Il concetto di sequenza numerica implica che ogni numero naturale corrisponda a un valore reale. Tale serie di numeri può essere arbitraria o avere determinate proprietà: una progressione. In quest'ultimo caso, ogni elemento successivo (membro) della sequenza può essere calcolato utilizzando quello precedente.
Una progressione aritmetica è una sequenza di valori numerici in cui i suoi membri vicini differiscono tra loro dello stesso numero (tutti gli elementi della serie, a partire dal 2°, hanno una proprietà simile). Questo numero, la differenza tra il termine precedente e quello successivo, è costante ed è chiamato differenza di progressione.
Differenza di progressione: definizione
Consideriamo una sequenza composta da j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j appartiene all'insieme numeri naturali N. La progressione aritmetica, secondo la sua definizione, è una sequenza in cui a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Il valore d è la differenza desiderata di questa progressione.
d = a(j) – a(j-1).
Evidenziare:
- Una progressione crescente, nel qual caso d > 0. Esempio: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progressione decrescente, quindi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progressione delle differenze e suoi elementi arbitrari
Se si conoscono 2 termini arbitrari della progressione (i-esimo, k-esimo), la differenza per una determinata sequenza può essere determinata in base alla relazione:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, che significa d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Differenza di progressione e suo primo termine
Questa espressione aiuterà a determinare un valore sconosciuto solo nei casi in cui è noto il numero dell'elemento della sequenza.
Differenza di progressione e sua somma
La somma di una progressione è la somma dei suoi termini. Per calcolare il valore totale dei suoi primi j elementi, utilizzare la formula appropriata:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ma poiché a(j) = a(1) + d(j – 1), allora S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Ad esempio, la sequenza \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... è una progressione aritmetica, perché ogni elemento successivo differisce dal precedente di tre (si ottiene dal precedente sommando tre):
In questa progressione, la differenza \(d\) è positiva (pari a \(3\)), e quindi ogni termine successivo è maggiore del precedente. Tali progressioni sono chiamate in aumento.
Tuttavia, anche \(d\) può esserlo numero negativo. Per esempio, V progressione aritmetica\(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la differenza di progressione \(d\) è pari a meno sei.
E in questo caso, ogni elemento successivo sarà più piccolo del precedente. Queste progressioni sono chiamate decrescente.
Notazione di progressione aritmetica
La progressione è indicata da una piccola lettera latina.
I numeri che formano una progressione vengono chiamati membri(o elementi).
Sono indicati con la stessa lettera di una progressione aritmetica, ma con un indice numerico pari al numero dell'elemento in ordine.
Ad esempio, la progressione aritmetica \(a_n = \sinistra\( 2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\) è costituita dagli elementi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e così via.
In altre parole, per la progressione \(a_n = \sinistra\(2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\)
Risoluzione di problemi di progressione aritmetica
In linea di principio, le informazioni presentate sopra sono già sufficienti per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica (compresi quelli offerti all'OGE).
Esempio (OGE).
La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(b_1=7; d=4\). Trova \(b_5\).
Soluzione:
Risposta: \(b_5=23\)
Esempio (OGE).
Sono dati i primi tre termini di una progressione aritmetica: \(62; 49; 36…\) Trova il valore del primo termine negativo di questa progressione..
Soluzione:
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Ci vengono dati i primi elementi della sequenza e sappiamo che si tratta di una progressione aritmetica. Cioè ogni elemento differisce dal suo vicino per lo stesso numero. Scopriamo quale sottraendo il precedente dall'elemento successivo: \(d=49-62=-13\). |
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Ora possiamo ripristinare la nostra progressione sull'elemento (primo negativo) di cui abbiamo bisogno. |
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Pronto. Puoi scrivere una risposta. |
Risposta: \(-3\)
Esempio (OGE).
Dati più elementi consecutivi di una progressione aritmetica: \(…5; x; 10; 12,5...\) Trovare il valore dell'elemento indicato dalla lettera \(x\).
