Livello intermedio
Disuguaglianze quadratiche. Guida completa (2019)
Per capire come risolvere le equazioni quadratiche, dobbiamo capire cosa funzione quadratica e quali proprietà ha.
Probabilmente ti sei chiesto perché è necessaria una funzione quadratica? Dove è applicabile il suo grafico (parabola)? Sì, devi solo guardarti intorno e te ne accorgerai ogni giorno vita quotidiana la incontri. Hai notato come vola una palla lanciata nell'educazione fisica? "Lungo l'arco"? La risposta più corretta sarebbe “parabola”! E lungo quale traiettoria si muove il getto nella fontana? Sì, anche in parabola! Come vola un proiettile o una conchiglia? Esatto, anche in parabola! Pertanto, conoscendo le proprietà di una funzione quadratica, sarà possibile risolvere molti problemi pratici. Ad esempio, con quale angolo dovrebbe essere lanciata una palla per garantire la massima distanza? Oppure dove finirà il proiettile se lo lanci con una certa angolazione? ecc.
Funzione quadratica
Quindi, scopriamolo.
Per esempio, . Quali sono gli uguali qui, e? Beh, ovviamente!
E se, ad es. meno di zero? Bene, ovviamente siamo "tristi", il che significa che i rami saranno diretti verso il basso! Diamo un'occhiata al grafico.
Questa figura mostra il grafico di una funzione. Poiché, cioè inferiore a zero i rami della parabola sono diretti verso il basso. Inoltre, probabilmente hai già notato che i rami di questa parabola intersecano l'asse, il che significa che l'equazione ha 2 radici e la funzione assume sia valori positivi che negativi!
All'inizio, quando abbiamo dato la definizione di funzione quadratica, è stato detto che e sono alcuni numeri. Possono essere uguali a zero? Beh, certo che possono! Rivelerò anche un segreto ancora più grande (che non è affatto un segreto, ma vale la pena menzionarlo): non ci sono restrizioni imposte su questi numeri (e) affatto!
Bene, vediamo cosa succede ai grafici se e sono uguali a zero.
Come puoi vedere, i grafici delle funzioni (e) in esame si sono spostati in modo che i loro vertici si trovino ora nel punto con le coordinate, cioè all'intersezione degli assi e, questo non ha alcun effetto sulla direzione dei rami . Pertanto, possiamo concludere che sono responsabili del “movimento” del grafico della parabola lungo il sistema di coordinate.
Il grafico di una funzione tocca l'asse in un punto. Ciò significa che l'equazione ha una radice. Pertanto, la funzione assume valori maggiori o uguali a zero.
Seguiamo la stessa logica con il grafico della funzione. Tocca l'asse x in un punto. Ciò significa che l'equazione ha una radice. Pertanto, la funzione assume valori inferiori o uguali a zero, cioè.
Pertanto, per determinare il segno di un'espressione, la prima cosa da fare è trovare le radici dell'equazione. Questo ci sarà molto utile.
Disuguaglianza quadratica
Per risolvere tali disuguaglianze, avremo bisogno della capacità di determinare dove una funzione quadratica è maggiore, minore o uguale a zero. Questo è:
- se abbiamo una disuguaglianza della forma, in realtà il compito si riduce a determinare l'intervallo numerico di valori per il quale la parabola si trova sopra l'asse.
- se abbiamo una disuguaglianza della forma, in realtà il compito si riduce a determinare l'intervallo numerico di valori x per i quali la parabola si trova sotto l'asse.
Se le disuguaglianze non sono strette, le radici (le coordinate dell'intersezione della parabola con l'asse) sono comprese nell'intervallo numerico desiderato, nel caso di disuguaglianze strette vengono escluse;
Tutto questo è abbastanza formalizzato, ma non disperare né spaventarti! Ora diamo un'occhiata agli esempi e tutto andrà a posto.
