Formule o regole di moltiplicazione abbreviata vengono utilizzate in aritmetica, o più precisamente in algebra, per un processo più rapido di calcolo di grandi dimensioni espressioni algebriche. Le formule stesse derivano da regole esistenti in algebra per la moltiplicazione di più polinomi.
L'uso di queste formule fornisce una soluzione abbastanza rapida a vari problemi matematici e aiuta anche a semplificare le espressioni. Le regole delle trasformazioni algebriche permettono di eseguire alcune manipolazioni con le espressioni, in seguito alle quali è possibile ottenere a parte sinistra dell'uguaglianza l'espressione a parte destra, oppure trasformare la parte destra dell'uguaglianza (per ottenere l'espressione a parte sinistra dopo il segno uguale).
È conveniente conoscere a memoria le formule utilizzate per la moltiplicazione abbreviata, poiché vengono spesso utilizzate per risolvere problemi ed equazioni. Di seguito sono riportate le principali formule incluse in questo elenco e i loro nomi.
Quadrato della somma
Per calcolare il quadrato della somma è necessario trovare la somma composta dal quadrato del primo termine, il doppio del prodotto del primo termine e del secondo e il quadrato del secondo. Sotto forma di espressione, questa regola è scritta come segue: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Differenza quadrata
Per calcolare il quadrato della differenza, bisogna calcolare la somma composta dal quadrato del primo numero, dal doppio del prodotto del primo numero e del secondo (preso con il segno opposto) e dal quadrato del secondo numero. Sotto forma di espressione, questa regola si presenta così: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Differenza di quadrati
La formula per la differenza di due numeri al quadrato è uguale al prodotto della somma di questi numeri e della loro differenza. Sotto forma di espressione, questa regola si presenta così: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Cubo di somma
Per calcolare il cubo della somma di due termini è necessario calcolare la somma composta dal cubo del primo termine, triplicare il prodotto del quadrato del primo termine e del secondo, triplicare il prodotto del primo termine e del secondo al quadrato e il cubo del secondo termine. Sotto forma di espressione, questa regola si presenta così: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Somma di cubi
Secondo la formula, è uguale al prodotto della somma di questi termini e del loro quadrato incompleto della differenza. Sotto forma di espressione, questa regola si presenta così: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Esempio.È necessario calcolare il volume di una figura formata sommando due cubi. Si conoscono solo le dimensioni dei loro lati.
Se i valori laterali sono piccoli, i calcoli sono semplici.
Se le lunghezze dei lati sono espresse in numeri ingombranti, in questo caso è più semplice utilizzare la formula "Somma dei cubi", che semplificherà notevolmente i calcoli.
Cubo di differenza
L'espressione per la differenza cubica suona così: come somma della terza potenza del primo termine, triplica il prodotto negativo del quadrato del primo termine per il secondo, triplica il prodotto del primo termine per il quadrato del secondo e il cubo negativo del secondo termine. Sotto forma di espressione matematica, il cubo della differenza si presenta così: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Differenza di cubi
La formula della differenza dei cubi differisce dalla somma dei cubi per un solo segno. Pertanto, la differenza dei cubi è una formula uguale al prodotto della differenza di questi numeri e del loro quadrato incompleto della somma. Sotto forma di espressione matematica, la differenza dei cubi appare così: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Esempio.È necessario calcolare il volume della figura che rimarrà dopo aver sottratto la cifra volumetrica dal volume del cubo blu giallo, che è anche un cubo. Si conosce solo la dimensione laterale del cubo piccolo e di quello grande.
Se i valori laterali sono piccoli, i calcoli sono abbastanza semplici. E se le lunghezze dei lati sono espresse in numeri significativi, allora vale la pena applicare la formula intitolata “Differenza di cubi” (o “Cubo di differenza”), che semplificherà notevolmente i calcoli.
Uno dei primi argomenti studiati in un corso di algebra sono le formule di moltiplicazione abbreviate. Nel grado 7, vengono utilizzati nelle situazioni più semplici, in cui è necessario riconoscere una delle formule in un'espressione e fattorizzare un polinomio o, al contrario, elevare rapidamente al quadrato o al cubo una somma o una differenza. In futuro verrà utilizzato FSU soluzione rapida disuguaglianze ed equazioni e persino di calcolarne alcune espressioni numeriche senza calcolatrice.
Che aspetto ha un elenco di formule?
Esistono 7 formule base che ti consentono di moltiplicare rapidamente i polinomi tra parentesi.
