La prima identità trigonometrica. Equazioni trigonometriche: formule, soluzioni, esempi

Funzioni trigonometriche- La richiesta "peccato" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "sec" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "Sine" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati... Wikipedia

Abbronzatura

Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia

Coseno- Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia

Cotangente- Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia

Secante- Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia

Storia della trigonometria- Misure geodetiche (XVII secolo) ... Wikipedia

Formula della tangente del semiangolo- In trigonometria, la formula della tangente di un mezzo angolo mette in relazione la tangente di un mezzo angolo con le funzioni trigonometriche di un angolo completo: Le variazioni di questa formula sono le seguenti... Wikipedia

Trigonometria- (dal greco τρίγονο (triangolo) e dal greco μετρειν (misurare), cioè la misurazione dei triangoli) branca della matematica in cui si studia funzioni trigonometriche e le loro applicazioni alla geometria. Questo termine apparve per la prima volta nel 1595 come... ... Wikipedia

Risolvere triangoli- (lat. solutio triangulorum) termine storico che indica la decisione del principale problema trigonometrico: utilizzando i dati noti del triangolo (lati, angoli, ecc.), trova le sue caratteristiche rimanenti. Il triangolo può essere localizzato su... ... Wikipedia

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Identità trigonometriche

- si tratta di uguaglianze che stabiliscono una relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo, che consente di trovare una qualsiasi di queste funzioni, purché se ne conosca un'altra.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Questa identità dice che la somma del quadrato del seno di un angolo e del quadrato del coseno di un angolo è uguale a uno, il che in pratica permette di calcolare il seno di un angolo quando se ne conosce il coseno e viceversa .

Quando si convertono le espressioni trigonometriche, viene spesso utilizzata questa identità, che consente di sostituire la somma dei quadrati del coseno e del seno di un angolo con uno ed eseguire anche l'operazione di sostituzione nell'ordine inverso.

Trovare tangente e cotangente usando seno e coseno tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Queste identità sono formate dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Dopotutto, se lo guardi, per definizione l'ordinata y è un seno e l'ascissa x è un coseno. Allora la tangente sarà uguale al rapporto \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) e il rapporto

\frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) - sarà una cotangente..

Aggiungiamo che solo per tali angoli \alfa in cui hanno senso le funzioni trigonometriche in essi incluse, varranno le identità, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) Per esempio: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)è valido per angoli \alpha diversi da - sarà una cotangente.\frac(\pi)(2)+\pi z

, UN

- per un angolo \alpha diverso da \pi z, z è un numero intero.

Relazione tra tangente e cotangente tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 Questa identità è valida solo per angoli \alpha diversi da

\frac(\pi)(2) z . Altrimenti, né la cotangente né la tangente verranno determinate.è valido per angoli \alpha diversi da ctg \alpha=\frac(x)(y). Ne consegue che tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Pertanto, la tangente e la cotangente dello stesso angolo a cui hanno senso sono numeri reciprocamente inversi.

Relazioni tra tangente e coseno, cotangente e seno

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somma del quadrato della tangente dell'angolo \alpha e 1 è uguale all'inverso del quadrato del coseno di tale angolo. Questa identità è valida per tutti gli \alpha diversi da \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somma di 1 e del quadrato della cotangente dell'angolo \alpha è uguale all'inverso del quadrato del seno dell'angolo dato. Questa identità è valida per qualsiasi \alpha diverso da \pi z.

Esempi con soluzioni a problemi utilizzando identità trigonometriche

Esempio 1

Trova \sin \alpha e tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 E \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Mostra soluzione

Soluzione

Le funzioni \sin \alpha e \cos \alpha sono correlate dalla formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Sostituendo in questa formula \cos \alpha = -\frac12, otteniamo:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Questa equazione ha 2 soluzioni:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Per condizione \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Nel secondo quarto il seno è positivo, quindi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Per trovare tan \alpha usiamo la formula ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Esempio 2

Trova \cos \alpha e ctg \alpha se e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Mostra soluzione

Soluzione

Sostituendo nella formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dato numero \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), otteniamo \sinistra (\frac(\sqrt3)(2)\destra)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Questa equazione ha due soluzioni \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Per condizione \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Nel secondo quarto il coseno è negativo, quindi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Per trovare ctg \alpha, usiamo la formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conosciamo i valori corrispondenti.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Identità trigonometriche di base.

secα leggi: “alfa secante”. Questo è il reciproco del coseno alfa.

cosecα leggi: “cosecante alfa”. Questo è il reciproco del seno alfa.

Esempi. Semplifica l'espressione:

UN) 1 – peccato 2 α; B) cos2α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) peccato 2 αcosα – cosα; D) peccato 2 α+1+cos 2 α;

e) sin 4 α+2 sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; E) tg 2 α – peccato 2 α tg 2 α; H) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; E) cos2α+tg2αcos2α.

UN) 1 – sin 2 α = cos 2 α secondo la formula 1) ;

B) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sen 2 α ha applicato anche la formula 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Per prima cosa abbiamo applicato la formula per la differenza dei quadrati di due espressioni: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, e poi la formula 1) ;

G) peccato 2 αcosα – cosα. Togliamo il fattore comune tra parentesi.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos2α = -cos3α. Ovviamente hai già notato che poiché 1 – sin 2 α = cos 2 α, allora sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Allo stesso modo, se 1 – cos 2 α = sin 2 α, allora cos 2 α – 1 = -sin 2 α.

D) sin 2 α+1+cos 2 α = (sen 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

e) sin 4 α+2 sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Abbiamo: il quadrato dell'espressione sin 2 α più il doppio prodotto di sin 2 α per cos 2 α e più il quadrato della seconda espressione cos 2 α. Applichiamo la formula del quadrato della somma di due espressioni: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Successivamente applichiamo la formula 1) . Otteniamo: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

E) tg 2 α – peccato 2 α tg 2 α = tg 2 α(1 – peccato 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = peccato 2 α. Applicare la formula 1) e poi la formula 2) .

Ricordare: tgα ∙ cosα = peccatoα.

Allo stesso modo, utilizzando la formula 3) puoi ottenere: ctgα ∙ peccatoα = cosα. Ricordare!

H) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sen 2 α) = -cos 2 α.

E) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Per prima cosa abbiamo tolto il fattore comune dalle parentesi e abbiamo semplificato il contenuto delle parentesi utilizzando la formula 7).

Converti espressione:

Abbiamo applicato la formula 7) e ha ottenuto il prodotto della somma di due espressioni per il quadrato incompleto della differenza di queste espressioni: la formula per la somma dei cubi di due espressioni.

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In trigonometria, la formula del semiangolo tan mette in relazione il semiangolo tan con le funzioni trigonometriche dell'angolo completo: le variazioni di questa formula sono le seguenti... Wikipedia

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