Le proprietà delle radici sono alla base delle due trasformazioni successive, chiamate portarle sotto il segno della radice e portarle fuori da sotto il segno della radice, alle quali ora ci rivolgiamo.
Inserimento di un moltiplicatore sotto il segno della radice
Introdurre un moltiplicatore sotto il segno implica sostituire l'espressione , dove B e C sono alcuni numeri o espressioni, e n è numero naturale, maggiore di uno, è identicamente uguale a un'espressione della forma o .
Per esempio, espressione irrazionale dopo aver introdotto un fattore 2 sotto il segno della radice, assume la forma .
Le basi teoriche di questa trasformazione, le regole per la sua attuazione, nonché le soluzioni a varie esempi tipici riportato nell'articolo che introduce un moltiplicatore sotto il segno della radice.
Rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice
Trasformazione in in un certo senso L'inverso dell'aggiunta di un moltiplicatore sotto il segno della radice è togliere il moltiplicatore da sotto il segno della radice. Consiste nel rappresentare la radice come prodotto per n dispari o come prodotto per n pari, dove B e C sono alcuni numeri o espressioni.
Per fare un esempio, torniamo al paragrafo precedente: l’espressione irrazionale, tolto il fattore sotto il segno della radice, assume la forma . Un altro esempio: rimuovendo il fattore da sotto il segno della radice nell'espressione si ottiene il prodotto, che può essere riscritto come .
Su cosa si basa questa trasformazione e con quali regole viene effettuata, esamineremo in un articolo a parte la rimozione del moltiplicatore da sotto il segno della radice. Lì forniremo anche soluzioni ad esempi ed elencheremo modi per ridurre un'espressione radicale a una forma conveniente per la moltiplicazione.
Conversione di frazioni contenenti radici
Le espressioni irrazionali possono contenere frazioni che hanno radici nel numeratore e nel denominatore. Con tali frazioni puoi eseguire qualsiasi operazione di base trasformazioni di identità delle frazioni.
Innanzitutto, nulla ti impedisce di lavorare con espressioni al numeratore e al denominatore. Ad esempio, considera la frazione. L'espressione irrazionale al numeratore è ovviamente identicamente uguale a , e ricorrendo alle proprietà delle radici, l'espressione al denominatore può essere sostituita dalla radice . Di conseguenza, la frazione originale viene convertita nella forma .
In secondo luogo, puoi cambiare il segno davanti a una frazione cambiando il segno del numeratore o del denominatore. Ad esempio, si verificano le seguenti trasformazioni di un'espressione irrazionale: 
.
In terzo luogo, a volte è possibile e consigliabile ridurne una frazione. Ad esempio, come negarsi il piacere di ridurre una frazione 
all'espressione irrazionale, di conseguenza otteniamo 
.
È chiaro che in molti casi, prima di ridurre una frazione, è necessario fattorizzare le espressioni al suo numeratore e denominatore, cosa che in casi semplici può essere ottenuta mediante formule di moltiplicazione abbreviate. E a volte aiuta ridurre una frazione sostituendo una variabile, il che consente di passare dalla frazione originale con irrazionalità a una frazione razionale, con cui è più comodo e familiare lavorare.
Prendiamo ad esempio l'espressione . Introduciamo nuove variabili e, in queste variabili l'espressione originale ha la forma. Avendo eseguito nel numeratore
Le espressioni contenenti un segno radicale (radice) sono chiamate irrazionali.
Radice aritmetica grado naturale$n$ da un numero non negativo a è chiamato un certo numero non negativo, quando elevato alla potenza $n$ si ottiene il numero $a$.
$(√^n(a))^n=a$
Nella notazione $√^n(a)$, “a” è chiamato numero radicale, $n$ è l'esponente della radice o radicale.
Proprietà delle $n$esime radici per $a≥0$ e $b≥0$:
1. La radice del prodotto è uguale al prodotto delle radici
$√^n(a∙b)=√^n(a)∙√^n(b)$
Calcola $√^5(5)∙√^5(625)$
La radice di un prodotto è uguale al prodotto di radici e viceversa: il prodotto di radici con lo stesso esponente di radice è uguale alla radice del prodotto di espressioni radicali
$√^n(a)∙√^n(b)=√^n(a∙b)$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
2. La radice di una frazione è una radice separata dal numeratore e una radice separata dal denominatore
$√^n((a)/(b))=(√^n(a))/(√^n(b))$, per $b≠0$
3. Quando una radice viene elevata a potenza, a questa potenza viene elevata l'espressione radicale
$(√^n(a))^k=√^n(a^k)$
4. Se $a≥0$ e $n,k$ sono numeri naturali maggiori di $1$, allora l'uguaglianza è vera.
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
5. Se gli indicatori della radice e dell'espressione radicale vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero naturale, il valore della radice non cambierà.
