è un segno "+" davanti alle parentesi, quando si aprono le parentesi, i segni dei termini tra parentesi vengono preservati;
2. Se c'è un segno "-" davanti alle parentesi, quando le parentesi vengono aperte, i segni dei termini tra parentesi cambiano al contrario.
Compito 1. Semplifica l'espressione:
1) 4x+(-7x + 5);
2) 15 a -(-8 + 7 a ).
Soluzioni. 1. Prima delle parentesi c'è un segno "+", quindi quando si aprono le parentesi, i segni di tutti i termini vengono preservati:
4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.
2. Prima delle parentesi c'è il segno “-”, quindi quando si aprono le parentesi: i segni di tutti i termini sono invertiti:
15 - (- 8 + 7a) = 15a + 8 - 7a = 8a +8.
Per aprire le parentesi, utilizzare la proprietà distributiva della moltiplicazione: a( b + c ) = ab + ac. Se a > 0, allora i segni dei termini B e con non cambiare. Se a< 0, то знаки слагаемых B e cambiare al contrario.
Attività 2. Semplifica l'espressione:
1) 2(6 a -8) + 7 a ;
2)-5(2-5x) + 12.
Soluzioni. 1. Il fattore 2 davanti alle parentesi è positivo, quindi, aprendo le parentesi, conserviamo i segni di tutti i termini: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.
2. Il fattore -5 davanti alle parentesi è negativo, quindi quando si aprono le parentesi cambiamo i segni di tutti i termini al contrario:
5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.
Scopri di più
1. La parola “sum” deriva dal latino summa , che significa “totale”, “importo totale”.
2. La parola “più” deriva dal latino più che significa "più" e la parola "meno" viene dal latino meno Cosa significa "meno"? I segni “+” e “-” vengono utilizzati per indicare le operazioni di addizione e sottrazione. Questi segni furono introdotti dallo scienziato ceco J. Widman nel 1489 nel libro “Un resoconto rapido e piacevole per tutti i commercianti”(Fig. 138).
Riso. 138
RICORDA L'IMPORTANTE
1. Quali termini sono chiamati simili? Come vengono costruiti tali termini?
2. Come si aprono le parentesi precedute dal segno “+”?
3. Come si aprono le parentesi precedute dal segno “-”?
4. Come si aprono le parentesi precedute da un fattore positivo?
5. Come si aprono le parentesi precedute da un fattore negativo?
1374". Assegnare un nome al coefficiente dell'espressione:
1)12a; 3) -5,6 xy;
2)4 6; 4)-s.
1375". Nomina i termini che differiscono solo per il coefficiente:
1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n+5m -4n+4;
2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.
Come si chiamano questi termini?
1376". Esistono termini simili nell'espressione:
1)11a+10a; 3)6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;
2) 14s-12; 4)12m+m; 6)8 k +10 k - n ?
1377". È necessario cambiare i segni dei termini tra parentesi, aprendo le parentesi nell'espressione:
1)4 + (a+ 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?
1378°. Semplifica l’espressione e sottolinea il coefficiente:
1379°. Semplifica l’espressione e sottolinea il coefficiente:
1380°. Combina termini simili:
1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10-4 d - 12 + 4 d ;
2) 4b - 5b + 4 + 5b ; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;
3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381°. Combina termini simili:
1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;
2)9b+12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.
1382°. Togli il fattore comune tra parentesi:
1)1,2a+1,2b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t ;
2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.
1383°. Togli il fattore comune tra parentesi:
1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;
2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.
1384°. Apri le parentesi e combina termini simili;
1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);
2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);
3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).
1385°. Apri le parentesi e combina termini simili:
1) 10a + (4 - 4a); 3) (s-5 d) - (- d + 5c);
2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).
1386°. Apri le parentesi e trova il significato dell'espressione:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Apri le parentesi e trova il significato dell'espressione:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Espandi le parentesi:
1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 T);
3) 1,6 ∙ (2 n+m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).
1389°. Espandi le parentesi:
1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );
2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Semplifichiamo l'espressione:
1391. Semplifichiamo l'espressione:
1392. Combina termini simili:
1393. Combina termini simili:
1394. Semplifichiamo l'espressione:
1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, per ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.
1395. Semplifichiamo l'espressione:
1396. Trovare il significato dell'espressione;
1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), se a = -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), se = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Trova il significato dell'espressione:
1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), se x = -0,25;
1398*. Trova l'errore nella soluzione:
1)5- (a-2.4)-7 ∙ (-a+ 1.2) = 5a - 12-7a + 8.4 = -2a-3.6;
2) -4 ∙ (2.3 a - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.
1399*. Apri le parentesi e semplifica l'espressione:
1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;
1400*. Disporre le parentesi per ottenere l'uguaglianza corretta:
1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .
1401*. Dimostrare che per qualsiasi numero a e b se a > b , allora vale l'uguaglianza:
1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.
Questa uguaglianza sarà corretta se: a) a< B ; b) a = 6?
1402*. Dimostralo per chiunque numero naturale e la media aritmetica dei numeri precedente e successivo è uguale al numero a.
METTILO IN PRATICA
1403. Per preparare un dolce alla frutta per tre persone occorrono: 2 mele, 1 arancia, 2 banane e 1 kiwi. Come creare un'espressione in lettere per determinare la quantità di frutta necessaria per preparare il dessert per gli ospiti? Aiuta Marin a calcolare quanti frutti deve comprare se: 1) 5 amici vengono a trovarla; 2) 8 amici.
1404. Crea un'espressione di lettere per determinare il tempo richiesto per completare i compiti di matematica se:
1) è stato dedicato un minuto alla risoluzione dei problemi; 2) la semplificazione delle espressioni è 2 volte maggiore rispetto alla risoluzione dei problemi. Quanto tempo è stato necessario per completarlo compiti a casa Vasilko, se impiegasse 15 minuti a risolvere i problemi?
