Quando si trasformano le radici aritmetiche, vengono utilizzate le loro proprietà (vedere paragrafo 35).
Diamo un'occhiata a diversi esempi di utilizzo delle proprietà delle radici aritmetiche per le trasformazioni più semplici dei radicali. In questo caso, considereremo che tutte le variabili assumano solo valori non negativi.
Esempio 1. Estrarre la radice del prodotto Soluzione. Applicando la 1° proprietà otteniamo:
Esempio 2. Rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice
Soluzione.
Questa trasformazione si chiama rimozione del fattore sotto il segno della radice. Lo scopo della trasformazione è semplificare l'espressione radicale.
Esempio 3: semplificare
Soluzione. Per la proprietà 3° abbiamo Di solito si cerca di semplificare l'espressione radicale, per cui si tolgono i fattori dal segno della radice. Abbiamo
Esempio 4: semplificare
Soluzione. Trasformiamo l'espressione introducendo un fattore sotto il segno della radice: Per proprietà 4° abbiamo
Esempio 5: semplificare
Soluzione. Per la proprietà di 5° abbiamo il diritto di dividere l'esponente della radice e l'esponente dell'espressione radicale nella stessa cosa numero naturale. Se nell'esempio in esame dividiamo gli indicatori indicati per 3, otteniamo
Esempio 6. Semplificare le espressioni: a)
Soluzione, a) Per la proprietà 1° troviamo che per moltiplicare radici dello stesso grado è sufficiente moltiplicare le espressioni radicali ed estrarre la radice dello stesso grado dal risultato ottenuto. Significa,
b) Innanzitutto dobbiamo ridurre i radicali a un indicatore. Secondo la proprietà di 5°, possiamo moltiplicare l'esponente della radice e l'esponente dell'espressione radicale per lo stesso numero naturale. Pertanto, Successivamente abbiamo E ora nel risultato risultante, dividendo gli indicatori della radice e il grado dell'espressione radicale per 3, otteniamo
Le proprietà delle radici sono alla base delle due trasformazioni successive, chiamate portarle sotto il segno della radice e portarle fuori da sotto il segno della radice, alle quali ora ci rivolgiamo.
Inserimento di un moltiplicatore sotto il segno della radice
Introdurre un fattore sotto il segno implica sostituire l'espressione , dove B e C sono alcuni numeri o espressioni, e n è un numero naturale maggiore di uno, con un'espressione identicamente uguale della forma o .
Ad esempio, dopo aver introdotto un fattore 2 sotto il segno della radice, un'espressione irrazionale assume la forma .
Le basi teoriche di questa trasformazione, le regole per la sua attuazione, nonché le soluzioni a varie esempi tipici riportato nell'articolo che introduce un moltiplicatore sotto il segno della radice.
Rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice
Trasformazione in in un certo senso L'inverso dell'aggiunta di un moltiplicatore sotto il segno della radice è togliere il moltiplicatore da sotto il segno della radice. Consiste nel rappresentare la radice come prodotto per n dispari o come prodotto per n pari, dove B e C sono alcuni numeri o espressioni.
Per fare un esempio, torniamo al paragrafo precedente: l’espressione irrazionale, tolto il fattore sotto il segno della radice, assume la forma . Un altro esempio: rimuovendo il fattore da sotto il segno della radice nell'espressione si ottiene il prodotto, che può essere riscritto come .
Su cosa si basa questa trasformazione e con quali regole viene effettuata, esamineremo in un articolo a parte la rimozione del moltiplicatore da sotto il segno della radice. Lì forniremo anche soluzioni ad esempi ed elencheremo modi per ridurre un'espressione radicale a una forma conveniente per la moltiplicazione.
Conversione di frazioni contenenti radici
Le espressioni irrazionali possono contenere frazioni con radici al numeratore e al denominatore. Con tali frazioni puoi eseguire qualsiasi operazione di base trasformazioni di identità delle frazioni.
Innanzitutto, nulla ti impedisce di lavorare con espressioni al numeratore e al denominatore. Ad esempio, considera la frazione. L'espressione irrazionale al numeratore è ovviamente identicamente uguale a , e ricorrendo alle proprietà delle radici, l'espressione al denominatore può essere sostituita dalla radice . Di conseguenza, la frazione originale viene convertita nella forma .
In secondo luogo, puoi cambiare il segno davanti a una frazione cambiando il segno del numeratore o del denominatore. Ad esempio, si verificano le seguenti trasformazioni di un'espressione irrazionale: 
.
