Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :) Bene, amici, se state leggendo questo testo, allora la prova interna del limite mi dice che non sapete ancora cos'è una progressione aritmetica, ma in realtà (no, così: COSÌOOOO!) volete saperlo. Pertanto non vi tormenterò con lunghe introduzioni e andrò dritto al punto.
Innanzitutto, un paio di esempi. Diamo un'occhiata a diverse serie di numeri:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\quadrato(2);\ 2\quadrato(2);\ 3\quadrato(2);...$
Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà qualcosa c'è. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente per lo stesso numero.
Giudica tu stesso. Il primo set è composto semplicemente da numeri consecutivi, ciascuno dei quali è uno in più rispetto al precedente. Nel secondo caso la differenza tra numeri adiacenti è già cinque, ma questa differenza è ancora costante. Nel terzo caso ci sono tutte le radici. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ e $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ovvero e in questo caso, ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non temere che questo numero sia irrazionale).
Quindi: tutte queste sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigorosa:
Definizione. Una sequenza di numeri in cui ciascuno dei numeri successivi differisce esattamente dalla stessa quantità da quello precedente è chiamata progressione aritmetica. L'entità della differenza tra i numeri è chiamata differenza di progressione ed è spesso indicata con la lettera $d$.
Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.
E un paio contemporaneamente commenti importanti. Innanzitutto viene considerata solo la progressione ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti - e nient'altro. I numeri non possono essere riorganizzati o scambiati.
In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa nello spirito (1; 2; 3; 4; ...) - questa è già una progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro sembrano suggerire che ci saranno molti altri numeri in arrivo. Infinitamente molti, per esempio :)
Vorrei anche notare che le progressioni possono essere crescenti o decrescenti. Ne abbiamo già visti di crescenti: lo stesso insieme (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Va bene, va bene: l'ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, penso, lo capisci. Pertanto introduciamo nuove definizioni:
Definizione. Una progressione aritmetica si chiama:
- crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;
- decrescente se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.
Inoltre, esistono le cosiddette sequenze "stazionarie": consistono nello stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).
Resta solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente qui tutto dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:
- Se $d \gt 0$ allora la progressione aumenta;
- Se $d \lt 0$ allora la progressione è ovviamente decrescente;
- Infine c'è il caso $d=0$ - in questo caso l'intera progressione è ridotta a una sequenza stazionaria di numeri identici: (1; 1; 1; 1; ...), ecc.
Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti sopra riportate. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio il primo e il secondo) e sottrarre il numero a sinistra dal numero a destra. Apparirà così:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\quadrato(5)-1-\quadrato(5)=-1$.
Come possiamo vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata effettivamente negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.
Termini di progressione e formula di ricorrenza
Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:
\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Giusto\)\]
I singoli elementi di questo insieme sono chiamati membri di una progressione. Sono indicati da un numero: primo membro, secondo membro, ecc.
Inoltre, come già sappiamo, i termini vicini della progressione sono legati dalla formula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Freccia destra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
In breve, per trovare l'$n$esimo termine di una progressione, è necessario conoscere l'$n$esimo termine e la differenza $d$. Questa formula si chiama ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero solo conoscendo quello precedente (e in effetti tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più astuta che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]
Probabilmente ti sei già imbattuto in questa formula. A loro piace darlo in tutti i tipi di libri di consultazione e libri problematici. E in ogni libro di testo di matematica sensato è uno dei primi.
Ti consiglio comunque di esercitarti un po'.
Compito n. 1. Scrivi i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ se $((a)_(1))=8,d=-5$.
Soluzione. Conosciamo quindi il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza della progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(allinea)\]
Risposta: (8; 3; −2)
Questo è tutto! Nota: la nostra progressione sta diminuendo.
Naturalmente $n=1$ non può essere sostituito: il primo termine ci è già noto. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo convinti che anche per il primo termine la nostra formula funziona. In altri casi, tutto si riduceva all'aritmetica banale.
Compito n. 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è uguale a −40 e il suo diciassettesimo termine è uguale a −50.