1405. Il pranzo nella mensa scolastica è composto da insalata, borscht, involtini di cavolo e composta. Il costo dell'insalata è del 20%, borscht - 30%, involtini di cavolo - 45%, composta - 5% costo totale solo pranzo. Scrivi un'espressione per trovare il costo del pranzo nella mensa scolastica. Quanto costa il pranzo se il prezzo dell'insalata è 2 UAH?
PROBLEMI DI REVISIONE
1406. Risolvi l'equazione:
1407. Tanya spende per il gelatotutto il denaro disponibile, e per le caramelle -il riposo. Quanti soldi sono rimasti a Tanya?
se le caramelle costano 12 UAH?
Qualsiasi lingua può esprimere le stesse informazioni in parole diverse e rivoluzioni. Il linguaggio matematico non fa eccezione. Ma la stessa espressione può essere scritta in modo equivalente in diversi modi. E in alcune situazioni, una delle voci è più semplice. Parleremo di semplificare le espressioni in questa lezione.
Le persone continuano a comunicare lingue diverse. Per noi confronto importanteè la coppia “lingua russa - lingua matematica”. Le stesse informazioni possono essere comunicate in diverse lingue. Ma oltre a ciò, nella stessa lingua può essere pronunciato in modi diversi.
Ad esempio: "Petya è amico di Vasya", "Vasya è amico di Petya", "Petya e Vasya sono amici". Detto diversamente, ma è la stessa cosa. Da una qualsiasi di queste frasi capiremmo di cosa stiamo parlando.
Diamo un'occhiata a questa frase: "Il ragazzo Petya e il ragazzo Vasya sono amici". Capiamo cosa intendiamo stiamo parlando. Tuttavia non ci piace il suono di questa frase. Non possiamo semplificarlo, dire la stessa cosa, ma più semplice? "Ragazzo e ragazzo" - puoi dire una volta: "I ragazzi Petya e Vasya sono amici".
“Ragazzi”... Non è chiaro dai loro nomi che non sono ragazze? Rimuoviamo i "ragazzi": "Petya e Vasya sono amici". E la parola "amici" può essere sostituita con "amici": "Petya e Vasya sono amici". Di conseguenza, la prima, lunga e brutta frase è stata sostituita con un'affermazione equivalente, più facile da dire e da capire. Abbiamo semplificato questa frase. Semplificare significa dirlo in modo più semplice, senza però perderne o stravolgerne il significato.
Nel linguaggio matematico accade più o meno la stessa cosa. La stessa cosa si può dire, scritta diversamente. Cosa significa semplificare un'espressione? Ciò significa che per l'espressione originale esistono molte espressioni equivalenti, cioè che significano la stessa cosa. E tra tutta questa varietà dobbiamo scegliere quella più semplice, a nostro avviso, ovvero quella più adatta ai nostri scopi ulteriori.
Ad esempio, considera espressione numerica. Sarà equivalente a .
Sarà anche equivalente ai primi due: 
.
Risulta che abbiamo semplificato le nostre espressioni e trovato l'espressione equivalente più breve.
Per le espressioni numeriche, è sempre necessario eseguire tutti i passaggi e ottenere l'espressione equivalente come un singolo numero.
Consideriamo un esempio di espressione letterale . Ovviamente sarà più semplice.
Quando si semplificano le espressioni letterali, è necessario eseguire tutte le azioni possibili.
È sempre necessario semplificare un'espressione? No, a volte ci sarà più conveniente avere un ingresso equivalente ma più lungo.
Esempio: devi sottrarre un numero da un numero.
È possibile calcolare, ma se il primo numero fosse rappresentato dalla sua notazione equivalente: , i calcoli sarebbero istantanei: .
Cioè, un'espressione semplificata non è sempre vantaggiosa per noi per ulteriori calcoli.
Tuttavia, molto spesso ci troviamo di fronte a un compito che suona semplicemente come “semplificare l’espressione”.
Semplifica l'espressione: .
Soluzione
1) Eseguire le azioni indicate nella prima e nella seconda parentesi: .
2) Calcoliamo i prodotti: .
Ovviamente l'ultima espressione ha una forma più semplice di quella iniziale. Lo abbiamo semplificato.
Per semplificare l'espressione è necessario sostituirla con un equivalente (uguale).
Per determinare l'espressione equivalente è necessario:
1) eseguire tutte le azioni possibili,
2) utilizzare le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per semplificare i calcoli.
Proprietà di addizione e sottrazione:
1. Proprietà commutativa dell'addizione: riordinare i termini non cambia la somma.
2. Proprietà combinatoria dell'addizione: per aggiungere un terzo numero alla somma di due numeri, puoi aggiungere la somma del secondo e del terzo numero al primo numero.
3. La proprietà di sottrarre una somma da un numero: per sottrarre una somma da un numero, puoi sottrarre ogni termine separatamente.
Proprietà della moltiplicazione e della divisione
1. Proprietà commutativa della moltiplicazione: riordinare i fattori non cambia il prodotto.
2. Proprietà combinatoria: per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.
3. Proprietà distributiva della moltiplicazione: per moltiplicare un numero per una somma, è necessario moltiplicarlo per ciascun termine separatamente.
Vediamo come eseguiamo effettivamente i calcoli mentali.
Calcolare:
Soluzione
1) Immaginiamo come
2) Immaginiamo il primo fattore come somma di termini in bit ed eseguiamo la moltiplicazione:
3) puoi immaginare come ed eseguire la moltiplicazione:
4) Sostituisci il primo fattore con una somma equivalente:
Si può usare anche la legge distributiva retro: .
Segui questi passaggi:
1) 
2) 
Soluzione
1) Per comodità, puoi usare la legge distributiva, usala solo nella direzione opposta: togli il fattore comune tra parentesi.