In terzo luogo, a volte è possibile e consigliabile ridurne una frazione. Ad esempio, come negarsi il piacere di ridurre una frazione 
all'espressione irrazionale, di conseguenza otteniamo 
.
È chiaro che in molti casi, prima di ridurre una frazione, è necessario fattorizzare le espressioni al suo numeratore e denominatore, cosa che in casi semplici può essere ottenuta mediante formule di moltiplicazione abbreviate. E a volte aiuta ridurre una frazione sostituendo una variabile, il che consente di passare dalla frazione originale con irrazionalità a una frazione razionale, con cui è più comodo e familiare lavorare.
Prendiamo ad esempio l'espressione . Introduciamo nuove variabili e, in queste variabili l'espressione originale ha la forma. Avendo eseguito nel numeratore
L'articolo ne svela il significato espressioni irrazionali e trasformazioni con loro. Consideriamo il concetto stesso di espressioni irrazionali, trasformazione ed espressioni caratteristiche.
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Cosa sono le espressioni irrazionali?
Quando introduciamo le radici a scuola, studiamo il concetto di espressioni irrazionali. Tali espressioni sono strettamente legate alle radici.
Definizione 1
Espressioni irrazionali sono espressioni che hanno una radice. Cioè, queste sono espressioni che hanno radicali.
Basato su questa definizione, abbiamo che x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 sono tutte espressioni di tipo irrazionale.
Considerando l'espressione x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 troviamo che l'espressione è razionale. Le espressioni razionali includono polinomi e frazioni algebriche. Quelli irrazionali includono lavorare con espressioni logaritmiche o espressioni radicali.
Principali tipologie di trasformazioni delle espressioni irrazionali
Nel calcolare tali espressioni è necessario prestare attenzione alla DZ. Spesso richiedono trasformazioni aggiuntive sotto forma di parentesi aperte, inclusione di membri simili, raggruppamenti e così via. La base di tali trasformazioni sono le operazioni con i numeri. Le trasformazioni delle espressioni irrazionali aderiscono a un ordine rigoroso.
Esempio 1
Trasforma l'espressione 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .
Soluzione
È necessario sostituire il numero 9 con un'espressione contenente la radice. Allora lo capiamo
81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3
L'espressione risultante ha termini simili, quindi eseguiamo la riduzione e il raggruppamento. Otteniamo
9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Risposta: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3
Esempio 2
Presenta l'espressione x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 come prodotto di due irrazionali utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate.
Soluzioni
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9
Rappresentiamo 9 sotto forma di 3 2 e applichiamo la formula per la differenza dei quadrati:
x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 +2
Il risultato di trasformazioni identiche ha portato al prodotto di due espressioni razionali che dovevano essere trovate.
Risposta:
x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2
È possibile eseguire una serie di altre trasformazioni applicabili alle espressioni irrazionali.
Conversione di un'espressione radicale
L'importante è che l'espressione sotto il segno radice possa essere sostituita con una identicamente uguale ad essa. Questa affermazione permette di lavorare con un'espressione radicale. Ad esempio, 1 + 6 può essere sostituito da 7 oppure 2 · a 5 4 - 6 con 2 · a 4 · a 4 - 6 . Sono identicamente uguali, quindi la sostituzione ha senso.
Quando non esiste a 1 diverso da a, ed è valida una disuguaglianza della forma a n = a 1 n, allora tale uguaglianza è possibile solo per a = a 1. I valori di tali espressioni sono uguali a qualsiasi valore delle variabili.
Utilizzo delle proprietà della radice
Le proprietà delle radici vengono utilizzate per semplificare le espressioni. Applicando la proprietà a · b = a · b, dove a ≥ 0, b ≥ 0, allora dalla forma irrazionale 1 + 3 · 12 può diventare identicamente uguale a 1 + 3 · 12. Proprietà. . . un n k n 2 n 1 = un n 1 · n 2 · , . . . , · nk , dove a ≥ 0 significa che x 2 + 4 4 3 può essere scritto nella forma x 2 + 4 24 .
Ci sono alcune sfumature quando si convertono le espressioni radicali. Se esiste un'espressione, allora - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 non possiamo scriverla, poiché la formula a b n = a n b n serve solo per a non negativo e b positivo. Se la proprietà viene applicata correttamente, il risultato sarà un'espressione nella forma 7 4 81 4 .