A volte questo elenco include anche un'espansione per il quarto grado, che deriva dalle identità presentate e ha la forma:
a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Tutte le uguaglianze hanno una coppia (somma - differenza), tranne la differenza dei quadrati. La formula per la somma dei quadrati non è fornita.
Le restanti uguaglianze sono facili da ricordare:
Va ricordato che le FSU funzionano in ogni caso e per qualsiasi valore UN E B: possono essere numeri arbitrari o espressioni intere.
In una situazione in cui all'improvviso non riesci a ricordare quale segno si trova davanti a un particolare termine nella formula, puoi aprire le parentesi e ottenere lo stesso risultato che otterresti dopo aver utilizzato la formula. Ad esempio, se si verifica un problema durante l'applicazione della differenza del cubo FSU, è necessario annotare l'espressione originale e eseguire la moltiplicazione uno per uno:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Di conseguenza, dopo aver inserito tutti i termini simili, è stato ottenuto lo stesso polinomio della tabella. Le stesse manipolazioni possono essere eseguite con tutte le altre FSU.
Applicazione della FSU per risolvere equazioni
Ad esempio, devi risolvere un'equazione contenente polinomio di grado 3:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
Il curriculum scolastico non copre le tecniche universali per risolvere le equazioni cubiche e tali compiti vengono spesso risolti di più metodi semplici(ad esempio, mediante fattorizzazione). Se notiamo che il lato sinistro dell'identità assomiglia al cubo di una somma, allora l'equazione può essere scritta in una forma più semplice:
(x + 1)³ = 0.
La radice di tale equazione viene calcolata oralmente: x = -1.
Le disuguaglianze si risolvono in modo simile. Ad esempio, puoi risolvere la disuguaglianza x³ – 6x² + 9x > 0.
Prima di tutto, devi fattorizzare l'espressione. Per prima cosa devi parentesi X. Successivamente, nota che l'espressione tra parentesi può essere convertita nel quadrato della differenza.
Quindi è necessario trovare i punti in cui l'espressione assume valori zero e contrassegnarli sulla linea numerica. In un caso particolare, questi saranno 0 e 3. Quindi, utilizzando il metodo degli intervalli, determina in quali intervalli x corrisponderà alla condizione di disuguaglianza.
Le FSU possono essere utili durante l'esecuzione alcuni calcoli senza l'ausilio della calcolatrice:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Inoltre, fattorizzando le espressioni, puoi facilmente ridurre le frazioni e semplificare varie espressioni algebriche.
Esempi di problemi per i gradi 7-8
In conclusione, analizzeremo e risolveremo due compiti sull'uso delle formule di moltiplicazione abbreviate in algebra.
Attività 1. Semplifica l'espressione:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Soluzione. La condizione del compito richiede di semplificare l'espressione, ad es. aprire le parentesi, eseguire le operazioni di moltiplicazione ed esponenziazione e anche riportare tutti i termini simili. Dividiamo condizionalmente l'espressione in tre parti (in base al numero di termini) e apriamo le parentesi una per una, utilizzando ove possibile la FSU.
- (m + 3)² = m² + 6 m + 9(somma quadrata);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(differenza dei quadrati);
- Nell'ultimo termine devi moltiplicare: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Sostituiamo i risultati ottenuti nell'espressione originale:
(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).
Tenendo conto dei segni, apriremo le parentesi e presenteremo termini simili:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.
Problema 2. Risolvi un'equazione contenente l'incognita k alla quinta potenza:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.
Soluzione. In questo caso è necessario utilizzare la FSU e il metodo del raggruppamento. È necessario spostare gli ultimi e penultimi termini sul lato destro dell'identità.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Il fattore comune si ricava dai lati destro e sinistro (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).
Tutto viene trasferito a sinistra dell'equazione in modo che 0 rimanga a destra:
k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.
Anche in questo caso è necessario eliminare il fattore comune:
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
Dal primo fattore ottenuto possiamo derivare k. Secondo la breve formula di moltiplicazione, il secondo fattore sarà identicamente uguale a (k+2)²:
k(k² - 1)(k + 2)² = 0.
Usando la formula della differenza dei quadrati:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Poiché un prodotto è uguale a 0 se almeno uno dei suoi fattori è zero, trovare tutte le radici dell'equazione non è difficile:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Sulla base di esempi illustrativi, puoi capire come ricordare le formule, le loro differenze e anche risolvere diversi problemi pratici utilizzando FSU. I compiti sono semplici e non dovrebbero esserci difficoltà nel completarli.