$√^(n∙m)a^(k∙m)=√^n(a^k)$
6. La radice di un grado dispari può essere estratta dal positivo e numeri negativi, e la radice di un grado pari è solo positiva.
7. Qualsiasi radice può essere rappresentata come una potenza con un esponente frazionario (razionale).
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Trova il valore dell'espressione $(√(9∙√^11(s)))/(√^11(2048∙√s))$ per $s>0$
La radice del prodotto è uguale al prodotto delle radici
$(√(9∙√^11(i)))/(√^11(2048∙√s))=(√9∙√(√^11(i)))/(√^11(2048)∙ √^11(√с))$
Possiamo estrarre immediatamente le radici dai numeri
$(√9∙√(√^11(i)))/(√^11(2048)∙√^11(√s))=(3∙√(√^11(i)))/(2∙ √^11(√с))$
$√^n(√^k(a))=√^(n∙k)a$
$(3∙√(√^11(i)))/(2∙√^11(√s))=(3∙√^22(i))/(2∙√^22(i))$
Riduciamo le radici $22$ di $с$ e otteniamo $(3)/(2)=1,5$
Risposta: $ 1,5 $
Se di un radicale con esponente pari non conosciamo il segno dell'espressione radicale, allora estraendo la radice esce fuori il modulo dell'espressione radicale.
Trova il valore dell'espressione $√((с-7)^2)+√((с-9)^2)$ a $7< c < 9$
Se non c'è alcun indicatore sopra la radice, significa che stiamo lavorando radice quadrata. Il suo indicatore è due, ad es. onesto. Se di un radicale con esponente pari non conosciamo il segno dell'espressione radicale, allora estraendo la radice esce fuori il modulo dell'espressione radicale.
$√((с-7)^2)+√((с-9)^2)=|c-7|+|c-9|$
Determiniamo il segno dell'espressione sotto il segno del modulo in base alla condizione $7< c < 9$
Per verificare, prendi qualsiasi numero da un determinato intervallo, ad esempio $8$
Controlliamo il segno di ciascun modulo
$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.
$|c-7|+|c-9|=(ñ-7)-(ñ-9)=ñ-7-ñ+9=2$
Proprietà delle potenze con esponente razionale:
1. Quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, la base rimane la stessa e si sommano gli esponenti.
$a^n∙a^m=a^(n+m)$
2. Quando si eleva un grado a potenza, la base rimane la stessa, ma gli esponenti vengono moltiplicati
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
3. Quando si eleva un prodotto a una potenza, ogni fattore viene elevato a questa potenza
$(a∙b)^n=a^n∙b^n$
4. Quando si eleva una frazione a una potenza, il numeratore e il denominatore vengono elevati a questa potenza
Allenatore n. 1
Argomento: Conversione del potere ed espressioni irrazionali
Programma del corso facoltativo di matematica per gli studenti del 10° anno
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Documentoecc.) argomento il lavoro è strettamente correlato al contesto socio-economico trasformazioni. Ad esempio, ... ristrutturazione della coscienza, degli istinti, irrazionale tendenze, cioè conflitti interni... chiarire la presenza e gradi gravità una persona ha certe...
Conversione di espressioni contenenti radici quadrate (1)
LezioneA cura di S.A. Teljakovskij. Soggetto lezione: Conversione espressioni, contenente quadrato...) trasformazione radici di un prodotto, frazione e gradi, moltiplicazione... (formazione dell'abilità di identico trasformazioni irrazionale espressioni). N. 421. (alla lavagna...
Quando si trasformano le radici aritmetiche, vengono utilizzate le loro proprietà (vedere paragrafo 35).
Diamo un'occhiata a diversi esempi di utilizzo delle proprietà delle radici aritmetiche per le trasformazioni più semplici dei radicali. In questo caso, considereremo che tutte le variabili assumano solo valori non negativi.
Esempio 1. Estrarre la radice del prodotto Soluzione. Applicando la 1° proprietà otteniamo:
Esempio 2. Rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice
Soluzione.
Questa trasformazione si chiama rimozione del fattore sotto il segno della radice. Lo scopo della trasformazione è semplificare l'espressione radicale.
