All'inizio di questo articolo, abbiamo esaminato il concetto di funzioni trigonometriche. Il loro scopo principale è studiare le basi della trigonometria e studiare i processi periodici. E non abbiamo disegnato il cerchio trigonometrico invano, perché nella maggior parte dei casi le funzioni trigonometriche sono definite come il rapporto tra i lati di un triangolo o i suoi determinati segmenti in un cerchio unitario. Ho anche menzionato l’innegabilmente enorme importanza della trigonometria in vita moderna. Ma la scienza non si ferma, di conseguenza possiamo espandere in modo significativo la portata della trigonometria e trasferire le sue disposizioni a numeri reali e talvolta complessi.
Formule di trigonometria Ne esistono diversi tipi. Vediamoli in ordine.
Rapporti di funzioni trigonometriche dello stesso angolo
Esprimere funzioni trigonometriche l'una attraverso l'altra
(la scelta del segno davanti alla radice è determinata da in quale dei quarti del cerchio si trova l'angolo?)
Di seguito sono riportate le formule per aggiungere e sottrarre gli angoli:
Formule per angoli doppi, tripli e mezzi angoli.
Noto che derivano tutti dalle formule precedenti.
Formule per convertire le espressioni trigonometriche:
Qui arriviamo a considerare un concetto come di base identità trigonometriche .
Un'identità trigonometrica è un'uguaglianza costituita da relazioni trigonometriche e che è soddisfatta per tutti i valori degli angoli in essa inclusi.
Diamo un'occhiata alle identità trigonometriche più importanti e alle loro dimostrazioni:
La prima identità deriva dalla definizione stessa di tangente.
Prendiamo un triangolo rettangolo che ha l'angolo acuto x nel vertice A.
Per dimostrare le identità è necessario utilizzare il teorema di Pitagora:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Ora dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per (AB) 2 e ricordando le definizioni di seno e cos, otteniamo la seconda identità:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
peccato x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
peccato 2 x + cos 2 x = 1
Per dimostrare la terza e la quarta identità utilizziamo la dimostrazione precedente.
Per fare ciò, dividi entrambi i lati della seconda identità per cos 2 x:
peccato 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
peccato 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
In base alla prima identità tg x = sin x /cos x otteniamo la terza:
1 + marrone chiaro 2 x = 1/cos 2 x
Ora dividiamo la seconda identità per sin 2 x:
sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
1+ cos 2 x/ peccato 2 x = 1/ peccato 2 x
cos 2 x/ sin 2 x non è altro che 1/tg 2 x, quindi otteniamo la quarta identità:
1 + 1/tg 2 x = 1/sen 2 x
È tempo di ricordare il teorema della somma angoli interni triangolo, che afferma che la somma degli angoli di un triangolo = 180 0. Risulta che al vertice B del triangolo c'è un angolo il cui valore è 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.
Ricordiamo ancora le definizioni di peccato e cos e otteniamo la quinta e la sesta identità:
peccato x = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = peccato x
Ora facciamo quanto segue:
cos x = (AC)/(AB)
sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 – x) = cos x
Come puoi vedere, qui tutto è elementare.
Ci sono altre identità che vengono utilizzate per risolvere le identità matematiche, le darò semplicemente nella forma informazioni di riferimento, perché derivano tutti da quanto sopra.
peccato 2x =2 peccato x*cos x
cos 2x =cos 2 x -sen 2 x =1-2sen 2 x =2cos 2 x -1
tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)
ñtg 2x = (ñtg 2 x - 1) /2сtg x
peccato3x =3peccato x - 4peccato 3 x
cos3х =4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)
Vengono fornite le relazioni tra le funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente e cotangente formule trigonometriche. E poiché ci sono molte connessioni tra le funzioni trigonometriche, questo spiega l'abbondanza di formule trigonometriche. Alcune formule collegano funzioni trigonometriche dello stesso angolo, altre - funzioni di un angolo multiplo, altre - consentono di ridurre il grado, la quarta - esprime tutte le funzioni attraverso la tangente di un semiangolo, ecc.
In questo articolo elencheremo in ordine tutte le principali formule trigonometriche, che sono sufficienti a risolvere la stragrande maggioranza dei problemi di trigonometria. Per facilità di memorizzazione e utilizzo, li raggrupperemo per scopo e li inseriremo in tabelle.
