Vengono fornite le relazioni tra le funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente e cotangente formule trigonometriche. E poiché ci sono molte connessioni tra le funzioni trigonometriche, questo spiega l'abbondanza formule trigonometriche. Alcune formule si collegano funzioni trigonometriche lo stesso angolo, altri - funzioni di un angolo multiplo, altri - consentono di ridurre il grado, il quarto - esprime tutte le funzioni attraverso la tangente di un semiangolo, ecc.
In questo articolo elencheremo in ordine tutte le formule trigonometriche di base, sufficienti a risolvere la stragrande maggioranza dei problemi di trigonometria. Per facilità di memorizzazione e utilizzo, li raggrupperemo per scopo e li inseriremo in tabelle.
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Identità trigonometriche di base
Di base identità trigonometriche definire la relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo. Derivano dalla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché dal concetto di circonferenza unitaria. Permettono di esprimere una funzione trigonometrica in termini di qualsiasi altra.
Per una descrizione dettagliata di queste formule trigonometriche, la loro derivazione ed esempi di applicazione, vedere l'articolo.
Formule di riduzione
Formule di riduzione derivano dalle proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente, cioè riflettono la proprietà della periodicità delle funzioni trigonometriche, la proprietà della simmetria, nonché la proprietà dello spostamento di un dato angolo. Queste formule trigonometriche ti consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari al lavorare con angoli compresi tra zero e 90 gradi.
La logica di queste formule, una regola mnemonica per memorizzarle ed esempi della loro applicazione possono essere studiate nell'articolo.
Formule di addizione
Formule di addizione trigonometriche mostrare come le funzioni trigonometriche della somma o della differenza di due angoli sono espresse in termini di funzioni trigonometriche di quegli angoli. Queste formule servono come base per derivare le seguenti formule trigonometriche.
Formule per doppio, triplo, ecc. angolo
Formule per doppio, triplo, ecc. angolo (sono anche chiamate formule di angoli multipli) mostrano come le funzioni trigonometriche di doppio, triplo, ecc. gli angoli () sono espressi in termini di funzioni trigonometriche di un singolo angolo. La loro derivazione si basa su formule di addizione.
Informazioni più dettagliate sono raccolte nell'articolo formule doppie, triple, ecc. angolo
Formule del mezzo angolo
Formule del mezzo angolo mostrare come le funzioni trigonometriche di un semiangolo sono espresse in termini di coseno di un angolo intero. Queste formule trigonometriche derivano dalle formule del doppio angolo.
La loro conclusione ed esempi di applicazione possono essere trovati nell'articolo.
Formule di riduzione dei gradi
Formule trigonometriche per ridurre i gradi hanno lo scopo di facilitare la transizione da gradi naturali funzioni trigonometriche a seni e coseni di primo grado, ma anche ad angoli multipli. In altre parole, permettono di ridurre le potenze delle funzioni trigonometriche alla prima.
Formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche
Scopo principale formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche consiste nel passare al prodotto di funzioni, cosa molto utile per semplificare le espressioni trigonometriche. Queste formule sono ampiamente utilizzate anche per risolvere equazioni trigonometriche, poiché consentono di fattorizzare la somma e la differenza di seni e coseni.
Formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno
La transizione dal prodotto di funzioni trigonometriche a una somma o differenza viene effettuata utilizzando le formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno.
