Nel cortile Quando studi l'algebra in una scuola secondaria (grado 9) uno dei argomenti importanti
è lo studio delle sequenze numeriche, che includono progressioni geometriche e aritmetiche. In questo articolo esamineremo una progressione aritmetica ed esempi con soluzioni.
Cos'è una progressione aritmetica?
Per capirlo, è necessario definire la progressione in questione, nonché fornire le formule di base che verranno utilizzate successivamente per risolvere i problemi.
Aritmetica o è un insieme di numeri razionali ordinati, ciascun membro dei quali differisce dal precedente per un valore costante. Questo valore è chiamato differenza. Cioè, conoscendo qualsiasi membro di una serie ordinata di numeri e la differenza, è possibile ripristinare l'intera progressione aritmetica. Facciamo un esempio. La seguente sequenza di numeri sarà una progressione aritmetica: 4, 8, 12, 16, ..., poiché la differenza in questo caso è 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ma l’insieme dei numeri 3, 5, 8, 12, 17 non può più essere attribuito al tipo di progressione in esame, poiché la differenza per esso non è (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
valore costante
Formule importanti Presentiamo ora le formule di base che saranno necessarie per risolvere i problemi utilizzando la progressione aritmetica. Indichiamo con il simbolo a n ennesimo termine
- sequenze in cui n è un numero intero. Indichiamo la differenza con la lettera latina d. Allora valgono le seguenti espressioni:
- Per determinare il valore dell'n-esimo termine è adatta la seguente formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
Per comprendere eventuali esempi di progressione aritmetica con soluzioni in 9a elementare, è sufficiente ricordare queste due formule, poiché eventuali problemi del tipo in esame si basano sul loro utilizzo. Dovresti anche ricordare che la differenza di progressione è determinata dalla formula: d = a n - a n-1.
Esempio n. 1: trovare un termine sconosciuto
Facciamo un semplice esempio di progressione aritmetica e le formule da utilizzare per risolverla.
Lascia che sia data la sequenza 10, 8, 6, 4, ..., devi trovare cinque termini in essa.
Dalle condizioni del problema risulta già che i primi 4 termini sono noti. La quinta può essere definita in due modi:
- Calcoliamo prima la differenza. Abbiamo: d = 8 - 10 = -2. Allo stesso modo, potresti prendere altri due membri qualsiasi uno accanto all'altro. Ad esempio, d = 4 - 6 = -2. Poiché è noto che d = a n - a n-1, allora d = a 5 - a 4, da cui si ottiene: a 5 = a 4 + d. Sostituiamo i valori noti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Anche il secondo metodo richiede la conoscenza della differenza della progressione in questione, quindi è necessario prima determinarla come mostrato sopra (d = -2). Sapendo che il primo termine a 1 = 10, usiamo la formula per il numero n della sequenza. Abbiamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Sostituendo n = 5 nell'ultima espressione, otteniamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Come puoi vedere, entrambe le soluzioni hanno portato allo stesso risultato. Si noti che in questo esempio la differenza di progressione d è un valore negativo. Tali sequenze sono dette decrescenti, poiché ogni termine successivo è minore del precedente.
Esempio n.2: differenza di progressione
Ora complichiamo un po' il compito, forniamo un esempio di come trovare la differenza di una progressione aritmetica.
È noto che in alcune progressioni algebriche il 1° termine è uguale a 6 e il 7° termine è uguale a 18. È necessario trovare la differenza e ripristinare questa sequenza al 7° termine.
Usiamo la formula per determinare il termine sconosciuto: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sostituiamo in essa i dati noti della condizione, cioè i numeri a 1 e a 7, abbiamo: 18 = 6 + 6 * d. Da questa espressione puoi facilmente calcolare la differenza: d = (18 - 6) /6 = 2. Abbiamo così risposto alla prima parte del problema.
Per riportare la sequenza al 7° termine, dovresti usare la definizione di progressione algebrica, cioè a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d e così via. Ripristiniamo di conseguenza l'intera sequenza: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.
Esempio n.3: redazione di una progressione
Complichiamo ancora di più il problema. Ora dobbiamo rispondere alla domanda su come trovare una progressione aritmetica. Si può fare il seguente esempio: vengono dati due numeri, ad esempio 4 e 5. È necessario creare una progressione algebrica in modo che tra questi vengano inseriti altri tre termini.
