La pratica dell'esame di stato unificato e dell'esame di stato dell'anno scorso mostra che i problemi di geometria causano difficoltà a molti scolari. Puoi affrontarli facilmente se memorizzi tutte le formule necessarie e ti eserciti a risolvere i problemi.
In questo articolo vedrai le formule per trovare l'area di un trapezio, nonché esempi di problemi con soluzioni. Potresti imbatterti negli stessi nei KIM durante gli esami di certificazione o alle Olimpiadi. Pertanto, trattali con attenzione.
Cosa devi sapere sul trapezio?
Per cominciare, ricordiamocelo trapezio si chiama quadrilatero in cui due lati opposti, detti anche basi, sono paralleli, e gli altri due no.
In un trapezio l'altezza (perpendicolare alla base) può anche essere abbassata. Viene tracciata la linea di mezzo: questa è una linea retta parallela alle basi e uguale alla metà della loro somma. Così come le diagonali che possono intersecarsi formando angoli acuti e ottusi. O, in alcuni casi, ad angolo retto. Inoltre, se il trapezio è isoscele, in esso è inscritto un cerchio. E descrivi un cerchio attorno ad esso.
Formule dell'area del trapezio
Per prima cosa, diamo un'occhiata alle formule standard per trovare l'area di un trapezio. Di seguito considereremo i modi per calcolare l'area degli isoscele e dei trapezi curvilinei.
Quindi, immagina di avere un trapezio con basi a e b, in cui l'altezza h è abbassata alla base maggiore. Calcolare l'area di una figura in questo caso è facile come sgusciare le pere. Devi solo dividere la somma delle lunghezze delle basi per due e moltiplicare il risultato per l'altezza: S = 1/2(a+b)*h.
Prendiamo un altro caso: supponiamo che in un trapezio, oltre all'altezza, ci sia una linea mediana m. Conosciamo la formula per trovare la lunghezza della linea mediana: m = 1/2(a + b). Pertanto, possiamo giustamente semplificare la formula per l'area di un trapezio il seguente tipo: S = m* h. In altre parole, per trovare l'area di un trapezio, devi moltiplicare la linea centrale per l'altezza.
Consideriamo un'altra opzione: il trapezio contiene le diagonali d 1 e d 2, che non si intersecano ad angolo retto α. Per calcolare l'area di un tale trapezio, è necessario dividere il prodotto delle diagonali per due e moltiplicare il risultato per il peccato dell'angolo tra di loro: S= 1/2d 1 d 2 *senα.
Consideriamo ora la formula per trovare l'area di un trapezio se non si sa altro che la lunghezza di tutti i suoi lati: a, b, c e d. Questa è una formula macchinosa e complessa, ma ti sarà utile ricordarla per ogni evenienza: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
A proposito, gli esempi sopra riportati valgono anche nel caso in cui sia necessaria la formula per l'area di un trapezio rettangolare. Questo è un trapezio, il cui lato confina con le basi ad angolo retto.
Trapezio isoscele
Un trapezio i cui lati sono uguali si dice isoscele. Considereremo diverse opzioni per la formula dell'area trapezio isoscele.
Prima opzione: nel caso in cui un cerchio di raggio r sia inscritto in un trapezio isoscele e il lato e la base maggiore formino un angolo acuto α. Un cerchio può essere inscritto in un trapezio purché la somma delle lunghezze delle sue basi sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati.
L'area di un trapezio isoscele si calcola come segue: moltiplica il quadrato del raggio del cerchio inscritto per quattro e dividi il tutto per sinα: S = 4r 2 /senα. Un'altra formula dell'area è un caso speciale per l'opzione quando l'angolo tra la base grande e il lato è 30 0: S = 8r2.
Seconda opzione: questa volta prendiamo un trapezio isoscele, nel quale sono disegnate in aggiunta le diagonali d 1 e d 2, nonché l'altezza h. Se le diagonali di un trapezio sono tra loro perpendicolari, l'altezza è la metà della somma delle basi: h = 1/2(a + b). Sapendo questo, è facile trasformare la formula che ti è già familiare per l'area di un trapezio in questa forma: S = h2.