Soluzione. Scriviamo la condizione problematica in termini familiari:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Giusto.\]
Metto il segno di sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. Notiamo ora che se sottraiamo la prima dalla seconda equazione (abbiamo il diritto di farlo, visto che abbiamo un sistema), otteniamo questo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(allinea)\]
È così facile trovare la differenza di progressione! Non resta che sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]
Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(allinea)\]
Pronto! Il problema è risolto.
Risposta: (−34; −35; −36)
Nota l'interessante proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Semplice ma molto proprietà utile, che devi assolutamente sapere: con il suo aiuto puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi di progressione. Ecco un chiaro esempio di ciò:
Compito n.3. Il quinto termine di una progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.
Soluzione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(allinea)\]
Ma per la condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui si ha:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(allinea)\]
Risposta: 20.4
Questo è tutto! Non abbiamo avuto bisogno di creare sistemi di equazioni e di calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato risolto in un paio di righe.
Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca dei termini negativi e positivi di una progressione. Non è un segreto che se una progressione aumenta e il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.
Allo stesso tempo, non è sempre possibile trovare questo momento “frontalmente” esaminando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono scritti in modo tale che, senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli di carta: ci addormenteremmo semplicemente mentre troviamo la risposta. Pertanto, proviamo a risolvere questi problemi in modo più rapido.
Compito n. 4. Quanti termini negativi ci sono nella progressione aritmetica −38,5; −35,8; ...?
Soluzione. Quindi, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, da dove troviamo immediatamente la differenza:
Si noti che la differenza è positiva, quindi la progressione aumenta. Il primo termine è negativo, quindi ad un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L’unica domanda è quando ciò accadrà.
Proviamo a scoprire per quanto tempo (cioè fino a quale numero naturale $n$) permane la negatività dei termini:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \destra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(allinea)\]
L'ultima riga richiede qualche spiegazione. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, ci accontentiamo solo di valori interi del numero (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero più grande consentito è esattamente $n=15$, e in nessun caso 16 .
Compito n.5. Nella progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.
Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza della progressione:
Inoltre, proviamo ad esprimere il quinto termine attraverso il primo e la differenza utilizzando la formula standard:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(allinea)\]
Ora procediamo per analogia con il compito precedente. Scopriamo in quale punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(allinea)\]
La soluzione intera minima a questa disuguaglianza è il numero 56.
Nota: nel ultimo compito tutto si riduceva a una rigorosa disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non è adatta a noi.
Ora che abbiamo imparato a risolvere i problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima studiamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare molto tempo e celle disuguali in futuro :).
Media aritmetica e rientri uguali
Consideriamo più termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a segnarli sulla linea dei numeri:
Termini di una progressione aritmetica sulla retta numericaHo contrassegnato specificamente i termini arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ e non alcuni $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, ecc. Perché la regola di cui ti parlerò ora funziona allo stesso modo per qualsiasi “segmento”.
E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorrente e scriviamola per tutti i termini contrassegnati:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(allinea)\]
Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(allinea)\]
E allora? E il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ si trovano alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - anch'essi vengono rimossi da $((a)_(n) )$ alla stessa distanza pari a $2d$. Possiamo continuare all'infinito, ma il significato è ben illustrato dall'immagine
I termini della progressione giacciono alla stessa distanza dal centro Cosa significa questo per noi? Ciò significa che $((a)_(n))$ può essere trovato se i numeri vicini sono noti:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Ne abbiamo derivato un'eccellente affermazione: ogni termine di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei termini vicini! Inoltre: possiamo tornare indietro dai nostri $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi - e la formula sarà comunque corretta:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Quelli. possiamo facilmente trovare $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti problemi sono appositamente studiati per utilizzare la media aritmetica. Dai un'occhiata:
Compito n. 6. Trova tutti i valori di $x$ per i quali i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ sono termini consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine indicato).
Soluzione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi la condizione della media aritmetica è soddisfatta: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(allinea)\]
Si è rivelato classico equazione quadratica. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.
Risposta: −3; 2.
Compito n.7. Trova i valori di $$ per i quali i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formano una progressione aritmetica (in quest'ordine).
Soluzione. Esprimiamo ancora una volta il termine medio attraverso la media aritmetica dei termini vicini:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(allinea)\]
Ancora una equazione quadratica. E ancora ci sono due radici: $x=6$ e $x=1$.