Prima di iniziare a risolvere questo problema, devi capire quale posto occuperanno i numeri indicati nella progressione futura. Dato che ci saranno altri tre termini tra loro, allora a 1 = -4 e a 5 = 5. Stabilito questo, passiamo al problema, che è simile al precedente. Ancora una volta, per l'ennesimo termine usiamo la formula, otteniamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Da: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Quello che abbiamo qui non è un valore intero della differenza, ma è un numero razionale, quindi le formule per la progressione algebrica rimangono le stesse.
Ora aggiungiamo la differenza trovata a 1 e ripristiniamo i termini mancanti della progressione. Otteniamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, che coincideva con le condizioni del problema.
Esempio n.4: primo termine della progressione
Continuiamo a fornire esempi di progressione aritmetica con soluzioni. In tutti i problemi precedenti era noto il primo numero della progressione algebrica. Consideriamo ora un problema di tipo diverso: siano dati due numeri, dove a 15 = 50 e a 43 = 37. È necessario trovare con quale numero inizia questa sequenza.
Le formule finora utilizzate presuppongono la conoscenza di a 1 e d. Nella dichiarazione del problema non si sa nulla di questi numeri. Tuttavia, scriveremo le espressioni per ciascun termine su cui sono disponibili informazioni: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Abbiamo ricevuto due equazioni in cui ci sono 2 quantità incognite (a 1 e d). Ciò significa che il problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari.
Il modo più semplice per risolvere questo sistema è esprimere un 1 in ciascuna equazione e quindi confrontare le espressioni risultanti. Prima equazione: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; seconda equazione: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Uguagliando queste espressioni, otteniamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, da cui la differenza d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (sono fornite solo 3 cifre decimali).
Conoscendo d, puoi usare una qualsiasi delle 2 espressioni sopra per un 1. Ad esempio, primo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Se hai dubbi sul risultato ottenuto, puoi verificarlo, ad esempio, determinare il 43° termine della progressione, che è specificato nella condizione. Otteniamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Il piccolo errore è dovuto al fatto che nei calcoli è stato utilizzato l'arrotondamento ai millesimi.
Esempio n.5: importo
Consideriamo ora alcuni esempi con soluzioni per la somma di una progressione aritmetica.
Sia data una progressione numerica il seguente tipo: 1, 2, 3, 4, ...,. Come calcolare la somma di 100 di questi numeri?
Grazie allo sviluppo della tecnologia informatica, è possibile risolvere questo problema, ovvero aggiungere tutti i numeri in sequenza, cosa che il computer farà non appena una persona preme il tasto Invio. Tuttavia, il problema può essere risolto mentalmente se si presta attenzione al fatto che la serie di numeri presentata è una progressione algebrica e la sua differenza è uguale a 1. Applicando la formula per la somma, otteniamo: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
È interessante notare che questo problema è chiamato “gaussiano” perché in inizio XVIII secolo, il famoso tedesco, quando aveva solo 10 anni, riuscì a risolverlo mentalmente in pochi secondi. Il ragazzo non conosceva la formula per sommare una progressione algebrica, ma notò che se si sommano a coppie i numeri agli estremi della sequenza si ottiene sempre lo stesso risultato, cioè 1+100=2+99 = 3 + 98 = ..., e poiché queste somme saranno esattamente 50 (100/2), allora per ottenere la risposta corretta è sufficiente moltiplicare 50 per 101.
Esempio n.6: somma dei termini da n a m
Un altro tipico esempio di somma di una progressione aritmetica è il seguente: data una serie di numeri: 3, 7, 11, 15, ..., bisogna trovare a quanto sarà uguale la somma dei suoi termini da 8 a 14 .
Il problema si risolve in due modi. Il primo consiste nel trovare i termini sconosciuti da 8 a 14 e poi sommarli in sequenza. Poiché ci sono pochi termini, questo metodo non richiede molta manodopera. Tuttavia, si propone di risolvere questo problema utilizzando un secondo metodo, più universale.