2) Togliamo il fattore comune tra parentesi
È necessario acquistare linoleum per la cucina e il corridoio. Zona cottura - , disimpegno - . Esistono tre tipi di linoleum: per e rubli per. Quanto costerà ciascuno? tre tipi linoleum? (Fig.1)
Riso. 1. Illustrazione per la dichiarazione del problema
Soluzione
Metodo 1. Puoi scoprire separatamente quanti soldi ci vorranno per acquistare linoleum per la cucina, quindi nel corridoio e sommare i prodotti risultanti.
Un'espressione letterale (o espressione variabile) è un'espressione matematica composta da numeri, lettere e simboli matematici. Ad esempio, la seguente espressione è letterale:
a+b+4
Usando le espressioni alfabetiche puoi scrivere leggi, formule, equazioni e funzioni. La capacità di manipolare le espressioni delle lettere è la chiave per una buona conoscenza dell'algebra e della matematica superiore.
Qualsiasi problema serio in matematica si riduce alla risoluzione di equazioni. E per poter risolvere le equazioni, devi essere in grado di lavorare con espressioni letterali.
Per lavorare con le espressioni letterali, devi essere esperto nell'aritmetica di base: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, leggi fondamentali della matematica, frazioni, operazioni con frazioni, proporzioni. E non solo studiare, ma comprendere a fondo.
Contenuto della lezioneVariabili
Vengono chiamate le lettere contenute in espressioni letterali variabili. Ad esempio, nell'espressione a+b+4 le variabili sono le lettere UN E B. Se sostituiamo qualsiasi numero al posto di queste variabili, l'espressione letterale a+b+4 si trasformerà in un'espressione numerica di cui è possibile trovare il valore.
Vengono chiamati i numeri che sostituiscono le variabili valori delle variabili. Ad esempio, cambiamo i valori delle variabili UN E B. Il segno uguale viene utilizzato per modificare i valori
a = 2, b = 3
Abbiamo cambiato i valori delle variabili UN E B. Variabile UN assegnato un valore 2 , variabile B assegnato un valore 3 . L'espressione letterale risultante a+b+4 si trasforma in un'espressione numerica regolare 2+3+4 il cui valore può essere trovato:
2 + 3 + 4 = 9
Quando le variabili vengono moltiplicate, vengono scritte insieme. Ad esempio, registra ab significa lo stesso della voce a×b. Se sostituiamo le variabili UN E B numeri 2 E 3 , quindi otteniamo 6
2×3 = 6
Puoi anche scrivere insieme la moltiplicazione di un numero per un'espressione tra parentesi. Ad esempio, invece di a×(b + c) può essere scritto un(b+c). Applicando la legge di distribuzione della moltiplicazione, otteniamo a(b+c)=ab+ac.
Probabilità
Nelle espressioni letterali è spesso possibile trovare una notazione in cui, ad esempio, un numero e una variabile sono scritti insieme 3a. Questa è in realtà una scorciatoia per moltiplicare il numero 3 per una variabile. UN e questa voce assomiglia 3×a .
In altre parole, l'espressione 3aè il prodotto del numero 3 e della variabile UN. Numero 3 in questo lavoro chiamano coefficiente. Questo coefficiente mostra quante volte la variabile verrà aumentata UN. Questa espressione può essere letta come " UN tre volte" o "tre volte". UN", o "aumenta il valore di una variabile UN tre volte", ma molto spesso letto come "tre". UN«
Ad esempio, se la variabile UN uguale a 5 , quindi il valore dell'espressione 3a sarà pari a 15.
3×5 = 15
A proposito di in un linguaggio semplice, il coefficiente è il numero che precede la lettera (prima della variabile).
Possono esserci più lettere, ad esempio 5abc. Qui il coefficiente è il numero 5 . Questo coefficiente mostra che il prodotto delle variabili abc aumenta di cinque volte. Questa espressione può essere letta come " abc cinque volte" o "aumenta il valore dell'espressione abc cinque volte" o "cinque". abc«.
Se invece di variabili abc sostituire i numeri 2, 3 e 4, quindi il valore dell'espressione 5abc sarà uguale 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Puoi immaginare mentalmente come i numeri 2, 3 e 4 siano stati prima moltiplicati e il valore risultante sia aumentato di cinque volte:
Il segno del coefficiente si riferisce solo al coefficiente e non si applica alle variabili.
Considera l'espressione −6b. Meno prima del coefficiente 6 , si applica solo al coefficiente 6 e non appartiene alla variabile B. Comprendere questo fatto ti consentirà di non commettere errori in futuro con i segni.
Troviamo il valore dell'espressione −6b A b = 3.
−6b −6×b. Per chiarezza scriviamo l'espressione −6b in forma estesa e sostituire il valore della variabile B
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione −6b A b = −5
Scriviamo l'espressione −6b in forma espansa
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Esempio 3. Trova il valore di un'espressione −5a+b A un = 3 E b = 2
−5a+b questa è una forma abbreviata per −5 × a + b, quindi per chiarezza scriviamo l'espressione −5×a+b in forma espansa e sostituire i valori delle variabili UN E B
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
A volte, ad esempio, le lettere vengono scritte senza coefficiente UN O ab. In questo caso il coefficiente è unitario:
ma tradizionalmente l'unità non viene scritta, quindi scrivono semplicemente UN O ab
Se c'è un segno meno prima della lettera, il coefficiente è un numero −1 . Ad esempio, l'espressione −a sembra davvero −1a. Questo è il prodotto di meno uno e della variabile UN.È risultato così:
−1 × a = −1a
C'è un piccolo problema qui. Nell'espressione −a segno meno davanti alla variabile UN in realtà si riferisce a una "unità invisibile" piuttosto che a una variabile UN. Pertanto, dovresti fare attenzione quando risolvi i problemi.
