Con questo programma di matematica puoi risolvere l'equazione quadratica.

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo di soluzione in due modi:
- utilizzando un discriminante
- utilizzando il teorema di Vieta (se possibile).

Inoltre, la risposta viene visualizzata come esatta e non approssimativa.
Ad esempio, per l'equazione \(81x^2-16x-1=0\) la risposta viene visualizzata nel seguente formato:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ e non così: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Questo programma Può essere utile per gli studenti delle scuole superiori nelle scuole di istruzione generale quando si preparano per test ed esami, quando testano le conoscenze prima dell'esame di stato unificato e per i genitori per controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente farlo il più velocemente possibile? compiti a casa

in matematica o algebra? In questo caso potete utilizzare anche i nostri programmi con soluzioni dettagliate.

In questo modo potrete condurre la vostra formazione e/o la formazione dei vostri fratelli o sorelle più piccoli, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo della risoluzione dei problemi. Se non hai familiarità con le regole di ingresso polinomio quadratico

, ti consigliamo di familiarizzare con loro.

Regole per inserire un polinomio quadratico
Qualsiasi lettera latina può fungere da variabile.

Ad esempio: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ecc.
I numeri possono essere inseriti come numeri interi o frazionari.

Inoltre, i numeri frazionari possono essere inseriti non solo sotto forma di decimale, ma anche sotto forma di frazione ordinaria.
Nelle frazioni decimali la parte frazionaria può essere separata dalla parte intera tramite un punto o una virgola.
Ad esempio, puoi inserire decimali in questo modo: 2,5x - 3,5x^2

Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo.

Quando entri frazione numerica Il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
La parte intera è separata dalla frazione dal segno e commerciale: &
Ingresso: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Risultato: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Quando si inserisce un'espressione puoi usare le parentesi. In questo caso, quando si risolve un'equazione quadratica, l'espressione introdotta viene prima semplificata.
Ad esempio: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decidere

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Una piccola teoria.

Equazione quadratica e sue radici. Equazioni quadratiche incomplete

Ciascuna delle equazioni
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
sembra
\(ax^2+bx+c=0, \)
dove x è una variabile, a, b e c sono numeri.
Nella prima equazione a = -1, b = 6 e c = 1,4, nella seconda a = 8, b = -7 e c = 0, nella terza a = 1, b = 0 e c = 4/9. Tali equazioni sono chiamate equazioni quadratiche.

Definizione.
Equazione quadraticaè chiamata un'equazione della forma ax 2 +bx+c=0, dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e \(a \neq 0 \).

I numeri a, b e c sono i coefficienti dell'equazione quadratica. Il numero a è chiamato primo coefficiente, il numero b è il secondo coefficiente e il numero c è il termine libero.

In ciascuna delle equazioni della forma ax 2 +bx+c=0, dove \(a\neq 0\), la potenza più grande della variabile x è un quadrato. Da qui il nome: equazione quadratica.

Si noti che un'equazione quadratica è anche chiamata equazione di secondo grado, poiché il suo lato sinistro è un polinomio di secondo grado.

Equazione quadratica, in cui il coefficiente di x 2 è uguale a 1 si chiama data equazione quadratica. Ad esempio, le equazioni quadratiche fornite sono le equazioni
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Se in un'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0 almeno uno dei coefficienti bo c è uguale a zero, allora tale equazione si chiama Equazione quadratica incompleta. Pertanto, le equazioni -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sono equazioni quadratiche incomplete. Nel primo b=0, nel secondo c=0, nel terzo b=0 e c=0.

Esistono tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:
1) ax 2 +c=0, dove \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, dove \(b \neq 0 \);
3) asse 2 =0.

Consideriamo la risoluzione di equazioni di ciascuno di questi tipi.

Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +c=0 per \(c \neq 0 \), sposta il suo termine libero sul lato destro e dividi entrambi i lati dell'equazione per a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Poiché \(c \neq 0 \), allora \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Se \(-\frac(c)(a)>0\), allora l'equazione ha due radici.