L'idea è di ottenere una formula per la somma della progressione algebrica tra i termini m e n, dove n > m sono numeri interi. In entrambi i casi scriviamo due espressioni per la somma:
- S m = m * (am + a 1) / 2.
- S n = n * (an + a 1) / 2.
Poiché n > m, è ovvio che la 2a somma include la prima. L'ultima conclusione significa che se prendiamo la differenza tra queste somme e vi aggiungiamo il termine a m (nel caso della differenza, viene sottratto dalla somma S n), otterremo la risposta necessaria al problema. Abbiamo: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). È necessario sostituire le formule per a n e m in questa espressione. Quindi otteniamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
La formula risultante è un po' complicata, tuttavia la somma S mn dipende solo da n, m, a 1 e d. Nel nostro caso a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sostituendo questi numeri, otteniamo: S mn = 301.
Come si può vedere dalle soluzioni di cui sopra, tutti i problemi si basano sulla conoscenza dell'espressione per l'ennesimo termine e della formula per la somma dell'insieme dei primi termini. Prima di iniziare a risolvere uno qualsiasi di questi problemi, si consiglia di leggere attentamente la condizione, comprendere chiaramente cosa si desidera trovare e solo successivamente procedere con la soluzione.
Un altro suggerimento è quello di tendere alla semplicità, cioè se puoi rispondere a una domanda senza utilizzare calcoli matematici complessi, allora devi farlo, poiché in questo caso la probabilità di commettere un errore è inferiore. Ad esempio, nell'esempio di una progressione aritmetica con la soluzione n. 6, ci si potrebbe fermare alla formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e rottura compito comune in sottoattività separate (in questo caso, trova prima i termini a n e a m).
Se si hanno dubbi sul risultato ottenuto si consiglia di verificarlo, come è stato fatto in alcuni degli esempi riportati. Abbiamo scoperto come trovare una progressione aritmetica. Se lo capisci, non è così difficile.
Che cosa il punto principale formule?
Questa formula ti consente di trovare Qualunque CON IL SUO NUMERO" N" .
Naturalmente è necessario conoscere anche il primo termine un 1 e differenza di progressione D beh, senza questi parametri non è possibile scrivere una progressione specifica.
Memorizzare (o cribizzare) questa formula non è sufficiente. È necessario comprenderne l'essenza e applicare la formula a vari problemi. E anche per non dimenticare al momento giusto, sì...) Come non dimenticare- Non lo so. Ma come ricordare Se necessario, ti consiglierò sicuramente. Per coloro che completano la lezione fino alla fine.)
Quindi, diamo un'occhiata alla formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Cos'è una formula in generale - immaginiamo.) Cos'è progressione aritmetica, numero del membro, differenza di progressione - chiaramente indicato nella lezione precedente. A proposito, dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire di cosa si tratta ennesimo termine.
Progressione dentro visione generale può essere scritto come una serie di numeri:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro, un 4- il quarto e così via. Se siamo interessati al quinto termine, diciamo che stiamo lavorando con un 5, se centoventesimo - s un 120.
Come possiamo definirlo in termini generali? Qualunque termine di una progressione aritmetica, con Qualunque numero? Molto semplice! In questo modo:
UN
Questo è tutto ennesimo termine di una progressione aritmetica. La lettera n nasconde tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.
E cosa ci regala un record del genere? Pensa che invece di un numero hanno scritto una lettera...
Questa notazione ci fornisce un potente strumento per lavorare con la progressione aritmetica. Utilizzando la notazione UN, possiamo trovare rapidamente Qualunque membro Qualunque progressione aritmetica. E risolvi un sacco di altri problemi di progressione. Lo vedrai tu stesso ulteriormente.
Nella formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica:
| a n = a 1 + (n-1)d |
un 1- il primo termine di una progressione aritmetica;
N- numero del socio.
La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: UN ; un 1; D E N. Tutti i problemi di progressione ruotano attorno a questi parametri.
La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, il problema potrebbe dire che la progressione è specificata dalla condizione:
un n = 5 + (n-1) 2.
Un problema del genere può essere un vicolo cieco... Non esiste né una serie né una differenza... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 = 5 e d = 2.
E può essere anche peggio!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, Sì, apri le parentesi e portane di simili? Otteniamo una nuova formula:
un n = 3 + 2 n.