Ad esempio, se viene data l'espressione −a e ci viene chiesto di trovarne il valore un = 2, poi a scuola abbiamo sostituito la variabile con il due UN e ha ricevuto una risposta −2 , senza soffermarsi troppo su come è andata a finire. Infatti meno uno veniva moltiplicato per il numero positivo 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Se viene data l'espressione −a e devi trovarne il valore un = −2, quindi sostituiamo −2 invece di una variabile UN
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Per evitare errori, inizialmente le unità invisibili possono essere scritte esplicitamente.
Esempio 4. Trova il valore di un'espressione abc A a=2 , b=3 E c=4
Espressione abc 1×a×b×c. Per chiarezza scriviamo l'espressione abc un, b E C
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Esempio 5. Trova il valore di un'espressione abc A a=−2 , b=−3 E c=−4
Scriviamo l'espressione abc in forma estesa e sostituire i valori delle variabili un, b E C
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Esempio 6. Trova il valore di un'espressione − abc A a=3, b=5 e c=7
Espressione − abc questa è una forma abbreviata per −1×a×b×c. Per chiarezza scriviamo l'espressione − abc in forma estesa e sostituire i valori delle variabili un, b E C
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Esempio 7. Trova il valore di un'espressione − abc A a=−2 , b=−4 e c=−3
Scriviamo l'espressione − abc in forma estesa:
−abc = −1 × a × b × c
Sostituiamo i valori delle variabili UN , B E C
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Come determinare il coefficiente
A volte è necessario risolvere un problema in cui è necessario determinare il coefficiente di un'espressione. In linea di principio, questo compito è molto semplice. È sufficiente essere in grado di moltiplicare correttamente i numeri.
Per determinare il coefficiente in un'espressione, è necessario moltiplicare separatamente i numeri inclusi in questa espressione e moltiplicare separatamente le lettere. Il fattore numerico risultante sarà il coefficiente.
Esempio 1. 7m×5a×(−3)×n
L'espressione è composta da diversi fattori. Questo può essere visto chiaramente se scrivi l'espressione in forma estesa. Cioè, i lavori 7m E 5a scrivilo nel modulo 7×m E 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Applichiamo la legge associativa della moltiplicazione, che ti consente di moltiplicare i fattori in qualsiasi ordine. Vale a dire, moltiplicheremo separatamente i numeri e moltiplicheremo separatamente le lettere (variabili):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105uomo
Il coefficiente è −105 . Dopo il completamento, è consigliabile disporre la parte delle lettere in ordine alfabetico:
−105 am
Esempio 2. Determinare il coefficiente nell'espressione: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Il coefficiente è 6.
Esempio 3. Determinare il coefficiente nell'espressione: 
Moltiplichiamo numeri e lettere separatamente:
Il coefficiente è −1. Si tenga presente che l'unità non viene svalutata poiché è consuetudine non scrivere il coefficiente 1.
Questi compiti apparentemente più semplici possono giocarci uno scherzo molto crudele. Spesso si scopre che il segno del coefficiente è impostato in modo errato: o manca il meno o, al contrario, è stato impostato invano. Per evitare questi fastidiosi errori occorre studiarlo ad un buon livello.
Additivi nelle espressioni letterali
Quando si sommano più numeri, si ottiene la somma di questi numeri. I numeri che si sommano si chiamano addendi. Possono esserci diversi termini, ad esempio:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Quando un'espressione è composta da termini, è molto più semplice da valutare perché aggiungere è più semplice che sottrarre. Ma l'espressione può contenere non solo addizione, ma anche sottrazione, ad esempio:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
In questa espressione, i numeri 3 e 5 sono sottraendo, non addendi. Ma nulla ci impedisce di sostituire la sottrazione con l’addizione. Quindi otteniamo di nuovo un'espressione composta da termini:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Non importa che i numeri −3 e −5 ora abbiano un segno meno. La cosa principale è che tutti i numeri in questa espressione sono collegati da un segno di addizione, cioè l'espressione è una somma.
Entrambe le espressioni 1 + 2 − 3 + 4 − 5 E 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) uguale allo stesso valore - meno uno
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Pertanto, il significato dell'espressione non verrà compromesso se da qualche parte sostituiamo la sottrazione con l'addizione.
Puoi anche sostituire la sottrazione con l'addizione nelle espressioni letterali. Consideriamo ad esempio la seguente espressione:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Per qualsiasi valore delle variabili a, b, c, d E S espressioni 7a + 6b − 3c + 2d − 4s E 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) sarà uguale allo stesso valore.
Devi essere preparato al fatto che un insegnante a scuola o un insegnante in un istituto possono chiamare numeri pari (o variabili) che non sono addendi.
Ad esempio, se la differenza è scritta sulla lavagna a−b, allora l'insegnante non lo dirà UNè un minuendo, e B- sottraibile. Chiamerà entrambe le variabili una in termini generali — termini. E tutto perché l'espressione della forma a−b il matematico vede come si ottiene la somma a+(-b). In questo caso, l'espressione diventa una somma e le variabili UN E (-b) diventare termini.
Termini simili
Termini simili- questi sono termini che hanno la stessa lettera. Consideriamo ad esempio l'espressione 7a+6b+2a. Componenti 7a E 2a hanno la stessa parte di lettera - variabile UN. Quindi i termini 7a E 2a sono simili.
In genere, termini simili vengono aggiunti per semplificare un'espressione o risolvere un'equazione. Questa operazione si chiama portando termini simili.
Per riportare termini simili, è necessario aggiungere i coefficienti di questi termini e moltiplicare il risultato risultante per la parte comune della lettera.