Risposta: 1; 6.
Se nel processo di risoluzione di un problema ti vengono in mente dei numeri brutali, o non sei del tutto sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora esiste una tecnica meravigliosa che ti permette di verificare: abbiamo risolto correttamente il problema?
Diciamo che nel problema n. 6 abbiamo ricevuto le risposte −3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Colleghiamoli semplicemente alla condizione originale e vediamo cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che devono formare una progressione aritmetica. Sostituiamo $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(allinea)\]
Abbiamo i numeri −54; −2; 50 che differiscono di 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(allinea)\]
Ancora una volta una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi il problema è stato risolto correttamente. Chi lo desidera può verificare da solo il secondo problema, ma dico subito: anche lì è tutto corretto.
In generale, risolvendo gli ultimi problemi, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante, che occorre ricordare anche:
Se tre numeri sono tali che il secondo sia il mezzo innanzitutto l'aritmetica e infine, questi numeri formano una progressione aritmetica.
In futuro, comprendere questa affermazione ci permetterà di “costruire” letteralmente le progressioni necessarie in base alle condizioni del problema. Ma prima di intraprendere tale “costruzione”, dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che deriva direttamente da quanto già discusso.
Raggruppamento e somma di elementi
Torniamo di nuovo all'asse dei numeri. Notiamo lì diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:
Ci sono 6 elementi segnati sulla linea numericaProviamo a esprimere la “coda sinistra” tramite $((a)_(n))$ e $d$, e la “coda destra” tramite $((a)_(k))$ e $d$. È molto semplice:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(allinea)\]
Ora notiamo che i seguenti importi sono uguali:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(allinea)\]
In poche parole, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e poi iniziamo a muoverci da questi elementi in direzioni opposte (uno verso l'altro o viceversa per allontanarsi), Poi saranno uguali anche le somme degli elementi in cui ci imbatteremo$S$. Ciò può essere rappresentato graficamente nel modo più chiaro:
Rientri uguali danno importi uguali Comprensione questo fatto ci consentirà di risolvere i problemi in modo fondamentalmente maggiore alto livello difficoltà rispetto a quelle considerate sopra. Ad esempio, questi:
Compito n. 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.
Soluzione. Scriviamo tutto quello che sappiamo:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(allinea)\]
Quindi, non conosciamo la differenza di progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(allinea)\]
Per quelli nel serbatoio: ho preso il moltiplicatore totale di 11 dalla seconda fascia. Pertanto, il prodotto richiesto è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con i rami verso l'alto, perché se espandiamo le parentesi otteniamo:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
Come puoi vedere, il coefficiente del termine più alto è 11 - questo è un numero positivo, quindi abbiamo davvero a che fare con una parabola con rami verso l'alto:
programma funzione quadratica- parabola
Nota: questa parabola assume il suo valore minimo nel vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente possiamo calcolare questa ascissa utilizzando lo schema standard (esiste la formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole notare che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria della parabola, quindi il punto $((d)_(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(allinea)\]
Ecco perché non avevo particolare fretta di aprire le parentesi: nella loro forma originale le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto l'ascissa è uguale alla media numeri aritmetici−66 e −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto assume il valore più piccolo (a proposito, non abbiamo mai calcolato $((y)_(\min ))$ - questo non ci è richiesto). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione originale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)
Risposta: −36
Compito n. 9. Tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ inserire tre numeri in modo che insieme a questi numeri formino una progressione aritmetica.
Soluzione. In sostanza, dobbiamo creare una sequenza di cinque numeri, di cui il primo e l'ultimo numero sono già noti. Indichiamo i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Nota che il numero $y$ è il “centro” della nostra sequenza: è equidistante dai numeri $x$ e $z$ e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se attualmente non riusciamo a ricavare $y$ dai numeri $x$ e $z$, per gli estremi della progressione la situazione è diversa. Ricordiamo la media aritmetica:
Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ che abbiamo appena trovato. Ecco perché
Usando un ragionamento simile, troviamo il numero rimanente:
Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui vanno inseriti tra i numeri originali.
Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Compito n. 10. Tra i numeri 2 e 42 inserisci più numeri che, insieme a questi numeri, formino una progressione aritmetica, se sai che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.
Soluzione. Un problema ancora più complesso, che però si risolve secondo lo stesso schema dei precedenti – attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri devono essere inseriti. Pertanto, assumiamo per certezza che dopo aver inserito tutto ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi sarà 2 e l'ultimo sarà 42. In questo caso, la progressione aritmetica richiesta può essere rappresentata nella forma:
\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Si noti tuttavia che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ si ottengono dai numeri 2 e 42 ai bordi con un passo l'uno verso l'altro, cioè. . al centro della sequenza. E questo significa questo
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Ma allora l'espressione scritta sopra può essere riscritta come segue:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(allinea)\]
Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza della progressione:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \end(allinea)\]
Non resta che trovare i restanti termini:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(allinea)\]
Quindi, già al passo 9 arriveremo all'estremità sinistra della sequenza - il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Problemi di parole con progressioni
In conclusione, vorrei considerarne un paio relativamente compiti semplici. Ebbene, è semplice: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi problemi possono sembrare difficili. Tuttavia, questi sono i tipi di problemi che compaiono nell'OGE e nell'Esame di Stato Unificato in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.
Compito n. 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo ha prodotto 14 parti in più rispetto al mese precedente. Quante parti ha prodotto il team a novembre?
Soluzione. Ovviamente, il numero di parti elencate per mese rappresenterà una progressione aritmetica crescente. Inoltre:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.
Compito n. 12. Nel mese di gennaio il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri e in ogni mese successivo ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop nel mese di dicembre?
Soluzione. Tutto è uguale:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Dicembre è l'ultimo, il 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Questa è la risposta: a dicembre saranno rilegati 260 libri.
Ebbene, se sei arrivato a leggere fin qui, mi affretto a farti i complimenti: hai completato con successo il “corso per giovani combattenti” in progressioni aritmetiche. Puoi tranquillamente passare alla lezione successiva, dove studieremo la formula per la somma della progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili che ne derivano.
Prima di iniziare a decidere problemi di progressione aritmetica, consideriamo cos'è una sequenza numerica, poiché lo è una progressione aritmetica caso speciale sequenza numerica.
Una sequenza numerica è un insieme di numeri, ciascun elemento del quale ha il proprio numero di serie. Gli elementi di questo insieme sono chiamati membri della sequenza. Il numero di serie di un elemento di sequenza è indicato da un indice:
Il primo elemento della sequenza;
Quinto elemento della sequenza;
- l'elemento “n-esimo” della sequenza, ovvero elemento "in coda" al numero n.
Esiste una relazione tra il valore di un elemento di sequenza e il suo numero di sequenza. Pertanto, possiamo considerare una sequenza come una funzione il cui argomento è il numero ordinale dell'elemento della sequenza. In altre parole, possiamo dirlo la sequenza è una funzione dell'argomento naturale:
La sequenza può essere impostata in tre modi:
1 . La sequenza può essere specificata utilizzando una tabella. In questo caso, impostiamo semplicemente il valore di ciascun membro della sequenza.
Ad esempio, qualcuno ha deciso di dedicarsi alla gestione del tempo personale e, per cominciare, di contare quanto tempo trascorre su VKontakte durante la settimana. Registrando il tempo nella tabella riceverà una sequenza composta da sette elementi:
La prima riga della tabella indica il numero del giorno della settimana, la seconda l'ora in minuti. Vediamo che lunedì qualcuno ha trascorso 125 minuti su VKontakte, cioè giovedì - 248 minuti e venerdì solo 15.
2 . La sequenza può essere specificata utilizzando la formula dell'ennesimo termine.
In questo caso, la dipendenza del valore di un elemento di sequenza dal suo numero è espressa direttamente sotto forma di formula.
Ad esempio, se , allora
Per trovare il valore di un elemento di sequenza con un dato numero, sostituiamo il numero dell'elemento nella formula dell'ennesimo termine.
