Ristrutturazione casa Se dobbiamo dividere 497 per 4, durante la divisione vedremo che 497 non è equamente divisibile per 4, ad es. rimane il resto della divisione. In questi casi si dice che è completata divisione con resto
, e la soluzione si scrive così:
497: 4 = 124 (1 resto). I componenti della divisione sul lato sinistro dell'uguaglianza hanno lo stesso nome della divisione senza resto: 497 -, 4 - dividendo divisore . Viene chiamato il risultato della divisione quando viene diviso con un resto privato incompleto . Nel nostro caso, questo è il numero 124. E infine, l'ultimo componente, che non è nella divisione ordinaria, è resto . Nei casi in cui non c'è resto si dice che un numero è diviso per un altro senza lasciare traccia, o del tutto
. Si ritiene che con tale divisione il resto sia zero. Nel nostro caso il resto è 1.
Il resto è sempre minore del divisore.
La divisione può essere controllata mediante moltiplicazione. Se, ad esempio, esiste un'uguaglianza 64: 32 = 2, la verifica può essere eseguita in questo modo: 64 = 32 * 2.
Spesso nei casi in cui viene eseguita la divisione con resto, è conveniente utilizzare l'uguaglianza
a = b * n + r,
dove a è il dividendo, b è il divisore, n è il quoziente incompleto, r è il resto.
Il quoziente dei numeri naturali può essere scritto come frazione.
Il numeratore di una frazione è il dividendo e il denominatore è il divisore. Poiché il numeratore di una frazione è il dividendo e il denominatore è il divisore, credere che la linea di una frazione significhi l'azione di divisione
. A volte è conveniente scrivere la divisione come frazione senza utilizzare il segno ":".
Il quoziente della divisione dei numeri naturali m e n può essere scritto come una frazione \(\frac(m)(n) \), dove il numeratore m è il dividendo e il denominatore n è il divisore:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Per ottenere la frazione \(\frac(m)(n)\), devi dividere l'unità in n parti uguali (azioni) e prendere m di tali parti.
Per ottenere la frazione \(\frac(m)(n)\), devi dividere il numero m per il numero n.
Per trovare una parte del tutto, devi dividere il numero corrispondente al tutto per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione che esprime questa parte.
Per trovare un intero dalla sua parte, devi dividere il numero corrispondente a questa parte per il numeratore e moltiplicare il risultato per il denominatore della frazione che esprime questa parte.
Se sia il numeratore che il denominatore di una frazione vengono moltiplicati per lo stesso numero (eccetto zero), il valore della frazione non cambierà:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Se sia il numeratore che il denominatore di una frazione sono divisi per lo stesso numero (eccetto zero), il valore della frazione non cambierà:
\(\grande \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Questa proprietà si chiama proprietà principale di una frazione.
Vengono chiamate le ultime due trasformazioni riducendo una frazione.
Se le frazioni devono essere rappresentate come frazioni con lo stesso denominatore, viene chiamata questa azione portare le frazioni a un denominatore comune.
Frazioni proprie e improprie. Numeri misti
Sai già che una frazione può essere ottenuta dividendo un intero in parti uguali e prendendo diverse parti simili. Ad esempio, la frazione \(\frac(3)(4)\) significa tre quarti di uno. In molti problemi del paragrafo precedente frazioni comuni usato per indicare una parte di un tutto. Buon senso suggerisce che la parte dovrebbe essere sempre minore dell'intero, ma che dire delle frazioni come, ad esempio, \(\frac(5)(5)\) o \(\frac(8)(5)\)? È chiaro che questo non fa più parte dell'unità. Questo è probabilmente il motivo per cui vengono chiamate frazioni il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore frazioni improprie. Vengono chiamate le restanti frazioni, cioè le frazioni il cui numeratore è inferiore al denominatore frazioni corrette.
Come sai, qualsiasi frazione comune, sia propria che impropria, può essere pensata come il risultato della divisione del numeratore per il denominatore. Pertanto in matematica, a differenza del linguaggio comune, il termine “frazione impropria” non significa che abbiamo fatto qualcosa di sbagliato, ma solo che il numeratore di questa frazione è maggiore o uguale al denominatore.