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Identità trigonometriche di base
Identità trigonometriche di base definire la relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo. Derivano dalla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché dal concetto di circonferenza unitaria. Permettono di esprimere una funzione trigonometrica in termini di qualsiasi altra.
Per una descrizione dettagliata di queste formule trigonometriche, la loro derivazione ed esempi di applicazione, vedere l'articolo.
Formule di riduzione
Formule di riduzione derivano dalle proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente, cioè riflettono la proprietà della periodicità delle funzioni trigonometriche, la proprietà della simmetria, nonché la proprietà dello spostamento di un dato angolo. Queste formule trigonometriche ti consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari al lavorare con angoli compresi tra zero e 90 gradi.
La logica di queste formule, una regola mnemonica per memorizzarle ed esempi della loro applicazione possono essere studiate nell'articolo.
Formule di addizione
Formule di addizione trigonometriche mostrare come le funzioni trigonometriche della somma o della differenza di due angoli sono espresse in termini di funzioni trigonometriche di quegli angoli. Queste formule servono come base per derivare le seguenti formule trigonometriche.
Formule per doppio, triplo, ecc. angolo
Formule per doppio, triplo, ecc. angolo (sono anche chiamate formule di angoli multipli) mostrano come le funzioni trigonometriche di doppio, triplo, ecc. gli angoli () sono espressi in termini di funzioni trigonometriche di un singolo angolo. La loro derivazione si basa su formule di addizione.
Informazioni più dettagliate sono raccolte nell'articolo formule doppie, triple, ecc. angolo
Formule del mezzo angolo
Formule del mezzo angolo mostrare come le funzioni trigonometriche di un semiangolo sono espresse in termini di coseno di un angolo intero. Queste formule trigonometriche derivano dalle formule del doppio angolo.
La loro conclusione ed esempi di applicazione possono essere trovati nell'articolo.
Formule di riduzione dei gradi
Formule trigonometriche per ridurre i gradi hanno lo scopo di facilitare la transizione da gradi naturali funzioni trigonometriche a seni e coseni di primo grado, ma anche ad angoli multipli. In altre parole, permettono di ridurre le potenze delle funzioni trigonometriche alla prima.
Formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche
Scopo principale formule per la somma e la differenza delle funzioni trigonometriche consiste nel passare al prodotto di funzioni, cosa molto utile per semplificare le espressioni trigonometriche. Queste formule sono ampiamente utilizzate anche per risolvere equazioni trigonometriche, poiché consentono di fattorizzare la somma e la differenza di seni e coseni.
Formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno
La transizione dal prodotto di funzioni trigonometriche a una somma o differenza viene effettuata utilizzando le formule per il prodotto di seni, coseni e seno per coseno.
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In questo articolo daremo uno sguardo completo. Le identità trigonometriche di base sono uguaglianze che stabiliscono una connessione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo e consentono di trovare una qualsiasi di queste funzioni trigonometriche attraverso un'altra nota.
Elenchiamo subito le principali identità trigonometriche che analizzeremo in questo articolo. Scriviamoli in una tabella e di seguito riporteremo il risultato di queste formule e forniremo le spiegazioni necessarie.
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Relazione tra seno e coseno di un angolo
A volte non si parla delle principali identità trigonometriche elencate nella tabella sopra, ma di una singola identità trigonometrica di base Tipo 
. La spiegazione di questo fatto è abbastanza semplice: le uguaglianze si ottengono dall'identità trigonometrica principale dopo aver diviso entrambe le sue parti per e rispettivamente, e le uguaglianze 
E 
seguono dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Ne parleremo più in dettaglio nei paragrafi successivi.
Cioè, è l'uguaglianza che interessa particolarmente, a cui è stato dato il nome della principale identità trigonometrica.
Prima di dimostrare l'identità trigonometrica principale, diamo la sua formulazione: la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è identicamente uguale a uno. Ora dimostriamolo.
L'identità trigonometrica di base viene utilizzata molto spesso quando conversione di espressioni trigonometriche. Permette di sostituire la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo con uno. Non meno spesso, l'identità trigonometrica di base viene utilizzata nell'ordine inverso: l'unità è sostituita dalla somma dei quadrati del seno e del coseno di qualsiasi angolo.