Sono utilizzati per semplificare i calcoli, nonché per fattorizzare i polinomi e moltiplicare rapidamente i polinomi. La maggior parte delle formule di moltiplicazione abbreviate possono essere ottenute dal binomio di Newton: lo vedrai presto.
Formule per i quadrati utilizzato nei calcoli più spesso. Cominciano a essere studiati nel curriculum scolastico a partire dalla 7a elementare e fino alla fine dei loro studi gli scolari devono conoscere a memoria le formule dei quadrati e dei cubi.
Formule per i cubi non molto complicato e devi conoscerli quando riduci i polinomi a vista standard, per semplificare l'elevazione della somma o della differenza di una variabile e di un numero al cubo.
Le formule indicate in rosso sono ottenute dalle precedenti raggruppando termini simili.
Formule per il quarto e quinto grado in un corso scolastico saranno di scarsa utilità per chiunque, ma ci sono dei compiti quando si studia matematica superiore dove è necessario calcolare i coefficienti delle potenze.
Formule per la laurea n vengono scritti tramite coefficienti binomiali utilizzando i seguenti fattoriali 
Esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate
Esempio 1. Calcola 51^2.
Soluzione. Se hai una calcolatrice, puoi trovarla senza problemi.
Scherzavo: tutti sono saggi con la calcolatrice, senza... (non parliamo di cose tristi).
Senza una calcolatrice e conoscendo le regole di cui sopra, troviamo il quadrato di un numero utilizzando la regola
Esempio 2. Trova 99^2.
Soluzione. Applichiamo la seconda formula
Esempio 3: eleva al quadrato l'espressione
(x+y-3).
Soluzione. Consideriamo mentalmente la somma dei primi due termini come un termine e, utilizzando la seconda formula per la moltiplicazione abbreviata, abbiamo
Esempio 4. Trova la differenza dei quadrati
11^2-9^2.
Soluzione. Poiché i numeri sono piccoli, puoi semplicemente sostituire i valori dei quadrati
Ma il nostro obiettivo è completamente diverso: imparare a utilizzare formule di moltiplicazione abbreviate per semplificare i calcoli. Per questo esempio, applichiamo la terza formula
Esempio 5. Trova la differenza dei quadrati
17^2-3^2
.
Soluzione. In questo esempio, vorrai già studiare le regole per ridurre i calcoli a una riga
Come puoi vedere, non abbiamo fatto nulla di sorprendente.
Esempio 6: semplificare un'espressione
(x-y)^2-(x+y)^2.
Soluzione. Puoi disporre i quadrati e successivamente raggruppare termini simili. Tuttavia, è possibile applicare direttamente la differenza dei quadrati 
Semplice e senza soluzioni lunghe.
Esempio 7. Cubo di un polinomio
x^3-4.
Soluzione. Applichiamo la formula di moltiplicazione abbreviata 5 
Esempio 8. Scrivi come differenza di quadrati o loro somma
a)x^2-8x+7
b)x^2+4x+29
Soluzione. a) Riorganizzare i termini
b) Semplificare sulla base degli argomenti precedenti 
Esempio 9. Espandi una frazione razionale
Soluzione. Applichiamo la formula della differenza dei quadrati 
Creiamo un sistema di equazioni per determinare le costanti
Aggiungiamo la seconda alla prima equazione triplicata. Sostituiamo il valore trovato nella prima equazione 
La scomposizione prenderà finalmente forma 
Spesso è necessario espandere una frazione razionale prima di integrarla per ridurre la potenza del denominatore.
Esempio 10. Usando il binomio di Newton, scrivi
espressione (x-a)^7.
Soluzione. Probabilmente sai già cos'è un binomio di Newton. In caso contrario, di seguito sono riportati i coefficienti binomiali
Sono formati come segue: le unità vanno lungo il bordo, i coefficienti tra loro nella linea inferiore sono formati sommando quelli superiori adiacenti. Se cerchiamo una differenza in una certa misura, i segni nel programma si alternano da più a meno. Pertanto, per il settimo ordine otteniamo il seguente layout
Osserva anche attentamente come cambiano gli indicatori: per la prima variabile diminuiscono di uno in ogni termine successivo, rispettivamente, per la seconda aumentano di uno. In totale gli indicatori devono essere sempre pari al grado di decomposizione (=7).
Penso che sulla base del materiale di cui sopra sarai in grado di risolvere i problemi utilizzando il binomio di Newton. Impara le formule di moltiplicazione abbreviate e applicale ovunque possano semplificare i calcoli e risparmiare tempo nel completare un'attività.
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