Logaritmo naturale ln 1. Funzioni LN e LOG per il calcolo del logaritmo naturale in EXCEL

spesso prendi un numero e = 2,718281828 . Vengono chiamati i logaritmi basati su questa base naturale. Quando si eseguono calcoli con logaritmi naturali, è normale operare con il segno lN, non tronco d'albero; mentre il numero 2,718281828 , che definiscono la base, non sono indicati.

In altre parole, la formulazione sarà simile a: logaritmo naturale numeri X- questo è un esponente a cui deve essere elevato un numero e ottenere X.

COSÌ, ln(7.389...)= 2, poiché e 2 =7,389... . Logaritmo naturale del numero stesso e= 1 perché e 1 =e, e il logaritmo naturale dell'unità è zero, poiché e 0 = 1.

Il numero stesso e definisce il limite di una successione limitata monotona

si calcola così e = 2,7182818284... .

Molto spesso, per fissare un numero in memoria, le cifre del numero richiesto sono associate a una data in sospeso. Velocità di memorizzazione delle prime nove cifre di un numero e dopo la virgola aumenterà se notate che il 1828 è l'anno di nascita di Leone Tolstoj!

Oggi esistono tavole abbastanza complete di logaritmi naturali.

Programma logaritmo naturale (funzioni y =lnx) è una conseguenza del grafico esponenziale come immagine speculare della retta y = x ed ha la forma:

Il logaritmo naturale può essere trovato per ogni numero reale positivo UN come l'area sotto la curva sì = 1/X da 1 A UN.

Il carattere elementare di questa formulazione, che è coerente con molte altre formule in cui è coinvolto il logaritmo naturale, è stata la ragione per la formazione del nome “naturale”.

Se analizzi logaritmo naturale, come funzione reale di una variabile reale, allora agisce funzione inversa ad una funzione esponenziale, che si riduce alle identità:

e ln(a) =a (a>0)

ln(ea) =a

Per analogia con tutti i logaritmi, il logaritmo naturale converte la moltiplicazione in addizione, la divisione in sottrazione:

ln(xy) = ln(X) + ln(sì)

ln(x/y)= lnx - lny

Il logaritmo può essere trovato per ogni base positiva che non sia uguale a uno, non solo per e, ma i logaritmi per altre basi differiscono dal logaritmo naturale solo per un fattore costante e sono solitamente definiti in termini di logaritmo naturale.

Dopo aver analizzato grafico del logaritmo naturale, troviamo che esiste per valori positivi della variabile X. Aumenta monotonicamente nel suo dominio di definizione.

A X → 0 il limite del logaritmo naturale è meno infinito ( -∞ ).A x → +∞ il limite del logaritmo naturale è più infinito ( + ∞ ). In generale X Il logaritmo aumenta abbastanza lentamente. Qualsiasi funzione di alimentazione xa con esponente positivo UN aumenta più velocemente del logaritmo. Il logaritmo naturale è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi.

Utilizzo logaritmi naturali molto razionale nel passaggio matematica superiore. Pertanto, l'uso del logaritmo è conveniente per trovare la risposta alle equazioni in cui le incognite appaiono come esponenti. L'uso dei logaritmi naturali nei calcoli consente di semplificare notevolmente gran numero formule matematiche. Logaritmi alla base e sono presenti nella risoluzione di un numero significativo di problemi fisici e sono naturalmente inclusi nella descrizione matematica dei singoli processi chimici, biologici e di altro tipo. Pertanto, i logaritmi vengono utilizzati per calcolare la costante di decadimento per un tempo di dimezzamento noto o per calcolare il tempo di decadimento nella risoluzione di problemi di radioattività. Svolgono un ruolo di primo piano in molte aree della matematica e scienze pratiche, si ricorre a loro nel campo della finanza per risolvere gran numero compiti, compreso il calcolo degli interessi composti.

1.1. Determinazione dell'esponente di un esponente intero

X1 = X
X2 = X*X
X3 = X*X*X
…
X N = X * X * … * X — N volte

1.2. Grado zero.

Per definizione, è generalmente accettato che la potenza zero di qualsiasi numero sia 1:

1.3. Grado negativo.

X -N = 1/X N

1.4. Potenza frazionaria, radice.

X 1/N = N radice di X.