Tangente e cotangente attraverso seno e coseno
Identità che collegano tangente e cotangente con seno e coseno di un angolo di visione e 
seguono immediatamente dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Infatti, per definizione, il seno è l'ordinata di y, il coseno è l'ascissa di x, la tangente è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa, cioè, 
, e la cotangente è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata, cioè 
.
Grazie a tale ovvietà delle identità e Tangente e cotangente sono spesso definiti non attraverso il rapporto tra ascissa e ordinata, ma attraverso il rapporto tra seno e coseno. Quindi la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno e il coseno di questo angolo, e la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.
In conclusione di questo paragrafo, va notato che le identità e hanno luogo per tutti gli angoli in cui le funzioni trigonometriche in essi incluse hanno senso. Quindi la formula è valida per qualsiasi , diverso da (altrimenti il denominatore avrà zero, e non abbiamo definito la divisione per zero), e la formula - per tutti , diverso da , dove z è qualsiasi .
Relazione tra tangente e cotangente
Un'identità trigonometrica ancora più evidente delle due precedenti è l'identità che collega la tangente e la cotangente di un angolo della forma . È chiaro che vale per tutti gli angoli diversi da , altrimenti né la tangente né la cotangente sono definite.
Dimostrazione della formula molto semplice. Per definizione e da dove 
. La dimostrazione avrebbe potuto essere condotta in modo leggermente diverso. Da , Quello 
.
Quindi, la tangente e la cotangente dello stesso angolo a cui hanno senso sono .
Funzioni trigonometriche- La richiesta "peccato" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "sec" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati. La richiesta "Sine" viene reindirizzata qui; vedi anche altri significati... Wikipedia
Abbronzatura
Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia
Coseno- Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia
Cotangente- Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia
Secante- Riso. 1 Grafici delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente Le funzioni trigonometriche sono un tipo di funzioni elementari. Tipicamente questi includono seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tg x), cotangente (ctg x), ... ... Wikipedia
Storia della trigonometria- Misure geodetiche (XVII secolo) ... Wikipedia
Formula della tangente del semiangolo- In trigonometria, la formula della tangente di un mezzo angolo mette in relazione la tangente di un mezzo angolo con le funzioni trigonometriche di un angolo completo: Le variazioni di questa formula sono le seguenti... Wikipedia
Trigonometria- (dal greco τρίγονο (triangolo) e dal greco μετρειν (misura), cioè misura di triangoli) branca della matematica in cui si studiano le funzioni trigonometriche e le loro applicazioni alla geometria. Questo termine apparve per la prima volta nel 1595 come... ... Wikipedia
Risolvere triangoli- (lat. solutio triangulorum) termine storico che indica la decisione del principale problema trigonometrico: utilizzando i dati noti del triangolo (lati, angoli, ecc.), trova le sue caratteristiche rimanenti. Il triangolo può essere localizzato su... ... Wikipedia
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funzione trigonometrica
("sin x, cos x, tan x" o "ctg x") è chiamata equazione trigonometrica e considereremo ulteriormente le loro formule.
Le equazioni più semplici sono `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dove "x" è l'angolo da trovare, "a" è un numero qualsiasi. Scriviamo le formule di radice per ciascuno di essi.
1. Equazione "peccato x=a".
Per `|a|>1` non ha soluzioni.
2. Equazione "cos x=a".
Per `|a|>1` - come nel caso del seno, non ha soluzioni tra numeri reali.
Quando `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.
Formula di radice: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Casi particolari di seno e coseno nei grafici. 
3. Equazione "tg x=a".
Ha un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di "a".
Formula di radice: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Equazione "ctg x=a".
Ha anche un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di "a".
Formula di radice: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule per le radici delle equazioni trigonometriche nella tabella
Per il seno: 
Per coseno: 
Per tangente e cotangente: 
Formule per risolvere equazioni contenenti funzioni trigonometriche inverse:
Metodi per risolvere equazioni trigonometriche
La risoluzione di qualsiasi equazione trigonometrica consiste in due fasi:
- con l'aiuto di trasformarlo nel più semplice;
- risolvere l'equazione più semplice ottenuta utilizzando le formule di radice e le tabelle scritte sopra.
Diamo un'occhiata ai principali metodi di soluzione utilizzando esempi.
Metodo algebrico.
Questo metodo prevede la sostituzione di una variabile e la sua sostituzione in un'uguaglianza.