Questo Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che si nasconde la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo termine è cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.
Nei problemi di progressione c'è un'altra notazione: un n+1. Questo è, come hai intuito, il termine “n più primo” della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo UN quinto mandato quindi un n+1 sarà il sesto membro. E cose simili.
Molto spesso la designazione un n+1 si trova nelle formule di ricorrenza. Non aver paura di questa parola spaventosa!) Questo è solo un modo per esprimere un membro di una progressione aritmetica attraverso il precedente. Diciamo che ci viene data una progressione aritmetica in questa forma, utilizzando una formula ricorrente:
un n+1 = un n +3
un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8
un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11
Dal quarto al terzo, dal quinto al quarto e così via. Come possiamo contare immediatamente, ad esempio, il ventesimo termine? un 20? Ma non c’è modo!) Finché non troviamo il 19esimo termine, non possiamo contare il 20esimo. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorrente e la formula dell'ennesimo termine. Le opere ricorrenti sono solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine è passante Primo e permette subito trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza calcolare l'intera serie di numeri in ordine.
In una progressione aritmetica è facile trasformare una formula ricorrente in una formula regolare. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza D, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella forma consueta e lavorare con lei. Tali compiti si incontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.
Applicazione della formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Innanzitutto, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:
Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, basandosi semplicemente sul significato di una progressione aritmetica. Aggiungi e aggiungi... Un'ora o due.)
E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.
Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a1 =3, d=1/6. Resta da capire cosa è uguale N. Nessuna domanda! Dobbiamo trovare un 121. Quindi scriviamo:
Per favore presta attenzione! Invece di un indice Nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) A noi interessa il membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà nostro N. Questo è il significato N= 121 lo sostituiremo più avanti nella formula, tra parentesi. Sostituiamo tutti i numeri nella formula e calcoliamo:
a121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Questo è tutto. Altrettanto velocemente si potrebbe trovare il termine cinquecentodieci e il milletreesimo qualunque. Mettiamo invece N numero desiderato nell'indice della lettera" UN" e tra parentesi, e contiamo.
Lascia che ti ricordi il punto: questa formula ti permette di trovare Qualunque termine di progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" N" .
Risolviamo il problema in un modo più astuto. Ci imbattiamo nel seguente problema:
Trovare il primo termine della progressione aritmetica (a n), se a 17 =-2; d=-0,5.
In caso di difficoltà, ti dirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Sì, sì. Scrivi con le mani, direttamente sul tuo quaderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? Disponibile d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... è così? Se pensi che sia tutto, allora non risolverai il problema, sì...
Abbiamo ancora un numero N! In condizioni un 17 =-2 nascosto due parametri. Questo è sia il valore del diciassettesimo termine (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa “sciocchezza” spesso sfugge alla testa, e senza di essa (senza la “sciocchezza”, non la testa!) il problema non si risolve. Anche se... e anche senza testa.)
Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:
un 17 = un 1 + (17-1)·(-0,5)
Oh sì, un 17 sappiamo che è -2. Ok, sostituiamo:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Questo è praticamente tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolarlo. La risposta sarà: un 1 = 6.
Questa tecnica, ovvero scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti, è di grande aiuto in compiti semplici. Beh, ovviamente devi essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica potrebbe non essere studiata affatto...
Un altro puzzle popolare:
Trovare la differenza della progressione aritmetica (a n), se a 1 =2; un 15 = 12.
Cosa stiamo facendo? Rimarrai sorpreso, stiamo scrivendo la formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Consideriamo ciò che sappiamo: a1 =2; un 15 =12; e (lo sottolineerò in particolare!) n=15. Sentiti libero di sostituirlo nella formula:
12=2 + (15-1)d
Facciamo i conti.)
12=2 + 14d
D=10/14 = 5/7
Questa è la risposta corretta.
Quindi, i compiti per un n, un 1 E D deciso. Non resta che imparare come trovare il numero:
Il numero 99 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.
Sostituiamo le quantità a noi note nella formula dell'ennesimo termine:
un n = 12 + (n-1) 3
A prima vista, ci sono due quantità sconosciute qui: una n e una n. Ma UN- questo è un membro della progressione con un numero N...E conosciamo questo membro della progressione! È 99. Non ne conosciamo il numero. N, Quindi questo numero è quello che devi trovare. Sostituiamo il termine della progressione 99 nella formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Esprimiamo dalla formula N, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.