Se un numero è composto da una parte intera e da una frazione, allora le frazioni si dicono miste.
Per esempio:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 è la parte intera e \(\frac(2)(3) \) è la parte frazionaria.
Se il numeratore della frazione \(\frac(a)(b)\) è divisibile per numero naturale n, quindi per dividere questa frazione per n, devi dividere il suo numeratore per questo numero:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Se il numeratore della frazione \(\frac(a)(b) \) non è divisibile per un numero naturale n, per dividere questa frazione per n, devi moltiplicare il suo denominatore per questo numero:
\(\grande \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Si noti che la seconda regola è vera anche quando il numeratore è divisibile per n. Pertanto possiamo usarlo quando è difficile determinare a prima vista se il numeratore di una frazione è divisibile per n oppure no.
Azioni con frazioni. Aggiunta di frazioni.
Puoi eseguire operazioni aritmetiche con numeri frazionari, proprio come con i numeri naturali. Consideriamo prima l'addizione delle frazioni. È facile sommare frazioni con denominatori simili. Troviamo, ad esempio, la somma di \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3)(7)\). È facile capire che \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.
Usando le lettere, la regola per sommare frazioni con denominatori simili può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Se devi aggiungere frazioni con denominatori diversi, allora devono prima essere ricondotti ad un denominatore comune. Per esempio:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Per le frazioni, come per i numeri naturali, valgono le proprietà commutative e associative dell'addizione.
Aggiunta di frazioni miste
Vengono chiamate notazioni come \(2\frac(2)(3)\). frazioni miste. In questo caso viene chiamato il numero 2 intera parte frazione mista e il numero \(\frac(2)(3)\) è suo parte frazionaria. La voce \(2\frac(2)(3)\) si legge così: “due e due terzi”.
Dividendo il numero 8 per il numero 3, puoi ottenere due risposte: \(\frac(8)(3)\) e \(2\frac(2)(3)\). Esprimono lo stesso numero frazionario, ovvero \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Pertanto, la frazione impropria \(\frac(8)(3)\) è rappresentata come frazione mista \(2\frac(2)(3)\). In questi casi lo dicono da una frazione impropria evidenziata tutta la parte.
Sottrazione di frazioni (numeri frazionari)
La sottrazione dei numeri frazionari, come i numeri naturali, è determinata sulla base dell'azione dell'addizione: sottrarne un altro da un numero significa trovare un numero che, sommato al secondo, dà il primo. Per esempio:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) poiché \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
La regola per sottrarre frazioni con denominatori simili è simile alla regola per aggiungere tali frazioni:
Per trovare la differenza tra frazioni con lo stesso denominatore, devi sottrarre il numeratore della seconda dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore.
Usando le lettere, questa regola è scritta in questo modo:
\(\grande \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Moltiplicazione delle frazioni
Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori e scrivere il primo prodotto come numeratore e il secondo come denominatore.
Usando le lettere, la regola per moltiplicare le frazioni può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Usando la regola formulata, puoi moltiplicare una frazione per un numero naturale, per una frazione mista e anche moltiplicare frazioni miste. Per fare ciò, devi scrivere un numero naturale come frazione con denominatore 1 e una frazione mista come frazione impropria.
Il risultato della moltiplicazione va semplificato (se possibile) riducendo la frazione e isolando tutta la parte impropria.
Per le frazioni, come per i numeri naturali, valgono le proprietà commutative e combinatorie della moltiplicazione, nonché la proprietà distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione.
Divisione di frazioni
Prendiamo la frazione \(\frac(2)(3)\) e “capovolgiamola”, scambiando numeratore e denominatore. Otteniamo la frazione \(\frac(3)(2)\). Questa frazione si chiama inversione frazioni \(\frac(2)(3)\).
Se ora “invertiamo” la frazione \(\frac(3)(2)\), otterremo la frazione originale \(\frac(2)(3)\). Pertanto, le frazioni come \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) sono chiamate reciprocamente inverso.
Ad esempio, le frazioni \(\frac(6)(5) \) e \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) e \(\frac (18 )(7)\).
