Analizziamo due tipi di soluzioni ai sistemi di equazioni:

1. Risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
2. Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.

Per risolvere il sistema di equazioni con il metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimere. Da qualsiasi equazione esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo il valore risultante in un'altra equazione invece della variabile espressa.
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.

Per decidere sistema mediante il metodo di addizione (sottrazione) termine per termineè necessario:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo coefficienti identici.
2. Aggiungiamo o sottraiamo equazioni, ottenendo un'equazione con una variabile.
3. Risolvi l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.

La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici delle funzioni.

Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.

Esempio n. 1:

Risolviamo con il metodo di sostituzione

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione

2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)

1. Esprimere
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con un coefficiente pari a 1, il che significa che è più semplice esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10y

2.Dopo averlo espresso, sostituiamo 3+10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10a)+5a=1

3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10y)+5y=1 (aprire le parentesi)
6+20a+5a=1
25 anni=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è costituito da xey. Troviamo x, nel primo punto in cui l'abbiamo espresso, lì sostituiamo y .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

È consuetudine scrivere i punti, in primo luogo scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)

Esempio n.2:

Risolviamo utilizzando il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine.

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo dell'addizione

3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)

1. Scegliamo una variabile, diciamo che scegliamo x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere uguali i coefficienti, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividerle per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Sottrai il secondo dalla prima equazione per eliminare la variabile x.
__6x-4y=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Il punto di intersezione sarà x=4.6; y=6,4
Risposta: (4.6; 6.4)

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In questa lezione continueremo a studiare il metodo per risolvere i sistemi di equazioni, ovvero: il metodo addizione algebrica. Innanzitutto, esaminiamo l'applicazione di questo metodo utilizzando un esempio equazioni lineari e la sua essenza. Ricordiamo anche come equalizzare i coefficienti nelle equazioni. E risolveremo una serie di problemi utilizzando questo metodo.

Argomento: Sistemi di equazioni

Lezione: Metodo dell'addizione algebrica

1. Metodo di addizione algebrica utilizzando come esempio i sistemi lineari

Consideriamo metodo dell'addizione algebrica usando l’esempio dei sistemi lineari.

Esempio 1. Risolvi il sistema

Se aggiungiamo queste due equazioni, allora y si annulla, lasciando un'equazione per x.

Se sottraiamo il secondo dalla prima equazione, le x si annullano a vicenda e otteniamo un'equazione per y. Questo è il significato del metodo dell'addizione algebrica.

Abbiamo risolto il sistema e ricordato il metodo dell'addizione algebrica. Ripetiamo la sua essenza: possiamo aggiungere e sottrarre equazioni, ma dobbiamo assicurarci di ottenere un'equazione con una sola incognita.

2. Metodo dell'addizione algebrica con equalizzazione preliminare dei coefficienti

Esempio 2. Risolvi il sistema

Il termine è presente in entrambe le equazioni, quindi il metodo dell'addizione algebrica è conveniente. Sottraiamo la seconda dalla prima equazione.

Risposta: (2; -1).

Pertanto, dopo aver analizzato il sistema di equazioni, puoi vedere che è conveniente per il metodo dell'addizione algebrica e applicarlo.

Consideriamo un altro sistema lineare.

3. Soluzione di sistemi non lineari

Esempio 3. Risolvi il sistema

Vogliamo eliminare y, ma i coefficienti di y sono diversi nelle due equazioni. Uguagliamoli; per fare questo, moltiplichiamo la prima equazione per 3, la seconda per 4.

Esempio 4. Risolvi il sistema

Uguagliamo i coefficienti di x

Puoi farlo diversamente: equalizza i coefficienti per y.

Abbiamo risolto il sistema applicando due volte il metodo dell'addizione algebrica.

Il metodo dell'addizione algebrica è applicabile anche alla risoluzione di sistemi non lineari.

Esempio 5. Risolvi il sistema

Sommiamo queste equazioni e ci libereremo di y.

Lo stesso sistema può essere risolto applicando due volte il metodo dell’addizione algebrica. Aggiungiamo e sottraiamo da un'equazione all'altra.

