Istruzioni
Progressione aritmeticaè una sequenza della forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Passo numero d progressione.È ovvio che il generale di un arbitrario n-esimo termine dell'aritmetica progressione ha la forma: An = A1+(n-1)d. Poi conoscendo uno dei membri progressione, membro progressione e passo progressione, puoi, cioè il numero del membro di avanzamento. Ovviamente sarà determinato dalla formula n = (An-A1+d)/d.
Facciamo ora conoscere l'ennesimo termine progressione e un altro membro progressione- nesimo, ma n , come nel caso precedente, ma è noto che n e m non coincidono progressione può essere calcolato utilizzando la formula: d = (An-Am)/(n-m). Allora n = (An-Am+md)/d.
Se è nota la somma di più elementi di un'equazione aritmetica progressione, così come il primo e l'ultimo, è possibile determinare anche il numero di questi elementi La somma dell'aritmetica progressione sarà uguale a: S = ((A1+An)/2)n. Allora n = 2S/(A1+An) - chdenov progressione. Considerando che An = A1+(n-1)d, questa formula può essere riscritta come: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Da ciò possiamo esprimere n risolvendo equazione quadratica.
Una sequenza aritmetica è un insieme ordinato di numeri, ciascuno dei quali, tranne il primo, differisce dal precedente della stessa quantità. Questo valore costante è chiamato differenza della progressione o del suo passo e può essere calcolato dai termini noti della progressione aritmetica.
Istruzioni
Se i valori del primo e del secondo o di qualunque altra coppia di termini adiacenti sono noti dalle condizioni del problema, per calcolare la differenza (d) è sufficiente sottrarre quello precedente dal termine successivo. Il valore risultante può essere positivo o numero negativo- dipende se la progressione è in aumento. In forma generale, scrivi la soluzione per una coppia arbitraria (aᵢ e aᵢ₊₁) di termini vicini della progressione come segue: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Per una coppia di termini di tale progressione, di cui uno è il primo (a₁), e l'altro è un qualsiasi altro scelto arbitrariamente, è anche possibile creare una formula per trovare la differenza (d). Tuttavia, in questo caso, deve essere noto il numero di serie (i) di un membro arbitrariamente selezionato della sequenza. Per calcolare la differenza, somma entrambi i numeri e dividi il risultato risultante per il numero ordinale di un termine arbitrario ridotto di uno. IN visione generale scrivi questa formula in questo modo: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Se, oltre a un membro arbitrario di una progressione aritmetica con numero ordinale i, è noto un altro membro con numero ordinale u, modificare di conseguenza la formula del passaggio precedente. In questo caso, la differenza (d) della progressione sarà la somma di questi due termini divisa per la differenza dei loro numeri ordinali: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
La formula per calcolare la differenza (d) diventa un po' più complicata se le condizioni del problema danno il valore del suo primo termine (a₁) e la somma (Sᵢ) di un dato numero (i) dei primi termini della sequenza aritmetica. Per ottenere il valore desiderato, dividi la somma per il numero di termini che la compongono, sottrai il valore del primo numero della sequenza e raddoppia il risultato. Dividi il valore risultante per il numero di termini che compongono la somma, ridotto di uno. In generale, scrivere la formula per il calcolo del discriminante è la seguente: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Il concetto di sequenza numerica implica che ogni numero naturale corrisponda a un valore reale. Tale serie di numeri può essere arbitraria o avere determinate proprietà: una progressione. In quest'ultimo caso, ogni elemento successivo (membro) della sequenza può essere calcolato utilizzando quello precedente.
Una progressione aritmetica è una sequenza di valori numerici in cui i suoi membri vicini differiscono tra loro dello stesso numero (tutti gli elementi della serie, a partire dal 2°, hanno una proprietà simile). Questo numero, la differenza tra il termine precedente e quello successivo, è costante ed è chiamato differenza di progressione.
Differenza di progressione: definizione
Consideriamo una sequenza composta da j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j appartiene all'insieme numeri naturali N. La progressione aritmetica, secondo la sua definizione, è una sequenza in cui a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Il valore d è la differenza desiderata di questa progressione.
d = a(j) – a(j-1).
Evidenziare:
- Una progressione crescente, nel qual caso d > 0. Esempio: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progressione decrescente, quindi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progressione delle differenze e suoi elementi arbitrari
Se si conoscono 2 termini arbitrari della progressione (i-esimo, k-esimo), la differenza per una determinata sequenza può essere determinata in base alla relazione:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, che significa d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Differenza di progressione e suo primo termine
Questa espressione aiuterà a determinare un valore sconosciuto solo nei casi in cui è noto il numero dell'elemento della sequenza.