Utilizzando le lettere, le frazioni reciproche possono essere scritte come segue: \(\frac(a)(b) \) e \(\frac(b)(a) \)
Questo è chiaro il prodotto delle frazioni reciproche è uguale a 1. Ad esempio: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Utilizzando le frazioni reciproche, puoi ridurre la divisione delle frazioni alla moltiplicazione.
La regola per dividere una frazione per una frazione è:
Per dividere una frazione per un'altra è necessario moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.
Usando le lettere, la regola per dividere le frazioni può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Se il dividendo o il divisore è un numero naturale o una frazione mista, per poter utilizzare la regola per dividere le frazioni è necessario prima rappresentarlo come frazione impropria.
La riduzione delle frazioni è necessaria per ridurre la frazione a una forma più semplice, ad esempio, nella risposta ottenuta come risultato della risoluzione di un'espressione.
Riduzione delle frazioni, definizione e formula.
Cos'è la riduzione delle frazioni? Cosa significa ridurre una frazione?
Definizione:
Riduzione delle frazioni- questa è la divisione del numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero positivo diverso da zero e uno. Come risultato della riduzione, si ottiene una frazione con numeratore e denominatore più piccoli, uguale alla frazione precedente secondo.
Formula per ridurre le frazioni proprietà fondamentali dei numeri razionali.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Diamo un'occhiata ad un esempio:
Riduci la frazione \(\frac(9)(15)\)
Soluzione:
Possiamo scomporre una frazione in fattori primi e cancellare i fattori comuni.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(rosso) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Risposta: dopo la riduzione abbiamo ottenuto la frazione \(\frac(3)(5)\). Secondo la proprietà fondamentale dei numeri razionali, la frazione originale e quella risultante sono uguali.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Come ridurre le frazioni? Ridurre una frazione alla sua forma irriducibile.
Per ottenere una frazione irriducibile come risultato, abbiamo bisogno trovare il massimo comun divisore (MCD) per il numeratore e il denominatore della frazione.
Esistono diversi modi per trovare MCD; nell'esempio utilizzeremo la scomposizione dei numeri in fattori primi.
Ottieni la frazione irriducibile \(\frac(48)(136)\).
Soluzione:
Troviamo MCD(48, 136). Scriviamo i numeri 48 e 136 in fattori primi.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
MCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(rosso) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(rosso) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(rosso) (6) \times 2 \times 3)(\color(rosso) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
La regola per ridurre una frazione alla forma irriducibile.
- Dobbiamo trovare il massimo comun divisore per il numeratore e il denominatore.
- Per ottenere una frazione irriducibile è necessario dividere numeratore e denominatore per il massimo comun divisore.
Esempio:
Riduci la frazione \(\frac(152)(168)\).
Soluzione:
Troviamo MCD(152, 168). Scriviamo i numeri 152 e 168 in fattori primi.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
MCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(rosso) (6) \times 19)(\color(rosso) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Risposta: \(\frac(19)(21)\) è una frazione irriducibile.
Ridurre le frazioni improprie.
Come ridurre una frazione impropria?
Le regole per ridurre le frazioni sono le stesse sia per le frazioni proprie che per quelle improprie.
Diamo un'occhiata ad un esempio:
Riduci la frazione impropria \(\frac(44)(32)\).
Soluzione:
Scriviamo il numeratore e il denominatore in fattori semplici. E poi ridurremo i fattori comuni.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Riduzione delle frazioni miste.
Le frazioni miste seguono le stesse regole delle frazioni ordinarie. L'unica differenza è che possiamo non toccare l'intera parte, ma ridurre la parte frazionaria O Converti la frazione mista in frazione impropria, riducila e riconvertila in frazione propria.
Diamo un'occhiata ad un esempio:
Annulla la frazione mista \(2\frac(30)(45)\).
Soluzione:
Risolviamolo in due modi:
Primo modo:
Scriviamo la parte frazionaria in fattori semplici, ma non toccheremo la parte intera.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Secondo modo:
Convertiamolo prima in una frazione impropria, quindi scriviamolo in fattori primi e riduciamolo. Convertiamo la frazione impropria risultante in una frazione propria.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Domande correlate:
Puoi ridurre le frazioni quando aggiungi o sottrai?