Ad esempio: X 1/2 = √X.

1.5. Formula per aggiungere poteri.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formula per sottrarre poteri.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formula per moltiplicare le potenze.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula per elevare una frazione a potenza.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Numero e.

Il valore del numero e è pari al seguente limite:

E = lim(1+1/N), poiché N → ∞.

Con una precisione di 17 cifre, il numero e è 2.71828182845904512.

3. Uguaglianza di Eulero.

Questa uguaglianza collega cinque numeri che svolgono un ruolo speciale in matematica: 0, 1, e, pi, unità immaginaria.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Funzione esponenziale exp(x)

esp(x) = ex

5. Derivato della funzione esponenziale

La funzione esponenziale ha una proprietà notevole: la derivata della funzione è uguale alla funzione esponenziale stessa:

(esper(x))" = esp(x)

6. Logaritmo.

6.1. Definizione della funzione logaritmo

Se x = b y, la funzione è il logaritmo

Y = logaritmo b(x).

Il logaritmo mostra a quale potenza un numero - la base del logaritmo (b) - deve essere elevato per ottenere un dato numero (X). La funzione logaritmo è definita per X maggiore di zero.

Ad esempio: Log 10 (100) = 2.

6.2. Logaritmo decimale

Questo è il logaritmo in base 10:

Y = Logaritmo 10 (x) .

Indicato con Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Un esempio dell'uso del logaritmo decimale è il decibel.

6.3. Decibel

La voce è evidenziata in una pagina separata Decibel

6.4. Logaritmo binario

Questo è il logaritmo in base 2:

Y = Logaritmo 2 (x).

Denotato con Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Logaritmo naturale

Questo è il logaritmo in base e:

Y = Log e (x) .

Denotato con Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Il logaritmo naturale è la funzione inversa della funzione esponenziale exp(X).

6.6. Punti caratteristici

Loga(1) = 0
Logaritmo a(a) = 1

6.7. Formula del logaritmo del prodotto

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formula per il logaritmo del quoziente

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logaritmo della formula di potenza

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formula per la conversione in un logaritmo con base diversa

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Esempio:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formule utili nella vita

Spesso ci sono problemi nel convertire il volume in area o lunghezza e il problema inverso: convertire l'area in volume. Ad esempio, le tavole vengono vendute in cubi (metri cubi) e dobbiamo calcolare quanta superficie della parete può essere coperta con tavole contenute in un determinato volume, vedere Calcolo delle tavole, quante tavole ci sono in un cubo. Oppure, se si conoscono le dimensioni del muro, è necessario calcolare il numero di mattoni, vedere calcolo dei mattoni.

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Logaritmo naturale

Grafico della funzione logaritmo naturale. La funzione si avvicina lentamente all'infinito positivo man mano che aumenta X e si avvicina rapidamente all'infinito negativo quando X tende a 0 (“lento” e “veloce” rispetto a qualsiasi funzione di potenza di X).

Logaritmo naturaleè il logaritmo in base , Dove e- una costante irrazionale pari a circa 2,718281 828. Il logaritmo naturale è solitamente scritto come ln( X), tronco d'albero e (X) o talvolta semplicemente accedi( X), se la base e implicito.

Logaritmo naturale di un numero X(scritto come ln(x)) è l'esponente a cui deve essere elevato il numero e ottenere X. Per esempio, ln(7.389...)è uguale a 2 perché e 2 =7,389... . Logaritmo naturale del numero stesso e (ln(e)) è uguale a 1 perché e 1 = e, e il logaritmo naturale è 1 ( ln(1)) è uguale a 0 perché e 0 = 1.

Il logaritmo naturale può essere definito per qualsiasi numero reale positivo UN come l'area sotto la curva sì = 1/X da 1 a UN. La semplicità di questa definizione, coerente con molte altre formule che utilizzano il logaritmo naturale, ha portato al nome "naturale". Questa definizione può essere estesa ai numeri complessi, come discusso di seguito.