Esempio. Risolvi l'equazione: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
effettuare una sostituzione: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, quindi `2y^2-3y+1=0`,
troviamo le radici: `y_1=1, y_2=1/2`, da cui seguono due casi:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac\pi 6+2\pi n`.
Risposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Fattorizzazione.
Esempio. Risolvi l'equazione: `sen x+cos x=1`.
Soluzione. Spostiamo tutti i termini dell'uguaglianza a sinistra: `sin x+cos x-1=0`. Utilizzando , trasformiamo e fattorizziamo il lato sinistro:
`peccato x — 2peccato^2 x/2=0`,
`2sen x/2 cos x/2-2sen^2 x/2=0`,
`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,
- `peccato x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Risposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Riduzione ad un'equazione omogenea
Innanzitutto, devi ridurre questa equazione trigonometrica in una delle due forme:
`a sin x+b cos x=0` (equazione omogenea di primo grado) oppure `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (equazione omogenea di secondo grado).
Quindi dividi entrambe le parti per `cos x \ne 0` - per il primo caso, e per `cos^2 x \ne 0` - per il secondo. Otteniamo le equazioni per `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, che devono essere risolte utilizzando metodi noti.
Esempio. Risolvi l'equazione: `2 sin^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1".
Soluzione. Scriviamo il lato destro come `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 peccato^2 x+peccato x cos x — cos^2 x=` `peccato^2 x+cos^2 x`,
`2 peccato^2 x+sen x cos x — cos^2 x -` ` peccato^2 x — cos^2 x=0`
`peccato^2 x+peccato x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Questa è un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado, dividiamo i suoi lati sinistro e destro per `cos^2 x \ne 0`, otteniamo:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Introduciamo la sostituzione `tg x=t`, che risulta in `t^2 + t - 2=0`. Le radici di questa equazione sono "t_1=-2" e "t_2=1". Poi:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Risposta. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Vai a metà angolo
Esempio. Risolvi l'equazione: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Soluzione. Applichiamo le formule del doppio angolo, ottenendo: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Applicando il metodo algebrico sopra descritto, otteniamo:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Risposta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Introduzione dell'angolo ausiliario
Nell'equazione trigonometrica `a sin x + b cos x =c`, dove a,b,c sono coefficienti e x è una variabile, dividi entrambi i lati per `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` ``\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.
I coefficienti sul lato sinistro hanno le proprietà di seno e coseno, cioè la somma dei loro quadrati è uguale a 1 e i loro moduli non sono maggiori di 1. Indichiamoli come segue: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, quindi:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Diamo uno sguardo più da vicino al seguente esempio:
Esempio. Risolvi l'equazione: `3 sin x+4 cos x=2`.
Soluzione. Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per `sqrt (3^2+4^2)`, otteniamo:
`\frac (3 sin x) (quadrato (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(quadrato (3^2+4^2))=` `\frac 2(quadrato (3^2+4^2))`
`3/5 peccato x+4/5 cos x=2/5`.
Indichiamo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Poiché `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, prendiamo `\varphi=arcsin 4/5` come angolo ausiliario. Quindi scriviamo la nostra uguaglianza nella forma:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Applicando la formula per la somma degli angoli al seno, scriviamo la nostra uguaglianza nella seguente forma:
`peccato (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Risposta. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Equazioni trigonometriche razionali frazionarie
Queste sono uguaglianze con frazioni i cui numeratori e denominatori contengono funzioni trigonometriche.
Esempio. Risolvi l'equazione. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Soluzione. Moltiplica e dividi il lato destro dell'uguaglianza per "(1+cos x)". Di conseguenza otteniamo:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Considerando che il denominatore non può essere uguale a zero, otteniamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Uguagliamo il numeratore della frazione a zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Quindi `sin x=0` o `1-sin x=0`.
- `peccato x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Dato che ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, le soluzioni sono `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Risposta. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
La trigonometria, e in particolare le equazioni trigonometriche, sono utilizzate in quasi tutte le aree della geometria, della fisica e dell'ingegneria. Lo studio inizia al 10 ° grado, ci sono sempre compiti per l'Esame di Stato Unificato, quindi cerca di ricordare tutte le formule delle equazioni trigonometriche: ti saranno sicuramente utili!
Tuttavia, non è nemmeno necessario memorizzarli, l'importante è comprenderne l'essenza ed essere in grado di ricavarla. Non è così difficile come sembra. Verificatelo voi stessi guardando il video.
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