Esempio 3: semplificare
Soluzione. Per la proprietà 3° abbiamo Di solito si cerca di semplificare l'espressione radicale, per cui si tolgono i fattori dal segno della radice. Abbiamo
Esempio 4: semplificare
Soluzione. Trasformiamo l'espressione introducendo un fattore sotto il segno della radice: Per proprietà 4° abbiamo
Esempio 5: semplificare
Soluzione. Per la proprietà di 5° abbiamo il diritto di dividere l'esponente della radice e l'esponente dell'espressione radicale per lo stesso numero naturale. Se nell'esempio in esame dividiamo gli indicatori indicati per 3, otteniamo
Esempio 6. Semplificare le espressioni: a)
Soluzione, a) Per la proprietà 1° troviamo che per moltiplicare radici dello stesso grado è sufficiente moltiplicare le espressioni radicali ed estrarre la radice dello stesso grado dal risultato ottenuto. Significa,
b) Innanzitutto dobbiamo ridurre i radicali a un indicatore. Secondo la proprietà di 5°, possiamo moltiplicare l'esponente della radice e l'esponente dell'espressione radicale per lo stesso numero naturale. Pertanto, Successivamente abbiamo E ora nel risultato risultante, dividendo gli indicatori della radice e il grado dell'espressione radicale per 3, otteniamo
Espressioni irrazionali e loro trasformazioni
L'ultima volta ci siamo ricordati (o abbiamo imparato, a seconda di chi) di cosa si tratta , ha imparato come estrarre tali radici, ha risolto pezzo per pezzo le proprietà di base delle radici e ha risolto semplici esempi con le radici.
Questa lezione sarà una continuazione della precedente e sarà dedicata alle trasformazioni di un'ampia varietà di espressioni contenenti tutti i tipi di radici. Tali espressioni sono chiamate irrazionale. Qui appariranno espressioni con lettere, condizioni aggiuntive, eliminazione dell'irrazionalità nelle frazioni e alcune tecniche avanzate per lavorare con le radici. Le tecniche che verranno discusse in questa lezione diventeranno una buona base per risolvere problemi USE (e non solo) di quasi tutti i livelli di complessità. Quindi cominciamo.
Prima di tutto duplicheremo qui le formule di base e le proprietà delle radici. Per non saltare da un argomento all'altro. Eccoli:
A
Devi conoscere queste formule ed essere in grado di applicarle. E in entrambe le direzioni, sia da sinistra a destra che da destra a sinistra. È su di essi che si basa la soluzione alla maggior parte dei compiti con radici di qualsiasi grado di complessità. Cominciamo con la cosa più semplice per ora: con l'applicazione diretta delle formule o delle loro combinazioni.
Facile applicazione delle formule
In questa parte verranno presi in considerazione esempi semplici e innocui, senza lettere, condizioni aggiuntive e altri trucchi. Tuttavia, anche in essi, di regola, ci sono delle opzioni. E più l’esempio è sofisticato, più opzioni ci sono. E lo studente inesperto affronta il problema principale: da dove cominciare? La risposta qui è semplice: Se non sai di cosa hai bisogno, fai quello che puoi. Finché le tue azioni sono in pace e armonia con le regole della matematica e non le contraddicono.) Ad esempio, questo compito:
Calcolare:
Anche in un esempio così semplice, ci sono diversi percorsi possibili per la risposta.
Il primo è semplicemente moltiplicare le radici per la prima proprietà ed estrarre la radice dal risultato:
La seconda opzione è questa: non lo tocchiamo, lavoriamo con . Togliamo il fattore da sotto il segno della radice e poi - secondo la prima proprietà. In questo modo:
Puoi decidere quanto vuoi. In qualsiasi opzione, la risposta è uno: otto. Ad esempio, è più facile per me moltiplicare 4 e 128 e ottenere 512, e la radice cubica può essere facilmente estratta da questo numero. Se qualcuno non ricorda che 512 è 8 al cubo, allora non importa: puoi scrivere 512 come 2 9 (le prime 10 potenze di due, spero che te ne ricordi?) e usando la formula per la radice della potenza :
Un altro esempio.
Calcola: .
Se lavori secondo la prima proprietà (mettendo tutto sotto una radice), otterrai un numero considerevole, da cui poi sarà possibile estrarre la radice, anche non lo zucchero. E non è un dato di fatto che verrà estratto esattamente.) Pertanto, è utile qui rimuovere i fattori da sotto la radice del numero. E sfrutta al meglio:
E ora va tutto bene:
Non resta che scrivere l'otto più due sotto un'unica radice (secondo la prima proprietà) e il gioco è fatto. :)
Ora aggiungiamo alcune frazioni.