Soluzione:
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Per trovare \(x\), dobbiamo sapere quanto l'elemento successivo differisce da quello precedente, in altre parole, la differenza di progressione. Troviamolo da due elementi vicini noti: \(d=12.5-10=2.5\). |
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E ora possiamo trovare facilmente ciò che stiamo cercando: \(x=5+2.5=7.5\). |
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Pronto. Puoi scrivere una risposta. |
Risposta: \(7,5\).
Esempio (OGE).
La progressione aritmetica è definita dalle seguenti condizioni: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trova la somma dei primi sei termini di questa progressione.
Soluzione:
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Dobbiamo trovare la somma dei primi sei termini della progressione. Ma non ne conosciamo il significato; ci viene fornito solo il primo elemento. Pertanto, calcoliamo prima i valori uno per uno, utilizzando quanto ci viene dato: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
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\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
L'importo richiesto è stato trovato. |
Risposta: \(S_6=9\).
Esempio (OGE).
Nella progressione aritmetica \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trova la differenza di questa progressione.
Soluzione:
Risposta: \(d=7\).
Formule importanti per la progressione aritmetica
Come puoi vedere, molti problemi sulla progressione aritmetica possono essere risolti semplicemente comprendendo la cosa principale: che una progressione aritmetica è una catena di numeri, e ogni elemento successivo di questa catena si ottiene aggiungendo lo stesso numero a quello precedente (il differenza di progressione).
Tuttavia, a volte ci sono situazioni in cui decidere “frontalmente” è molto scomodo. Ad esempio, immagina che nel primo esempio non dobbiamo trovare il quinto elemento \(b_5\), ma il trecentottantaseiesimo \(b_(386)\). Dovremmo aggiungere quattro \(385\) volte? Oppure immagina che nel penultimo esempio devi trovare la somma dei primi settantatré elementi. Sarai stanco di contare...
Pertanto in questi casi non risolvono le cose “di petto”, ma utilizzano formule speciali derivate dalla progressione aritmetica. E le principali sono la formula per l'n-esimo termine della progressione e la formula per la somma dei \(n\) primi termini.
Formula del \(n\)esimo termine: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo termine della progressione;
\(n\) – numero dell'elemento richiesto;
\(a_n\) – termine della progressione con il numero \(n\).
Questa formula ci permette di trovare velocemente anche il trecentesimo o il milionesimo elemento, conoscendo solo il primo e la differenza della progressione.
Esempio.
La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Trova \(b_(246)\).
Soluzione:
Risposta: \(b_(246)=1850\).
Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), dove
\(a_n\) – l'ultimo termine sommato;
Esempio (OGE).
La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(a_n=3.4n-0.6\). Trova la somma dei primi \(25\) termini di questa progressione.
Soluzione:
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Per calcolare la somma dei primi venticinque termini, dobbiamo conoscere il valore del primo e del venticinquesimo termine. |
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\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Ora troviamo il venticinquesimo termine sostituendo venticinque invece di \(n\). |
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\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Bene, ora possiamo facilmente calcolare l'importo richiesto. |
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
La risposta è pronta. |
Risposta: \(S_(25)=1090\).
Per la somma \(n\) dei primi termini, puoi ottenere un'altra formula: devi solo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) invece di \(a_n\) sostituisci la formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otteniamo:
Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), dove
\(S_n\) – la somma richiesta dei primi elementi \(n\);
\(a_1\) – il primo termine sommato;
\(d\) – differenza di progressione;
\(n\) – numero di elementi nella somma.
Esempio.
Trovare la somma dei primi \(33\)-ex termini della progressione aritmetica: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Soluzione:
Risposta: \(S_(33)=-231\).
Problemi di progressione aritmetica più complessi
Ora hai tutto informazioni necessarie per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica. Terminiamo l'argomento considerando i problemi in cui non solo è necessario applicare formule, ma anche pensare un po' (in matematica può essere utile ☺)
Esempio (OGE).