E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):
Determina se il numero 117 è un membro della progressione aritmetica (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Scriviamo di nuovo la formula. Cosa, non ci sono parametri? Hm... Perché ci vengono dati gli occhi?) Vediamo il primo termine della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a1 = -3,6. Differenza D Puoi dirlo dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Quindi, abbiamo fatto la cosa più semplice. Non resta che occuparsi del numero sconosciuto N e l'incomprensibile numero 117. Nel problema precedente almeno si sapeva che era il termine della progressione ad essere dato. Ma qui non sappiamo nemmeno... Cosa fare!? Bene, cosa fare, cosa fare... Accendi creatività!)
Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto N. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì, sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Ancora una volta esprimiamo dalla formulaN, contiamo e otteniamo:
Ops! Il numero è venuto fuori frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari in progressioni non succede. Quale conclusione possiamo trarre? SÌ! Numero 117 non lo è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il centouno e il centoduesimo termine. Se il numero risultasse naturale, ad es. è un numero intero positivo, il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: NO.
Basato sui compiti vera opzione GIA:
La progressione aritmetica è data dalla condizione:
a n = -4 + 6,8 n
Trova il primo e il decimo termine della progressione.
Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.
Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema viene modificata. Il primo termine della progressione aritmetica in esso contenuta nascosto. Va bene, lo troveremo ora.)
Proprio come nei problemi precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:
a1 = -4 + 6,81 = 2,8
Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!
Cerchiamo il decimo termine allo stesso modo:
un 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Questo è tutto.
Ed ora, per chi ha letto queste righe, il bonus promesso.)
Supponiamo che, in una difficile situazione di combattimento dell'Esame di Stato o dell'Esame di Stato Unificato, tu abbia dimenticato la formula utile per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Ricordo qualcosa, ma in modo incerto... Oppure N lì, o n+1, o n-1... Come essere!?
Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non molto rigorosamente, ma per fiducia e la decisione giusta decisamente sufficiente!) Per trarre una conclusione è sufficiente ricordare il significato elementare di una progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di fare un disegno. Per chiarezza.
Disegna una linea numerica e segna la prima su di essa. secondo, terzo, ecc. membri. E notiamo la differenza D tra i membri. In questo modo:
Guardiamo l'immagine e pensiamo: a cosa equivale il secondo termine? Secondo uno D:
UN 2 =a1+ 1 D
Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più due D.
UN 3 =a1+ 2 D
Lo capisci? Non per niente evidenzio alcune parole in grassetto. Ok, ancora un passo).
Qual è il quarto termine? Quarto termine è uguale al primo termine più tre D.
UN 4 =a1+ 3 D
È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. D, Sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando N. Cioè, al numero n, numero di spazi Volere n-1. Pertanto la formula sarà (senza variazioni!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi di matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile tracciare un'immagine, allora... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non è possibile inserire un'immagine nell'equazione...
Compiti per una soluzione indipendente.
Per riscaldarsi:
1. Nella progressione aritmetica (a n) a 2 =3; un 5 =5,1. Trovane 3.
Suggerimento: secondo l'immagine il problema si risolve in 20 secondi... Secondo la formula risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema viene risolto utilizzando sia l'immagine che la formula. Senti la differenza!)
E questo non è più un riscaldamento.)
2. Nella progressione aritmetica (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Trova a 3 .
Cosa, non vuoi fare un disegno?) Certo! Meglio secondo la formula, sì...
3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.
In questa attività, la progressione è specificata in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti sono capaci di un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!
4. Data una progressione aritmetica (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Trova il numero del più piccolo termine positivo della progressione.
5. Secondo le condizioni del compito 4, trova la somma dei termini positivi più piccoli e dei termini negativi più grandi della progressione.
6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è -2,5, e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è zero. Trova un 14.
Non è il compito più semplice, sì...) Il metodo “fingertip” non funzionerà qui. Dovrai scrivere formule e risolvere equazioni.
Risposte (in disordine):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Ha funzionato? È bello!)