Se \(-\frac(c)(a) Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0 con \(b \neq 0 \) fattorizzarne il lato sinistro e ottenere l'equazione
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

Ciò significa che un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0 per \(b \neq 0 \) ha sempre due radici.

Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 = 0 è equivalente all'equazione x 2 = 0 e quindi ha un'unica radice 0.

Formula per le radici di un'equazione quadratica

Consideriamo ora come risolvere equazioni quadratiche in cui sia i coefficienti delle incognite che il termine libero sono diversi da zero.

Risolviamo l'equazione quadratica in visione generale e come risultato otteniamo la formula per le radici. Questa formula può quindi essere utilizzata per risolvere qualsiasi equazione quadratica.

Risolvi l'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0

Dividendo entrambi i membri per a, otteniamo l'equazione quadratica ridotta equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Trasformiamo questa equazione selezionando il quadrato del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

L'espressione radicale si chiama discriminante di un'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” in latino - discriminatore). È designato con la lettera D, cioè
\(D = b^2-4ac\)

Ora, utilizzando la notazione discriminante, riscriviamo la formula per le radici dell'equazione quadratica:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), dove \(D= b^2-4ac \)

È ovvio che:
1) Se D>0, allora l'equazione quadratica ha due radici.
2) Se D=0, allora l'equazione quadratica ha una radice \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Pertanto, a seconda del valore del discriminante, un'equazione quadratica può avere due radici (per D > 0), una radice (per D = 0) o nessuna radice (per D Quando si risolve un'equazione quadratica utilizzando questo formula, è consigliabile procedere nel seguente modo:
1) calcolare il discriminante e confrontarlo con zero;
2) se il discriminante è positivo o uguale a zero, allora usa la formula della radice; se il discriminante è negativo, allora scrivi che non ci sono radici.

Il teorema di Vieta

L'equazione quadratica data ax 2 -7x+10=0 ha radici 2 e 5. La somma delle radici è 7 e il prodotto è 10. Vediamo che la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente preso con l'opposto segno e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Qualsiasi equazione quadratica ridotta che abbia radici ha questa proprietà.

La somma delle radici dell'equazione quadratica sopra è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero.

Quelli. Il teorema di Vieta afferma che le radici x 1 e x 2 dell'equazione quadratica ridotta x 2 +px+q=0 hanno la proprietà:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

5x(x-4) = 0

5 x = 0 oppure x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Avendo imparato a risolvere le equazioni di primo grado, ovviamente, vuoi lavorare con gli altri, in particolare, con equazioni di secondo grado, altrimenti chiamate quadratiche.

Le equazioni quadratiche sono equazioni come ax² + bx + c = 0, dove la variabile è x, i numeri sono a, b, c, dove a non è uguale a zero.

Se in un'equazione quadratica l'uno o l'altro coefficiente (c o b) è uguale a zero, questa equazione verrà classificata come un'equazione quadratica incompleta.

Come risolvere un'equazione quadratica incompleta se finora gli studenti sono stati in grado di risolvere solo equazioni di primo grado? Considera le equazioni quadratiche incomplete diversi tipi E modi semplici le loro decisioni.

a) Se il coefficiente c è uguale a 0 e il coefficiente b non è uguale a zero, allora ax² + bx + 0 = 0 si riduce a un'equazione della forma ax² + bx = 0.

Per risolvere un'equazione del genere, è necessario conoscere la formula per risolvere un'equazione quadratica incompleta, che consiste nel fattorizzarne il lato sinistro e successivamente utilizzare la condizione che il prodotto sia uguale a zero.

Ad esempio, 5x² - 20x = 0. Fattorizziamo la parte sinistra dell'equazione, eseguendo la consueta operazione matematica: togliendo il fattore comune dalle parentesi

5x(x-4) = 0

Usiamo la condizione che i prodotti siano uguali a zero.

