Risolvere problemi fisici o esempi in matematica è completamente impossibile senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. La derivata è uno dei concetti più importanti nell'analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l’articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è una derivata, qual è il suo significato fisico e geometrico, come si calcola la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una sola: come comprendere la derivata?
Significato geometrico e fisico della derivata
Lascia che ci sia una funzione f(x) , specificato in un certo intervallo (a, b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, cambia la funzione stessa. Cambiare l'argomento: la differenza nei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento dell'argomento. Una modifica o incremento di una funzione è la differenza tra i valori di una funzione in due punti. Definizione di derivato:
La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.
Altrimenti si può scrivere così:
Che senso ha trovare un limite del genere? Ed ecco di cosa si tratta:
la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo compreso tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.
Significato fisico derivato: la derivata del percorso rispetto al tempo è pari alla velocità del moto rettilineo.
Infatti, fin dai tempi della scuola tutti sanno che la velocità è un percorso particolare x=f(t) e tempo T . Velocità media per un certo periodo di tempo:
Per scoprire la velocità del movimento in un momento nel tempo t0 devi calcolare il limite:
Regola uno: imposta una costante
La costante può essere tolta dal segno della derivata. Inoltre, questo deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendilo come regola: Se puoi semplificare un'espressione, assicurati di semplificarla .
Esempio. Calcoliamo la derivata:
Seconda regola: derivata della somma di funzioni
La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.
Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo piuttosto un esempio pratico.
Trova la derivata della funzione:
Regola tre: derivata del prodotto di funzioni
La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:
Esempio: trova la derivata di una funzione:
Soluzione: 
È importante parlare qui del calcolo delle derivate di funzioni complesse. Derivato funzione complessaè uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio e alla derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.
Nell'esempio sopra ci imbattiamo nell'espressione:
In questo caso l'argomento intermedio è 8x elevato alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, calcoliamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.
Regola quattro: derivata del quoziente di due funzioni
Formula per determinare la derivata del quoziente di due funzioni:
Abbiamo provato a parlare di derivati for dummies partendo da zero. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: negli esempi ci sono spesso delle insidie, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.
Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti è possibile contattare il servizio studenti. In breve tempo ti aiuteremo a risolvere i test più difficili e a comprendere i compiti, anche se non hai mai fatto calcoli derivativi prima.
In questa lezione impareremo ad applicare formule e regole di differenziazione.
Esempi. Trova le derivate delle funzioni.
1. y=x7 +x5 -x4 +x3 -x2 +x-9. Applicazione della regola IO, formule 4, 2 e 1. Otteniamo:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Risolviamo in modo simile, utilizzando le stesse formule e formule 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Applicazione della regola IO, formule 3, 5
E 6
E 1.
Applicazione della regola IV, formule 5 E 1 .
Nel quinto esempio, secondo la regola IO la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate, e abbiamo appena trovato la derivata del 1° termine (esempio 4 ), quindi troveremo le derivate 2° E 3° termini e per il 1° sommando possiamo scrivere immediatamente il risultato.
Differenziamo 2° E 3° termini secondo la formula 4
. Per fare ciò, trasformiamo le radici della terza e della quarta potenza dei denominatori in potenze di c indicatori negativi, e poi, di 4
formula, troviamo le derivate delle potenze.
Guarda questo esempio e il risultato. Hai colto lo schema? Bene. Ciò significa che abbiamo una nuova formula e possiamo aggiungerla alla nostra tabella dei derivati.
Risolviamo il sesto esempio e ricaviamo un'altra formula.
Usiamo la regola IV e formula 4
. Riduciamo le frazioni risultanti.
Diamo un'occhiata a questa funzione e alla sua derivata. Ovviamente capisci lo schema e sei pronto a nominare la formula:
Imparare nuove formule!
Esempi.
1. Trova l'incremento dell'argomento e l'incremento della funzione y= x2, Se valore iniziale l'argomento era uguale 4 , e nuovo - 4,01 .
Soluzione.
Nuovo valore dell'argomento x=x0+Δx. Sostituiamo il dato: 4.01=4+Δх, da qui l'incremento dell'argomento Δх=4,01-4=0,01. L'incremento di una funzione, per definizione, è uguale alla differenza tra il valore nuovo e quello precedente della funzione, cioè Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Poiché abbiamo una funzione y=x2, Quello Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx)2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Risposta: incremento dell'argomento Δх=0,01; incremento della funzione Δу=0,0801.
L'incremento della funzione potrebbe essere trovato in modo diverso: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.
2. Trova l'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione y=f(x) al punto x0, Se f"(x0) = 1.
Soluzione.
Il valore della derivata nel punto di tangenza x0 ed è il valore della tangente dell'angolo tangente (il significato geometrico della derivata). Abbiamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Perché tg45°=1.