Formula per l'area di un trapezio curvo
Cominciamo scoprendo cos'è un trapezio curvo. Immagina un asse delle coordinate e un grafico di una funzione continua e non negativa f che non cambia segno all'interno di un dato segmento sull'asse x. Un trapezio curvilineo è formato dal grafico della funzione y = f(x) - in alto, l'asse x è in basso (segmento), e sui lati - linee rette tracciate tra i punti a e b e il grafico di la funzione.
È impossibile calcolare l'area di una figura così non standard utilizzando i metodi sopra indicati. Qui è necessario applicare l'analisi matematica e utilizzare l'integrale. Vale a dire: la formula di Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In questa formula, F è l'antiderivativa della nostra funzione sul segmento selezionato. E l'area di un trapezio curvilineo corrisponde all'incremento della primitiva su un dato segmento.
Problemi di esempio
Per rendere tutte queste formule più facili da comprendere nella tua testa, ecco alcuni esempi di problemi per trovare l'area di un trapezio. Sarebbe meglio se prima provassi a risolvere i problemi da solo e solo allora confrontassi la risposta che riceverai con la soluzione già pronta.
Compito n. 1: Dato un trapezio. La sua base più grande è di 11 cm, quella più piccola è di 4 cm. Il trapezio ha le diagonali, una lunga 12 cm, la seconda 9 cm.
Soluzione: costruire un trapezio AMRS. Traccia una linea retta РХ passante per il vertice P in modo che sia parallela alla diagonale MC e intersechi la retta AC nel punto X. Otterrai un triangolo APХ.
Considereremo due figure ottenute come risultato di queste manipolazioni: triangolo APX e parallelogramma CMRX.
Grazie al parallelogramma apprendiamo che PX = MC = 12 cm e CX = MR = 4 cm. Da dove possiamo calcolare il lato AX del triangolo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Possiamo anche dimostrare che il triangolo APX è rettangolo (per fare ciò applichiamo il teorema di Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). E calcola la sua area: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Successivamente dovrai dimostrare che i triangoli AMP e PCX hanno la stessa area. La base sarà l'uguaglianza delle parti MR e CX (già dimostrata sopra). E anche le altezze che abbassi su questi lati sono uguali all'altezza del trapezio AMRS.
Tutto ciò ti permetterà di dire che S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Compito n. 2:È dato il trapezio KRMS. Sui suoi lati laterali ci sono i punti O ed E, mentre OE e KS sono paralleli. È anche noto che le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5. RM = a e KS = b. Devi trovare OE.
Soluzione: tracciare una linea parallela alla RK passante per il punto M, e designare il punto della sua intersezione con OE come T. A è il punto di intersezione della linea tracciata attraverso il punto E parallela alla RK con la base KS.
Introduciamo un'altra notazione: OE = x. E anche l'altezza h 1 per il triangolo TME e l'altezza h 2 per il triangolo AEC (puoi dimostrare indipendentemente la somiglianza di questi triangoli).
Supponiamo che b > a. Le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5, il che ci dà il diritto di creare la seguente equazione: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Trasformiamo e otteniamo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Poiché i triangoli TME e AEC sono simili, abbiamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combiniamo entrambe le voci e otteniamo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Pertanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Conclusione
La geometria non è la scienza più semplice, ma puoi sicuramente affrontare le domande dell'esame. Basta mostrare un po' di perseveranza nella preparazione. E, naturalmente, ricorda tutte le formule necessarie.
Abbiamo provato a raccogliere tutte le formule per calcolare l'area di un trapezio in un unico posto in modo che tu possa usarle quando ti prepari per gli esami e ripassi il materiale.
Assicurati di parlare di questo articolo ai tuoi compagni di classe e ai tuoi amici. reti sociali. Permettere buoni voti ce ne sarà di più per l'Esame di Stato Unificato e la Prova dell'Esame di Stato!
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La pratica dell'esame di stato unificato e dell'esame di stato dell'anno scorso mostra che i problemi di geometria causano difficoltà a molti scolari. Puoi affrontarli facilmente se memorizzi tutte le formule necessarie e ti eserciti a risolvere i problemi.