Esempio 6. Risolvi il sistema

Risposta:

Esempio 7. Risolvi il sistema

Usando il metodo dell'addizione algebrica elimineremo il termine xy. Moltiplichiamo la prima equazione per .

La prima equazione rimane invariata, al posto della seconda scriviamo la somma algebrica.

Risposta:

Esempio 8. Risolvi il sistema

Moltiplica la seconda equazione per 2 per isolare un quadrato perfetto.

Il nostro compito si è ridotto alla risoluzione di quattro semplici sistemi.

4. Conclusione

Abbiamo esaminato il metodo dell'addizione algebrica usando l'esempio della risoluzione di sistemi lineari e non lineari. Nella prossima lezione vedremo il metodo per introdurre nuove variabili.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9a elementare: libro di testo. Per l'istruzione generale Istituzioni.- 4a ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9a elementare: libro di problemi per studenti di istituti di istruzione generale / A.G. Mordkovich, T.N Mishustina et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9° grado: educativo. per gli studenti dell'istruzione generale. istituzioni / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7a ed., riv. e aggiuntivi - M.: Mnemosine, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin M., Sidorov V. Algebra. 9° grado. 16a ed. - M., 2011. - 287 pag.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9° grado. In 2 ore Parte 1. Libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12a edizione, cancellata. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebra. 9° grado. In 2 parti Parte 2. Libro dei problemi per studenti di istituti di istruzione generale / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina e altri; Ed. A. G. Mordkovich. - 12a ed., riv. - M.: 2010.-223 pag.: ill.

1. Sezione universitaria. ru in matematica.

2. Progetto Internet “Attività”.

3. Portale educativo“RISOLVERÒ L’USO.”

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9a elementare: libro di problemi per studenti di istituti di istruzione generale / A.G. Mordkovich, T.N Mishustina et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. N. 125 - 127.

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Regole per l'immissione di equazioni
Qualsiasi lettera latina può fungere da variabile.

Ad esempio: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ecc. Quando si immettono equazioni puoi usare le parentesi
. In questo caso, le equazioni vengono prima semplificate.

Le equazioni dopo le semplificazioni devono essere lineari, cioè della forma ax+by+c=0 con l'accuratezza dell'ordine degli elementi.

Ad esempio: 6x+1 = 5(x+y)+2
Nelle equazioni è possibile utilizzare non solo numeri interi, ma anche frazioni sotto forma di decimali e frazioni ordinarie. Regole per l'immissione delle frazioni decimali. Parti intere e frazionarie
decimali

possono essere separati da un punto o da una virgola.
Ad esempio: 2,1n + 3,5m = 55
Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione. Il denominatore non può essere negativo. Quando entri /
frazione numerica &

Il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione:
La parte intera è separata dalla frazione dal segno e commerciale:
Esempi.

Esempio: 3x-4y = 5

Esempio: 6x+1 = 5(x+y)+2
Risolvere sistemi di equazioni
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Risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Metodo di sostituzione

La sequenza di azioni quando si risolve un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di sostituzione:
1) esprimere una variabile da qualche equazione del sistema in termini di un'altra;
2) sostituire l'espressione risultante in un'altra equazione del sistema invece di questa variabile;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Esprimiamo y in termini di x dalla prima equazione: y = 7-3x. Sostituendo nella seconda equazione l'espressione 7-3x invece di y, otteniamo il sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

È facile dimostrare che il primo ed il secondo sistema hanno le stesse soluzioni. Nel secondo sistema, la seconda equazione contiene solo una variabile. Risolviamo questa equazione:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Freccia destra -5x+14-6x=3 \ Freccia destra -11x=-11 \ Freccia destra x=1 $$

Sostituendo 1 invece di x nell'uguaglianza y=7-3x, troviamo il valore corrispondente di y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Freccia destra y=4 $$

Coppia (1;4) - soluzione del sistema

Si chiamano sistemi di equazioni in due variabili che hanno le stesse soluzioni equivalente. Anche i sistemi che non hanno soluzioni sono considerati equivalenti.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari mediante addizione

Consideriamo un altro modo per risolvere sistemi di equazioni lineari: il metodo dell'addizione. Quando risolviamo i sistemi utilizzando questo metodo, così come quando risolviamo utilizzando il metodo di sostituzione, passiamo da un dato sistema a un altro sistema equivalente, in cui una delle equazioni contiene solo una variabile.