Nel risolvere le disuguaglianze quadratiche, aderiremo all'algoritmo fornito e ci aspetta un inevitabile successo!
| Algoritmo | Esempio: |
| 1) Scriviamo la disuguaglianza corrispondente equazione quadratica(basta cambiare il segno di disuguaglianza nel segno di uguale “="”). | |
| 2) Troviamo le radici di questa equazione. | |
| 3) Segnare le radici sull'asse e mostrare schematicamente l'orientamento dei rami della parabola (“su” o “giù”) |  |
| 4) Mettiamo sull'asse i segni corrispondenti al segno della funzione quadratica: dove la parabola è sopra l'asse, mettiamo “ ”, e dove sotto - “ “. |  |
| 5) Scrivere gli intervalli corrispondenti a “ ” o “ ”, a seconda del segno di disuguaglianza. Se la disuguaglianza non è stretta, le radici sono incluse nell'intervallo; se è stretta, non lo sono. |
Fatto? Quindi vai avanti e appuntalo!
Esempio:
Bene, ha funzionato? In caso di difficoltà, cercare soluzioni.
Soluzione:
Scriviamo gli intervalli corrispondenti al segno " ", poiché il segno di disuguaglianza è " ". La disuguaglianza non è stretta, quindi le radici sono incluse negli intervalli:
Scriviamo l'equazione quadratica corrispondente:
Troviamo le radici di questa equazione quadratica:
Contrassegniamo schematicamente le radici ottenute sull'asse e disponiamo i segni:
Scriviamo gli intervalli corrispondenti al segno " ", poiché il segno di disuguaglianza è " ". La disuguaglianza è stretta, quindi le radici non sono incluse negli intervalli:
Scriviamo l'equazione quadratica corrispondente:
Troviamo le radici di questa equazione quadratica:
questa equazione ha una radice
Contrassegniamo schematicamente le radici ottenute sull'asse e disponiamo i segni:
Scriviamo gli intervalli corrispondenti al segno " ", poiché il segno di disuguaglianza è " ". Per any, la funzione assume valori non negativi. Poiché la disuguaglianza non è stretta, la risposta sarà.
Scriviamo l'equazione quadratica corrispondente:
Troviamo le radici di questa equazione quadratica:
Disegniamo schematicamente il grafico di una parabola e disponiamo i segni:
Scriviamo gli intervalli corrispondenti al segno " ", poiché il segno di disuguaglianza è " ". Per ogni funzione assume valori positivi, pertanto la soluzione della disuguaglianza sarà l'intervallo:
DISUGUAGLIANZE QUADRATE. LIVELLO MEDIO
Funzione quadratica.
Prima di parlare dell’argomento “disuguaglianze quadratiche”, ricordiamo cos’è una funzione quadratica e qual è il suo grafico.
| Una funzione quadratica è una funzione della forma, |
In altre parole, questo polinomio di secondo grado.
Il grafico di una funzione quadratica è una parabola (ricordi cos'è?). I suoi rami sono diretti verso l'alto se "a) la funzione assume solo valori positivi per tutti, e nel secondo () - solo valori negativi:
Nel caso in cui l'equazione () abbia esattamente una radice (ad esempio, se il discriminante è zero), ciò significa che il grafico tocca l'asse:
Quindi, analogamente al caso precedente, per " .
Quindi, recentemente abbiamo imparato come determinare dove una funzione quadratica è maggiore di zero e dove è minore:
Se la disuguaglianza quadratica non è stretta, allora le radici sono incluse nell'intervallo numerico; se è stretta, non lo sono.
Se c’è una sola radice, va bene, lo stesso segno sarà ovunque. Se non ci sono radici tutto dipende solo dal coefficiente: se "25((x)^(2))-30x+9
Risposte:
2) 25((x)^(2))-30x+9>
Non ci sono radici, quindi l'intera espressione a sinistra prende il segno del coefficiente prima:
- Se vuoi trovare un intervallo numerico in cui il trinomio quadratico è maggiore di zero, allora questo è l'intervallo numerico in cui la parabola si trova sopra l'asse.