Se consideriamo il logaritmo naturale come una funzione reale di una variabile reale, allora è la funzione inversa della funzione esponenziale, che porta alle identità:

Come tutti i logaritmi, il logaritmo naturale associa la moltiplicazione all'addizione:

Pertanto, la funzione logaritmica è un isomorfismo del gruppo dei positivi numeri reali riguardante la moltiplicazione per un gruppo di numeri reali mediante addizione, che può essere rappresentata come una funzione:

Il logaritmo può essere definito per qualsiasi base positiva diversa da 1, non solo e, ma i logaritmi per altre basi differiscono dal logaritmo naturale solo per un fattore costante e sono solitamente definiti in termini di logaritmo naturale. I logaritmi sono utili per risolvere equazioni che coinvolgono incognite come esponenti. Ad esempio, i logaritmi vengono utilizzati per trovare la costante di decadimento per un tempo di dimezzamento noto o per trovare il tempo di decadimento nella risoluzione dei problemi di radioattività. Svolgono un ruolo importante in molte aree della matematica e delle scienze applicate e vengono utilizzati in finanza per risolvere molti problemi, incluso il calcolo degli interessi composti.

Storia

La prima menzione del logaritmo naturale fu fatta da Nicholas Mercator nella sua opera Logaritmotecnia, pubblicato nel 1668, sebbene l'insegnante di matematica John Spidell compilò una tavola di logaritmi naturali già nel 1619. Precedentemente era chiamato logaritmo iperbolico perché corrisponde all'area sotto l'iperbole. A volte viene chiamato logaritmo di Napier, sebbene il significato originale di questo termine fosse leggermente diverso.

Convenzioni di designazione

Il logaritmo naturale è solitamente indicato con “ln( X)", logaritmo in base 10 - tramite "lg( X)", e altri motivi sono solitamente indicati esplicitamente con il simbolo "log".

In molti lavori sulla matematica discreta, sulla cibernetica e sull’informatica, gli autori usano la notazione “log( X)" per logaritmi in base 2, ma questa convenzione non è generalmente accettata e richiede chiarimenti nell'elenco delle notazioni utilizzate o (in assenza di tale elenco) mediante una nota a piè di pagina o un commento al primo utilizzo.

Le parentesi attorno all'argomento dei logaritmi (se ciò non porta ad un'errata lettura della formula) vengono solitamente omesse e quando si eleva un logaritmo a potenza, l'esponente viene assegnato direttamente al segno del logaritmo: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistema anglo-americano

Matematici, statistici e alcuni ingegneri solitamente usano per denotare il logaritmo naturale o “log( X)" o "ln( X)", e per denotare il logaritmo in base 10 - "log 10 ( X)».

Alcuni ingegneri, biologi e altri specialisti scrivono sempre “ln( X)" (o occasionalmente "log e ( X)") quando intendono il logaritmo naturale e la notazione "log( X)" significano log 10 ( X).

tronco d'albero eè un logaritmo "naturale" perché si presenta automaticamente e appare molto spesso in matematica. Consideriamo ad esempio il problema della derivata di una funzione logaritmica:

Se la base Bè uguale e, allora la derivata è semplicemente 1/ X e quando X= 1 questa derivata è uguale a 1. Un altro motivo per cui la base e La cosa più naturale riguardo al logaritmo è che può essere definito semplicemente in termini di un integrale semplice o di una serie di Taylor, cosa che non si può dire degli altri logaritmi.

Ulteriori giustificazioni per la naturalezza non sono legate alla notazione. Quindi, ad esempio, ce ne sono diversi righe semplici con logaritmi naturali. Li chiamavano Pietro Mengoli e Nicola Mercatore logaritmo naturale diversi decenni fino a quando Newton e Leibniz svilupparono il calcolo differenziale e integrale.

Definizione

Formalmente ln( UN) può essere definita come l'area sotto la curva del grafico 1/ X da 1 a UN, cioè come integrale:

È veramente un logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale del logaritmo:

Ciò può essere dimostrato assumendo quanto segue:

Valore numerico

Per il calcolo valore numerico logaritmo naturale di un numero, puoi usare la sua espansione in serie di Taylor nella forma:

Ottenere migliore velocità convergenza, possiamo utilizzare la seguente identità:

a condizione che sì = (X−1)/(X+1) e X > 0.