Risposta: la tangente al grafico di questa funzione forma un angolo con la direzione positiva dell'asse Ox uguale a 45°.
3. Derivare la formula per la derivata della funzione y=xn.
Differenziazioneè l'azione di trovare la derivata di una funzione.
Quando trovi i derivati, usa le formule derivate in base alla definizione di derivata, nello stesso modo in cui abbiamo derivato la formula per il grado di derivata: (x n)" = nx n-1.
Queste sono le formule.
Tavola dei derivati Sarà più facile memorizzare pronunciando formulazioni verbali:
1. Derivato valore costante uguale a zero.
2. X primo è uguale a uno.
3. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata.
4. La derivata di un grado è uguale al prodotto dell'esponente di questo grado per un grado con la stessa base, ma l'esponente è uno in meno.
5. La derivata di una radice è uguale a uno diviso per due radici uguali.
6. La derivata di uno diviso per x è uguale a meno uno diviso per x al quadrato.
7. La derivata del seno è uguale al coseno.
8. La derivata del coseno è uguale a meno seno.
9. La derivata della tangente è uguale a uno diviso per il quadrato del coseno.
10. La derivata della cotangente è uguale a meno uno diviso per il quadrato del seno.
Insegniamo regole di differenziazione.
1.
La derivata di una somma algebrica è uguale alla somma algebrica delle derivate dei termini.
2. La derivata di un prodotto è uguale al prodotto della derivata del primo fattore e del secondo più il prodotto del primo fattore e della derivata del secondo.
3. La derivata di “y” divisa per “ve” è uguale a una frazione in cui il numeratore è “y primo moltiplicato per “ve” meno “y moltiplicato per ve primo”, e il denominatore è “ve al quadrato”.
4. Caso speciale formule 3.
Impariamo insieme!
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In cui abbiamo esaminato i derivati più semplici e abbiamo anche conosciuto le regole di differenziazione e alcune tecniche tecniche per trovare i derivati. Pertanto, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o alcuni punti di questo articolo non ti sono del tutto chiari, leggi prima la lezione precedente. Per favore, mettetevi di umore serio: il materiale non è semplice, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.
In pratica bisogna avere a che fare con la derivata di una funzione complessa molto spesso, direi addirittura quasi sempre, quando ti vengono affidati dei compiti per trovare le derivate.
Osserviamo la tabella sulla regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:
Scopriamolo. Prima di tutto prestiamo attenzione all'inserimento. Qui abbiamo due funzioni – e , e la funzione, in senso figurato, è annidata all'interno della funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è annidata all'interno di un'altra) è chiamata funzione complessa.
Chiamerò la funzione funzione esterna e la funzione – funzione interna (o annidata)..
! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero apparire nella progettazione finale degli incarichi. Utilizzo le espressioni informali “funzione esterna”, funzione “interna” solo per facilitare la comprensione del materiale.
Per chiarire la situazione, considerare:
Esempio 1
Trova la derivata di una funzione
Sotto il seno non abbiamo solo la lettera “X”, ma un'intera espressione, quindi trovare la derivata direttamente dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra che ci sia una differenza, ma il fatto è che il seno non può essere “fatto a pezzi”:
In questo esempio, è già intuitivamente chiaro dalle mie spiegazioni che una funzione è una funzione complessa e che il polinomio è una funzione interna (incorporamento) e una funzione esterna.
Primo passo quello che devi fare per trovare la derivata di una funzione complessa è capire quale funzione è interna e quale è esterna.
Nel caso semplici esempi Sembra chiaro che sotto il seno si trova un polinomio. Ma cosa succede se tutto non è ovvio? Come determinare con precisione quale funzione è esterna e quale è interna? Per fare ciò, suggerisco di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o in bozza.
Immaginiamo di dover utilizzare una calcolatrice per calcolare il valore dell'espressione at (invece di uno può esserci un numero qualsiasi).
Cosa calcoleremo per primo? Prima di tutto dovrà essere fatto azione successiva: , quindi il polinomio sarà una funzione interna: 
In secondo luogo dovrà essere trovato, quindi seno – sarà una funzione esterna: 
Dopo noi ESAURITO con le funzioni interne ed esterne, è tempo di applicare la regola della differenziazione delle funzioni complesse 
.
Iniziamo a decidere. Dalla lezione Come trovare la derivata? ricordiamo che il progetto di una soluzione a qualsiasi derivata inizia sempre così: racchiudiamo l'espressione tra parentesi e inseriamo un tratto in alto a destra:
All'inizio troviamo la derivata della funzione esterna (seno), guardiamo la tabella delle derivate delle funzioni elementari e notiamo che . Tutte le formule della tabella sono applicabili anche se "x" viene sostituito con un'espressione complessa, in questo caso:
Si prega di notare che la funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.