Per una trasformazione corretta, vengono utilizzate trasformazioni di espressioni irrazionali utilizzando le proprietà delle radici.
Inserimento di un moltiplicatore sotto il segno della radice
Definizione 3Posizionare sotto il segno della radice- significa sostituire l'espressione B · C n, e B e C sono alcuni numeri o espressioni, dove n è un numero naturale maggiore di 1, con un'espressione uguale che assomiglia a B n · C n o - B n · C n.
Se semplifichiamo l'espressione della forma 2 x 3, dopo averla aggiunta alla radice, otteniamo 2 3 x 3. Tali trasformazioni sono possibili solo dopo uno studio dettagliato delle regole per introdurre un moltiplicatore sotto il segno della radice.
Rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice
Se esiste un'espressione della forma B n · C n , allora si riduce alla forma B · C n , dove ci sono n dispari , che assumono la forma B · C n con n pari , B e C sono alcuni numeri ed espressioni.
Cioè, se prendiamo un'espressione irrazionale della forma 2 3 x 3, rimuoviamo il fattore da sotto la radice, otteniamo l'espressione 2 x 3. Oppure x + 1 2 · 7 risulterà in un'espressione della forma x + 1 · 7, che ha un'altra notazione della forma x + 1 · 7.
Rimuovere il moltiplicatore da sotto la radice è necessario per semplificare l'espressione e convertirla rapidamente.
Conversione di frazioni contenenti radici
Un'espressione irrazionale può essere un numero naturale o una frazione. Per convertire le espressioni frazionarie, prestare molta attenzione al suo denominatore. Se prendiamo una frazione della forma (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, il numeratore assumerà la forma 5 x 4 e, utilizzando le proprietà delle radici, troviamo che il denominatore diventerà x 2 +56. La frazione originale può essere scritta come 5 x 4 x 2 + 5 6.
È necessario prestare attenzione al fatto che è necessario cambiare il segno solo del numeratore o solo del denominatore. Lo capiamo
X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4
La riduzione di una frazione viene spesso utilizzata durante la semplificazione. Lo capiamo
3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 riduci di x + 4 3 - 1 . Otteniamo l'espressione 3 x x + 4 3 - 1 2.
Prima della riduzione è necessario effettuare delle trasformazioni che semplifichino l'espressione e permettano la fattorizzazione espressione complessa. Le formule di moltiplicazione abbreviate sono più spesso utilizzate.
Se prendiamo una frazione della forma 2 · x - y x + y, allora è necessario introdurre nuove variabili u = x e v = x, quindi l'espressione data cambierà forma e diventerà 2 · u 2 - v 2 u + v. Il numeratore dovrebbe essere scomposto in polinomi secondo la formula, quindi otteniamo quello
2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Dopo aver eseguito la sostituzione inversa arriviamo alla forma 2 x - y, che è uguale a quella originale.
È consentita la riduzione a un nuovo denominatore, quindi è necessario moltiplicare il numeratore per un fattore aggiuntivo. Se prendiamo una frazione della forma x 3 - 1 0, 5 · x, la riduciamo al denominatore x. per fare ciò, devi moltiplicare il numeratore e il denominatore per l'espressione 2 x, quindi otteniamo l'espressione x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .
Ridurre le frazioni o portarne di simili è necessario solo sull'ODZ della frazione specificata. Quando moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per un'espressione irrazionale, scopriamo che eliminiamo l'irrazionalità del denominatore.
Eliminare l'irrazionalità nel denominatore
Quando un'espressione elimina la radice del denominatore mediante trasformazione, si parla di eliminazione dell'irrazionalità. Consideriamo l'esempio di una frazione della forma x 3 3. Dopo aver eliminato l'irrazionalità, otteniamo una nuova frazione della forma 9 3 x 3.
Transizione dalle radici ai poteri
Le transizioni dalle radici ai poteri sono necessarie per trasformare rapidamente le espressioni irrazionali. Se consideriamo l'uguaglianza a m n = a m n , possiamo vedere che il suo utilizzo è possibile quando a è un numero positivo, m è un intero e n è un numero naturale. Se consideriamo l'espressione 5 - 2 3, altrimenti abbiamo il diritto di scriverla come 5 - 2 3. Queste espressioni sono equivalenti.