Per ln( X), Dove X> 1, più vicino è il valore X a 1, quindi velocità più veloce convergenza. Le identità associate al logaritmo possono essere utilizzate per raggiungere l'obiettivo:

Questi metodi venivano utilizzati anche prima dell'avvento delle calcolatrici, per le quali venivano utilizzate tabelle numeriche e venivano eseguite manipolazioni simili a quelle sopra descritte.

Alta precisione

Per calcolare il logaritmo naturale con un gran numero di cifre di precisione, la serie di Taylor non è efficace perché la sua convergenza è lenta. Un'alternativa è utilizzare il metodo di Newton per invertire in una funzione esponenziale la cui serie converge più rapidamente.

Un’alternativa per una precisione di calcolo molto elevata è la formula:

Dove M denota la media aritmetico-geometrica di 1 e 4/s, e

M scelto così P si ottengono segni di accuratezza. (Nella maggior parte dei casi, un valore pari a 8 per m è sufficiente.) Infatti, se si utilizza questo metodo, è possibile applicare l'inverso del logaritmo naturale di Newton per calcolare in modo efficiente la funzione esponenziale. (Le costanti ln 2 e pi possono essere precalcolate con la precisione desiderata utilizzando una qualsiasi delle serie note a rapida convergenza.)

Complessità computazionale

La complessità computazionale dei logaritmi naturali (utilizzando la media aritmetico-geometrica) è O( M(N)ln N). Qui Nè il numero di cifre di precisione per le quali deve essere valutato il logaritmo naturale, e M(N) è la complessità computazionale della moltiplicazione di due N numeri a -cifre.

Frazioni continue

Sebbene non esistano frazioni continue semplici per rappresentare un logaritmo, è possibile utilizzare diverse frazioni continue generalizzate, tra cui:

Logaritmi complessi

La funzione esponenziale può essere estesa a una funzione che fornisce un numero complesso della forma e X per qualsiasi numero complesso arbitrario X, in questo caso una serie infinita con complesso X. Questa funzione esponenziale può essere invertita per formare un logaritmo complesso, che avrà soprattutto proprietà dei logaritmi ordinari. Ci sono però due difficoltà: non esiste X, per cui e X= 0, e risulta che e 2πi = 1 = e 0 . Poiché la proprietà della moltiplicatività è valida per una funzione esponenziale complessa, allora e z = e z+2nπi per tutti i complessi z e intero N.

Il logaritmo non può essere definito sull'intero piano complesso, e anche così è multivalore: qualsiasi logaritmo complesso può essere sostituito da un logaritmo "equivalente" aggiungendo qualsiasi multiplo intero di 2 πi. Il logaritmo complesso può essere a valore singolo solo su una fetta del piano complesso. Ad esempio, ln io = 1/2 πi o 5/2 πi o −3/2 πi, ecc., e sebbene io 4 = 1,4 logaritmo io può essere definito come 2 πi, o 10 πi o −6 πi, e così via.

Vedi anche

• John Napier - inventore dei logaritmi

Note

1. Matematica per la chimica fisica. - 3°. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Estratto di pagina 9
2. JJ O'Connor e EF Robertson Il numero e. L'archivio MacTutor History of Mathematics (settembre 2001). Archiviato
3. Cajori Florian Una storia della matematica, 5a ed. - Libreria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashmann, Martin Stima degli integrali mediante polinomi. Archiviata dall'originale il 12 febbraio 2012.

Grafico della funzione logaritmo naturale. La funzione si avvicina lentamente all'infinito positivo man mano che aumenta X e si avvicina rapidamente all'infinito negativo quando X tende a 0 (“lento” e “veloce” rispetto a qualsiasi funzione di potenza di X).

Logaritmo naturaleè il logaritmo in base , Dove e (\displaystyle e)- una costante irrazionale pari a circa 2,72. È indicato come ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) o talvolta semplicemente log ⁡ x (\displaystyle \logx), se la base e (\displaystyle e) implicito. In altre parole, il logaritmo naturale di un numero X- questo è un esponente a cui deve essere elevato un numero e ottenere X. Questa definizione può essere estesa ai numeri complessi.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), Perché e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), Perché e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Il logaritmo naturale può anche essere definito geometricamente per qualsiasi numero reale positivo UN come l'area sotto la curva y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) in mezzo [1; a] (\displaystyle ). La semplicità di questa definizione, che è coerente con molte altre formule che utilizzano questo logaritmo, spiega l'origine del nome "naturale".