- Se vuoi trovare un intervallo numerico in cui il trinomio quadratico è minore di zero, allora questo è l'intervallo numerico in cui la parabola si trova sotto l'asse.
DISUGUAGLIANZE QUADRATE. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI
Funzione quadraticaè una funzione della forma: ,
Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. I suoi rami sono diretti verso l'alto se e verso il basso se:
Tipi di disuguaglianze quadratiche:
Tutte le disuguaglianze quadratiche sono ridotte ai seguenti quattro tipi:
Algoritmo di soluzione:
| Algoritmo | Esempio: |
| 1) Scriviamo l'equazione quadratica corrispondente alla disuguaglianza (basta cambiare il segno della disuguaglianza nel segno uguale ""). | |
| 2) Troviamo le radici di questa equazione. | |
| 3) Segnare le radici sull'asse e mostrare schematicamente l'orientamento dei rami della parabola (“su” o “giù”) | |
| 4) Posizioniamo sull'asse i segni corrispondenti al segno della funzione quadratica: dove la parabola è sopra l'asse, mettiamo “ ”, e dove sotto - “ “. | |
| 5) Annotare gli intervalli corrispondenti a “ ” o “ ”, a seconda del segno di disuguaglianza. Se la disuguaglianza non è stretta, le radici sono incluse nell'intervallo; se è stretta, non lo sono. |
Lezione e presentazione sul tema: "Diseguaglianze quadratiche, esempi di soluzioni"
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Ragazzi, sappiamo già come risolvere le equazioni quadratiche. Ora impariamo come risolvere le disuguaglianze quadratiche.
Disuguaglianza quadratica Questo tipo di disuguaglianza si chiama:
$ax^2+bx+c>0$.
Il segno di disuguaglianza può essere qualsiasi, i coefficienti a, b, c possono essere numeri qualsiasi ($a≠0$).
Anche qui valgono tutte le regole che abbiamo definito per le disuguaglianze lineari. Ripeti queste regole tu stesso!
Introduciamo un'altra regola importante:
Se il trinomio $ax^2+bx+c$ ha un discriminante negativo, allora se sostituisci un qualsiasi valore di x, il segno del trinomio sarà uguale al segno del coefficiente a.
Esempi di risoluzione di disuguaglianze quadratiche
può essere risolto tracciando grafici o tracciando intervalli. Diamo un'occhiata ad esempi di soluzioni alle disuguaglianze.Esempi.
1. Risolvi la disuguaglianza: $x^2-2x-8
Soluzione:
Troviamo le radici dell'equazione $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ e $x_2=-2$.
Tracciamo un'equazione quadratica. L'asse x si interseca nei punti 4 e -2. 2. Risolvere la disuguaglianza: $5x-6 Soluzione: Costruiamo un grafico di un'equazione quadratica, l'asse x si interseca nei punti 2 e 3. 3. Risolvi la disuguaglianza: $2^2+2x+1≥0$. Soluzione: 4. Risolvi la disuguaglianza: $x^2+x-2 Definizione di disuguaglianza quadratica Nota 1 La disuguaglianza è chiamata quadratica perché la variabile è al quadrato. Vengono anche chiamate disuguaglianze quadratiche disuguaglianze di secondo grado. Esempio 1 Esempio. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – disuguaglianze quadratiche. Come si vede dall'esempio non sono presenti tutti gli elementi della disuguaglianza della forma $ax^2+bx+c > 0$. Ad esempio, nella disuguaglianza $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ non esiste un termine libero (termine $с$), e nella disuguaglianza $11z^2+8 \le 0$ non esiste alcun termine con coefficiente $b$. Anche tali disuguaglianze sono quadratiche, ma vengono anche chiamate disuguaglianze quadratiche incomplete. Significa semplicemente che i coefficienti $b$ o $c$ sono uguali a zero. Quando si risolvono le disuguaglianze quadratiche, vengono utilizzati i seguenti metodi di base: Nota 2 Metodo grafico per risolvere disuguaglianze quadratiche $ax^2+bx+c > 0$ (o con il segno $ Questi intervalli sono risolvere la disuguaglianza quadratica. Nota 3 Metodo di intervallo per risolvere disuguaglianze quadratiche della forma $ax^2+bx+c > 0$ (il segno di disuguaglianza può anche essere $ Soluzioni alle disuguaglianze quadratiche con il segno $""$ - intervalli positivi, con i segni $"≤"$ e $"≥"$ - intervalli negativi e positivi (rispettivamente), inclusi i punti che corrispondono agli zeri del trinomio. Il metodo per risolvere una disuguaglianza quadratica isolando il quadrato del binomio consiste nel passare ad una disuguaglianza equivalente della forma $(x-n)^2 > m$ (o con il segno $ Nota 4 Spesso, quando si risolvono le disuguaglianze, è necessario ridurle a disuguaglianze quadratiche della forma $ax^2+bx+c > 0$ (il segno di disuguaglianza può anche essere $ disuguaglianze che si riducono a quadratiche. Nota 5 Il modo più semplice per ridurre le disuguaglianze a quadratiche è riorganizzare i termini nella disuguaglianza originale o trasferirli, ad esempio, dal lato destro a quello sinistro. Ad esempio, trasferendo tutti i termini della disuguaglianza $7x > 6-3x^2$ da destra a sinistra, otteniamo una disuguaglianza quadratica della forma $3x^2+7x-6 > 0$. Se riorganizziamo i termini sul lato sinistro della disuguaglianza $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ in ordine decrescente del grado della variabile $y$, ciò porterà a una disuguaglianza quadratica equivalente della forma $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$. Quando si risolvono le disuguaglianze razionali, queste vengono spesso ridotte a disuguaglianze quadratiche. In questo caso, è necessario trasferire tutti i termini sul lato sinistro e trasformare l'espressione risultante nella forma di un trinomio quadratico. Esempio 2 Esempio. Riduci la disuguaglianza $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ a quadratica. Soluzione. Spostiamo tutti i termini a sinistra della disuguaglianza: $7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$. Utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate e parentesi aperte, semplifichiamo l'espressione sul lato sinistro della disuguaglianza: $7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21.5x-19 > 0$. Risposta: $x^2-21.5x-19 > 0$. Il metodo degli intervalli è giustamente considerato un metodo universale per risolvere le disuguaglianze. È il più semplice da usare per risolvere le disuguaglianze quadratiche in una variabile. In questo materiale esamineremo tutti gli aspetti dell'utilizzo del metodo degli intervalli per risolvere le disuguaglianze quadratiche. Per facilitare l'assimilazione del materiale, prenderemo in considerazione un gran numero di esempi di vari gradi di complessità. Yandex.RTB R-A-339285-1 Consideriamo un algoritmo per utilizzare il metodo degli intervalli in una versione adattata, adatta per risolvere le disuguaglianze quadratiche. È questa versione del metodo degli intervalli che viene introdotta agli studenti nelle lezioni di algebra. Non complichiamo nemmeno il compito. Passiamo all'algoritmo stesso. Abbiamo il trinomio quadratico a · x 2 + b · x + c dal lato sinistro della disuguaglianza quadratica. Troviamo gli zeri di questo trinomio. Nel sistema di coordinate rappresentiamo una linea di coordinate. Segniamo le radici su di esso. Per comodità, possiamo introdurre diversi modi di annotare i punti per le disuguaglianze strette e non strette. Concordiamo che utilizzeremo punti “vuoti” per contrassegnare le coordinate quando risolviamo una disuguaglianza rigorosa e punti ordinari per contrassegnare una disuguaglianza non rigorosa. Contrassegnando i punti, otteniamo diversi intervalli sull'asse delle coordinate. Se nel primo passaggio abbiamo trovato degli zeri, determiniamo i segni dei valori del trinomio per ciascuno degli intervalli risultanti. Se non riceviamo zeri, eseguiamo questa azione per l'intera linea numerica. Contrassegniamo gli spazi vuoti con i segni “+” o “-”. Inoltre, introdurremo l'ombreggiatura nei casi in cui risolviamo disuguaglianze con segni > o ≥ e< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ». Notando i