Calcolare:
L'esempio è piuttosto primitivo, ma ha anche delle opzioni. Puoi utilizzare il moltiplicatore per trasformare il numeratore e ridurlo con il denominatore:
Oppure puoi utilizzare immediatamente la formula per dividere le radici:
Come vediamo, questo e quello sono corretti.) Se non inciampi a metà strada e commetti un errore. Anche se qui dove posso sbagliare...
Diamo ora un'occhiata all'ultimo esempio tratto dai compiti dell'ultima lezione:
Semplificare:
Un insieme di radici completamente inimmaginabili e persino annidate. Cosa dovrei fare? L'importante è non avere paura! Qui notiamo per la prima volta sotto le radici i numeri 2, 4 e 32 - potenze di due. La prima cosa da fare è ridurre tutti i numeri a due: dopotutto, nell’esempio ci sono più numeri uguali e meno numeri diversi, più è facile.) Cominciamo separatamente con il primo fattore:
Il numero può essere semplificato riducendo i due sotto la radice con i quattro nell'esponente della radice:
Ora, secondo la radice dell'opera:
.
Nel numero togliamo i due come segno di radice:
E trattiamo l'espressione utilizzando la radice della formula radice:
Quindi, il primo fattore verrà scritto in questo modo:
Le radici annidate sono scomparse, i numeri sono diventati più piccoli, il che è già piacevole. È solo che le radici sono diverse, ma per ora lasceremo così. Se necessario, li convertiremo negli stessi. Prendiamo il secondo fattore.)
Trasformiamo il secondo fattore in modo simile, utilizzando la formula della radice del prodotto e della radice della radice. Ove necessario, riduciamo gli indicatori utilizzando la quinta formula:
Incolliamo tutto nell'esempio originale e otteniamo:
Abbiamo ottenuto il prodotto di un intero gruppo di radici completamente diverse. Sarebbe bello riportarli tutti su un unico indicatore, poi vedremo. Beh, è del tutto possibile. Il più grande degli esponenti della radice è 12 e tutti gli altri - 2, 3, 4, 6 - sono divisori del numero 12. Pertanto, ridurremo tutte le radici secondo la quinta proprietà a un esponente - 12:
Contiamo e otteniamo:
Non abbiamo ottenuto un bel numero, ma va bene. Ci è stato chiesto semplificare espressione, no contare. Semplificato? Certamente! E il tipo di risposta (intero o meno) non ha più alcun ruolo qui.
Alcune formule di addizione/sottrazione e moltiplicazione abbreviata
Sfortunatamente, formule generali per aggiungendo e sottraendo radici no in matematica. Tuttavia, nei compiti si trovano spesso queste azioni con radici. Qui è necessario capire che qualsiasi radice è esattamente gli stessi simboli matematici delle lettere in algebra.) E le stesse tecniche e regole si applicano alle radici come alle lettere: aprire parentesi, avvicinarne di simili, formule di moltiplicazione abbreviate, ecc. p.
Ad esempio, è chiaro a tutti che . Esattamente lo stesso identico Le radici possono essere aggiunte/sottratte tra loro abbastanza facilmente:
Se le radici sono diverse, cerchiamo un modo per renderle uguali: aggiungendo/sottraendo un moltiplicatore o utilizzando la quinta proprietà. Se non è in alcun modo semplificato, forse le trasformazioni sono più astute.
Diamo un'occhiata al primo esempio.
Trova il significato dell'espressione: .
Tutte e tre le radici, sebbene cubiche, provengono da diverso numeri. Non vengono puramente estratti ma vengono aggiunti/sottratti l'uno dall'altro. Pertanto, l'uso di formule generali non funziona qui. Cosa dovrei fare? Eliminiamo i fattori in ciascuna radice. In ogni caso, non sarà peggio.) Inoltre, in realtà non ci sono altre opzioni:
Perciò, .
Questa è la soluzione. Qui siamo passati da radici diverse alle stesse con l'aiuto rimuovendo il moltiplicatore da sotto la radice. E poi ne hanno semplicemente portati di simili.) Decidiamo ulteriormente.
Trova il valore di un'espressione:
Sicuramente non puoi fare nulla per la radice di diciassette. Lavoriamo secondo la prima proprietà: creiamo una radice dal prodotto di due radici:
Ora diamo uno sguardo più da vicino. Cosa c'è sotto la nostra grande radice cubica? La differenza è qua... Beh, certo! Differenza di quadrati:
Adesso non resta che estrarre il root: .
Calcolare:
Qui dovrai mostrare ingegnosità matematica.) Pensiamo approssimativamente come segue: “Quindi, nell’esempio, il prodotto delle radici. Sotto una radice c'è la differenza e sotto l'altra c'è la somma. Molto simile alla formula della differenza dei quadrati. Ma... Le radici sono diverse! Il primo è quadrato, il secondo è di quarto grado... Sarebbe bello farli uguali. Secondo la quinta proprietà, da una radice quadrata si può facilmente ricavare una radice quarta. Per fare ciò è sufficiente quadrare l’espressione radicale”.