Quando la radice contiene un numero negativo o un numero con variabili, la formula a m n = a m n non è sempre applicabile. Se è necessario sostituire tali radici (- 8) 3 5 e (- 16) 2 4 con potenze, otteniamo che - 8 3 5 e - 16 2 4 con la formula a m n = a m n non lavoriamo con a negativo. Per analizzare in dettaglio il tema delle espressioni radicali e delle loro semplificazioni è necessario studiare l'articolo sul passaggio dalle radici ai poteri e ritorno. Va ricordato che la formula a m n = a m n non è applicabile a tutte le espressioni di questo tipo. Liberarsi dell'irrazionalità contribuisce a un'ulteriore semplificazione dell'espressione, alla sua trasformazione e soluzione.
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Le espressioni contenenti un segno radicale (radice) sono chiamate irrazionali.
Radice aritmetica grado naturale$n$ da un numero non negativo a è chiamato un certo numero non negativo, quando elevato alla potenza $n$ si ottiene il numero $a$.
$(√^n(a))^n=a$
Nella notazione $√^n(a)$, “a” è chiamato numero radicale, $n$ è l'esponente della radice o radicale.
Proprietà delle $n$esime radici per $a≥0$ e $b≥0$:
1. La radice del prodotto è uguale al prodotto delle radici
$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$
Calcola $√^5(5)∙√^5(625)$
La radice di un prodotto è uguale al prodotto di radici e viceversa: il prodotto di radici con lo stesso esponente di radice è uguale alla radice del prodotto di espressioni radicali
$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
2. La radice di una frazione è una radice separata dal numeratore e una radice separata dal denominatore
$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, per $b≠0$
3. Quando una radice viene elevata a potenza, a questa potenza viene elevata l'espressione radicale
$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$
4. Se $a≥0$ e $n,k$ sono numeri naturali maggiori di $1$, allora l'uguaglianza è vera.
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
5. Se gli indicatori della radice e dell'espressione radicale vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero naturale, il valore della radice non cambierà.
$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$
6. La radice di un grado dispari può essere estratta dal positivo e numeri negativi, e la radice di un grado pari è solo positiva.
7. Qualsiasi radice può essere rappresentata come una potenza con un esponente frazionario (razionale).
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Trova il valore dell'espressione $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ per $s>0$
La radice del prodotto è uguale al prodotto delle radici
$(√(9∙√^11(i)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(i)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$
Possiamo estrarre immediatamente le radici dai numeri
$(√9∙√(√^11(i)))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(i)))/(2∙ √^11(√с))$
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
$(3∙√(√^11(i)))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(i))/(2∙√^22(i))$
Riduciamo le radici $22$ di $с$ e otteniamo $(3)/(2)=1,5$
Risposta: $ 1,5 $
Se di un radicale con esponente pari non conosciamo il segno dell'espressione radicale, allora estraendo la radice esce fuori il modulo dell'espressione radicale.
Trova il valore dell'espressione $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ a $7< c < 9$
Se non c'è alcun indicatore sopra la radice, significa che stiamo lavorando radice quadrata. Il suo indicatore è due, ad es. onesto. Se di un radicale con esponente pari non conosciamo il segno dell'espressione radicale, allora estraendo la radice esce fuori il modulo dell'espressione radicale.
$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$
Determiniamo il segno dell'espressione sotto il segno del modulo in base alla condizione $7< c < 9$
Per verificare, prendi qualsiasi numero da un determinato intervallo, ad esempio $8$
Controlliamo il segno di ciascun modulo
$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.
$|c-7|+|c-9|=(ñ-7)-(ñ-9)=ñ-7-ñ+9=2$
Proprietà delle potenze con esponente razionale:
1. Quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, la base rimane la stessa e si sommano gli esponenti.
$a^n∙a^m=a^(n+m)$
2. Quando si eleva un grado a potenza, la base rimane la stessa, ma gli esponenti vengono moltiplicati
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
3. Quando si eleva un prodotto a una potenza, ogni fattore viene elevato a questa potenza
$(a∙b)^n=a^n∙b^n$
4. Quando si eleva una frazione a una potenza, il numeratore e il denominatore vengono elevati a questa potenza
Le trasformazioni identiche delle espressioni sono una delle linee di contenuto del corso di matematica scolastica. Le trasformazioni identiche sono ampiamente utilizzate nella risoluzione di equazioni, disequazioni, sistemi di equazioni e disequazioni. Inoltre, identiche trasformazioni di espressioni contribuiscono allo sviluppo dell'intelligenza, della flessibilità e della razionalità del pensiero.