Risposta: no, devi prima aggiungere o sottrarre le frazioni secondo le regole e solo dopo ridurle. Diamo un'occhiata ad un esempio:
Valutare l'espressione \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Soluzione:
Spesso si commette l'errore di ridurre gli stessi numeri al numeratore e al denominatore, nel nostro caso il numero 20, ma non è possibile ridurli finché non si sono completate l'addizione e la sottrazione.
\(\frac(50+\color(rosso) (20)-10)(\color(rosso) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Di quali numeri puoi ridurre una frazione?
Risposta: puoi ridurre una frazione del massimo comun divisore o del comune divisore del numeratore e del denominatore. Ad esempio, la frazione \(\frac(100)(150)\).
Scriviamo i numeri 100 e 150 in fattori primi.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Il massimo comun divisore sarà il numero MCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Abbiamo ottenuto la frazione irriducibile \(\frac(2)(3)\).
Ma non è necessario dividere sempre per MCD; non sempre è necessaria una frazione irriducibile; è possibile ridurre la frazione con un semplice divisore del numeratore e del denominatore. Ad esempio, i numeri 100 e 150 hanno un divisore comune pari a 2. Riduciamo la frazione \(\frac(100)(150)\) di 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Abbiamo ottenuto la frazione riducibile \(\frac(50)(75)\).
Quali frazioni possono essere ridotte?
Risposta: puoi ridurre le frazioni in cui numeratore e denominatore hanno un divisore comune. Ad esempio, la frazione \(\frac(4)(8)\). I numeri 4 e 8 hanno un numero per il quale sono entrambi divisibili: il numero 2. Pertanto, tale frazione può essere ridotta del numero 2.
Esempio:
Confronta le due frazioni \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(8)(12)\).
Queste due frazioni sono uguali. Diamo uno sguardo più da vicino alla frazione \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)
Da qui otteniamo \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Due frazioni sono uguali se e solo se una di esse si ottiene riducendo l'altra frazione per il fattore comune del numeratore e del denominatore.
Esempio:
Se possibile, ridurre le seguenti frazioni: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Soluzione:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) frazione irriducibile
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ per 5)=\frac(2)(5)\)
Divisione e il numeratore e il denominatore della frazione su di loro divisore comune, diverso da uno, si chiama riducendo una frazione.
Per ridurre una frazione comune, devi dividerne il numeratore e il denominatore per lo stesso numero naturale.
Questo numero è il massimo comun divisore del numeratore e del denominatore della frazione data.
Sono possibili le seguenti operazioni moduli di registrazione delle decisioni Esempi per ridurre le frazioni comuni.
Lo studente ha la facoltà di scegliere qualsiasi forma di registrazione.
Esempi. Semplificare le frazioni.
Riduci la frazione per 3 (dividi il numeratore per 3;
dividere il denominatore per 3).
Riduci la frazione di 7.
Eseguiamo le azioni indicate nel numeratore e nel denominatore della frazione.
La frazione risultante viene ridotta di 5.
Riduciamo questa frazione 4)
SU 5·7³- il massimo comun divisore (MCD) del numeratore e del denominatore, che è costituito dai fattori comuni del numeratore e del denominatore, elevati alla potenza con l'esponente più piccolo.
Scomponiamo in fattori primi il numeratore e il denominatore di questa frazione.
Otteniamo: 756=2²·3³·7 E 1176=2³·3·7².
Determina il MCD (massimo comun divisore) del numeratore e del denominatore della frazione 5) .
Questo è il prodotto dei fattori comuni presi con gli esponenti più bassi.
mcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Dividiamo il numeratore e il denominatore di questa frazione per il loro mcd, cioè per 2²·3·7 otteniamo una frazione irriducibile 9/14
.
Oppure era possibile scrivere la scomposizione del numeratore e del denominatore sotto forma di prodotto di fattori primi, senza utilizzare il concetto di potenza, e quindi ridurre la frazione cancellando gli stessi fattori nel numeratore e nel denominatore. Quando non rimangono più fattori identici, moltiplichiamo i fattori rimanenti separatamente al numeratore e separatamente al denominatore e scriviamo la frazione risultante 9/14 .