Se hai pensato la stessa cosa, allora sei a metà strada verso il successo. Assolutamente giusto! Trasformiamo il primo fattore in una quarta radice. In questo modo:
Ora non c'è niente da fare, ma dovrai ricordare la formula del quadrato della differenza. Solo se applicato alle radici. E allora? Perché le radici sono peggiori di altri numeri o espressioni?! Costruiamo:
“Hmm, beh, l'hanno eretto, e allora? Il rafano non è più dolce del ravanello. Fermare! E se togli i quattro sotto la radice? Allora emergerà la stessa espressione della seconda radice, solo con il segno meno, e questo è esattamente ciò che stiamo cercando di ottenere!”
Giusto! Prendiamone quattro:
.
E ora - una questione di tecnologia:
Ecco come si districano gli esempi complessi.) Ora è il momento di esercitarsi con le frazioni.
Calcolare:
È chiaro che il numeratore deve essere convertito. Come? Usando la formula del quadrato della somma, ovviamente. Abbiamo altre opzioni? :) Lo eleviamo al quadrato, eliminiamo i fattori, riduciamo gli indicatori (dove necessario):
Oh! Abbiamo ottenuto esattamente il denominatore della nostra frazione.) Ciò significa che l'intera frazione è ovviamente uguale a uno:
Un altro esempio. Solo ora su un'altra formula per la moltiplicazione abbreviata.)
Calcolare:
È chiaro che nella pratica bisogna usare il quadrato della differenza. Scriviamo il denominatore separatamente e - andiamo!
Eliminiamo i fattori da sotto le radici:
Quindi,
Ora tutto ciò che è brutto è superbamente ridotto e si scopre:
Bene, passiamo al livello successivo. :)
Lettere e condizioni aggiuntive
Le espressioni letterali con radice sono una cosa più complicata delle espressioni numeriche, e sono una fonte inesauribile di errori fastidiosi e molto gravi. Chiudiamo questa fonte.) Gli errori sorgono a causa del fatto che tali compiti spesso coinvolgono numeri ed espressioni negativi. Ci vengono dati direttamente nel compito o nascosti lettere e condizioni aggiuntive. E nel processo di lavoro con le radici, dobbiamo costantemente ricordarlo nelle radici anche laurea dovrebbe esserci sia sotto la radice stessa che come risultato dell'estrazione della radice espressione non negativa. La formula chiave nei compiti di questo paragrafo sarà la quarta formula:
Non ci sono domande con radici di grado dispari: tutto viene sempre estratto, sia positivo che negativo. E il meno, semmai, viene portato avanti. Andiamo direttamente alle radici Anche gradi.) Ad esempio, un compito così breve.
Semplificare: , Se .
Sembrerebbe che tutto sia semplice. Risulterà essere semplicemente X.) Ma perché allora la condizione aggiuntiva? In questi casi è utile fare una stima con i numeri. Puramente per me stesso.) Se, allora x è ovviamente un numero negativo. Meno tre, per esempio. O meno quaranta. Permettere . Puoi elevare meno tre alla quarta potenza? Certamente! Il risultato è 81. È possibile estrarre la quarta radice di 81? Perché no? Potere! Ne ottieni tre. Ora analizziamo tutta la nostra filiera:
Cosa vediamo? L'input era un numero negativo e l'output era già positivo. Era meno tre, ora è più tre.) Torniamo alle lettere. Senza dubbio, modulo sarà esattamente X, ma solo X stesso è meno (per condizione!), e il risultato dell'estrazione (a causa della radice aritmetica!) deve essere più. Come ottenere un vantaggio? Molto semplice! Per fare ciò, basta mettere un segno meno davanti a un numero ovviamente negativo.) E la soluzione corretta è simile alla seguente:
A proposito, se usassimo la formula, ricordando la definizione di modulo, otterremmo immediatamente la risposta corretta. Da
|x| = -x in x<0.
Togli il fattore dal segno della radice: , Dove .
Il primo sguardo è all’espressione radicale. Va tutto bene qui. In ogni caso sarà non negativo. Iniziamo l'estrazione. Utilizzando la formula per la radice di un prodotto, estraiamo la radice di ciascun fattore:
Non penso che ci sia bisogno di spiegare da dove provengono i moduli.) Ora analizziamo ciascuno dei moduli.