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La richiesta "peccato" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "sec" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "Sine" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati... Wikipedia
Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia
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Misure geodetiche (XVII secolo) ... Wikipedia
In trigonometria, la formula del semiangolo tan mette in relazione il semiangolo tan con le funzioni trigonometriche dell'angolo completo: le variazioni di questa formula sono le seguenti... Wikipedia
- (dal greco τρίγονο (triangolo) e dal greco μετρειν (misura), cioè misura di triangoli) branca della matematica in cui si studiano le funzioni trigonometriche e le loro applicazioni alla geometria. Questo termine apparve per la prima volta nel 1595 come... ... Wikipedia
- (lat. solutio triangulorum) termine storico che indica la soluzione del principale problema trigonometrico: utilizzando i dati noti di un triangolo (lati, angoli, ecc.) trova le sue caratteristiche rimanenti. Il triangolo può essere localizzato su... ... Wikipedia
Libri
- Set di tavoli. Algebra e gli inizi dell'analisi. 10° grado. 17 tavole + metodologia, . Le tavole sono stampate su cartone spesso stampato di dimensioni 680 x 980 mm. Il kit include una brochure con raccomandazioni metodologiche
- per l'insegnante. Album didattico di 17 fogli.… Tabelle degli integrali e altre formule matematiche, Dwight G.B. La decima edizione del famoso libro di consultazione contiene tabelle molto dettagliate di integrali indefiniti e definiti, nonché
Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi indietro. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga farà cento passi nella stessa direzione. Quando Achille fa cento passi, la tartaruga striscia altri dieci passi e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti consideravano, in un modo o nell'altro, l'aporia di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ... le discussioni continuano ancora oggi; la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata al problema..."[Wikipedia, "L'Aporia di Zeno". Tutti capiscono di essere ingannati, ma nessuno capisce in cosa consiste l'inganno.
Da un punto di vista matematico Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla quantità a . Questa transizione implica applicazioni anziché permanenti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico di applicazione unità variabili la misurazione o non è stata ancora sviluppata o non è stata applicata all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, a causa dell'inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al valore reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più correre più veloce della tartaruga.
Se capovolgiamo la nostra solita logica, tutto va a posto. Achille corre con velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di “infinito” a questa situazione, allora sarebbe corretto dire “Achille raggiungerà la tartaruga con una rapidità infinita”.
Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a unità reciproche. Nel linguaggio di Zenone appare così:
Nel tempo impiegato da Achille per percorrere mille passi, la tartaruga ne farà cento nella stessa direzione. Durante il successivo intervallo di tempo uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.
Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma non lo è soluzione completa problemi. L’affermazione di Einstein sull’irresistibilità della velocità della luce è molto simile all’aporia di Zenone “Achille e la tartaruga”. Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non nei numeri infinitamente grandi, ma nelle unità di misura.
Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:
Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è a riposo, e poiché è a riposo in ogni momento, è sempre a riposo.
In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, il che, in realtà, è movimento. Qui occorre notare un altro punto. Da una fotografia di un'auto sulla strada è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare se un'auto si sta muovendo, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi nel tempo, ma non è possibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza da un'auto, sono necessarie due fotografie scattate da diversi punti nello spazio in un determinato momento, ma da esse non è possibile determinare il fatto del movimento (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà ). Quello che voglio sottolineare particolare attenzione, è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.
Mercoledì 4 luglio 2018
Le differenze tra set e multiset sono descritte molto bene su Wikipedia. Vediamo.
Come puoi vedere, “non possono esserci due elementi identici in un insieme”, ma se ci sono elementi identici in un insieme, tale insieme è chiamato “multiinsieme”. Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una logica così assurda. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie ammaestrate, che non hanno intelligenza dalla parola “completamente”. I matematici agiscono come normali formatori, predicandoci le loro idee assurde.
C'era una volta, gli ingegneri che costruirono il ponte erano su una barca sotto il ponte mentre testavano il ponte. Se il ponte crollasse, il mediocre ingegnere morirebbe sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte potesse sopportare il carico, il talentuoso ingegnere costruì altri ponti.
Non importa come i matematici si nascondano dietro la frase “attenzione, sono in casa”, o meglio, “la matematica studia concetti astratti”, c’è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente alla realtà. Questo cordone ombelicale è il denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.
Abbiamo studiato molto bene la matematica e ora siamo seduti alla cassa a distribuire gli stipendi. Quindi un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, nelle quali mettiamo banconote dello stesso taglio. Quindi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo “stipendio matematico”. Spieghiamo al matematico che riceverà le restanti fatture solo quando dimostrerà che un insieme senza elementi identici non è uguale a un insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.
Innanzitutto funzionerà la logica dei deputati: “Questo può essere applicato agli altri, ma non a me!” Poi inizieranno a rassicurarci che le banconote dello stesso taglio hanno numeri di banconota diversi, il che significa che non possono essere considerate gli stessi elementi. Ok, contiamo gli stipendi in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico inizierà a ricordare freneticamente la fisica: c'è su diverse monete quantità diverse lo sporco, la struttura cristallina e la disposizione atomica di ogni moneta sono unici...