Facciamo la stessa cosa se dobbiamo trovare il valore di una funzione conoscendo il valore dell'argomento. Sostituiamo il valore dell'argomento nell'equazione della funzione:
Se, ad esempio, 
, Quello
Vorrei notare ancora una volta che in una sequenza, a differenza di una funzione numerica arbitraria, l'argomento può essere solo un numero naturale.
3 . La sequenza può essere specificata utilizzando una formula che esprime la dipendenza del valore del membro della sequenza numero n dai valori dei membri precedenti.
In questo caso non è sufficiente conoscere solo il numero del membro della sequenza per trovarne il valore. Dobbiamo specificare il primo membro o i primi membri della sequenza. 
, 
Consideriamo ad esempio la sequenza Possiamo trovare i valori dei membri della sequenza uno per uno
, a partire dal terzo: Cioè ogni volta, per trovare il valore dell'ennesimo termine della successione, si torna ai due precedenti. Questo metodo per specificare una sequenza viene chiamato ricorrente , dalla parola latina ricorrere
- ritorno.
Ora possiamo definire una progressione aritmetica. Una progressione aritmetica è un semplice caso speciale di una sequenza numerica. Progressione aritmetica
è una sequenza numerica, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente sommato allo stesso numero. Il numero viene chiamato differenza di progressione aritmetica
. La differenza di una progressione aritmetica può essere positiva, negativa o uguale a zero.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Se titolo="d>0.
in aumento
Ad esempio, 2; 5; 8; 11;... Se , allora ogni termine di una progressione aritmetica è minore del precedente, e la progressione è.
decrescente
Ad esempio, 2; -1; -4; -7;... Se , allora tutti i termini della progressione sono uguali allo stesso numero e la progressione lo è.
stazionario
Ad esempio, 2;2;2;2;...
La proprietà principale di una progressione aritmetica:
Diamo un'occhiata alla foto.
Lo vediamo
, e allo stesso tempo
.
Sommando queste due uguaglianze, otteniamo:
Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per 2:
Quindi ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei due vicini:
Lo vediamo
Inoltre, da allora
, Quello
, e quindi">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Ogni termine di una progressione aritmetica, che inizia con title="k>l
Formula dell'esimo termine.
e infine
Abbiamo ottenuto formula dell'ennesimo termine.
IMPORTANTE! Qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere espresso tramite e. Conoscendo il primo termine e la differenza di una progressione aritmetica, puoi trovare qualsiasi suo termine.
La somma di n termini di una progressione aritmetica.
In una progressione aritmetica arbitraria, le somme dei termini equidistanti da quelli estremi sono uguali tra loro:
Consideriamo una progressione aritmetica con n termini. Sia la somma di n termini di questa progressione uguale a .
Disponiamo i termini della progressione prima in ordine crescente di numeri, e poi in ordine decrescente:
Aggiungiamo a coppie:
La somma in ciascuna parentesi è , il numero di coppie è n.
Otteniamo:
COSÌ, la somma di n termini di una progressione aritmetica può essere trovata utilizzando le formule:
Consideriamo Risoluzione di problemi di progressione aritmetica.
1 . La sequenza è data dalla formula dell'ennesimo termine: . Dimostrare che questa sequenza è una progressione aritmetica.
Dimostriamo che la differenza tra due termini adiacenti della successione è uguale allo stesso numero.
Abbiamo scoperto che la differenza tra due membri adiacenti della sequenza non dipende dal loro numero ed è una costante. Pertanto, per definizione, questa sequenza è una progressione aritmetica.
2 . Data una progressione aritmetica -31; -27;...
a) Trova 31 termini della progressione.
b) Determina se il numero 41 è incluso in questa progressione.
UN) Lo vediamo;
Scriviamo la formula per l'ennesimo termine della nostra progressione.