In questo articolo vedrai le formule per trovare l'area di un trapezio, nonché esempi di problemi con soluzioni. Potresti imbatterti negli stessi nei KIM durante gli esami di certificazione o alle Olimpiadi. Pertanto, trattali con attenzione.
Cosa devi sapere sul trapezio?
Per cominciare, ricordiamocelo trapezio si chiama quadrilatero in cui due lati opposti, detti anche basi, sono paralleli, e gli altri due no.
In un trapezio l'altezza (perpendicolare alla base) può anche essere abbassata. Viene tracciata la linea di mezzo: questa è una linea retta parallela alle basi e uguale alla metà della loro somma. Così come le diagonali che possono intersecarsi formando angoli acuti e ottusi. O, in alcuni casi, ad angolo retto. Inoltre, se il trapezio è isoscele, in esso è inscritto un cerchio. E descrivi un cerchio attorno ad esso.
Formule dell'area del trapezio
Per prima cosa, diamo un'occhiata alle formule standard per trovare l'area di un trapezio. Di seguito considereremo i modi per calcolare l'area degli isoscele e dei trapezi curvilinei.
Quindi, immagina di avere un trapezio con basi a e b, in cui l'altezza h è abbassata alla base maggiore. Calcolare l'area di una figura in questo caso è facile come sgusciare le pere. Devi solo dividere la somma delle lunghezze delle basi per due e moltiplicare il risultato per l'altezza: S = 1/2(a+b)*h.
Prendiamo un altro caso: supponiamo che in un trapezio, oltre all'altezza, ci sia una linea mediana m. Conosciamo la formula per trovare la lunghezza della linea mediana: m = 1/2(a + b). Pertanto, possiamo giustamente semplificare la formula per l'area di un trapezio nella seguente forma: S = m* h. In altre parole, per trovare l'area di un trapezio, devi moltiplicare la linea centrale per l'altezza.
Consideriamo un'altra opzione: il trapezio contiene le diagonali d 1 e d 2, che non si intersecano ad angolo retto α. Per calcolare l'area di un tale trapezio, è necessario dividere il prodotto delle diagonali per due e moltiplicare il risultato per il peccato dell'angolo tra di loro: S= 1/2d 1 d 2 *senα.
Consideriamo ora la formula per trovare l'area di un trapezio se non si sa altro che la lunghezza di tutti i suoi lati: a, b, c e d. Questa è una formula macchinosa e complessa, ma ti sarà utile ricordarla per ogni evenienza: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
A proposito, gli esempi sopra riportati valgono anche nel caso in cui sia necessaria la formula per l'area di un trapezio rettangolare. Questo è un trapezio, il cui lato confina con le basi ad angolo retto.
Trapezio isoscele
Un trapezio i cui lati sono uguali si dice isoscele. Considereremo diverse opzioni per la formula per l'area di un trapezio isoscele.
Prima opzione: nel caso in cui un cerchio di raggio r sia inscritto in un trapezio isoscele e il lato e la base maggiore formino un angolo acuto α. Un cerchio può essere inscritto in un trapezio purché la somma delle lunghezze delle sue basi sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati.
L'area di un trapezio isoscele si calcola come segue: moltiplica il quadrato del raggio del cerchio inscritto per quattro e dividi il tutto per sinα: S = 4r 2 /senα. Un'altra formula dell'area è un caso speciale per l'opzione quando l'angolo tra la base grande e il lato è 30 0: S = 8r2.
Seconda opzione: questa volta prendiamo un trapezio isoscele, nel quale sono disegnate in aggiunta le diagonali d 1 e d 2, nonché l'altezza h. Se le diagonali di un trapezio sono tra loro perpendicolari, l'altezza è la metà della somma delle basi: h = 1/2(a + b). Sapendo questo, è facile trasformare la formula che ti è già familiare per l'area di un trapezio in questa forma: S = h2.
Formula per l'area di un trapezio curvo
Cominciamo scoprendo cos'è un trapezio curvo. Immagina un asse delle coordinate e un grafico di una funzione continua e non negativa f che non cambia segno all'interno di un dato segmento sull'asse x. Un trapezio curvilineo è formato dal grafico della funzione y = f(x) - in alto, l'asse x è in basso (segmento), e sui lati - linee rette tracciate tra i punti a e b e il grafico di la funzione.