Non tutto funziona? Succede. A proposito, dentro ultimo compito C'è un punto sottile. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.
La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento di fantasia per il quarto, e il punto sottile per il sesto, e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema che coinvolga la formula dell'ennesimo termine: tutto è descritto. Lo consiglio.
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Progressione aritmetica nominare una sequenza di numeri (termini di una progressione)
In cui ogni termine successivo differisce dal precedente per un nuovo termine, chiamato anche differenza di passo o progressione.
Pertanto, specificando il passo di progressione e il suo primo termine, puoi trovare qualsiasi dei suoi elementi utilizzando la formula
Proprietà di una progressione aritmetica
1) Ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo numero, è la media aritmetica del membro precedente e successivo della progressione
È vero anche il contrario. Se la media aritmetica dei termini pari (dispari) adiacenti di una progressione è uguale al termine che si trova tra di loro, allora questa sequenza di numeri è una progressione aritmetica. Utilizzando questa istruzione, è molto semplice controllare qualsiasi sequenza.
Inoltre, per la proprietà della progressione aritmetica, la formula di cui sopra può essere generalizzata come segue
Questo è facile da verificare se scrivi i termini a destra del segno uguale
Viene spesso utilizzato nella pratica per semplificare i calcoli nei problemi.
2) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si calcola utilizzando la formula
Ricorda bene la formula per la somma di una progressione aritmetica: è indispensabile nei calcoli e la si trova molto spesso in situazioni semplici della vita;
3) Se hai bisogno di trovare non l'intera somma, ma parte della sequenza a partire dal suo k-esimo termine, allora ti sarà utile la seguente formula di somma
4) Di interesse pratico è trovare la somma di n termini di una progressione aritmetica a partire dal k-esimo numero. Per fare ciò, usa la formula
Questo conclude il materiale teorico e passa alla risoluzione pratica dei problemi comuni.
Esempio 1. Trovare il quarantesimo termine della progressione aritmetica 4;7;...
Soluzione:
Secondo la condizione che abbiamo
Determiniamo il passo di progressione
Utilizzando una formula ben nota troviamo il quarantesimo termine della progressione
Esempio 2.
Soluzione:
Una progressione aritmetica è data dal terzo e dal settimo termine. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.
Scriviamo gli elementi dati della progressione utilizzando le formule
Sottraiamo la prima dalla seconda equazione, di conseguenza troviamo il passaggio di progressione
Sostituiamo il valore trovato in una qualsiasi delle equazioni per trovare il primo termine della progressione aritmetica
Calcoliamo la somma dei primi dieci termini della progressione
Senza utilizzare calcoli complessi, abbiamo trovato tutte le quantità richieste.
Soluzione:
Esempio 3. Una progressione aritmetica è data dal denominatore e da uno dei suoi termini. Trova il primo termine della progressione, la somma dei suoi 50 termini partendo da 50 e la somma dei primi 100.
Scriviamo la formula per il centesimo elemento della progressione
e trova il primo
In base al primo troviamo il cinquantesimo termine della progressione
Trovare la somma delle parti della progressione
L'importo della progressione è 250.
Esempio 4.
Trovare il numero di termini di una progressione aritmetica se:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Soluzione:
Scriviamo le equazioni in termini del primo termine e del passo di progressione e determiniamole
Sostituiamo i valori ottenuti nella formula della somma per determinare il numero di termini nella somma
Effettuiamo semplificazioni
e risolvere l'equazione quadratica
Dei due valori trovati, solo il numero 8 rientra nelle condizioni problematiche. Pertanto la somma dei primi otto termini della progressione è 111.
Esempio 5.
Risolvi l'equazione
1+3+5+...+x=307.
Soluzione: questa equazione è la somma di una progressione aritmetica. Scriviamo il suo primo termine e troviamo la differenza nella progressione
Alcune persone trattano la parola “progressione” con cautela, poiché è un termine molto complesso tratto dalle sezioni matematica superiore. Nel frattempo, la progressione aritmetica più semplice è opera del tassametro (dove esistono ancora). E comprendere l'essenza (e in matematica non c'è niente di più importante che “comprendere l'essenza”) di una sequenza aritmetica non è così difficile, dopo aver analizzato pochi concetti elementari.