Generalmente 
Nel nostro caso 
, Ecco perché 
Progressioni aritmetiche e geometriche
Informazioni teoriche
Informazioni teoriche
Progressione aritmetica |
Progressione geometrica |
|
Definizione |
Progressione aritmetica UNè una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al membro precedente sommato allo stesso numero D (D- differenza di progressione) |
Progressione geometrica b nè una sequenza di numeri diversi da zero, ciascun termine dei quali, a partire dal secondo, è uguale al termine precedente moltiplicato per lo stesso numero Q (Q- denominatore della progressione) |
Formula di ricorrenza |
Per qualsiasi naturale N |
Per qualsiasi naturale N |
Formula ennesimo termine |
un n = un 1 + d (n-1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Proprietà caratteristica |  |
|
| Somma dei primi n termini |  |
 |
Esempi di attività con commenti
Compito 1
Nella progressione aritmetica ( UN) un 1 = -6, un 2
Secondo la formula dell’ennesimo termine:
un 22 = un 1+ d (22 - 1) = un 1+ 21 d
Secondo la condizione:
un 1= -6, quindi un 22= -6 + 21 d.
È necessario trovare la differenza delle progressioni:
d = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Risposta : un 22 = -48.
Compito 2
Trova il quinto termine della progressione geometrica: -3; 6;....
1° metodo (utilizzando la formula n-termine)
Secondo la formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica:
b5 = b1 ∙ q5 - 1 = b1 ∙ q4.
Perché b1 = -3,
2° metodo (utilizzando la formula ricorrente)
Poiché il denominatore della progressione è -2 (q = -2), allora:
b3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Risposta : b5 = -48.
Compito 3
Nella progressione aritmetica ( a n) a 74 = 34; un 76= 156. Trova il settantacinquesimo termine di questa progressione.
Per una progressione aritmetica la proprietà caratteristica ha la forma 
.
Da ciò segue:
.
Sostituiamo i dati nella formula:
Risposta: 95.
Compito 4
Nella progressione aritmetica ( un n) un n= 3n - 4. Trova la somma dei primi diciassette termini.
Per trovare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si utilizzano due formule:
.
Quale di questi è più conveniente da usare in questo caso?
Per condizione, è nota la formula per l'ennesimo termine della progressione originale ( UN) UN= 3n - 4. Puoi trovare immediatamente e un 1, E un 16 senza trovare d. Utilizzeremo quindi la prima formula.
Risposta: 368.
Compito 5
Nella progressione aritmetica( UN) un 1 = -6; un 2= -8. Trova il ventiduesimo termine della progressione.
Secondo la formula dell’ennesimo termine:
un 22 = un 1 + d (22 – 1) = un 1+21d.
A condizione, se un 1= -6, quindi un 22= -6 + 21d . È necessario trovare la differenza delle progressioni:
d = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Risposta : un 22 = -48.
Compito 6
Si scrivono più termini consecutivi della progressione geometrica:
Trovare il termine della progressione indicata da x.
Durante la risoluzione, utilizzeremo la formula per l'ennesimo termine b n = b 1 ∙ q n - 1 Per progressioni geometriche. Il primo termine della progressione. Per trovare il denominatore della progressione q, devi prendere uno qualsiasi dei termini indicati della progressione e dividerlo per quello precedente. Nel nostro esempio, possiamo prendere e dividere per. Otteniamo che q = 3. Al posto di n sostituiamo 3 nella formula, poiché è necessario trovare il terzo termine di una data progressione geometrica.
Sostituendo i valori trovati nella formula, otteniamo:
.
Risposta : .
Compito 7
Dalle progressioni aritmetiche date dalla formula dell'ennesimo termine selezionare quello per cui è soddisfatta la condizione un 27 > 9:
Poiché la condizione data deve essere soddisfatta per il 27° termine della progressione, sostituiamo 27 invece di n in ciascuna delle quattro progressioni. Nella 4a progressione otteniamo:
.
Risposta: 4.
Compito 8
Nella progressione aritmetica un 1= 3, d = -1,5. Specificare valore più alto n per cui vale la disuguaglianza UN > -6.
Problemi sulla progressione aritmetica esistevano già nell'antichità. Sono comparsi e hanno chiesto una soluzione perché l'avevano fatta necessità pratica.
Quindi, in uno dei papiri Antico Egitto", che ha un contenuto matematico - il papiro Rhind (XIX secolo a.C.) - contiene il seguente compito: dividere dieci misure di pane tra dieci persone, a condizione che la differenza tra ciascuna di esse sia un ottavo della misura."