E ora ne ho di più domanda interessante: dov'è la linea oltre la quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza non è nemmeno vicina a mentire qui.
Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa superficie di campo. Le aree dei campi sono le stesse, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se guardiamo i nomi di questi stessi stadi, ne otteniamo tanti, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme. Quale è corretto? E qui il matematico-sciamano-tagliente tira fuori dalla manica un asso di briscola e comincia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso ci convincerà che ha ragione.
Per capire come operano gli sciamani moderni con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, è sufficiente rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro insieme? Te lo mostrerò senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".
Domenica 18 marzo 2018
La somma delle cifre di un numero è una danza degli sciamani con il tamburello, che non ha nulla a che vedere con la matematica. Sì, nelle lezioni di matematica ci viene insegnato a trovare la somma delle cifre di un numero e ad usarla, ma è per questo che sono sciamani, per insegnare ai loro discendenti le loro abilità e saggezza, altrimenti gli sciamani semplicemente si estingueranno.
Hai bisogno di prove? Apri Wikipedia e prova a trovare la pagina "Somma delle cifre di un numero". Lei non esiste. In matematica non esiste una formula che possa essere utilizzata per trovare la somma delle cifre di qualsiasi numero. Dopotutto, i numeri lo sono simboli grafici, con l'aiuto del quale scriviamo numeri e nel linguaggio della matematica il compito suona così: "Trova la somma di simboli grafici che rappresentano qualsiasi numero". I matematici non possono risolvere questo problema, ma gli sciamani possono farlo facilmente.
Scopriamo cosa e come fare per trovare la somma delle cifre di un dato numero. Quindi, prendiamo il numero 12345. Cosa bisogna fare per trovare la somma delle cifre di questo numero? Consideriamo tutti i passaggi in ordine.
1. Annota il numero su un pezzo di carta. Cosa abbiamo fatto? Abbiamo convertito il numero in un simbolo numerico grafico. Questa non è un'operazione matematica.
2. Taglia un'immagine risultante in più immagini contenenti singoli numeri. Tagliare un'immagine non è un'operazione matematica.
3. Converti i singoli simboli grafici in numeri. Questa non è un'operazione matematica.
4. Aggiungi i numeri risultanti. Questa è matematica.
La somma delle cifre del numero 12345 è 15. Questi sono i “corsi di taglio e cucito” tenuti dagli sciamani e utilizzati dai matematici. Ma non è tutto.
Da un punto di vista matematico, non importa in quale sistema numerico scriviamo un numero. Quindi, dentro sistemi diversi Nel calcolo, la somma delle cifre dello stesso numero sarà diversa. In matematica, il sistema numerico è indicato come pedice a destra del numero. CON un gran numero 12345 Non voglio ingannarmi, diamo un'occhiata al numero 26 dell'articolo su . Scriviamo questo numero nei sistemi numerici binario, ottale, decimale ed esadecimale. Non esamineremo ogni passaggio al microscopio, lo abbiamo già fatto. Diamo un'occhiata al risultato.
Come puoi vedere, in diversi sistemi numerici la somma delle cifre dello stesso numero è diversa. Questo risultato non ha nulla a che fare con la matematica. È come se determinassi l’area di un rettangolo in metri e centimetri, otterresti risultati completamente diversi.
Lo zero ha lo stesso aspetto in tutti i sistemi numerici e non ha somma di cifre. Questo è un altro argomento a favore del fatto che. Domanda per i matematici: come si designa in matematica qualcosa che non è un numero? Cosa, per i matematici non esiste altro che numeri? Posso permetterlo agli sciamani, ma non agli scienziati. La realtà non è solo una questione di numeri.
Il risultato ottenuto dovrebbe essere considerato come una prova che i sistemi numerici sono unità di misura dei numeri. Dopotutto, non possiamo confrontare numeri con diverse unità di misura. Se le stesse azioni con diverse unità di misura della stessa quantità portano a risultati diversi dopo averli confrontati, significa che non ha nulla a che fare con la matematica.
Cos'è la vera matematica? Ciò accade quando il risultato di un'operazione matematica non dipende dalla dimensione del numero, dall'unità di misura utilizzata e da chi esegue questa azione.