Sequenza numerica matematica
Una sequenza numerica è solitamente chiamata serie di numeri, ognuno dei quali ha il proprio numero.
a 1 è il primo membro della sequenza;
e 2 è il secondo termine della sequenza;
e 7 è il settimo membro della sequenza;
e n è l'ennesimo membro della sequenza;
Tuttavia, non ci interessa alcun insieme arbitrario di numeri e numeri. Concentreremo la nostra attenzione su una sequenza numerica in cui il valore dell'ennesimo termine è legato al suo numero ordinale da una relazione che può essere chiaramente formulata matematicamente. In altre parole: valore numerico L'ennesimo numero è una funzione di n.
a è il valore di un membro di una sequenza numerica;
n è il suo numero di serie;
f(n) è una funzione, dove il numero ordinale nella sequenza numerica n è l'argomento.
Definizione
Una progressione aritmetica è solitamente chiamata sequenza numerica in cui ciascun termine successivo è maggiore (minore) del precedente dello stesso numero. La formula per l'ennesimo termine di una sequenza aritmetica è la seguente:
a n - il valore del membro corrente della progressione aritmetica;
a n+1 - formula del numero successivo;
d - differenza (un certo numero).
È facile determinare che se la differenza è positiva (d>0), allora ogni membro successivo della serie in esame sarà maggiore del precedente e tale progressione aritmetica sarà crescente.
Nel grafico sottostante è facile capire perché la sequenza numerica viene chiamata “crescente”.
Nei casi in cui la differenza è negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Valore del membro specificato
A volte è necessario determinare il valore di un termine arbitrario n di una progressione aritmetica. Questo può essere fatto calcolando in sequenza i valori di tutti i membri della progressione aritmetica, partendo dal primo fino a quello desiderato. Tuttavia questo percorso non è sempre accettabile se, ad esempio, è necessario trovare il valore del cinquemillesimo o dell'ottomilionesimo termine. I calcoli tradizionali richiederanno molto tempo. Tuttavia, una progressione aritmetica specifica può essere studiata utilizzando determinate formule. Esiste anche una formula per l'ennesimo termine: il valore di qualsiasi termine di una progressione aritmetica può essere determinato come la somma del primo termine della progressione con la differenza della progressione, moltiplicata per il numero del termine desiderato, ridotta di uno.
La formula è universale per la progressione crescente e decrescente.
Un esempio di calcolo del valore di un determinato termine
Risolviamo il seguente problema di trovare il valore dell'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Condizione: esiste una progressione aritmetica con parametri:
Il primo termine della sequenza è 3;
La differenza nella serie numerica è 1,2.
Compito: devi trovare il valore di 214 termini
Soluzione: per determinare il valore di un dato termine, utilizziamo la formula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Sostituendo i dati della formulazione del problema nell'espressione, abbiamo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Risposta: Il 214esimo termine della sequenza è uguale a 258,6.
I vantaggi di questo metodo di calcolo sono evidenti: l'intera soluzione non richiede più di 2 righe.
Somma di un dato numero di termini
Molto spesso, in una determinata serie aritmetica, è necessario determinare la somma dei valori di alcuni dei suoi segmenti. Per fare ciò non è nemmeno necessario calcolare i valori di ciascun termine e poi sommarli. Questo metodo è applicabile se il numero di termini di cui è necessario trovare la somma è piccolo. Negli altri casi è più conveniente utilizzare la seguente formula.
La somma dei termini di una progressione aritmetica da 1 a n è uguale alla somma del primo e dell'ennesimo termine, moltiplicata per il numero del termine n e divisa per due. Se nella formula si sostituisce il valore dell'ennesimo termine con l'espressione del paragrafo precedente dell'articolo, si ottiene:
Esempio di calcolo
Ad esempio, risolviamo un problema con le seguenti condizioni:
Il primo termine della sequenza è zero;
La differenza è 0,5.
Il problema richiede di determinare la somma dei termini della serie da 56 a 101.