E nelle opere matematiche degli antichi greci si trovano eleganti teoremi legati alla progressione aritmetica. Così, Ipsicle di Alessandria (II secolo, che compilò molti problemi interessanti e aggiunse il quattordicesimo libro agli Elementi di Euclide), formulò l'idea: “In una progressione aritmetica che ha un numero pari di termini, la somma dei termini della 2a metà è maggiore della somma dei termini del 1° sul quadrato 1/2 numeri di membri."
La sequenza è indicata con un. I numeri di una sequenza sono chiamati i suoi membri e sono solitamente designati da lettere con indici che indicano il numero di serie di questo membro (a1, a2, a3... leggi: “un 1°”, “un 2°”, “un 3°” e così via).
La sequenza può essere infinita o finita.
Cos'è una progressione aritmetica? Con esso si intende quello ottenuto sommando il termine precedente (n) con lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.
Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, allora questa progressione è considerata crescente.
Una progressione aritmetica si dice finita se si prendono in considerazione solo i suoi primi termini. A molto grandi quantità membri è già una progressione infinita.
Qualsiasi progressione aritmetica è definita dalla seguente formula:
an =kn+b, dove b e k sono alcuni numeri.
È assolutamente vera l'affermazione opposta: se una sequenza è data da una formula simile, allora è esattamente una progressione aritmetica che ha le proprietà:
- Ogni termine della progressione è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo.
- Inversa: se, a partire dal 2°, ogni termine è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo, cioè se la condizione è soddisfatta, questa sequenza è una progressione aritmetica. Questa uguaglianza è allo stesso tempo un segno di progressione, quindi viene solitamente chiamata una proprietà caratteristica della progressione.
Allo stesso modo è vero il teorema che riflette questa proprietà: una successione è una progressione aritmetica solo se questa uguaglianza è vera per uno qualsiasi dei termini della successione, a cominciare dal 2°.
La proprietà caratteristica di quattro numeri qualsiasi di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula an + am = ak + al, se n + m = k + l (m, n, k sono numeri di progressione).
In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (N-esimo) può essere trovato utilizzando la seguente formula:
Ad esempio: il primo termine (a1) in una progressione aritmetica è dato e pari a tre, e la differenza (d) è pari a quattro. Devi trovare il quarantacinquesimo termine di questa progressione. a45 = 1+4(45-1)=177
La formula an = ak + d(n - k) ci permette di determinare ennesimo termine una progressione aritmetica attraverso uno qualsiasi dei suoi termini k-esimi, purché sia noto.
La somma dei termini di una progressione aritmetica (ovvero i primi n termini di una progressione finita) si calcola come segue:
Sn = (a1+an) n/2.
Se è noto anche il primo termine, per il calcolo è conveniente un'altra formula:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
La somma di una progressione aritmetica che contiene n termini si calcola come segue:
La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni dei problemi e dai dati iniziali.
Serie naturali di qualsiasi numero, ad esempio 1,2,3,...,n,...- esempio più semplice progressione aritmetica.
Oltre alla progressione aritmetica esiste anche una progressione geometrica, che ha le sue proprietà e caratteristiche.
Calcolatore in linea.
Risoluzione di una progressione aritmetica.
Dati: a n , d, n
Trova: un 1
Questo programma matematico trova \(a_1\) di una progressione aritmetica basata sui numeri specificati dall'utente \(a_n, d\) e \(n\).
I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni. Inoltre, il numero frazionario può essere inserito sotto forma di frazione decimale (\(2.5\)) e sotto forma frazione comune(\(-5\frac(2)(7)\)).
Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo per trovare una soluzione.
Questo calcolatore online può essere utile per gli studenti delle scuole superiori nelle scuole secondarie durante la preparazione a test ed esami, per testare le conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato e per i genitori per controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? Oppure vuoi semplicemente farlo il più velocemente possibile? compiti a casa
in matematica o algebra? In questo caso potete anche utilizzare i nostri programmi con soluzioni dettagliate.
In questo modo potrete condurre la vostra formazione e/o la formazione dei vostri fratelli o sorelle più piccoli, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo della risoluzione dei problemi.
Se non hai familiarità con le regole per l'immissione dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.
Regole per l'immissione dei numeri
I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni.
Il numero \(n\) può essere solo un numero intero positivo.