È impossibile calcolare l'area di una figura così non standard utilizzando i metodi sopra indicati. Qui è necessario applicare l'analisi matematica e utilizzare l'integrale. Vale a dire: la formula di Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In questa formula, F è l'antiderivativa della nostra funzione sul segmento selezionato. E l'area di un trapezio curvilineo corrisponde all'incremento della primitiva su un dato segmento.
Problemi di esempio
Per rendere tutte queste formule più facili da comprendere nella tua testa, ecco alcuni esempi di problemi per trovare l'area di un trapezio. Sarebbe meglio se prima provassi a risolvere i problemi da solo e solo allora confrontassi la risposta che riceverai con la soluzione già pronta.
Compito n. 1: Dato un trapezio. La sua base più grande è di 11 cm, quella più piccola è di 4 cm. Il trapezio ha le diagonali, una lunga 12 cm, la seconda 9 cm.
Soluzione: costruire un trapezio AMRS. Traccia una linea retta РХ passante per il vertice P in modo che sia parallela alla diagonale MC e intersechi la retta AC nel punto X. Otterrai un triangolo APХ.
Considereremo due figure ottenute come risultato di queste manipolazioni: triangolo APX e parallelogramma CMRX.
Grazie al parallelogramma apprendiamo che PX = MC = 12 cm e CX = MR = 4 cm. Da dove possiamo calcolare il lato AX del triangolo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Possiamo anche dimostrare che il triangolo APX è rettangolo (per fare ciò applichiamo il teorema di Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). E calcola la sua area: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
Successivamente dovrai dimostrare che i triangoli AMP e PCX hanno la stessa area. La base sarà l'uguaglianza delle parti MR e CX (già dimostrata sopra). E anche le altezze che abbassi su questi lati sono uguali all'altezza del trapezio AMRS.
Tutto ciò ti permetterà di dire che S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Compito n. 2:È dato il trapezio KRMS. Sui suoi lati laterali ci sono i punti O ed E, mentre OE e KS sono paralleli. È anche noto che le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5. RM = a e KS = b. Devi trovare OE.
Soluzione: tracciare una linea parallela alla RK passante per il punto M, e designare il punto della sua intersezione con OE come T. A è il punto di intersezione della linea tracciata attraverso il punto E parallela alla RK con la base KS.
Introduciamo un'altra notazione: OE = x. E anche l'altezza h 1 per il triangolo TME e l'altezza h 2 per il triangolo AEC (puoi dimostrare indipendentemente la somiglianza di questi triangoli).
Supponiamo che b > a. Le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5, il che ci dà il diritto di creare la seguente equazione: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Trasformiamo e otteniamo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Poiché i triangoli TME e AEC sono simili, abbiamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combiniamo entrambe le voci e otteniamo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Pertanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Conclusione
La geometria non è la scienza più semplice, ma puoi sicuramente affrontare le domande dell'esame. Basta mostrare un po' di perseveranza nella preparazione. E, naturalmente, ricorda tutte le formule necessarie.
Abbiamo provato a raccogliere tutte le formule per calcolare l'area di un trapezio in un unico posto in modo che tu possa usarle quando ti prepari per gli esami e ripassi il materiale.
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Per sentirsi sicuri e risolvere con successo i problemi nelle lezioni di geometria, non è sufficiente imparare le formule. Prima devono essere compresi. Avere paura, e ancor più odiare le formule, è improduttivo. In questo articolo linguaggio accessibile verrà analizzato vari modi Trovare l'area di un trapezio. Per comprendere meglio le regole e i teoremi corrispondenti, presteremo una certa attenzione alle sue proprietà. Questo ti aiuterà a capire come funzionano le regole e in quali casi dovrebbero essere applicate determinate formule.
Definire un trapezio
Che tipo di cifra è questa nel complesso? Un trapezio è un poligono con quattro angoli e due lati paralleli. Gli altri due lati del trapezio possono essere inclinati angoli diversi. I suoi lati paralleli sono chiamati basi, mentre per i lati non paralleli si usa il nome "lati" o "fianchi". Tali cifre sono abbastanza comuni nella vita di tutti i giorni. I contorni del trapezio possono essere visti nelle sagome di vestiti, oggetti interni, mobili, stoviglie e molti altri. Succede il trapezio diversi tipi: scaleno, equilatero e rettangolare. Esamineremo i loro tipi e proprietà in modo più dettagliato più avanti nell'articolo.