Trova la somma di tutti i termini negativi della progressione: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluzione:
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\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Il compito è molto simile al precedente. Iniziamo a risolvere la stessa cosa: prima troviamo \(d\). |
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\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Ora vorrei sostituire \(d\) nella formula per la somma... ed eccola qui piccola sfumatura– non lo sappiamo \(n\). In altre parole, non sappiamo quanti termini dovranno essere aggiunti. Come scoprirlo? Pensiamo. Smetteremo di aggiungere elementi quando raggiungeremo il primo elemento positivo. Cioè, devi scoprire il numero di questo elemento. Come? Scriviamo la formula per calcolare qualsiasi elemento di una progressione aritmetica: \(a_n=a_1+(n-1)d\) per il nostro caso. |
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\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
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\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
È necessario che \(a_n\) diventi maggiore di zero. Scopriamo a cosa \(n\) accadrà questo. |
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\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
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\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Dividiamo entrambi i membri della disuguaglianza per \(0,3\). |
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\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Trasferiamo meno uno, senza dimenticare di cambiare i segni |
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\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Calcoliamo... |
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\(n>65.333…\) |
...e risulta che il primo elemento positivo avrà il numero \(66\). Di conseguenza, l'ultimo negativo ha \(n=65\). Per ogni evenienza, controlliamo questo. |
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\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Quindi dobbiamo aggiungere i primi elementi \(65\). |
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\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cpunto 65\) |
La risposta è pronta. |
Risposta: \(S_(65)=-630,5\).
Esempio (OGE).
La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trova la somma dall'elemento \(26\)esimo all'elemento \(42\) compreso.
Soluzione:
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\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Anche in questo problema devi trovare la somma degli elementi, ma non partendo dal primo, ma dal \(26\)esimo. Per un caso del genere non abbiamo una formula. Come decidere? |
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Per la nostra progressione \(a_1=-33\) e la differenza \(d=4\) (dopo tutto, sono i quattro che aggiungiamo all'elemento precedente per trovare quello successivo). Sapendo questo, troviamo la somma dei primi elementi \(42\)-y. |
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\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cpunto 42=\) |
Ora la somma dei primi \(25\) elementi. |
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\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cpunto 25=\) |
E infine, calcoliamo la risposta. |
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\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Risposta: \(S=1683\).
Per quanto riguarda la progressione aritmetica, ci sono molte altre formule che non abbiamo considerato in questo articolo a causa della loro scarsa utilità pratica. Tuttavia, puoi trovarli facilmente.
Calcolatore in linea.
Risoluzione di una progressione aritmetica.
Dati: a n , d, n
Trova: un 1
Questo programma matematico trova \(a_1\) di una progressione aritmetica basata sui numeri specificati dall'utente \(a_n, d\) e \(n\).
I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni. Inoltre, il numero frazionario può essere inserito sotto forma di frazione decimale (\(2.5\)) e sotto forma frazione comune(\(-5\frac(2)(7)\)).
Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo per trovare una soluzione.
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Se non hai familiarità con le regole per l'immissione dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.
Regole per l'immissione dei numeri
I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni.
Il numero \(n\) può essere solo un numero intero positivo.
Regole per l'immissione delle frazioni decimali.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi inserire decimali quindi 2,5 circa 2,5
Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.
Il denominatore non può essere negativo.
Quando entri frazione numerica Il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
Ingresso:
Risultato: \(-\frac(2)(3)\)
La parte intera è separata dalla frazione dal segno e commerciale: &
Ingresso:
Risultato: \(-1\frac(2)(3)\)
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Sequenza numerica
Nella pratica quotidiana, la numerazione dei vari oggetti viene spesso utilizzata per indicare l'ordine in cui sono disposti. Ad esempio, le case di ogni strada sono numerate. In biblioteca gli abbonamenti dei lettori vengono numerati e poi disposti secondo l'ordine dei numeri assegnati in appositi schedari.