E finalmente è stato possibile ridurre questa frazione 5) gradualmente, applicando i segni di divisione dei numeri sia al numeratore che al denominatore della frazione. Ragioniamo così: numeri 756 E 1176 terminano con un numero pari, il che significa che entrambi sono divisibili per 2 . Riduciamo la frazione di 2 . Il numeratore e il denominatore della nuova frazione sono numeri 378 E 588 anche diviso in 2 . Riduciamo la frazione di 2 . Notiamo che il numero 294 - anche, e 189 è dispari e la riduzione di 2 non è più possibile. Controlliamo la divisibilità dei numeri 189 E 294 SU 3 .
(1+8+9)=18 è divisibile per 3 e (2+9+4)=15 è divisibile per 3, da qui i numeri stessi 189 E 294 sono divisi in 3 . Riduciamo la frazione di 3 . Prossimo, 63 è divisibile per 3 e 98 - NO. Consideriamo altri fattori primi. Entrambi i numeri sono divisibili per 7 . Riduciamo la frazione di 7 e otteniamo la frazione irriducibile 9/14 .
I bambini a scuola imparano le regole per ridurre le frazioni in 6a elementare. In questo articolo ti diremo prima cosa significa questa azione, poi spiegheremo come convertire una frazione riducibile in una frazione irriducibile. Il punto successivo saranno le regole per ridurre le frazioni, quindi passeremo gradualmente agli esempi.
Cosa significa "ridurre una frazione"?
Quindi, sappiamo tutti che le frazioni ordinarie si dividono in due gruppi: riducibili e irriducibili. Già dai nomi si capisce che quelli che sono contrattabili sono contratti, e quelli irriducibili non sono contratti.
- Ridurre una frazione significa dividere il suo denominatore e numeratore per il loro (diverso da uno) divisore positivo. Il risultato, ovviamente, è una nuova frazione con denominatore e numeratore più piccoli. La frazione risultante sarà uguale alla frazione originale.
Vale la pena notare che nei libri di matematica con il compito di "ridurre una frazione", ciò significa che è necessario ridurre la frazione originale a questa forma irriducibile. Se parliamo in parole semplici, allora dividere denominatore e numeratore per il loro massimo comun divisore è una riduzione.
Come ridurre una frazione. Regole per ridurre le frazioni (grado 6)
Quindi ci sono solo due regole qui.
- La prima regola per ridurre le frazioni è trovare prima il massimo comun divisore del denominatore e del numeratore della frazione.
- La seconda regola: dividere denominatore e numeratore per il massimo comun divisore, ottenendo alla fine una frazione irriducibile.
Come ridurre una frazione impropria?
Le regole per ridurre le frazioni sono identiche alle regole per ridurre le frazioni improprie.
Per ridurre una frazione impropria, devi prima scomporre il denominatore e il numeratore in fattori primi e solo dopo ridurre i fattori comuni.
Riduzione delle frazioni miste
Le regole per la riduzione delle frazioni si applicano anche alla riduzione delle frazioni miste. C'è solo una piccola differenza: non possiamo toccare la parte intera, ma ridurre la frazione oppure convertire la frazione mista in frazione impropria, per poi ridurla e riconvertirla nuovamente in frazione propria.
Esistono due modi per ridurre le frazioni miste.
Primo: scrivi la parte frazionaria in fattori primi e poi lascia stare l'intera parte.
Il secondo modo: prima convertirlo in una frazione impropria, scriverlo in fattori ordinari, quindi ridurre la frazione. Converti la frazione impropria già ottenuta in una frazione propria.
Gli esempi possono essere visti nella foto sopra.
Speriamo davvero di essere stati in grado di aiutare te e i tuoi figli. Dopotutto, spesso sono disattenti in classe, quindi devono studiare più intensamente a casa da soli.
Questo articolo continua il tema della trasformazione frazioni algebriche: considera un'azione come la riduzione delle frazioni algebriche. Definiamo il termine stesso, formuliamo una regola di riduzione e analizziamo esempi pratici.