Ad esempio, presentiamo termini simili nell'espressione 3a+4a+5a. In questo caso, tutti i termini sono simili. Sommiamo i loro coefficienti e moltiplichiamo il risultato per la parte comune della lettera, per la variabile UN
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Di solito vengono in mente termini simili e il risultato viene annotato immediatamente:
3a + 4a + 5a = 12a
Inoltre si può ragionare così:
C'erano 3 variabili a , altre 4 variabili a e altre 5 variabili a sono state aggiunte ad esse. Di conseguenza, abbiamo ottenuto 12 variabili a
Diamo un'occhiata a diversi esempi di termini simili. Considerando che questo argomento è molto importante, inizialmente annoteremo in dettaglio ogni piccolo dettaglio. Anche se qui tutto è molto semplice, la maggior parte delle persone commette molti errori. Principalmente per disattenzione, non per ignoranza.
Esempio 1. 3a+2a+6a+8 UN
Sommiamo i coefficienti di questa espressione e moltiplichiamo il risultato risultante per la parte comune della lettera:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
progetto (3 + 2 + 6 + 8)×a Non è necessario scriverlo, quindi scriveremo subito la risposta
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Esempio 2. Fornisci termini simili nell'espressione 2a+a
Secondo termine UN scritto senza coefficiente, ma in realtà c'è un coefficiente davanti 1 , che non vediamo perché non registrato. Quindi l'espressione è questa:
2a+1a
Ora presentiamo termini simili. Cioè, sommiamo i coefficienti e moltiplichiamo il risultato per la parte comune della lettera:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Scriviamo brevemente la soluzione:
2a + a = 3a
2a+a, puoi pensare diversamente:
Esempio 3. Fornisci termini simili nell'espressione 2a-a
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:
2a + (-a)
Secondo termine (-a) scritto senza coefficiente, ma in realtà sembra (-1a). Coefficiente −1 nuovamente invisibile per il fatto che non viene registrato. Quindi l'espressione è questa:
2a + (-1a)
Ora presentiamo termini simili. Sommiamo i coefficienti e moltiplichiamo il risultato per la parte totale della lettera:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Di solito scritto più breve:
2a − un = un
Fornire termini simili nell'espressione 2a-a Puoi pensare diversamente:
C'erano 2 variabili a, sottrai una variabile a, alla fine rimaneva solo una variabile a
Esempio 4. Fornisci termini simili nell'espressione 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Ora presentiamo termini simili. Sommiamo i coefficienti e moltiplichiamo il risultato per la parte totale delle lettere
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Scriviamo brevemente la soluzione:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Esistono espressioni che contengono diversi gruppi di termini simili. Per esempio, 3a+3b+7a+2b. Per tali espressioni valgono le stesse regole delle altre, cioè sommare i coefficienti e moltiplicare il risultato risultante per la parte comune della lettera. Ma per evitare errori, è conveniente gruppi diversi termini sottolineati linee diverse.
Ad esempio, nell'espressione 3a+3b+7a+2b quei termini che contengono una variabile UN, possono essere sottolineati con una riga, e quei termini che contengono una variabile B, può essere sottolineato con due righe:
Ora possiamo presentare termini simili. Cioè, aggiungi i coefficienti e moltiplica il risultato risultante per la parte totale della lettera. Questo deve essere fatto per entrambi i gruppi di termini: per i termini che contengono una variabile UN e per termini contenenti una variabile B.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Ancora una volta, lo ripetiamo, l’espressione è semplice e si possono pensare a termini simili:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Esempio 5. Fornisci termini simili nell'espressione 5a − 6a −7b + b
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Sottolineiamo termini simili con linee diverse. Termini contenenti variabili UN sottolineiamo con una riga e i termini sono il contenuto delle variabili B, sottolinea con due righe:
Ora possiamo presentare termini simili. Cioè, aggiungi i coefficienti e moltiplica il risultato risultante per la parte comune della lettera:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Se l'espressione contiene numeri ordinari senza fattori di lettere, vengono aggiunti separatamente.
Esempio 6. Fornisci termini simili nell'espressione 4a + 3a - 5 + 2b + 7
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Presentiamo termini simili. Numeri −5 E 7 non hanno fattori letterali, ma sono termini simili: devono solo essere aggiunti. E il termine 2b rimarrà invariato, poiché è l'unico in questa espressione ad avere un fattore lettera B, e non c'è niente con cui aggiungerlo:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Scriviamo brevemente la soluzione:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
I termini possono essere ordinati in modo che i termini che hanno la stessa parte della lettera si trovino nella stessa parte dell'espressione.
Esempio 7. Fornisci termini simili nell'espressione 5t+2x+3x+5t+x
Poiché l'espressione è una somma di più termini, ciò ci consente di valutarla in qualsiasi ordine. Pertanto, i termini contenenti la variabile T, può essere scritto all'inizio dell'espressione e ai termini che contengono la variabile X alla fine dell'espressione:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Ora possiamo presentare termini simili:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Scriviamo brevemente la soluzione:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
La somma dei numeri opposti è zero. Questa regola funziona anche per le espressioni letterali. Se l'espressione contiene termini identici, ma con segni opposti, puoi eliminarli nella fase di riduzione dei termini simili. In altre parole, eliminateli semplicemente dall'espressione, poiché la loro somma è zero.
Esempio 8. Fornisci termini simili nell'espressione 3t − 4t − 3t + 2t
Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Componenti 3t E (−3t) sono opposti. La somma dei termini opposti è zero. Se rimuoviamo questo zero dall'espressione, il valore dell'espressione non cambierà, quindi lo rimuoveremo. E lo rimuoveremo semplicemente cancellando i termini 3t E (−3t)
Di conseguenza, ci rimarrà l'espressione (−4t) + 2t. In questa espressione puoi aggiungere termini simili e ottenere la risposta finale:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Scriviamo brevemente la soluzione:
Semplificare le espressioni
"semplifica l'espressione" e sotto c'è l'espressione che deve essere semplificata. Semplificare un'espressione significa renderlo più semplice e più breve.
In effetti, abbiamo già semplificato le espressioni quando abbiamo ridotto le frazioni. Dopo la riduzione, la frazione è diventata più breve e più facile da comprendere.