In una cassa di risparmio, utilizzando il numero di conto personale del depositante, puoi facilmente trovare questo conto e vedere quale deposito c'è su di esso. Supponiamo che il conto n. 1 contenga un deposito di a1 rubli, il conto n. 2 contenga un deposito di a2 rubli, ecc. sequenza numerica
un 1, un 2, un 3, ..., un N
dove N è il numero di tutti i conti. Qui, ogni numero naturale n da 1 a N è associato a un numero a n.
Ha studiato anche matematica sequenze di numeri infinite:
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ... .
Il numero viene chiamato 1 primo termine della sequenza, numero a 2 - secondo termine della sequenza, numero a 3 - terzo termine della sequenza ecc.
Si chiama il numero a n ennesimo (ennesimo) membro della sequenza, e il numero naturale n è suo numero.
Ad esempio, nella sequenza dei quadrati dei numeri naturali 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... e 1 = 1 è il primo termine della sequenza; e n = n 2 è l'ennesimo termine della successione; a n+1 = (n + 1) 2 è il (n + 1)esimo (n più il primo) termine della sequenza. Spesso una sequenza può essere specificata dalla formula del suo ennesimo termine. Ad esempio, la formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definisce la sequenza \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Progressione aritmetica
La durata dell'anno è di circa 365 giorni. Un valore più accurato è \(365\frac(1)(4)\) giorni, quindi ogni quattro anni si accumula un errore di un giorno.
Per tenere conto di questo errore, viene aggiunto un giorno ogni quattro anni e l'anno prolungato viene chiamato anno bisestile.
Ad esempio, nel terzo millennio anni bisestili sono gli anni 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
In questa sequenza ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, sommato allo stesso numero 4. Tali sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche.
Definizione.
La sequenza numerica è chiamata a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progressione aritmetica, se per tutto naturale n l'uguaglianza
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
dove d è un numero.
Da questa formula segue che a n+1 - a n = d. Il numero d è chiamato differenza progressione aritmetica.
Per definizione di progressione aritmetica abbiamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Dove
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), dove \(n>1 \)
Pertanto ogni termine di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei suoi due termini adiacenti. Questo spiega il nome progressione "aritmetica".
Si noti che se vengono forniti a 1 e d, i restanti termini della progressione aritmetica possono essere calcolati utilizzando la formula ricorrente a n+1 = a n + d. In questo modo non è difficile calcolare i primi termini della progressione, però, ad esempio, un 100 richiederà già molti calcoli. In genere, a questo scopo viene utilizzata la formula dell'ennesimo termine. Per definizione di progressione aritmetica
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
ecc.
Affatto,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
Perché ennesimo termine di una progressione aritmetica si ottiene dal primo termine sommando (n-1) volte il numero d.
Questa formula si chiama formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
Trova la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.
Scriviamo questo importo in due modi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Aggiungiamo queste uguaglianze termine per termine:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Questa somma ha 100 termini
Pertanto, 2S = 101 * 100, quindi S = 101 * 50 = 5050.
Consideriamo ora una progressione aritmetica arbitraria
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ...
Sia S n la somma dei primi n termini di questa progressione:
S n = un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n
Poi la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale a
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Poiché \(a_n=a_1+(n-1)d\), sostituendo una n in questa formula otteniamo un'altra formula per trovare somma dei primi n termini di una progressione aritmetica:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.
Che tipo di progressione è questa?
Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.
Qualsiasi sequenza numeri reali, che si ottiene aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente, è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:
Qui i è il numero seriale dell'elemento della riga a i. Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.
Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.
Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula
Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi calcolarne la somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo dello stesso valore d = 1, allora la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.
Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n ; numero totale n termini.
Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza mentre cercava una soluzione a un problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.
Somma degli elementi da m a n: formula
La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?
Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti presentare il segmento dato da m a n della progressione sotto forma di una nuova serie numerica. In questa visione mese a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Esempio di utilizzo delle formule
Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.
Di seguito una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:
I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:
a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;
a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.
Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, nonché sapendo quali numeri della serie occupano, è possibile utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Risulterà:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.
Problemi sulla progressione aritmetica esistevano già nell'antichità. Sono comparsi e hanno chiesto una soluzione perché l'avevano fatta necessità pratica.
Quindi, in uno dei papiri Antico Egitto", che ha un contenuto matematico - il papiro Rhind (XIX secolo a.C.) - contiene il seguente compito: dividere dieci misure di pane tra dieci persone, a condizione che la differenza tra ciascuna di esse sia un ottavo della misura."
E nelle opere matematiche degli antichi greci si trovano eleganti teoremi legati alla progressione aritmetica. Così, Ipsicle di Alessandria (II secolo, che compilò molti problemi interessanti e aggiunse il quattordicesimo libro agli Elementi di Euclide), formulò l'idea: “In una progressione aritmetica che ha un numero pari di termini, la somma dei termini della 2a metà è maggiore della somma dei termini del 1° sul quadrato 1/2 numeri di membri."
La sequenza è indicata con un. I numeri di una sequenza sono chiamati i suoi membri e sono solitamente designati da lettere con indici che indicano il numero di serie di questo membro (a1, a2, a3... leggi: “un 1°”, “un 2°”, “un 3°” e così via).
La sequenza può essere infinita o finita.
Cos'è una progressione aritmetica? Con esso si intende quello ottenuto sommando il termine precedente (n) con lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.
Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, allora questa progressione è considerata crescente.
Una progressione aritmetica si dice finita se si prendono in considerazione solo i suoi primi termini. A molto grandi quantità membri è già una progressione infinita.
Qualsiasi progressione aritmetica è definita dalla seguente formula:
an =kn+b, dove b e k sono alcuni numeri.
È assolutamente vera l'affermazione opposta: se una sequenza è data da una formula simile, allora è esattamente una progressione aritmetica che ha le proprietà:
- Ogni termine della progressione è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo.
- Inversa: se, a partire dal 2°, ogni termine è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo, cioè se la condizione è soddisfatta, questa sequenza è una progressione aritmetica. Questa uguaglianza è allo stesso tempo un segno di progressione, quindi viene solitamente chiamata una proprietà caratteristica della progressione.
Allo stesso modo è vero il teorema che riflette questa proprietà: una successione è una progressione aritmetica solo se questa uguaglianza è vera per uno qualsiasi dei termini della successione, a cominciare dal 2°.
La proprietà caratteristica di quattro numeri qualsiasi di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula an + am = ak + al, se n + m = k + l (m, n, k sono numeri di progressione).
In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (N-esimo) può essere trovato utilizzando la seguente formula:
Ad esempio: il primo termine (a1) in una progressione aritmetica è dato e pari a tre, e la differenza (d) è pari a quattro. Devi trovare il quarantacinquesimo termine di questa progressione. a45 = 1+4(45-1)=177
La formula an = ak + d(n - k) permette di determinare l'n-esimo termine di una progressione aritmetica attraverso uno qualsiasi dei suoi k-esimi termini, purché noto.
La somma dei termini di una progressione aritmetica (ovvero i primi n termini di una progressione finita) si calcola come segue:
Sn = (a1+an) n/2.
Se è noto anche il primo termine, per il calcolo è conveniente un'altra formula:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
La somma di una progressione aritmetica che contiene n termini si calcola come segue:
La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni dei problemi e dai dati iniziali.
Serie naturali di qualsiasi numero, ad esempio 1,2,3,...,n,...- esempio più semplice progressione aritmetica.
Oltre alla progressione aritmetica esiste anche una progressione geometrica, che ha le sue proprietà e caratteristiche.
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