La sequenza di azioni quando si risolve un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo dell'addizione:
1) moltiplicare le equazioni del sistema termine per termine, selezionando i fattori in modo che i coefficienti di una delle variabili diventino numeri opposti;
2) sommare termine per termine i membri sinistro e destro delle equazioni del sistema;
3) risolvere l'equazione risultante con una variabile;
4) trovare il valore corrispondente della seconda variabile.

Esempio. Risolviamo il sistema di equazioni:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Nelle equazioni di questo sistema, i coefficienti di y sono numeri opposti. Sommando i lati sinistro e destro delle equazioni termine per termine, otteniamo un'equazione con una variabile 3x=33. Sostituiamo una delle equazioni del sistema, ad esempio la prima, con l'equazione 3x=33. Prendiamo il sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Dall'equazione 3x=33 troviamo che x=11. Sostituendo questo valore x nell'equazione \(x-3y=38\) otteniamo un'equazione con la variabile y: \(11-3y=38\). Risolviamo questa equazione:
\(-3y=27 \Freccia destra y=-9 \)

Pertanto, abbiamo trovato la soluzione del sistema di equazioni mediante addizione: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Approfittando del fatto che nelle equazioni del sistema i coefficienti di y sono numeri opposti, abbiamo ridotto la sua soluzione alla soluzione di un sistema equivalente (sommando entrambi i membri di ciascuna delle equazioni del sistema originale), in cui uno delle equazioni contiene una sola variabile.

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Utilizzando il metodo dell'addizione, le equazioni di un sistema vengono sommate termine per termine e una o entrambe (più) equazioni possono essere moltiplicate per qualsiasi numero. Di conseguenza, arrivano a uno SLE equivalente, dove in una delle equazioni c'è solo una variabile.

Per risolvere il sistema metodo di addizione (sottrazione) termine per termine seguire questi passaggi:

1. Selezionare una variabile per la quale verranno creati gli stessi coefficienti.

2. Ora devi aggiungere o sottrarre le equazioni e ottenere un'equazione con una variabile.

Soluzione di sistema- questi sono i punti di intersezione dei grafici delle funzioni.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio 1.

Sistema dato:

Dopo aver analizzato questo sistema, puoi notare che i coefficienti della variabile sono uguali in grandezza e diversi in segno (-1 e 1). In questo caso, le equazioni possono essere facilmente aggiunte termine per termine:

Eseguiamo le azioni cerchiate in rosso nella nostra mente.

Il risultato dell'addizione termine per termine è stata la scomparsa della variabile sì. Questo è proprio il significato del metodo: eliminare una delle variabili.

-4 - sì + 5 = 0 → sì = 1,

Nella forma del sistema, la soluzione assomiglia a questa:

Risposta: X = -4 , sì = 1.

Esempio 2.

Sistema dato:

In questo esempio, puoi utilizzare il metodo "scuola", ma presenta uno svantaggio piuttosto grande: quando esprimi una variabile da qualsiasi equazione, otterrai una soluzione in frazioni ordinarie. Ma risolvere le frazioni richiede molto tempo e aumenta la probabilità di commettere errori.

Pertanto, è meglio utilizzare l'addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni. Analizziamo i coefficienti delle variabili corrispondenti:

Devi trovare un numero per il quale puoi dividerlo 3 e così via 4 , ed è necessario che questo numero sia il minimo possibile. Questo minimo comune multiplo. Se hai difficoltà a trovare un numero adatto, puoi moltiplicare i coefficienti: .

Passaggio successivo:

Moltiplichiamo la prima equazione per ,

Moltiplichiamo la terza equazione per ,