5 x = 0 oppure x - 4 = 0

La risposta sarà: la prima radice è 0; la seconda radice è 4.

b) Se b = 0 e il termine libero non è uguale a zero, l'equazione ax² + 0x + c = 0 si riduce a un'equazione della forma ax² + c = 0. Le equazioni si risolvono in due modi : a) fattorizzando a sinistra il polinomio dell'equazione ; b) utilizzando le proprietà della radice quadrata aritmetica. Tale equazione può essere risolta utilizzando uno dei metodi, ad esempio:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. La risposta sarà: la prima radice è 5/2; la seconda radice è uguale a - 5/2.

c) Se b è uguale a 0 e c è uguale a 0, allora ax² + 0 + 0 = 0 si riduce a un'equazione della forma ax² = 0. In tale equazione x sarà uguale a 0.

Come puoi vedere, le equazioni quadratiche incomplete non possono avere più di due radici.

La trasformazione di un'equazione quadratica completa in una incompleta si presenta così (per il caso \(b=0\)):

Per i casi in cui \(c=0\) o quando entrambi i coefficienti sono uguali a zero, tutto è simile.

Tieni presente che non è possibile che \(a\) sia uguale a zero, poiché in questo caso diventerà:

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete.

Prima di tutto, devi capire che un'equazione quadratica incompleta è pur sempre una , e quindi può essere risolta allo stesso modo di un'equazione quadratica ordinaria (via ). Per fare ciò, aggiungiamo semplicemente la componente mancante dell'equazione con un coefficiente zero.

Esempio : Trova le radici dell'equazione \(3x^2-27=0\)
Soluzione :

		Abbiamo un'equazione quadratica incompleta con coefficiente \(b=0\). Cioè, possiamo scrivere l'equazione il seguente modulo:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		In realtà, questa è la stessa equazione dell'inizio, ma ora può essere risolta come una normale equazione quadratica. Per prima cosa scriviamo i coefficienti.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Calcoliamo il discriminante utilizzando la formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Troviamo le radici dell'equazione usando le formule \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) e \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Scrivi la risposta

Risposta : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Esempio : Trova le radici dell'equazione \(-x^2+x=0\)
Soluzione :

		Ancora una volta un'equazione quadratica incompleta, ma ora il coefficiente \(c\) è uguale a zero. Scriviamo l'equazione come completa.

Equazione quadratica: facile da risolvere! *Di seguito denominato “KU”. Amici, sembrerebbe che in matematica non ci sia niente di più semplice che risolvere un'equazione del genere. Ma qualcosa mi diceva che molte persone hanno problemi con lui. Ho deciso di vedere quante impressioni su richiesta fornisce Yandex al mese. Ecco cosa è successo, guarda:

Cosa significa? Ciò significa che circa 70.000 persone al mese cercano queste informazioni, cosa c’entra quest’estate e cosa accadrà tra anno accademico— ci saranno il doppio delle richieste. Ciò non sorprende, perché queste informazioni sono alla ricerca di quei ragazzi e ragazze che si sono diplomati a scuola molto tempo fa e si stanno preparando per l'esame di stato unificato, e anche gli scolari si sforzano di rinfrescare la loro memoria.

Nonostante ci siano molti siti che spiegano come risolvere questa equazione, ho deciso di contribuire e pubblicare anche il materiale. In primo luogo, voglio che i visitatori arrivino al mio sito in base a questa richiesta; in secondo luogo, in altri articoli, quando verrà affrontato l'argomento "KU", fornirò un collegamento a questo articolo; in terzo luogo, ti dirò qualcosa in più sulla sua soluzione rispetto a quanto solitamente affermato su altri siti. Iniziamo! Contenuto dell'articolo:

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

dove i coefficienti a,Be c sono numeri arbitrari, con a≠0.

Nel corso scolastico, il materiale viene fornito nella seguente forma: le equazioni sono divise in tre classi:

1. Hanno due radici.

2. *Avere una sola radice.

3. Non hanno radici. Vale soprattutto la pena notare qui che non hanno radici vere

Come vengono calcolate le radici? Appena!