Regole per l'immissione delle frazioni decimali.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola. Ad esempio, puoi inserire decimali
quindi 2,5 circa 2,5
Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.
Il denominatore non può essere negativo. Quando entri Il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
Ingresso:
Risultato: \(-\frac(2)(3)\)
La parte intera è separata dalla frazione dal segno e commerciale: &
Ingresso:
Risultato: \(-1\frac(2)(3)\)
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Una piccola teoria.
Sequenza numerica
Nella pratica quotidiana, la numerazione dei vari oggetti viene spesso utilizzata per indicare l'ordine in cui sono disposti. Ad esempio, le case di ogni strada sono numerate. In biblioteca gli abbonamenti dei lettori vengono numerati e poi disposti secondo l'ordine dei numeri assegnati in appositi schedari.
In una cassa di risparmio, utilizzando il numero di conto personale del depositante, puoi facilmente trovare questo conto e vedere quale deposito c'è su di esso. Supponiamo che il conto n. 1 contenga un deposito di a1 rubli, il conto n. 2 contenga un deposito di a2 rubli, ecc. sequenza numerica
un 1, un 2, un 3, ..., un N
dove N è il numero di tutti i conti. Qui, ogni numero naturale n da 1 a N è associato a un numero a n.
Ha studiato anche matematica sequenze di numeri infinite:
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ... .
Il numero viene chiamato 1 primo termine della sequenza, numero a 2 - secondo termine della sequenza, numero a 3 - terzo termine della sequenza ecc.
Si chiama il numero a n ennesimo (ennesimo) membro della sequenza, e il numero naturale n è suo numero.
Ad esempio, in una sequenza di quadrati numeri naturali 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... e 1 = 1 è il primo termine della successione; e n = n 2 è l'ennesimo termine della successione; a n+1 = (n + 1) 2 è il (n + 1)esimo (n più il primo) termine della sequenza. Spesso una sequenza può essere specificata dalla formula del suo ennesimo termine. Ad esempio, la formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definisce la sequenza \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Progressione aritmetica
La durata dell'anno è di circa 365 giorni. Un valore più accurato è \(365\frac(1)(4)\) giorni, quindi ogni quattro anni si accumula un errore di un giorno.
Per tenere conto di questo errore, viene aggiunto un giorno ogni quattro anni e l'anno prolungato viene chiamato anno bisestile.
Ad esempio, nel terzo millennio anni bisestili sono gli anni 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
In questa sequenza ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, sommato allo stesso numero 4. Tali sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche.
Definizione.
La sequenza numerica è chiamata a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progressione aritmetica, se per tutto naturale n l'uguaglianza
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
dove d è un numero.
Da questa formula segue che a n+1 - a n = d. Il numero d è chiamato differenza progressione aritmetica.
Per definizione di progressione aritmetica abbiamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Dove
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), dove \(n>1 \)
Pertanto ogni termine di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei suoi due termini adiacenti. Questo spiega il nome progressione "aritmetica".
Si noti che se vengono forniti a 1 e d, i restanti termini della progressione aritmetica possono essere calcolati utilizzando la formula ricorrente a n+1 = a n + d. In questo modo non è difficile calcolare i primi termini della progressione, però, ad esempio, un 100 richiederà già molti calcoli. In genere, a questo scopo viene utilizzata la formula dell'ennesimo termine. Per definizione di progressione aritmetica
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
ecc.
Affatto,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
poiché l'ennesimo termine di una progressione aritmetica si ottiene dal primo termine sommando (n-1) volte il numero d.
Questa formula si chiama formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
Trova la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.
Scriviamo questo importo in due modi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Aggiungiamo queste uguaglianze termine per termine:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Questa somma ha 100 termini
Pertanto, 2S = 101 * 100, quindi S = 101 * 50 = 5050.
Consideriamo ora una progressione aritmetica arbitraria
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ...
Sia S n la somma dei primi n termini di questa progressione:
S n = un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n
Poi la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale a
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Poiché \(a_n=a_1+(n-1)d\), sostituendo una n in questa formula otteniamo un'altra formula per trovare somma dei primi n termini di una progressione aritmetica:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Caricamento...