Considera il seguente esempio. Semplifica l'espressione.
Questo compito può essere letteralmente interpretato come segue: "Applica qualsiasi azione valida a questa espressione, ma rendila più semplice." .
In questo caso, puoi ridurre la frazione, ovvero dividere il numeratore e il denominatore della frazione per 2:
Cos'altro puoi fare? Puoi calcolare la frazione risultante. Quindi otteniamo la frazione decimale 0,5
Di conseguenza, la frazione è stata semplificata a 0,5.
La prima domanda che devi porsi quando risolvi tali problemi dovrebbe essere "Cosa si può fare?" . Perché ci sono azioni che puoi fare e ci sono azioni che non puoi fare.
Un altro punto importante La cosa da ricordare è che il valore dell'espressione non dovrebbe cambiare dopo aver semplificato l'espressione. Torniamo all'espressione. Questa espressione rappresenta una divisione che può essere eseguita. Dopo aver eseguito questa divisione, otteniamo il valore di questa espressione, che è pari a 0,5
Ma abbiamo semplificato l'espressione e abbiamo ottenuto una nuova espressione semplificata. Il valore della nuova espressione semplificata è ancora 0,5
Ma abbiamo anche provato a semplificare l'espressione calcolandola. Di conseguenza, abbiamo ricevuto una risposta finale di 0,5.
Pertanto, non importa come semplifichiamo l'espressione, il valore delle espressioni risultanti è sempre uguale a 0,5. Ciò significa che la semplificazione è stata effettuata correttamente in ogni fase. Questo è esattamente ciò a cui dovremmo tendere quando semplifichiamo le espressioni: il significato dell'espressione non dovrebbe soffrire delle nostre azioni.
Spesso è necessario semplificare le espressioni letterali. Per essi valgono le stesse regole di semplificazione previste per le espressioni numeriche. È possibile eseguire qualsiasi azione valida, purché il valore dell'espressione non cambi.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Esempio 1. Semplificare un'espressione 5,21 s × t × 2,5
Per semplificare questa espressione, puoi moltiplicare i numeri separatamente e moltiplicare le lettere separatamente. Questo compito è molto simile a quello che abbiamo affrontato quando abbiamo imparato a determinare il coefficiente:
5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Quindi l'espressione 5,21 s × t × 2,5 semplificato a 13.025st.
Esempio 2. Semplificare un'espressione −0,4 × (−6,3b) × 2
Secondo pezzo (−6.3b) può essere tradotto in una forma a noi comprensibile, cioè scritto nella forma ( −6,3)×b , quindi moltiplica i numeri separatamente e moltiplica le lettere separatamente:
− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Quindi l'espressione −0,4 × (−6,3b) × 2 semplificato a 5.04b
Esempio 3. Semplificare un'espressione 
Scriviamo questa espressione in modo più dettagliato per vedere chiaramente dove sono i numeri e dove sono le lettere:
Ora moltiplichiamo i numeri separatamente e moltiplichiamo le lettere separatamente:
Quindi l'espressione semplificato a −abc. Questa soluzione può essere scritta brevemente:
Quando si semplificano le espressioni, le frazioni possono essere ridotte durante il processo di soluzione e non alla fine, come abbiamo fatto con le frazioni ordinarie. Ad esempio, se nel corso della risoluzione ci imbattiamo in un'espressione della forma , non è affatto necessario calcolare il numeratore e il denominatore e fare qualcosa del genere:
Una frazione può essere ridotta scegliendo un fattore sia nel numeratore che nel denominatore e riducendo questi fattori per il loro massimo comun divisore. In altre parole, uso in cui non descriviamo in dettaglio in cosa sono stati divisi numeratore e denominatore.
Ad esempio, al numeratore il fattore è 12 e al denominatore il fattore 4 può essere ridotto di 4. Teniamo a mente il quattro e dividendo 12 e 4 per questo quattro, scriviamo le risposte accanto a questi numeri, dopo averli prima cancellati
Ora puoi moltiplicare i piccoli fattori risultanti. In questo caso ce ne sono pochi e puoi moltiplicarli mentalmente:
Nel corso del tempo, potresti scoprire che quando risolvi un particolare problema, le espressioni iniziano a "ingrassare", quindi è consigliabile abituarsi a calcoli rapidi. Ciò che può essere calcolato nella mente deve essere calcolato nella mente. Ciò che può essere ridotto rapidamente deve essere ridotto rapidamente.
Esempio 4. Semplificare un'espressione 
Quindi l'espressione semplificato a
Esempio 5. Semplificare un'espressione 
Moltiplichiamo i numeri separatamente e le lettere separatamente:
Quindi l'espressione semplificato a mn.
Esempio 6. Semplificare un'espressione 
Scriviamo questa espressione in modo più dettagliato per vedere chiaramente dove sono i numeri e dove sono le lettere:
Ora moltiplichiamo i numeri separatamente e le lettere separatamente. Per facilità di calcolo, la frazione decimale −6.4 e numero misto possono essere convertiti in frazioni ordinarie:
Quindi l'espressione semplificato a
La soluzione per questo esempio può essere scritta molto più breve. Apparirà così:
Esempio 7. Semplificare un'espressione 
Moltiplichiamo i numeri separatamente e le lettere separatamente. Per facilità di calcolo, un numero misto e decimali 0,1 e 0,6 possono essere convertiti in frazioni ordinarie:
Quindi l'espressione semplificato a abcd. Se tralasci i dettagli, questa soluzione può essere scritta molto più breve:
Nota come è stata ridotta la frazione. È possibile ridurre anche i nuovi fattori ottenuti come risultato della riduzione dei fattori precedenti.
Ora parliamo di cosa non fare. Quando si semplificano le espressioni, è severamente vietato moltiplicare numeri e lettere se l'espressione è una somma e non un prodotto.