Beh, è abbastanza ovvio
Il risultato dell'applicazione della formula 
nella sua forma finale assomiglia a questo:
Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:
In caso di malintesi, scrivere la soluzione su carta e leggere nuovamente le spiegazioni.
Esempio 2
Trova la derivata di una funzione
Esempio 3
Trova la derivata di una funzione
Come sempre scriviamo: 
Scopriamo dove abbiamo una funzione esterna e dove ne abbiamo una interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o in una bozza) a calcolare il valore dell'espressione a . Cosa dovresti fare prima? Innanzitutto bisogna calcolare a cosa equivale la base: quindi il polinomio è la funzione interna: 
E solo allora viene eseguito l'elevamento a potenza, quindi la funzione di potenza è una funzione esterna: 
Secondo la formula 
, per prima cosa devi trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Cerchiamo nella tabella la formula richiesta: . Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per “X”, ma anche per un'espressione complessa. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa 
Prossimo:
Sottolineo ancora una volta che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la nostra funzione interna non cambia: 
Ora non resta che trovare una derivata molto semplice della funzione interna e modificare leggermente il risultato:
Esempio 4
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio per decisione indipendente(risposta alla fine della lezione).
Per consolidare la tua comprensione della derivata di una funzione complessa, darò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragionando su dove si trova la funzione esterna e dove è interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?
Esempio 5
a) Trovare la derivata della funzione
b) Trovare la derivata della funzione
Esempio 6
Trova la derivata di una funzione 
Qui abbiamo una radice e per differenziare la radice bisogna rappresentarla come una potenza. Pertanto, per prima cosa portiamo la funzione nella forma appropriata per la differenziazione:
Analizzando la funzione, arriviamo alla conclusione che la somma dei tre termini è una funzione interna, mentre l'elevazione a potenza è una funzione esterna. Applichiamo la regola della differenziazione delle funzioni complesse 
:
Rappresentiamo nuovamente il grado come radicale (radice) e per la derivata della funzione interna applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:
Pronto. Puoi anche inserire l'espressione tra parentesi a denominatore comune e scrivi tutto come una frazione. È bello, ovviamente, ma quando ottieni derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, commettere un errore non necessario e sarà scomodo per l'insegnante controllare).
Esempio 7
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).
È interessante notare che a volte invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente 
, ma una soluzione del genere sembrerà una perversione insolita. Qui tipico esempio:
Esempio 8
Trova la derivata di una funzione
Qui puoi usare la regola di differenziazione del quoziente 
, ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di derivazione di una funzione complessa:
Prepariamo la funzione per la differenziazione: spostiamo il meno fuori dal segno della derivata e innalziamo il coseno al numeratore:
Il coseno è una funzione interna, l'elevamento a potenza è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola 
:
Troviamo la derivata della funzione interna e ripristiniamo il coseno:
Pronto. Nell'esempio considerato è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo usando la regola 
, le risposte devono corrispondere.
Esempio 9
Trova la derivata di una funzione
Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).
Finora abbiamo esaminato i casi in cui avevamo un solo annidamento in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati, dove, come le bambole che nidificano, una dentro l'altra, vengono annidate 3 o anche 4-5 funzioni contemporaneamente.
Esempio 10
Trova la derivata di una funzione
Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a calcolare l'espressione utilizzando il valore sperimentale. Come potremmo contare su una calcolatrice?
Per prima cosa devi trovare , il che significa che l'arcoseno è l'incorporamento più profondo:
Questo arcoseno di uno dovrebbe quindi essere quadrato:
E infine eleviamo sette a potenza: 
Cioè, in questo esempio ne abbiamo tre diverse funzioni e due incorporamenti, con la funzione più interna che è l'arcoseno e la funzione più esterna che è la funzione esponenziale.
Iniziamo a decidere
Secondo la regola 
Per prima cosa devi prendere la derivata della funzione esterna. Guardiamo la tabella delle derivate e troviamo la derivata della funzione esponenziale: L'unica differenza è che invece di “x” abbiamo espressione complessa, il che non nega la validità di questa formula. Quindi, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa 
Prossimo.