Calcoliamo il discriminante. Sotto questa parola “terribile” si nasconde una formula molto semplice:

Le formule di radice sono le seguenti:

*Devi conoscere queste formule a memoria.

Puoi immediatamente scrivere e risolvere:

Esempio:

1. Se D > 0, l'equazione ha due radici.

2. Se D = 0, l'equazione ha una radice.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Consideriamo l'equazione:

A questo proposito, quando il discriminante è pari a zero, il corso scolastico dice che si ottiene una radice, qui è pari a nove. Tutto è corretto, è così, ma...

Questa idea è alquanto errata. In realtà, ci sono due radici. Sì, sì, non sorprenderti, ne risultano due radici uguali, e per essere matematicamente precisi, la risposta dovrebbe contenere due radici:

x1 = 3x2 = 3

Ma è così: una piccola digressione. A scuola puoi scriverlo e dire che esiste una radice.

Ora il prossimo esempio:

Come sappiamo, la radice di numero negativo non viene estratto, quindi in questo caso non esiste alcuna soluzione.

Questo è l'intero processo decisionale.

Funzione quadratica.

Questo mostra come appare geometricamente la soluzione. Questo è estremamente importante da capire (in futuro, in uno degli articoli analizzeremo in dettaglio la soluzione della disuguaglianza quadratica).

Questa è una funzione della forma:

dove x e y sono variabili

a, b, c – dati numeri, con a ≠ 0

Il grafico è una parabola:

Cioè si scopre che risolvendo un'equazione quadratica con “y” uguale a zero, troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Possono esserci due di questi punti (il discriminante è positivo), uno (il discriminante è zero) e nessuno (il discriminante è negativo). Dettagli su funzione quadratica puoi guardare articolo di Inna Feldman.

Diamo un'occhiata agli esempi:

Esempio 1: risolvere 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Risposta: x 1 = 8 x 2 = –12

*È stato possibile dividere immediatamente i lati sinistro e destro dell'equazione per 2, ovvero semplificarla. I calcoli saranno più facili.

Esempio 2: Decidere x2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Abbiamo scoperto che x 1 = 11 e x 2 = 11

È consentito scrivere x = 11 nella risposta.

Risposta: x = 11

Esempio 3: Decidere x2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Il discriminante è negativo, non esiste soluzione nei numeri reali.

Risposta: nessuna soluzione

Il discriminante è negativo. C'è una soluzione!

Qui parleremo della risoluzione dell'equazione nel caso in cui si ottenga un discriminante negativo. Ne sai qualcosa? numeri complessi? Non entrerò qui nei dettagli sul perché e dove sono sorti e quale sia il loro ruolo specifico e la loro necessità in matematica; questo è un argomento per un ampio articolo separato;

Il concetto di numero complesso.

Una piccola teoria.

Un numero complesso z è un numero della forma

z = a + bi

dove sono a e b numeri reali, i è la cosiddetta unità immaginaria.

a+bi – questo è un NUMERO SINGOLO, non un’addizione.

L'unità immaginaria è uguale alla radice di meno uno:

Consideriamo ora l'equazione:

Otteniamo due radici coniugate.

Equazione quadratica incompleta.

Consideriamo casi particolari, ovvero quando il coefficiente “b” o “c” è pari a zero (o entrambi sono pari a zero). Possono essere risolti facilmente senza alcuna discriminante.

Caso 1. Coefficiente b = 0.

L'equazione diventa:

Convertiamo:

Esempio:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Caso 2. Coefficiente c = 0.

L'equazione diventa:

Trasformiamo e fattorizziamo:

*Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Esempio:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 oppure x–5 =0

x1 = 0 x2 = 5

Caso 3. Coefficienti b = 0 e c = 0.

Qui è chiaro che la soluzione dell’equazione sarà sempre x = 0.

Proprietà utili e modelli di coefficienti.

Esistono proprietà che ti consentono di risolvere equazioni con coefficienti grandi.