Moltiplicatore | UN | lo lasciamo invariato: non abbiamo alcuna condizione per la letteraUN. Non sappiamo se sia positivo o negativo. Modulo successivo |b2 | può essere tranquillamente omesso: in ogni caso, l'espressioneb2 non negativo. Ma riguardo |c3 | - c'è già un problema qui.) Se, Poi c3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть con un segno meno: | c3 | = - c3 . In totale, la soluzione corretta sarebbe:
E ora - il problema inverso. Non dei più facili, ti avverto subito!
Inserisci un moltiplicatore sotto il segno della radice: .
Se scrivi immediatamente la soluzione in questo modo
allora lei caduto in una trappola. Questo decisione sbagliata! Qual è il problema?
Diamo uno sguardo più da vicino all'espressione sotto la radice. Alla radice del quarto potere, come sappiamo, dovrebbe esserci non negativo espressione. Altrimenti la radice non ha significato.) Pertanto E questo, a sua volta, significa che e, quindi, anch'esso non è positivo: .
E qui l'errore è che stiamo introducendo alla radice non positivo numero: il quarto grado lo trasforma in non negativo e si ottiene il risultato sbagliato: a sinistra c'è un meno deliberato e a destra c'è già un più. E metterlo alla radice Anche grado abbiamo solo il diritto non negativo numeri o espressioni. E lascia il meno, se ce n'è uno, davanti alla radice.) Come possiamo identificare un fattore non negativo nel numero, sapendo che esso stesso è completamente negativo? Sì, esattamente lo stesso! Metti un segno meno.) E affinché non cambi nulla, compensalo con un altro segno meno. In questo modo:
E già adesso non negativo Inseriamo con calma il numero (-b) sotto la radice secondo tutte le regole:
Questo esempio mostra chiaramente che, a differenza di altri rami della matematica, nelle radici la risposta corretta non segue sempre automaticamente dalle formule. Devi pensare e prendere personalmente la decisione giusta.) Dovresti prestare particolare attenzione ai segnali di accesso equazioni e disuguaglianze irrazionali.
Diamo un'occhiata alla prossima tecnica importante quando si lavora con le radici: sbarazzarsi dell’irrazionalità.
Eliminare l'irrazionalità nelle frazioni
Se l'espressione contiene radici, allora, lascia che te lo ricordi, viene chiamata tale espressione espressione con irrazionalità. In alcuni casi può essere utile liberarsi proprio di questa irrazionalità (cioè delle radici). Come eliminare la radice? La nostra radice scompare quando... elevata a potenza. Con un indicatore uguale all'indicatore radice o un multiplo di esso. Ma se eleviamo la radice a una potenza (cioè moltiplichiamo la radice per se stessa il numero di volte richiesto), l'espressione cambierà. Non va bene.) Tuttavia, in matematica ci sono argomenti in cui la moltiplicazione è abbastanza indolore. In frazioni, per esempio. Secondo la proprietà di base di una frazione, se il numeratore e il denominatore vengono moltiplicati (divisi) per lo stesso numero, il valore della frazione non cambierà.
Diciamo che ci viene data questa frazione:
È possibile eliminare la radice del denominatore? Potere! Per fare questo, la radice deve essere tagliata a cubetti. Cosa manca nel denominatore di un cubo intero? Ci manca un moltiplicatore, cioè. Quindi moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della frazione per
La radice del denominatore è scomparsa. Ma... è apparso al numeratore. Non si può fare nulla, tale è il destino.) Questo per noi non è più importante: ci è stato chiesto di liberare il denominatore dalle radici. Rilasciato? Senza dubbio.)
A proposito, coloro che hanno già dimestichezza con la trigonometria potrebbero aver prestato attenzione al fatto che in alcuni libri di testo e tabelle, ad esempio, designano diversamente: da qualche parte e da qualche parte. La domanda è: cosa è giusto? Risposta: è tutto corretto!) Se indovini– questo è semplicemente il risultato della liberazione dall’irrazionalità nel denominatore della frazione. :)
Perché dovremmo liberarci dall’irrazionalità nelle frazioni? Che differenza fa se la radice è al numeratore o al denominatore? La calcolatrice calcolerà comunque tutto.) Bene, per coloro che non si separano dalla calcolatrice, praticamente non c'è differenza... Ma anche contando su una calcolatrice, puoi prestare attenzione al fatto che dividere SU Totale il numero è sempre più comodo e veloce che su irrazionale. E rimarrò in silenzio sulla divisione in una colonna.)
Il seguente esempio non farà altro che confermare le mie parole.