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Il significato di ridurre una frazione algebrica
Nei materiali sulle frazioni comuni, abbiamo esaminato la sua riduzione. Abbiamo definito la riduzione di una frazione come la divisione del suo numeratore e denominatore per un fattore comune.
Ridurre una frazione algebrica è un'operazione simile.
Definizione 1
Riduzione di una frazione algebricaè la divisione del suo numeratore e denominatore per un fattore comune. In questo caso, a differenza della riduzione di una frazione ordinaria (il denominatore comune può essere solo un numero), il fattore comune del numeratore e del denominatore di una frazione algebrica può essere un polinomio, in particolare un monomio o un numero.
Ad esempio, la frazione algebrica 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 può essere ridotta del numero 3, risultando: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Possiamo ridurre la stessa frazione con la variabile x, e questo ci darà l'espressione 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. È anche possibile ridurre una data frazione con un monomio 3 volte o uno qualsiasi dei polinomi x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y oppure 3 x 2 + 6 x y.
L'obiettivo finale della riduzione di una frazione algebrica è una frazione maggiore di tipo semplice, V scenario migliore– frazione irriducibile.
Tutte le frazioni algebriche sono soggette a riduzione?
Ancora una volta, dai materiali sulle frazioni ordinarie, sappiamo che esistono frazioni riducibili e irriducibili. Le frazioni irriducibili sono frazioni che non hanno numeratore e denominatore comuni diversi da 1.
È lo stesso con le frazioni algebriche: possono avere fattori comuni al numeratore e al denominatore, oppure no. La presenza di fattori comuni consente di semplificare la frazione originaria mediante riduzione. Quando non esistono fattori comuni, è impossibile ottimizzare una data frazione utilizzando il metodo di riduzione.
In generale, data la tipologia della frazione, è abbastanza difficile capire se sia possibile ridurla. Naturalmente in alcuni casi la presenza di un fattore comune tra numeratore e denominatore è evidente. Ad esempio, nella frazione algebrica 3 x 2 3 y è chiaro che il divisore comune è il numero 3.
Nella frazione - x · y 5 · x · y · z 3 capiamo subito anche che può essere ridotta di x, oppure y, oppure x · y. Eppure, molto più spesso ci sono esempi di frazioni algebriche, quando il fattore comune del numeratore e del denominatore non è così facile da vedere, e ancora più spesso è semplicemente assente.
Ad esempio, possiamo ridurre la frazione x 3 - 1 x 2 - 1 di x - 1, mentre il fattore comune specificato non è presente nella voce. Ma la frazione x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 non può essere ridotta, poiché numeratore e denominatore non hanno un fattore comune.
Pertanto, la questione della determinazione della riducibilità di una frazione algebrica non è così semplice, e spesso è più facile lavorare con una frazione di una determinata forma piuttosto che cercare di scoprire se è riducibile. In questo caso si verificano trasformazioni tali che in casi particolari consentono di determinare il fattore comune del numeratore e del denominatore o di trarre una conclusione sull'irriducibilità di una frazione. Esamineremo la questione in dettaglio nel paragrafo successivo dell’articolo.
Regola per ridurre le frazioni algebriche
Regola per ridurre le frazioni algebriche consiste in due azioni sequenziali:
- trovare i fattori comuni del numeratore e del denominatore;
- se ve ne sono, l'azione di riduzione della frazione viene effettuata direttamente.
Il metodo più conveniente per trovare denominatori comuni è fattorizzare i polinomi presenti nel numeratore e nel denominatore di una data frazione algebrica. Ciò consente di vedere immediatamente chiaramente la presenza o l'assenza di fattori comuni.
L'azione stessa di ridurre una frazione algebrica si basa sulla proprietà principale di una frazione algebrica, espressa dall'uguaglianza indefinita, dove a, b, c sono alcuni polinomi e b e c sono diversi da zero. Il primo passo è ridurre la frazione alla forma a · c b · c, nella quale notiamo subito il divisore comune c. Il secondo passo è eseguire una riduzione, ovvero transizione a una frazione della forma a b .