UNX 2 + bx+ C=0 vale l'uguaglianza

UN + B+ c = 0, Quello

- se per i coefficienti dell'equazione UNX 2 + bx+ C=0 vale l'uguaglianza

UN+ c =B, Quello

Queste proprietà aiutano a risolvere un certo tipo di equazione.

Esempio 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somma delle quote è 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, il che significa

Esempio 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Vale l’uguaglianza UN+ c =B, Significa

Regolarità dei coefficienti.

1. Se nell'equazione ax 2 + bx + c = 0 il coefficiente “b” è uguale a (a 2 +1) e il coefficiente “c” è numericamente uguale al coefficiente “a”, allora le sue radici sono uguali

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Esempio. Considera l'equazione 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x1 = –6 x2 = –1/6.

2. Se nell'equazione ax 2 – bx + c = 0 il coefficiente “b” è uguale a (a 2 +1) e il coefficiente “c” è numericamente uguale al coefficiente “a”, allora le sue radici sono uguali

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Esempio. Considera l'equazione 15x 2 –226x +15 = 0.

x1 = 15 x2 = 1/15.

3. Se nell'eq. ax 2 + bx – c = 0 coefficiente “b” è uguale a (a 2 – 1), e coefficiente “c” è numericamente uguale al coefficiente “a”, allora le sue radici sono uguali

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Esempio. Considera l'equazione 17x 2 +288x – 17 = 0.

x1 = –17 x2 = 1/17.

4. Se nell'equazione ax 2 – bx – c = 0 il coefficiente “b” è uguale a (a 2 – 1) e il coefficiente c è numericamente uguale al coefficiente “a”, allora le sue radici sono uguali

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Esempio. Considera l'equazione 10x 2 – 99x –10 = 0.

x1 = 10 x2 = – 1/10

Il teorema di Vieta.

Il teorema di Vieta prende il nome dal famoso matematico francese François Vieta. Usando il teorema di Vieta, possiamo esprimere la somma e il prodotto delle radici di una KU arbitraria in termini di coefficienti.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

In totale, il numero 14 dà solo 5 e 9. Queste sono le radici. Con una certa abilità, utilizzando il teorema presentato, puoi risolvere oralmente molte equazioni quadratiche immediatamente.

Inoltre il teorema di Vieta. conveniente in quanto dopo aver risolto l'equazione quadratica nel solito modo(attraverso il discriminante) si possono controllare le radici risultanti. Consiglio di farlo sempre.

METODO DI TRASPORTO

Con questo metodo il coefficiente “a” viene moltiplicato per il termine libero, come se gli fosse “gettato”, motivo per cui viene chiamato metodo del "trasferimento". Questo metodo viene utilizzato quando puoi trovare facilmente le radici dell'equazione utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

Se UN± b+c≠ 0, allora viene utilizzata la tecnica del trasferimento, ad esempio:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Usando il teorema di Vieta nell'equazione (2), è facile determinare che x 1 = 10 x 2 = 1

Le radici risultanti dell'equazione devono essere divise per 2 (poiché le due sono state “lanciate” da x 2), otteniamo

x1 = 5 x2 = 0,5.

Qual è la logica? Guarda cosa sta succedendo.

I discriminanti delle equazioni (1) e (2) sono uguali:

Se guardi le radici delle equazioni, ottieni solo denominatori diversi, e il risultato dipende proprio dal coefficiente di x 2:

Il secondo (modificato) ha radici 2 volte più grandi.

Pertanto dividiamo il risultato per 2.

*Se rilanciamo i tre, divideremo il risultato per 3, ecc.

Risposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mq. ur-ie e l'esame di stato unificato.

Ti racconto brevemente la sua importanza: DEVI SAPER DECIDERE velocemente e senza pensare, devi conoscere a memoria le formule delle radici e dei discriminanti. Molti dei problemi inclusi nelle attività dell'Esame di Stato Unificato si riducono alla risoluzione di un'equazione quadratica (incluse quelle geometriche).