Ad esempio, se vuoi semplificare l'espressione 5a+4b, allora non puoi scriverlo in questo modo:
È come se ci chiedessero di sommare due numeri e li moltiplicassimo invece di sommarli.
Quando si sostituiscono valori di variabile UN E B espressione 5a+4b si trasforma in una normale espressione numerica. Supponiamo che le variabili UN E B hanno i seguenti significati:
a = 2, b = 3
Quindi il valore dell'espressione sarà uguale a 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Innanzitutto viene eseguita la moltiplicazione, quindi vengono sommati i risultati. E se provassimo a semplificare questa espressione moltiplicando numeri e lettere, otterremmo quanto segue:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Si scopre un significato completamente diverso dell'espressione. Nel primo caso ha funzionato 22 , nel secondo caso 120 . Ciò significa che semplificare l'espressione 5a+4bè stata eseguita in modo errato.
Dopo aver semplificato l'espressione, il suo valore non dovrebbe cambiare con gli stessi valori delle variabili. Se, sostituendo qualsiasi valore variabile nell'espressione originale, si ottiene un valore, dopo aver semplificato l'espressione, si dovrebbe ottenere lo stesso valore di prima della semplificazione.
Con espressione 5a+4b non c'è davvero niente che tu possa fare. Non lo semplifica.
Se un'espressione contiene termini simili, è possibile aggiungerli se il nostro obiettivo è semplificare l'espressione.
Esempio 8. Semplificare un'espressione 0,3a−0,4a+a
0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a
o più breve: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a
Quindi l'espressione 0,3a−0,4a+a semplificato a 0.9a
Esempio 9. Semplificare un'espressione −7.5a − 2.5b + 4a
Per semplificare questa espressione possiamo aggiungere termini simili:
−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)
o più breve −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)
Termine (−2.5b)è rimasto invariato perché non c'era niente con cui metterlo.
Esempio 10. Semplificare un'espressione 
Per semplificare questa espressione possiamo aggiungere termini simili:
Il coefficiente era per facilità di calcolo.
Quindi l'espressione semplificato a
Esempio 11. Semplificare un'espressione 
Per semplificare questa espressione possiamo aggiungere termini simili:
Quindi l'espressione semplificato in .
In questo esempio, sarebbe più appropriato aggiungere prima il primo e l'ultimo coefficiente. In questo caso avremmo una soluzione breve. Sarebbe simile a questo:
Esempio 12. Semplificare un'espressione 
Per semplificare questa espressione possiamo aggiungere termini simili:
Quindi l'espressione semplificato a 
.
Il termine è rimasto invariato, poiché non c'era nulla a cui aggiungerlo.
Questa soluzione può essere scritta molto più breve. Apparirà così:
La soluzione breve saltava i passaggi relativi alla sostituzione della sottrazione con l'addizione e descriveva in dettaglio come le frazioni venivano ridotte a un denominatore comune.
Un'altra differenza è che in soluzione dettagliata la risposta sembra , ma in breve come . In effetti, sono la stessa espressione. La differenza è che nel primo caso la sottrazione viene sostituita dall'addizione, poiché all'inizio abbiamo scritto la soluzione in dettaglio, abbiamo sostituito la sottrazione con l'addizione ove possibile, e questa sostituzione è stata mantenuta per la risposta.
Identità. Espressioni identicamente uguali
Una volta semplificata qualsiasi espressione, diventa più semplice e più breve. Per verificare se l'espressione semplificata è corretta, è sufficiente sostituire i valori delle variabili prima nell'espressione precedente che necessitava di essere semplificata e poi in quella nuova che è stata semplificata. Se il valore in entrambe le espressioni è lo stesso, l'espressione semplificata è vera.
Consideriamo esempio più semplice. Sia necessario semplificare l'espressione 2a×7b. Per semplificare questa espressione, puoi moltiplicare numeri e lettere separatamente:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Controlliamo se abbiamo semplificato correttamente l'espressione. Per fare ciò, sostituiamo eventuali valori delle variabili UN E B prima nella prima espressione che doveva essere semplificata, e poi nella seconda, che era semplificata.
Consideriamo i valori delle variabili UN , B sarà il seguente:
a = 4, b = 5
Sostituiamoli nella prima espressione 2a×7b
Ora sostituiamo gli stessi valori delle variabili nell'espressione risultante dalla semplificazione 2a×7b, vale a dire nell'espressione 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Lo vedremo quando a=4 E b=5 valore della prima espressione 2a×7b e il significato della seconda espressione 14ab pari
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Lo stesso accadrà per qualsiasi altro valore. Ad esempio, lasciamo un=1 E b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Pertanto, per qualsiasi valore delle variabili dell'espressione 2a×7b E 14ab sono uguali allo stesso valore. Tali espressioni sono chiamate identicamente uguali.
Concludiamo che tra le espressioni 2a×7b E 14ab puoi mettere un segno di uguale perché sono uguali allo stesso valore.
2a×7b = 14ab
Un'uguaglianza è qualsiasi espressione collegata da un segno di uguale (=).
E uguaglianza della forma 2a×7b = 14ab chiamato identità.
Un'identità è un'uguaglianza vera per qualsiasi valore delle variabili.
Altri esempi di identità:
un + b = b + un
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Sì, le leggi della matematica che abbiamo studiato sono identità.
Anche le vere uguaglianze numeriche sono identità. Per esempio:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Quando risolvi un problema complesso per semplificarti il calcolo, espressione complessa sostituito da un'espressione più semplice identica alla precedente. Questa sostituzione si chiama trasformazione identica dell'espressione o semplicemente trasformando l'espressione.
Ad esempio, abbiamo semplificato l'espressione 2a×7b, e ho ottenuto un'espressione più semplice 14ab. Questa semplificazione può essere chiamata trasformazione dell’identità.