Esempi tipici
Nonostante alcune ovvietà, facciamo chiarezza in merito caso speciale quando il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica sono uguali. Frazioni simili sono identicamente uguali a 1 sull'intera ODZ delle variabili di questa frazione:
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2x3 - 3, 2x3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Poiché le frazioni ordinarie sono un caso speciale di frazioni algebriche, ricordiamo come vengono ridotte. I numeri naturali scritti al numeratore e al denominatore vengono scomposti in fattori primi, quindi i fattori comuni vengono cancellati (se presenti).
Ad esempio, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Il prodotto di semplici fattori identici può essere scritto come potenze e, nel processo di riduzione di una frazione, utilizzare la proprietà di dividere le potenze con per gli stessi motivi. Quindi la soluzione di cui sopra sarebbe:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(numeratore e denominatore divisi per un fattore comune 2 2 3). Oppure per chiarezza, in base alle proprietà di moltiplicazione e divisione, diamo alla soluzione la seguente forma:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Per analogia, viene eseguita la riduzione delle frazioni algebriche, in cui il numeratore e il denominatore hanno monomi con coefficienti interi.
Esempio 1
La frazione algebrica è data: 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. È necessario ridurlo.
Soluzione
È possibile scrivere il numeratore e il denominatore di una data frazione come prodotto di fattori e variabili semplici, e quindi effettuare la riduzione:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9a32c6
Tuttavia, un modo più razionale sarebbe scrivere la soluzione come un'espressione con poteri:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Risposta:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Quando il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica contengono coefficienti numerici frazionari, ci sono due modi possibili di ulteriore azione: dividere questi coefficienti frazionari separatamente o prima eliminare i coefficienti frazionari moltiplicando il numeratore e il denominatore per un numero naturale. L'ultima trasformazione viene eseguita a causa della proprietà di base della frazione algebrica (puoi leggerla nell'articolo "Ridurre una frazione algebrica a un nuovo denominatore").
Esempio 2
La frazione data è 2 5 x 0, 3 x 3. È necessario ridurlo.
Soluzione
È possibile ridurre la frazione in questo modo:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Proviamo a risolvere il problema in modo diverso, dopo aver eliminato i coefficienti frazionari: moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per il minimo comune multiplo dei denominatori di questi coefficienti, ad es. su MCM (5, 10) = 10. Quindi otteniamo:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Risposta: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Quando riduciamo le frazioni algebriche visione generale, in cui numeratori e denominatori possono essere monomi o polinomi, potrebbe esserci un problema quando il fattore comune non è sempre immediatamente visibile. O ancora, semplicemente non esiste. Quindi, per determinare il fattore comune o registrare il fatto della sua assenza, vengono scomposti il numeratore e il denominatore della frazione algebrica.
Esempio 3
È data la frazione razionale 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. È necessario ridurlo.
Soluzione
Fattorizziamo i polinomi al numeratore e al denominatore. Togliamolo dalle parentesi:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vediamo che l'espressione tra parentesi può essere convertita utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Si vede chiaramente che è possibile ridurre una frazione con un fattore comune b2 (a+7). Facciamo una riduzione:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Scriviamo una breve soluzione senza spiegazione come una catena di uguaglianze:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Risposta: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Succede che i fattori comuni sono nascosti da coefficienti numerici. Quindi, quando si riducono le frazioni, è ottimale mettere tra parentesi i fattori numerici alle potenze più elevate del numeratore e del denominatore.
Esempio 4
Data la frazione algebrica 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . È necessario ridurlo se possibile.
Soluzione
A prima vista, il numeratore e il denominatore non esistono denominatore comune. Proviamo però a convertire la frazione data. Togliamo il fattore x dal numeratore:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Ora puoi vedere qualche somiglianza tra l'espressione tra parentesi e l'espressione al denominatore dovuta a x 2 y . Togliamo i coefficienti numerici delle potenze superiori di questi polinomi:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Ora che il fattore comune diventa visibile, effettuiamo la riduzione:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Risposta: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Sottolineiamo che l'abilità di ridurre le frazioni razionali dipende dalla capacità di fattorizzare i polinomi.
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