Qualcosa che vale la pena notare!

1. La forma di scrittura di un'equazione può essere “implicita”. Ad esempio è possibile la seguente voce:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Devi portarlo qui vista standard(per non confondersi al momento della decisione).

2. Ricorda che x è una quantità sconosciuta e può essere denotata con qualsiasi altra lettera: t, q, p, h e altre.

In questo articolo esamineremo la risoluzione di equazioni quadratiche incomplete.

Ma prima ripetiamo quali equazioni sono chiamate quadratiche. Un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove x è una variabile, e i coefficienti a, b e c sono alcuni numeri, e a ≠ 0, si chiama piazza. Come vediamo, il coefficiente per x 2 non è uguale a zero, e quindi i coefficienti per x o il termine libero possono essere uguali a zero, nel qual caso otteniamo un'equazione quadratica incompleta.

Esistono tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:

1) Se b = 0, c ≠ 0, allora ax 2 + c = 0;

2) Se b ≠ 0, c = 0, allora ax 2 + bx = 0;

3) Se b = 0, c = 0, allora ax 2 = 0.

• Scopriamo come risolvere equazioni della forma ax 2 + c = 0.

Per risolvere l'equazione, spostiamo il termine libero c sul lato destro dell'equazione, otteniamo

asse 2 = ‒s. Poiché a ≠ 0, dividiamo entrambi i membri dell'equazione per a, quindi x 2 = ‒c/a.

Se ‒с/а > 0, l'equazione ha due radici

x = ±√(–c/a) .

Se ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Proviamo a capire con esempi come risolvere tali equazioni.

Esempio 1. Risolvi l'equazione 2x 2 ‒ 32 = 0.

Risposta: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Esempio 2. Risolvi l'equazione 2x 2 + 8 = 0.

Risposta: l'equazione non ha soluzioni.

• Scopriamo come risolverlo equazioni della forma ax 2 + bx = 0.

Per risolvere l'equazione ax 2 + bx = 0, fattorizziamola, cioè togliendo x tra parentesi, otteniamo x(ax + b) = 0. Il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Allora o x = 0, oppure ax + b = 0. Risolvendo l'equazione ax + b = 0, otteniamo ax = - b, da cui x = - b/a. Un'equazione della forma ax 2 + bx = 0 ha sempre due radici x 1 = 0 e x 2 = ‒ b/a. Guarda come appare la soluzione di equazioni di questo tipo nel diagramma.

Consolidiamo la nostra conoscenza con un esempio specifico.

Esempio 3. Risolvi l'equazione 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 oppure 3x – 12 = 0

Risposta: x1 = 0, x2 = 4.

• Equazioni del terzo tipo ax 2 = 0 si risolvono in modo molto semplice.

Se ax 2 = 0, allora x 2 = 0. L'equazione ha due radici uguali x 1 = 0, x 2 = 0.

Per chiarezza, diamo un'occhiata al diagramma.

Quando risolviamo l'Esempio 4 assicuriamoci che equazioni di questo tipo possano essere risolte in modo molto semplice.

Esempio 4. Risolvi l'equazione 7x 2 = 0.

Risposta: x 1, 2 = 0.

Non è sempre immediatamente chiaro quale tipo di equazione quadratica incompleta dobbiamo risolvere. Considera il seguente esempio.

Esempio 5. Risolvi l'equazione

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per denominatore comune, cioè entro 30

Tagliamolo

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Apriamo le parentesi

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Diamo simili

Spostiamo 99 dal lato sinistro dell'equazione a destra, cambiando il segno al contrario

Risposta: nessuna radice.

Abbiamo esaminato come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete. Spero che ora non avrai alcuna difficoltà con tali compiti. Fai attenzione quando determini il tipo di equazione quadratica incompleta, quindi avrai successo.

Se hai domande su questo argomento, iscriviti alle mie lezioni, risolveremo insieme i problemi che si presentano.

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