Proprietà di un trapezio
Soffermiamoci brevemente sulle proprietà di questa figura. La somma degli angoli adiacenti a qualsiasi lato è sempre 180°. Va notato che la somma di tutti gli angoli di un trapezio dà 360°. Il trapezio ha il concetto di linea mediana. Se colleghi i punti medi dei lati con un segmento, questa sarà la linea mediana. È designato m. La linea di mezzo ha proprietà importanti: è sempre parallelo alle basi (ricordiamo che le basi sono parallele anche tra loro) e uguale alla loro semisomma:
Questa definizione va appresa e compresa, perché è la chiave per risolvere tanti problemi!
Con un trapezio puoi sempre abbassare l'altezza alla base. Un'altitudine è una perpendicolare, spesso indicata con il simbolo h, tracciata da un punto qualsiasi di una base a un'altra base o alla sua estensione. La linea mediana e l'altezza ti aiuteranno a trovare l'area del trapezio. Tali problemi sono i più comuni nel corso di geometria scolastica e compaiono regolarmente tra le prove e le prove d'esame.
Le formule più semplici per l'area di un trapezio
Diamo un'occhiata alle due formule più popolari e semplici utilizzate per trovare l'area di un trapezio. Basta moltiplicare l'altezza per la metà della somma delle basi per trovare facilmente quello che cerchi:
S = h*(a + b)/2.
In questa formula, a, b indicano le basi del trapezio, h - l'altezza. Per facilità di percezione, in questo articolo i segni di moltiplicazione sono contrassegnati con un simbolo (*) nelle formule, sebbene nei libri di consultazione ufficiali il segno di moltiplicazione venga solitamente omesso.
Diamo un'occhiata a un esempio.
Dato: un trapezio con due basi pari a 10 e 14 cm, l'altezza è 7 cm. Qual è l'area del trapezio?
Diamo un'occhiata alla soluzione a questo problema. Usando questa formula, devi prima trovare la semisomma delle basi: (10+14)/2 = 12. Quindi la semisomma è uguale a 12 cm Ora moltiplichiamo la semisomma per l'altezza: 12*7 = 84. Ciò che stiamo cercando è trovato. Risposta: L'area del trapezio è di 84 metri quadrati. cm.
La seconda formula ben nota dice: l'area di un trapezio è uguale al prodotto della linea mediana e dell'altezza del trapezio. Cioè, in realtà segue dal concetto precedente della linea di mezzo: S=m*h.
Utilizzo delle diagonali per i calcoli
Un altro modo per trovare l'area di un trapezio in realtà non è così complicato. È collegato alle sue diagonali. Usando questa formula, per trovare l'area, devi moltiplicare il semiprodotto delle sue diagonali (d 1 d 2) per il seno dell'angolo compreso tra loro:
S = ½ d 1 d 2 peccato UN.
Consideriamo un problema che mostra l'applicazione di questo metodo. Dato: un trapezio con la lunghezza delle diagonali pari rispettivamente a 8 e 13 cm. L'angolo a compreso tra le diagonali è 30°. Trova l'area del trapezio.
Soluzione. Utilizzando la formula sopra, è facile calcolare ciò che è richiesto. Come sai, sin 30° è 0,5. Pertanto, S = 8*13*0,5=52. Risposta: la superficie è di 52 mq. cm.
Trovare l'area di un trapezio isoscele
Un trapezio può essere isoscele (isoscele). I suoi lati sono uguali e gli angoli alle basi sono uguali, il che è ben illustrato dalla figura. Un trapezio isoscele ha le stesse proprietà di un trapezio normale, più alcune proprietà speciali. Ad un trapezio isoscele si può circoscrivere una circonferenza e al suo interno si può inscrivere un cerchio.