Come possiamo eliminare qui la radice quadrata del denominatore? Se il numeratore e il denominatore vengono moltiplicati per l'espressione, il denominatore sarà il quadrato della somma. La somma dei quadrati del primo e del secondo numero ci darà solo numeri senza radici, il che è molto piacevole. Tuttavia... apparirà doppio prodotto il primo numero al secondo, dove rimarrà comunque la radice di tre. Non canalizza. Cosa dovrei fare? Ricorda un'altra meravigliosa formula per la moltiplicazione abbreviata! Dove non ci sono prodotti doppi, ma solo quadrati:
Un'espressione che, moltiplicata per una certa somma (o differenza), produce differenza di quadrati, chiamato anche espressione coniugata. Nel nostro esempio, l'espressione coniugata farà la differenza. Quindi moltiplichiamo numeratore e denominatore per questa differenza:
Cosa posso dire? Come risultato delle nostre manipolazioni, non solo è scomparsa la radice del denominatore, ma anche la frazione è scomparsa del tutto! :) Anche con una calcolatrice, sottrarre la radice di tre da un tre è più semplice che calcolare una frazione con la radice al denominatore. Un altro esempio.
Liberati dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione:
Come uscirne? Le formule per la moltiplicazione abbreviata con i quadrati non funzionano subito: non sarà possibile eliminare completamente le radici perché questa volta la nostra radice non è quadrata, ma cubo. È necessario che la radice sia in qualche modo sollevata in un cubo. Pertanto, è necessario utilizzare una delle formule con i cubi. Quale? Pensiamoci. Il denominatore è la somma. Come possiamo ottenere il cubo della radice? Moltiplicare per differenza quadrata parziale! Quindi, applicheremo la formula somma di cubi. Questo:
COME UN ne abbiamo tre, e come qualità B– radice cubica di cinque:
E ancora la frazione è scomparsa.) Tali situazioni in cui, liberata dall'irrazionalità nel denominatore di una frazione, la frazione stessa scompare completamente insieme alle radici, si verificano molto spesso. Ti piace questo esempio?
Calcolare:
Prova ad aggiungere queste tre frazioni! Nessun errore! :) Vale la pena avere un denominatore comune. E se provassi a liberarti dall'irrazionalità nel denominatore di ogni frazione? Bene, proviamo:
Wow, che interessante! Tutte le frazioni sono scomparse! Completamente. E ora l’esempio può essere risolto in due modi:
Semplice ed elegante. E senza calcoli lunghi e noiosi. :)
Ecco perché bisogna saper compiere l'operazione di liberazione dall'irrazionalità per frazioni. In esempi così sofisticati, è l'unica cosa che salva, sì.) Naturalmente, nessuno ha cancellato l'attenzione. Ci sono compiti in cui ti viene chiesto di sbarazzarti dell'irrazionalità numeratore. Questi compiti non sono diversi da quelli considerati, solo il numeratore viene cancellato dalle radici.)
Esempi più complessi
Resta da considerare alcune tecniche speciali per lavorare con le radici e praticare la districazione degli esempi non più semplici. E poi le informazioni ricevute saranno sufficienti per risolvere compiti con radici di qualsiasi livello di complessità. Quindi, vai avanti.) Per prima cosa, scopriamo cosa fare con le radici annidate quando la formula radice da radice non funziona. Ad esempio, ecco un esempio.
Calcolare:
La radice è sotto la radice... Inoltre, sotto le radici c'è la somma o la differenza. Pertanto, la formula per la radice della radice (con moltiplicazione degli esponenti) è qui non funziona. Quindi è necessario fare qualcosa a riguardo espressioni radicali: Semplicemente non abbiamo altre opzioni. In tali esempi, molto spesso la radice grande è crittografata quadrato perfetto una certa quantità. O differenze. E la radice quadrata è già perfettamente estratta! E ora il nostro compito è decrittografarlo.) Tale decrittazione è eseguita magnificamente sistema di equazioni. Ora vedrai tutto da solo.)
Quindi, sotto la prima radice abbiamo questa espressione:
E se non avessi indovinato? Controlliamo! Lo eleviamo al quadrato utilizzando la formula del quadrato della somma:
Esatto.) Ma... Da dove ho preso questa espressione? Dal cielo?
No.) Onestamente lo abbasseremo leggermente. Usando semplicemente questa espressione, mostro esattamente come gli autori di attività crittografano tali quadrati. :) Cos'è 54? Questo somma dei quadrati del primo e del secondo numero. E, attenzione, già senza radici! E la radice resta doppio prodotto, che nel nostro caso è pari a . Pertanto, la spiegazione di tali esempi inizia con la ricerca del doppio prodotto. Se ti districhi con la solita selezione. E, a proposito, sui segni. Tutto è semplice qui. Se c'è un più prima del doppio, allora il quadrato della somma. Se è un meno, allora ci sono le differenze.) Abbiamo un più – che significa il quadrato della somma.) E ora – il metodo analitico di decodificazione promesso. Attraverso il sistema.)