OH! Non è questo il bagno delle donne?
- Giovane donna! Questo è un laboratorio per lo studio della santità indefila delle anime durante la loro ascensione al cielo! Alone in alto e freccia verso l'alto. Quale altro bagno?
Femmina... L'alone in alto e la freccia in basso sono maschili.
Se qualcosa del genere ti lampeggia davanti agli occhi più volte al giorno arte del disegno,
Allora non sorprende che all'improvviso trovi una strana icona nella tua macchina:
Personalmente mi sforzo di vedere meno quattro gradi in una persona che fa la cacca (una foto) (una composizione di più foto: segno meno, numero quattro, designazione del grado). E non penso che questa ragazza sia stupida, no esperto in fisica. Ha solo un forte stereotipo nella percezione delle immagini grafiche. E i matematici ce lo insegnano continuamente. Ecco un esempio.
1A non è “meno quattro gradi” o “uno a”. Questo è "uomo che fa la cacca" o il numero "ventisei" in notazione esadecimale. Quelle persone che lavorano costantemente con questo sistema numerico percepiscono automaticamente un numero e una lettera come un simbolo grafico.
Identità trigonometriche- si tratta di uguaglianze che stabiliscono una relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo, che consente di trovare una qualsiasi di queste funzioni, purché se ne conosca un'altra.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Questa identità dice che la somma del quadrato del seno di un angolo e del quadrato del coseno di un angolo è uguale a uno, il che in pratica permette di calcolare il seno di un angolo quando se ne conosce il coseno e viceversa .
Quando si convertono le espressioni trigonometriche, viene spesso utilizzata questa identità, che consente di sostituire la somma dei quadrati del coseno e del seno di un angolo con uno ed eseguire anche l'operazione di sostituzione nell'ordine inverso.
Trovare tangente e cotangente utilizzando seno e coseno
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Queste identità sono formate dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Dopotutto, se lo guardi, per definizione l'ordinata y è un seno e l'ascissa x è un coseno. Allora la tangente sarà uguale al rapporto \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) e il rapporto \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sarà una cotangente.
Aggiungiamo che solo per tali angoli \alfa in cui hanno senso le funzioni trigonometriche in essi incluse, varranno le identità, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Per esempio: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)è valido per angoli \alpha diversi da \frac(\pi)(2)+\pi z, UN ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- per un angolo \alpha diverso da \pi z, z è un numero intero.
Relazione tra tangente e cotangente
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Questa identità è valida solo per angoli \alpha diversi da \frac(\pi)(2) z. Altrimenti, né la cotangente né la tangente verranno determinate.
Sulla base dei punti precedenti, otteniamo ciò tg \alpha = \frac(y)(x), UN ctg \alpha=\frac(x)(y). Ne consegue che tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Pertanto, la tangente e la cotangente dello stesso angolo a cui hanno senso sono numeri reciprocamente inversi.
Relazioni tra tangente e coseno, cotangente e seno
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somma del quadrato della tangente dell'angolo \alpha e 1 è uguale all'inverso del quadrato del coseno di tale angolo. Questa identità è valida per tutti gli \alpha diversi da \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somma di 1 e del quadrato della cotangente dell'angolo \alpha è uguale all'inverso del quadrato del seno dell'angolo dato. Questa identità è valida per qualsiasi \alpha diverso da \pi z.
Esempi con soluzioni a problemi utilizzando identità trigonometriche
Esempio 1
Trova \sin \alpha e tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 E \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Mostra soluzione
Soluzione
Le funzioni \sin \alpha e \cos \alpha sono correlate dalla formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Sostituendo in questa formula \cos \alpha = -\frac12, otteniamo:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Questa equazione ha 2 soluzioni:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Per condizione \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Nel secondo quarto il seno è positivo, quindi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Per trovare tan \alpha usiamo la formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Esempio 2
Trova \cos \alpha e ctg \alpha se e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Mostra soluzione
Soluzione
Sostituendo nella formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dato numero \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), otteniamo \sinistra (\frac(\sqrt3)(2)\destra)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Questa equazione ha due soluzioni \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Per condizione \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Nel secondo quarto il coseno è negativo, quindi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Per trovare ctg \alpha , usiamo la formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conosciamo i valori corrispondenti.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
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