Quali metodi esistono per calcolare l'area di tale figura? Il metodo seguente richiederà molti calcoli. Per utilizzarlo è necessario conoscere i valori del seno (sin) e del coseno (cos) dell'angolo alla base del trapezio. Per calcolarli sono necessarie le tabelle Bradis o un calcolatore ingegneristico. Ecco la formula:
S= C*peccato UN*(UN - C*cos UN),
Dove Con- coscia laterale, UN- angolo alla base inferiore.
Un trapezio equilatero ha le diagonali di uguale lunghezza. È vero anche il contrario: se un trapezio ha le diagonali uguali allora è isoscele. Da qui la seguente formula per trovare l'area di un trapezio: il semiprodotto del quadrato delle diagonali e il seno dell'angolo compreso tra loro: S = ½ d 2 sin UN.
Trovare l'area di un trapezio rettangolare
Conosciuto caso speciale trapezio rettangolare. Questo è un trapezio, in cui un lato (la sua coscia) confina con le basi ad angolo retto. Ha le proprietà di un trapezio regolare. Inoltre, ha molto caratteristica interessante. La differenza dei quadrati delle diagonali di un tale trapezio è uguale alla differenza dei quadrati delle sue basi. A questo scopo vengono utilizzati tutti i metodi precedentemente descritti per il calcolo dell'area.
Usiamo l'ingegno
C'è un trucco che può aiutarti se dimentichi formule specifiche. Diamo uno sguardo più da vicino a cos'è un trapezio. Se lo dividiamo mentalmente in parti, diventeremo familiari e comprensibili forme geometriche: quadrato o rettangolo e triangolo (uno o due). Se conosci l'altezza e i lati del trapezio, puoi utilizzare le formule area del triangolo e un rettangolo, quindi somma tutti i valori risultanti.
Illustriamolo con il seguente esempio. Dato un trapezio rettangolo. Angolo C = 45°, angoli A, D sono 90°. Base superiore il trapezio è di 20 cm, l'altezza è di 16 cm È necessario calcolare l'area della figura.
Questa figura è ovviamente composta da un rettangolo (se due angoli sono uguali a 90°) e da un triangolo. Poiché il trapezio è rettangolare, quindi, la sua altezza è uguale al suo lato, cioè 16 cm. Abbiamo un rettangolo con i lati rispettivamente di 20 e 16 cm. Consideriamo ora un triangolo il cui angolo è 45°. Sappiamo che un suo lato misura 16 cm Poiché questo lato è anche l'altezza del trapezio (e sappiamo che l'altezza scende ad angolo retto fino alla base), quindi il secondo angolo del triangolo è 90°. Quindi l'angolo rimanente del triangolo è 45°. Di conseguenza otteniamo un rettangolo triangolo isoscele, i cui due lati sono uguali. Ciò significa che l'altro lato del triangolo è uguale all'altezza, cioè 16 cm. Resta da calcolare l'area del triangolo e del rettangolo e sommare i valori risultanti.
Piazza triangolo rettangoloè uguale alla metà del prodotto delle sue gambe: S = (16*16)/2 = 128. L'area del rettangolo è uguale al prodotto della sua larghezza e lunghezza: S = 20*16 = 320. Abbiamo trovato quanto richiesto: area del trapezio S = 128 + 320 = 448 mq. vedi. Puoi facilmente ricontrollare te stesso utilizzando le formule sopra, la risposta sarà identica.
Usiamo la formula Pick
Infine, presentiamo un'altra formula originale che aiuta a trovare l'area di un trapezio. Si chiama formula di prelievo. È comodo da usare quando il trapezio viene disegnato su carta a quadretti. Problemi simili si riscontrano spesso nei materiali GIA. Sembra questo:
S = M/2 + N - 1,
in questa formula M è il numero di nodi, cioè intersezioni delle linee della figura con le linee della cella ai confini del trapezio (punti arancioni nella figura), N è il numero di nodi all'interno della figura (punti blu). È più comodo usarlo quando si trova l'area di un poligono irregolare. Tuttavia, maggiore è l’arsenale di tecniche utilizzate, maggiore è la possibilità che ciò accada meno errori e risultati migliori.