Quindi, sotto la nostra radice c'è chiaramente l'espressione (a+b)2 e il nostro compito è trovare UN E B. Nel nostro caso la somma dei quadrati dà 54. Quindi scriviamo:
Ora raddoppia il prodotto. Ce l'abbiamo. Quindi lo scriviamo:
Abbiamo questo sistema:
Risolviamo con il consueto metodo di sostituzione. Esprimiamo ad esempio la seconda equazione e la sostituiamo nella prima:
Risolviamo la prima equazione:
Ricevuto biquadratico relativo all'equazioneUN . Calcoliamo il discriminante:
Significa,
Abbiamo ottenuto fino a quattro valori possibiliUN. Non abbiamo paura. Ora elimineremo tutte le cose non necessarie.) Se ora calcoliamo i valori corrispondenti per ciascuno dei quattro valori trovati, otterremo quattro soluzioni per il nostro sistema. Eccoli:
E qui la domanda è: quale soluzione è giusta per noi? Pensiamoci. Le soluzioni negative possono essere immediatamente scartate: durante la quadratura, i meno "si esauriranno" e l'intera espressione radicale nel suo insieme non cambierà.) Rimangono le prime due opzioni. Puoi sceglierli in modo del tutto arbitrario: riorganizzare i termini non cambia comunque la somma.) Sia, ad esempio, , a .
In totale, abbiamo ottenuto il quadrato della seguente somma sotto la radice:
Tutto è chiaro.)
Non per niente descrivo il processo decisionale in modo così dettagliato. Per chiarire come avviene la decrittazione.) Ma c'è un problema. Il metodo analitico di decodifica, per quanto affidabile, è molto lungo e macchinoso: bisogna risolvere un'equazione biquadratica, ottenere quattro soluzioni al sistema e poi pensare ancora a quali scegliere... Disturbo? Sono d'accordo, è fastidioso. Questo metodo funziona perfettamente nella maggior parte di questi esempi. Tuttavia, molto spesso puoi risparmiare molto lavoro e trovare entrambi i numeri in modo creativo. Per selezione.) Sì, sì! Ora, usando l'esempio del secondo termine (seconda radice), mostrerò un modo più semplice e veloce per isolare l'intero quadrato sotto la radice.
Quindi ora abbiamo questa radice: 
.
Pensiamo così: “Sotto la radice c'è molto probabilmente un quadrato completo crittografato. Se prima del doppio c'è un segno meno, significa il quadrato della differenza. La somma dei quadrati del primo e del secondo numero ci dà il numero 54. Ma che razza di quadrati sono questi? 1 e 53? 49 e 5 ? Ci sono troppe opzioni... No, è meglio iniziare a districarsi con il doppio del prodotto. Nostropuò essere scritto come . Prodotto Times raddoppiato, quindi scartiamo immediatamente i due. Quindi i candidati per il ruolo aeb rimangono 7 e . E se fossero le 14 e.../2 ? E' possibile. Ma iniziamo sempre con qualcosa di semplice!” Quindi, sia , a . Controlliamoli per la somma dei quadrati:
Ha funzionato! Ciò significa che la nostra espressione radicale è in realtà il quadrato della differenza:
Ecco un modo leggero per evitare di fare confusione con il sistema. Non sempre funziona, ma in molti di questi esempi è più che sufficiente. Quindi, sotto le radici ci sono quadrati completi. Non resta che estrarre correttamente le radici e calcolare l'esempio:
Ora diamo un'occhiata a un compito ancora più non standard sulle radici.)
Dimostrare che il numero A– intero, se .
Non si estrae nulla direttamente, le radici sono incastonate, e anche di diverso grado... Un incubo! Tuttavia, il compito ha senso.) Pertanto, esiste una chiave per risolverlo.) E la chiave qui è questa. Considera la nostra uguaglianza
Come relativo all'equazione UN. Sì, sì! Sarebbe bello liberarsi delle radici. Le nostre radici sono cubiche, quindi cubiamo entrambi i lati dell'equazione. Secondo la formula cubo della somma:
Cubi e radici cubiche si annullano a vicenda, e sotto ciascuna radice grande prendiamo una parentesi dal quadrato e comprimiamo il prodotto della differenza e della somma in una differenza di quadrati:
Separatamente, calcoliamo la differenza dei quadrati sotto le radici:
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