Soluzione. Usiamo la formula per determinare la quantità di progressione:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Per prima cosa determiniamo la somma dei valori di 101 termini della progressione sostituendo le condizioni date del nostro problema nella formula:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525
Ovviamente per trovare la somma dei termini della progressione dalla 56a alla 101a occorre sottrarre S 55 da S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Pertanto, la somma della progressione aritmetica per questo esempio è:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Esempio di applicazione pratica della progressione aritmetica
Alla fine dell'articolo, torniamo all'esempio di una sequenza aritmetica fornita nel primo paragrafo: un tassametro (taxi car meter). Consideriamo questo esempio.
Salire su un taxi (che comprende 3 km di viaggio) costa 50 rubli. Ogni chilometro successivo viene pagato al ritmo di 22 rubli/km. La distanza da percorrere è di 30 km. Calcola il costo del viaggio.
1. Scartiamo i primi 3 km, il cui prezzo è compreso nel costo dello sbarco.
30 - 3 = 27 km.
2. Un ulteriore calcolo non è altro che l'analisi di una serie di numeri aritmetici.
Numero del membro: il numero di chilometri percorsi (meno i primi tre).
Il valore del membro è la somma.
Il primo termine di questo problema sarà pari a 1 = 50 rubli.
Differenza di progressione d = 22 r.
il numero che ci interessa è il valore del (27+1)esimo termine della progressione aritmetica - la lettura del contatore alla fine del 27esimo chilometro è 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
I calcoli dei dati del calendario per un periodo arbitrariamente lungo si basano su formule che descrivono determinate sequenze numeriche. In astronomia, la lunghezza dell'orbita dipende geometricamente dalla distanza del corpo celeste dalla stella. Inoltre, varie serie numeriche vengono utilizzate con successo in statistica e in altre aree applicate della matematica.
Un altro tipo di sequenza numerica è geometrica
La progressione geometrica è caratterizzata da tassi di variazione maggiori rispetto alla progressione aritmetica. Non è un caso che in politica, sociologia e medicina, per mostrare l'elevata velocità di diffusione di un particolare fenomeno, ad esempio una malattia durante un'epidemia, affermino che il processo si sviluppa in progressione geometrica.
L'ennesimo termine della serie di numeri geometrici differisce dal precedente in quanto viene moltiplicato per un numero costante: il denominatore, ad esempio, il primo termine è 1, il denominatore è corrispondentemente uguale a 2, quindi:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - il valore del termine corrente della progressione geometrica;
b n+1 - formula del termine successivo della progressione geometrica;
q è il denominatore della progressione geometrica (un numero costante).
Se il grafico di una progressione aritmetica è una linea retta, una progressione geometrica dipinge un quadro leggermente diverso:
Come nel caso dell'aritmetica, la progressione geometrica ha una formula per il valore di un termine arbitrario. Qualsiasi n-esimo termine di una progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine e del denominatore della progressione alla potenza di n ridotto di uno:
Esempio. Abbiamo una progressione geometrica con il primo termine pari a 3 e il denominatore della progressione pari a 1,5. Troviamo il 5° termine della progressione
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Anche la somma di un determinato numero di termini viene calcolata utilizzando una formula speciale. La somma dei primi n termini di una progressione geometrica è uguale alla differenza tra il prodotto dell'n-esimo termine della progressione e del suo denominatore e il primo termine della progressione, diviso per il denominatore ridotto di uno:
Se b n viene sostituito utilizzando la formula discussa sopra, il valore della somma dei primi n termini della serie numerica considerata assumerà la forma:
Esempio. La progressione geometrica inizia con il primo termine uguale a 1. Il denominatore è posto a 3. Troviamo la somma dei primi otto termini.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.
Che tipo di progressione è questa?
Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.
Qualsiasi sequenza di numeri reali ottenuta aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:
Qui i è il numero seriale dell'elemento della riga a i. Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.
Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.
Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula
Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi calcolarne la somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo dello stesso valore d = 1, allora la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.
Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga, è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n, nonché il numero totale dei termini n;
Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza mentre cercava una soluzione a un problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.
Somma degli elementi da m a n: formula
La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?
Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti presentare il segmento dato da m a n della progressione sotto forma di una nuova serie numerica. In questa rappresentazione, l'm-esimo termine a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Esempio di utilizzo delle formule
Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.
Di seguito una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:
I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:
a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;
a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.
Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, nonché sapendo quali numeri della serie occupano, è possibile utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Risulterà:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.
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