Definizione. Sia definita la funzione \(y = f(x)\) in un certo intervallo contenente al suo interno il punto \(x_0\). Diamo all'argomento un incremento \(\Delta x \) tale che non lasci questo intervallo. Troviamo l'incremento corrispondente della funzione \(\Delta y \) (quando ci si sposta dal punto \(x_0 \) al punto \(x_0 + \Delta x \)) e componiamo la relazione \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Se esiste un limite a questo rapporto in \(\Delta x \rightarrow 0\), viene chiamato il limite specificato derivata di una funzione\(y=f(x) \) nel punto \(x_0 \) e denotiamo \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Il simbolo y è spesso usato per denotare la derivata. Nota che y" = f(x) è una nuova funzione, ma naturalmente correlata alla funzione y = f(x), definita in tutti i punti x in cui esiste il limite di cui sopra. Questa funzione si chiama così: derivata della funzione y = f(x).
Significato geometrico della derivataè il seguente. Se è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto con ascissa x=a, che non è parallelo all'asse y, allora f(a) esprime la pendenza della tangente :
\(k = f"(a)\)
Poiché \(k = tg(a) \), allora l'uguaglianza \(f"(a) = tan(a) \) è vera.
Ora interpretiamo la definizione di derivata dal punto di vista delle uguaglianze approssimate. Sia la funzione \(y = f(x)\) una derivata in un punto specifico \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ciò significa che vicino al punto x l'uguaglianza approssimata \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \about f"(x) \), cioè \(\Delta y \about f"(x) \cdot\ Deltax\). Il significato significativo dell'uguaglianza approssimativa risultante è il seguente: l'incremento della funzione è “quasi proporzionale” all'incremento dell'argomento, e il coefficiente di proporzionalità è il valore della derivata in dato punto X. Ad esempio, per la funzione \(y = x^2\) è valida l'uguaglianza approssimativa \(\Delta y \about 2x \cdot \Delta x \). Se analizziamo attentamente la definizione di derivata, scopriremo che contiene un algoritmo per trovarla.
Formuliamolo.
Come trovare la derivata della funzione y = f(x)?
1. Correggi il valore di \(x\), trova \(f(x)\)
2. Assegna all'argomento \(x\) un incremento \(\Delta x\), vai a un nuovo punto \(x+ \Delta x \), trova \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trova l'incremento della funzione: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Crea la relazione \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcola $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Questo limite è la derivata della funzione nel punto x.
Se una funzione y = f(x) ha una derivata in un punto x, allora si dice differenziabile in un punto x. Viene richiamata la procedura per trovare la derivata della funzione y = f(x). differenziazione funzioni y = f(x).
Discutiamo la seguente domanda: come sono correlate tra loro la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto?
Sia la funzione y = f(x) differenziabile nel punto x. Quindi è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione nel punto M(x; f(x)) e, ricordiamo, il coefficiente angolare della tangente è uguale a f "(x). Tale grafico non può "spezzarsi" nel punto M, cioè la funzione deve essere continua nel punto x.
Questi erano argomenti “pratici”. Facciamo un ragionamento più rigoroso. Se la funzione y = f(x) è differenziabile nel punto x, allora vale l'uguaglianza approssimata \(\Delta y \about f"(x) \cdot \Delta x\). Se in questa uguaglianza \(\Delta x \) tende a zero, allora \(\Delta y \) tenderà a zero, e questa è la condizione per la continuità della funzione in un punto.
COSÌ, se una funzione è differenziabile in un punto x allora è continua in quel punto.
L’affermazione inversa non è vera. Ad esempio: funzione y = |x| è continua ovunque, in particolare nel punto x = 0, ma la tangente al grafico della funzione nel “punto di giunzione” (0; 0) non esiste. Se ad un certo punto non è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione, in quel punto la derivata non esiste.
Un altro esempio. La funzione \(y=\sqrt(x)\) è continua su tutta la linea numerica, incluso nel punto x = 0. E la tangente al grafico della funzione esiste in qualsiasi punto, incluso nel punto x = 0 Ma in questo punto la tangente coincide con l'asse y, cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, la sua equazione ha la forma x = 0. Coefficiente di pendenza tale linea non ha, il che significa che neanche \(f"(0) \) esiste
Quindi, abbiamo conosciuto una nuova proprietà di una funzione: la differenziabilità. Come si può concludere dal grafico di una funzione che è differenziabile?
La risposta in realtà è data sopra. Se ad un certo punto è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione che non è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora a questo punto la funzione è differenziabile. Se ad un certo punto la tangente al grafico di una funzione non esiste o è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora in questo punto la funzione non è differenziabile.
Regole di differenziazione
L'operazione di trovare la derivata si chiama differenziazione. Quando si esegue questa operazione, spesso è necessario lavorare con quozienti, somme, prodotti di funzioni, nonché "funzioni di funzioni", ovvero funzioni complesse. Sulla base della definizione di derivata, possiamo derivare regole di differenziazione che facilitano questo lavoro. Se C è un numero costante e f=f(x), g=g(x) sono alcune funzioni differenziabili, allora sono vere le seguenti regole di differenziazione:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
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