Se consideriamo il logaritmo naturale come una funzione reale di una variabile reale, allora è la funzione inversa della funzione esponenziale, che porta alle identità:

e ln ⁡ un = un (un > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e un = un (un > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Come tutti i logaritmi, il logaritmo naturale associa la moltiplicazione all'addizione:

ln ⁡ X y = ln ⁡ X + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Il logaritmo di un numero positivo b in base a (a>0, a non è uguale a 1) è un numero c tale che a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Nota che il logaritmo di un numero non positivo non è definito. Inoltre, la base del logaritmo deve essere un numero positivo che non sia uguale a 1. Ad esempio, se eleviamo al quadrato -2, otteniamo il numero 4, ma questo non significa che il logaritmo in base -2 di 4 sia uguale a 2.

Identità logaritmica di base

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

È importante che l'ambito di definizione dei lati destro e sinistro di questa formula sia diverso. Il lato sinistro è definito solo per b>0, a>0 e a ≠ 1. Il lato destro è definito per qualsiasi b e non dipende affatto da a. Pertanto, l’applicazione dell’“identità” logaritmica di base durante la risoluzione di equazioni e disequazioni può portare a un cambiamento nella OD.

Due ovvie conseguenze della definizione di logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Infatti, elevando il numero a alla prima potenza, otteniamo lo stesso numero, e quando lo eleviamo alla potenza zero, otteniamo uno.

Logaritmo del prodotto e logaritmo del quoziente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Vorrei mettere in guardia gli scolari dall'applicare sconsideratamente queste formule durante la risoluzione equazioni logaritmiche e disuguaglianze. Quando li si utilizza "da sinistra a destra", l'ODZ si restringe e quando si passa dalla somma o differenza dei logaritmi al logaritmo del prodotto o del quoziente, l'ODZ si espande.

Infatti, l'espressione log a (f (x) g (x)) è definita in due casi: quando entrambe le funzioni sono strettamente positive o quando f(x) e g(x) sono entrambe minori di zero.

Trasformando questa espressione nella somma log a f (x) + log a g (x), siamo costretti a limitarci solo al caso in cui f(x)>0 e g(x)>0. Si verifica un restringimento del range dei valori accettabili, e questo è categoricamente inaccettabile, poiché può portare ad una perdita di soluzioni. Un problema simile esiste per la formula (6).

Il grado può essere estratto dal segno del logaritmo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

E ancora una volta vorrei chiedere precisione. Considera il seguente esempio:

Logaritmo a (f (x) 2 = 2 logaritmo a f (x)

Il lato sinistro dell'uguaglianza è ovviamente definito per tutti i valori di f(x) tranne zero. Il lato destro è solo per f(x)>0! Togliendo il grado dal logaritmo, restringiamo nuovamente l'ODZ. La procedura inversa porta ad un ampliamento dell'intervallo di valori accettabili. Tutte queste osservazioni si applicano non solo alla potenza 2, ma anche a qualsiasi potenza pari.

Formula per trasferirsi in una nuova fondazione

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Quel raro caso in cui l'ODZ non cambia durante la trasformazione. Se hai scelto saggiamente la base c (positiva e diversa da 1), la formula per passare a una nuova base è completamente sicura.

Se scegliamo il numero b come nuova base c, otteniamo un importante caso speciale formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Alcuni semplici esempi con i logaritmi

Esempio 1. Calcola: log2 + log50.
Soluzione. log2 + log50 = log100 = 2. Abbiamo utilizzato la formula della somma dei logaritmi (5) e la definizione del logaritmo decimale.

Esempio 2. Calcolare: lg125/lg5.
Soluzione. log125/log5 = log 5 125 = 3. Abbiamo usato la formula per spostarci in una nuova base (8).

Tabella delle formule relative ai logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)