segni dei valori del trinomio e applicando l'ombreggiatura sui segmenti, otteniamo un'immagine geometrica di un certo insieme numerico, che in realtà è una soluzione alla disuguaglianza. Tutto quello che dobbiamo fare è scrivere la risposta. Soffermiamoci più in dettaglio sul terzo passaggio dell'algoritmo, che prevede la determinazione del segno del divario. Esistono diversi approcci per definire i segni. Vediamoli in ordine, cominciando dal più preciso, anche se non il più veloce. Questo metodo prevede il calcolo dei valori del trinomio in più punti degli intervalli risultanti. Esempio 1 Prendiamo ad esempio il trinomio x 2 + 4 · x − 5. Le radici di questo trinomio 1 e - 5 dividono l'asse delle coordinate in tre intervalli (− ∞, − 5), (− 5, 1) e (1, + ∞). Cominciamo con l'intervallo (1, + ∞). Per semplificare il nostro compito, prendiamo x = 2. Otteniamo 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7. 7 è un numero positivo. Ciò significa che i valori di questo trinomio quadratico sull'intervallo (1, + ∞) sono positivi e possono essere indicati con il segno “+”. Per determinare il segno dell'intervallo (−5, 1) prendiamo x = 0. Abbiamo 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Posiziona un segno "-" sopra l'intervallo. Per l'intervallo (− ∞, − 5) prendiamo x = − 6, otteniamo (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Contrassegniamo questo intervallo con un segno “+”. Puoi identificare i segnali molto più velocemente tenendo conto dei seguenti fatti. Con un discriminante positivo, un trinomio quadrato con due radici dà un'alternanza di segni dei suoi valori su intervalli in cui la linea numerica è divisa dalle radici di questo trinomio. Ciò significa che non dobbiamo necessariamente definire i segni per ciascuno degli intervalli. È sufficiente eseguire i calcoli per uno e inserire i segni per il resto, tenendo conto del principio di alternanza. Se lo desideri, puoi fare a meno dei calcoli traendo conclusioni sui segni in base al valore del coefficiente principale. Se a > 0, allora otteniamo una sequenza di segni +, −, + e se a< 0 – то − , + , − . Per i trinomi quadratici con una radice, quando il discriminante è zero, si ottengono due intervalli sull'asse delle coordinate con gli stessi segni. Ciò significa che determiniamo il segno per uno degli intervalli e impostiamo lo stesso per il secondo. Anche qui applichiamo il metodo per determinare il segno in base al valore del coefficiente a: se a > 0 allora sarà +, + e se a< 0 , то − , − . Se un trinomio quadrato non ha radici, i segni dei suoi valori per l'intera linea di coordinate coincidono sia con il segno del coefficiente principale a sia con il segno del termine libero c. Ad esempio, se prendiamo il trinomio quadratico − 4 x 2 − 7, non ha radici (il suo discriminante è negativo). Il coefficiente di x 2 è negativo − 4 e anche l'intercetta − 7 è negativa. Ciò significa che sull'intervallo (− ∞, + ∞) i suoi valori sono negativi. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione delle disuguaglianze quadratiche utilizzando l'algoritmo discusso sopra. Esempio 2 Risolvi la disuguaglianza 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0. Soluzione
Usiamo il metodo degli intervalli per risolvere la disuguaglianza. Per fare ciò, troviamo le radici del trinomio quadrato 8 x 2 − 4 x − 1 . Dato che il coefficiente di x è pari, sarà più conveniente per noi calcolare non il discriminante, ma la quarta parte del discriminante: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 . Il discriminante è maggiore di zero. Questo ci permette di trovare le due radici del trinomio quadrato: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 e x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Contrassegniamo questi valori sulla linea numerica. Poiché l'equazione non è rigorosa, utilizziamo i punti ordinari sul grafico. Ora, utilizzando il metodo