Naturalmente, le informazioni fornite non esauriscono i tipi e le proprietà del trapezio, nonché i metodi per trovarne l'area. Questo articolo fornisce una panoramica delle sue caratteristiche più importanti. Nella decisione problemi geometriciÈ importante agire gradualmente, iniziare con formule e problemi semplici, consolidare costantemente la comprensione e passare a un altro livello di complessità.
Le formule più comuni raccolte insieme aiuteranno gli studenti a navigare in vari modi calcolare l'area di un trapezio e prepararsi meglio per test e test su questo argomento.
E . Ora possiamo iniziare a considerare la questione su come trovare l'area di un trapezio. Questo compito si presenta molto raramente nella vita di tutti i giorni, ma a volte risulta necessario, ad esempio, trovare l'area di una stanza a forma di trapezio, che viene sempre più utilizzata nella costruzione appartamenti moderni, o in progetti di design di ristrutturazione.
Un trapezio è una figura geometrica formata da quattro segmenti intersecanti, due dei quali sono paralleli tra loro e sono chiamati basi del trapezio. Gli altri due segmenti sono chiamati lati del trapezio. Inoltre, avremo bisogno di un'altra definizione in seguito. Questa è la linea mediana del trapezio, che è un segmento che collega i punti medi dei lati e l'altezza del trapezio, che è uguale alla distanza tra le basi.
Come i triangoli, i trapezi hanno tipi speciali sotto forma di trapezio isoscele (equilatero), in cui le lunghezze dei lati sono le stesse, e di trapezio rettangolare, in cui uno dei lati forma un angolo retto con le basi.
I trapezi hanno alcune proprietà interessanti:
- La linea mediana del trapezio è pari alla metà della somma delle basi ed è parallela ad esse.
- I trapezi isosceli hanno i lati uguali e gli angoli che formano con le basi.
- I punti medi delle diagonali di un trapezio e il punto di intersezione delle sue diagonali si trovano sulla stessa retta.
- Se la somma dei lati di un trapezio è uguale alla somma delle basi allora in esso è inscritto un cerchio
- Se la somma degli angoli formati dai lati di un trapezio in una qualsiasi delle sue basi è 90, la lunghezza del segmento che collega i punti medi delle basi è uguale alla loro semidifferenza.
- Un trapezio isoscele può essere descritto da un cerchio. E viceversa. Se un trapezio rientra in un cerchio allora è isoscele.
- Il segmento passante per i punti medi delle basi di un trapezio isoscele sarà perpendicolare alle sue basi e rappresenta l'asse di simmetria.
Come trovare l'area di un trapezio.
L'area del trapezio sarà pari alla metà della somma delle sue basi moltiplicata per la sua altezza. In forma di formula, questo è scritto come un'espressione:
dove S è l'area del trapezio, a, b è la lunghezza di ciascuna delle basi del trapezio, h è l'altezza del trapezio.
Puoi capire e ricordare questa formula come segue. Come segue dalla figura seguente, utilizzando la linea centrale, un trapezio può essere convertito in un rettangolo, la cui lunghezza sarà pari alla metà della somma delle basi.
Puoi anche espandere qualsiasi trapezio in altro figure semplici: un rettangolo e uno o due triangoli e, se per te è più facile, trova l'area del trapezio come la somma delle aree delle sue figure costituenti.
Esiste un'altra semplice formula per calcolare la sua area. Secondo esso, l'area di un trapezio è uguale al prodotto della sua linea mediana per l'altezza del trapezio e si scrive nella forma: S = m*h, dove S è l'area, m è la lunghezza del trapezio linea mediana, h è l'altezza del trapezio. Questa formula è più adatta per problemi di matematica che per compiti quotidiani, poiché in condizioni reali non conoscerai la lunghezza della linea centrale senza calcoli preliminari. E conoscerai solo le lunghezze delle basi e dei lati.
In questo caso, l'area del trapezio può essere trovata utilizzando la formula:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
dove S è l'area, a, b sono le basi, c, d sono i lati del trapezio.
Esistono molti altri modi per trovare l'area di un trapezio. Ma sono scomodi quanto l’ultima formula, il che significa che non ha senso soffermarsi su di essi. Pertanto, ti consigliamo di utilizzare la prima formula dell'articolo e ti auguriamo di ottenere sempre risultati accurati.
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