I materiali proposti sono destinati agli studenti dell'ottavo anno e comprendono i fondamenti teorici di trasformazioni identiche di espressioni razionali e irrazionali, tipi di compiti per trasformare tali espressioni e il testo del test.
1. Fondamenti teorici delle trasformazioni identitarie
Le espressioni in algebra sono record costituiti da numeri e lettere collegati da segni di azione.
https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" larghezza="77" altezza="21 src=">.gif" larghezza="20" altezza="21 src="> – espressioni algebriche.
A seconda delle operazioni si distinguono le espressioni razionali e irrazionali.
Le espressioni algebriche si dicono razionali se relative alle lettere in esse contenute UN, B, Con, ... non vengono eseguite altre operazioni tranne addizione, moltiplicazione, sottrazione, divisione ed esponenziazione.
Le espressioni algebriche contenenti operazioni di estrazione della radice di una variabile o di elevazione di una variabile a una potenza razionale che non sia intera si dicono irrazionali rispetto a tale variabile.
Una trasformazione di identità di una data espressione è la sostituzione di un'espressione con un'altra identicamente uguale ad essa su un certo insieme.
I seguenti fatti teorici sono alla base di trasformazioni identiche di espressioni razionali e irrazionali.
1. Proprietà delle potenze con esponente intero:
, N SU; UN 1=UN;
, N SU, UN¹0; UN 0=1, UN¹0;
, UN¹0;
, UN¹0;
, UN¹0;
, UN¹0, B¹0;
, UN¹0, B¹0.
2. Formule di moltiplicazione abbreviate:
Dove UN, B, Con– eventuali numeri reali;
Dove UN¹0, X 1 e X 2 – radici dell'equazione 
.
3. La proprietà principale delle frazioni e azioni sulle frazioni:
, Dove B¹0, Con¹0;
; 
;
4. Definizione di radice aritmetica e sue proprietà:
; , B#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" larghezza="84" altezza="32">; ; 
,
Dove UN, B– numeri non negativi, N SU, N³2, M SU, M³2.
1. Tipi di esercizi di conversione delle espressioni
Ci sono vari tipi esercizi su trasformazioni identiche di espressioni. Primo tipo: La conversione da eseguire è specificata esplicitamente.
Per esempio.
1. Rappresentalo come un polinomio.
Nell'eseguire questa trasformazione, abbiamo utilizzato le regole di moltiplicazione e sottrazione dei polinomi, la formula per la moltiplicazione abbreviata e la riduzione di termini simili.
2. Fattore in: 
.
Durante l'esecuzione della trasformazione, abbiamo utilizzato la regola di posizionare il fattore comune tra parentesi e 2 formule di moltiplicazione abbreviate.
3. Riduci la frazione:
.
Nell'effettuare la trasformazione abbiamo utilizzato la rimozione del fattore comune dalle parentesi, le leggi commutative e contrattili, 2 formule di moltiplicazione abbreviate e le operazioni sulle potenze.
4. Rimuovere il fattore da sotto il segno della radice se UN³0, B³0, Con³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" larghezza="432" altezza="27">
Abbiamo utilizzato le regole per le azioni sulle radici e la definizione del modulo di un numero.
5. Eliminare l'irrazionalità nel denominatore di una frazione. 
.
Secondo tipo gli esercizi sono esercizi in cui è chiaramente indicata la trasformazione principale da eseguire. In tali esercizi, il requisito è solitamente formulato in una delle seguenti forme: semplificare l'espressione, calcolare. Quando si eseguono tali esercizi è necessario innanzitutto identificare quali e in quale ordine le trasformazioni devono essere eseguite affinché l'espressione assuma una forma più compatta di quella data o si ottenga un risultato numerico.
Per esempio
6. Semplifica l'espressione:
Soluzione:
.
Regole di azione utilizzate frazioni algebriche e formule di moltiplicazione abbreviate.
7. Semplifica l'espressione:
.
Se UN³0, B³0, UN¹ B.
Abbiamo utilizzato formule di moltiplicazione abbreviate, regole per aggiungere frazioni e moltiplicare espressioni irrazionali, l'identità https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" Height="29">.
Abbiamo utilizzato l'operazione di selezione di un quadrato completo, l'identità https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 Height=21" Height="21">, se .
Prova:
Poiché , allora e o o o , cioè .
Abbiamo utilizzato la condizione e la formula per la somma dei cubi.
Va tenuto presente che le condizioni che collegano le variabili possono essere specificate anche negli esercizi dei primi due tipi.
Per esempio.
10. Trova se .
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