degli intervalli, determiniamo i segni dei tre intervalli risultanti. Il coefficiente di x 2 è uguale a 8, cioè positivo, quindi la sequenza di segni sarà +, −, +. Poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza con il segno ≥, disegniamo un'ombreggiatura sugli intervalli con segni più: Scriviamo analiticamente l'insieme numerico dall'immagine grafica risultante. Possiamo farlo in due modi: Risposta:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) oppure x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 . Esempio 3 Risolvi la disuguaglianza quadratica - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Soluzione
Innanzitutto, troviamo le radici del trinomio quadratico dal lato sinistro della disuguaglianza: D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Questa è una disuguaglianza rigorosa, quindi utilizziamo un punto “vuoto” sul grafico. Con coordinata 7. Ora dobbiamo determinare i segni sugli intervalli risultanti (− ∞, 7) e (7, + ∞). Poiché il discriminante di un trinomio quadratico è zero e il coefficiente principale è negativo, scriviamo i segni − , − : Poiché stiamo risolvendo una disuguaglianza con un segno< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: In questo caso le soluzioni sono entrambi gli intervalli (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) . Risposta:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) o in un'altra notazione x ≠ 7 . Esempio 4 La disuguaglianza quadratica x 2 + x + 7< 0 решения? Soluzione
Troviamo le radici del trinomio quadratico dal lato sinistro della disuguaglianza. Per fare ciò, troviamo il discriminante: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Il discriminante è minore di zero, il che significa che non esistono radici reali. L'immagine grafica apparirà come una linea numerica senza punti contrassegnati su di essa. Determiniamo il segno dei valori del trinomio quadratico. A D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : In questo caso potremmo applicare l'ombreggiatura sugli spazi con il segno “-”. Ma non abbiamo tali lacune. Pertanto, il disegno si presenta così: Come risultato dei calcoli, abbiamo ricevuto un set vuoto. Ciò significa che questa disuguaglianza quadratica non ha soluzioni. Risposta: NO. Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
Il nostro trinomio quadratico assume valori inferiori a zero laddove il grafico della funzione si trova sotto l'asse x.
Osservando il grafico della funzione, otteniamo la risposta: $x^2-2x-8 Risposta: $-2
Trasformiamo la disuguaglianza: $-x^2+5x-6 Dividiamo la disuguaglianza per meno uno. Non dimentichiamoci di cambiare segno: $x^2-5x+6>0$.
Troviamo le radici del trinomio: $x_1=2$ e $x_2=3$.
Il nostro trinomio quadratico assume valori maggiori di zero laddove il grafico della funzione si trova sopra l'asse x. Osservando il grafico della funzione, otteniamo la risposta: $5x-6
Troviamo le radici del nostro trinomio; per fare questo calcoliamo il discriminante: $D=2^2-4*2=-4 Il discriminante è minore di zero. Usiamo la regola che abbiamo introdotto all'inizio. Il segno della disuguaglianza sarà lo stesso del segno del coefficiente del quadrato. Nel nostro caso, il coefficiente è positivo, il che significa che la nostra equazione sarà positiva per qualsiasi valore di x.
Risposta: Per ogni x, la disuguaglianza è maggiore di zero.
Soluzione:
Troviamo le radici del trinomio e posizioniamole sulla retta delle coordinate: $x_1=-2$ e $x_2=1$. 
Se $x>1$ e $x Se $x>-2$ e $x Risposta: $x>-2$ e $xProblemi per la risoluzione delle disuguaglianze quadratiche
Risolvere le disuguaglianze:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Metodi per risolvere le disuguaglianze quadratiche
Metodo grafico
Metodo dell'intervallo
Isolare il quadrato di un binomio
Disuguaglianze che si riducono a quadratiche
Algoritmo per l'applicazione del metodo degli intervalli
Caricamento...