Spesso puoi trovare un'attività che dice "dimostrare che l'uguaglianza è un'identità" e quindi è data l'uguaglianza che deve essere dimostrata. Tipicamente questa uguaglianza è composta da due parti: i lati sinistro e destro dell'uguaglianza. Il nostro compito è eseguire trasformazioni di identità con una delle parti dell'uguaglianza e ottenere l'altra parte. Oppure esegui trasformazioni identiche con entrambi i lati dell'uguaglianza e assicurati che entrambi i lati dell'uguaglianza contengano le stesse espressioni.
Ad esempio, proviamo che l'uguaglianza 0,5a × 5b = 2,5abè un'identità.
Semplifichiamo il lato sinistro di questa uguaglianza. Per fare ciò, moltiplica i numeri e le lettere separatamente:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Come risultato di una piccola trasformazione dell'identità, il lato sinistro dell'uguaglianza è diventato uguale al lato destro dell'uguaglianza. Quindi abbiamo dimostrato che l’uguaglianza 0,5a × 5b = 2,5abè un'identità.
Da trasformazioni identiche abbiamo imparato ad aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere numeri, ridurre frazioni, aggiungere termini simili e anche a semplificare alcune espressioni.
Ma queste non sono tutte trasformazioni identiche che esistono in matematica. Esistono molte altre trasformazioni identiche. Lo vedremo più di una volta in futuro.
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§ 1 Il concetto di semplificazione di un'espressione letterale
In questa lezione conosceremo il concetto di “termini simili” e, attraverso esempi, impareremo come eseguire la riduzione di termini simili, semplificando così le espressioni letterali.
Scopriamo il significato del concetto “semplificazione”. La parola “semplificazione” deriva dalla parola “semplificare”. Semplificare significa rendere semplice, più semplice. Pertanto, semplificare un'espressione letterale significa renderla più breve, con quantità minima azioni.
Considera l'espressione 9x + 4x. Questa è un'espressione letterale che è una somma. I termini qui sono presentati come prodotti di un numero e di una lettera. Il fattore numerico di tali termini è chiamato coefficiente. In questa espressione, i coefficienti saranno i numeri 9 e 4. Tieni presente che il fattore rappresentato dalla lettera è lo stesso in entrambi i termini di questa somma.
Ricordiamo la legge distributiva della moltiplicazione:
Per moltiplicare una somma per un numero, puoi moltiplicare ciascun termine per quel numero e sommare i prodotti risultanti.
IN visione generale scritto così: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Questa legge è vera in entrambe le direzioni ac + bc = (a + b) ∙ c
Applichiamolo alla nostra espressione letterale: la somma dei prodotti di 9x e 4x è uguale al prodotto il cui primo fattore è pari alla somma 9 e 4, il secondo fattore è x.
9 + 4 = 13, fa 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Invece di tre azioni nell'espressione, rimane solo un'azione: la moltiplicazione. Ciò significa che abbiamo reso la nostra espressione letterale più semplice, cioè lo ha semplificato.
§ 2 Riduzione di termini simili
I termini 9x e 4x differiscono solo nei loro coefficienti: tali termini sono chiamati simili. La parte letterale di termini simili è la stessa. Termini simili includono anche numeri e termini uguali.
Ad esempio, nell'espressione 9a + 12 - 15 termini simili saranno i numeri 12 e -15, e nella somma del prodotto di 12 e 6a, il numero 14 e il prodotto di 12 e 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) i termini uguali rappresentati dal prodotto di 12 e 6a.
È importante notare che i termini i cui coefficienti sono uguali, ma i cui fattori letterali sono diversi, non sono simili, sebbene a volte sia utile applicare loro la legge distributiva della moltiplicazione, ad esempio la somma dei prodotti 5x e 5y è uguale al prodotto del numero 5 per la somma di x e y
5x + 5y = 5(x + y).
Semplifichiamo l'espressione -9a + 15a - 4 + 10.
Termini simili in questo caso sono i termini -9a e 15a, poiché differiscono solo nei coefficienti. Il loro moltiplicatore di lettere è lo stesso e anche i termini -4 e 10 sono simili, poiché sono numeri. Somma termini simili:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Otteniamo: 6a + 6.
Semplificando l'espressione, troviamo le somme di termini simili; in matematica questa operazione si chiama riduzione di termini simili.
Se aggiungere tali termini è difficile, puoi inventare delle parole per descriverli e aggiungere oggetti.
Consideriamo ad esempio l'espressione:
Per ogni lettera prendiamo il nostro oggetto: b-mela, c-pera, quindi otteniamo: 2 mele meno 5 pere più 8 pere.
Possiamo sottrarre le pere dalle mele? Ovviamente no. Ma possiamo aggiungere 8 pere a meno 5 pere.
Presentiamo termini simili -5 pere + 8 pere. Termini simili hanno la stessa parte della lettera, quindi quando si inseriscono termini simili è sufficiente sommare i coefficienti e aggiungere la parte della lettera al risultato:
(-5 + 8) pere: ottieni 3 pere.
Tornando alla nostra espressione letterale, abbiamo -5 s + 8 s = 3 s. Quindi, dopo aver introdotto termini simili, otteniamo l'espressione 2b + 3c.
Quindi, in questa lezione hai acquisito familiarità con il concetto di "termini simili" e hai imparato come semplificare le espressioni delle lettere riducendo i termini simili.
Elenco della letteratura utilizzata:
- Matematica. Grado 6: programmi di lezioni per il libro di testo di I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autore-compilatore L.A. Topilina. Mnemosine 2009.
- Matematica. 6a elementare: libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematica. 6° anno: libro di testo per istituti di istruzione generale/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov e altri/a cura di G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Accademia russa delle scienze, Accademia russa dell'educazione. M.: “Illuminismo”, 2010.
- Matematica. 6° grado: studio per istituti di istruzione generale/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
- Matematica. 6a elementare: libro di testo/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Otarda, 2014.
Immagini utilizzate:
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