Differenza di progressione e sua somma
La somma di una progressione è la somma dei suoi termini. Per calcolare il valore totale dei suoi primi j elementi, utilizzare la formula appropriata:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ma poiché a(j) = a(1) + d(j – 1), allora S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Progressioni aritmetiche e geometriche
Informazioni teoriche
Informazioni teoriche
Progressione aritmetica |
Progressione geometrica |
|
Definizione |
Progressione aritmetica UNè una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al membro precedente sommato allo stesso numero D (D- differenza di progressione) |
Progressione geometrica b nè una sequenza di numeri diversi da zero, ciascun termine dei quali, a partire dal secondo, è uguale al termine precedente moltiplicato per lo stesso numero Q (Q- denominatore della progressione) |
Formula di ricorrenza |
Per qualsiasi naturale N |
Per qualsiasi naturale N |
Formula ennesimo termine |
un n = un 1 + d (n-1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Proprietà caratteristica |  |
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| Somma dei primi n termini |  |
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Esempi di attività con commenti
Compito 1
Nella progressione aritmetica ( UN) un 1 = -6, un 2
Secondo la formula dell’ennesimo termine:
un 22 = un 1+ d (22 - 1) = un 1+ 21 d
Secondo la condizione:
un 1= -6, quindi un 22= -6 + 21 d.
È necessario trovare la differenza delle progressioni:
d = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Risposta : un 22 = -48.
Compito 2
Trova il quinto termine della progressione geometrica: -3; 6;....
1° metodo (utilizzando la formula n-termine)
Secondo la formula per l'ennesimo termine di una progressione geometrica:
b5 = b1 ∙ q5 - 1 = b1 ∙ q4.
Perché b1 = -3,
2° metodo (utilizzando la formula ricorrente)
Poiché il denominatore della progressione è -2 (q = -2), allora:
b3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Risposta : b5 = -48.
Compito 3
Nella progressione aritmetica ( a n) a 74 = 34; un 76= 156. Trova il settantacinquesimo termine di questa progressione.
Per una progressione aritmetica la proprietà caratteristica ha la forma 
.
Da ciò segue:
.
Sostituiamo i dati nella formula:
Risposta: 95.
Compito 4
Nella progressione aritmetica ( un n) un n= 3n - 4. Trova la somma dei primi diciassette termini.
Per trovare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si utilizzano due formule:
.
Quale di questi è più conveniente da usare in questo caso?
Per condizione, è nota la formula per l'ennesimo termine della progressione originale ( UN) UN= 3n - 4. Puoi trovare immediatamente e un 1, E un 16 senza trovare d. Utilizzeremo quindi la prima formula.
Risposta: 368.
Compito 5
Nella progressione aritmetica( UN) un 1 = -6; un 2= -8. Trova il ventiduesimo termine della progressione.
Secondo la formula dell’ennesimo termine:
un 22 = un 1 + d (22 – 1) = un 1+21d.
A condizione, se un 1= -6, quindi un 22= -6 + 21d . È necessario trovare la differenza delle progressioni:
d = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Risposta : un 22 = -48.
Compito 6
Si scrivono più termini consecutivi della progressione geometrica:
Trovare il termine della progressione indicata da x.
Durante la risoluzione, utilizzeremo la formula per l'ennesimo termine b n = b 1 ∙ q n - 1 Per progressioni geometriche. Il primo termine della progressione. Per trovare il denominatore della progressione q, devi prendere uno qualsiasi dei termini indicati della progressione e dividerlo per quello precedente. Nel nostro esempio, possiamo prendere e dividere per. Otteniamo che q = 3. Al posto di n sostituiamo 3 nella formula, poiché è necessario trovare il terzo termine di una data progressione geometrica.
Sostituendo i valori trovati nella formula, otteniamo:
.
Risposta : .
Compito 7
Dalle progressioni aritmetiche date dalla formula dell'ennesimo termine selezionare quello per cui è soddisfatta la condizione un 27 > 9:
Poiché la condizione data deve essere soddisfatta per il 27° termine della progressione, sostituiamo 27 invece di n in ciascuna delle quattro progressioni. Nella 4a progressione otteniamo:
.
Risposta: 4.
Compito 8
Nella progressione aritmetica un 1= 3, d = -1,5. Specificare valore più alto n per cui vale la disuguaglianza UN > -6.
Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.
Che tipo di progressione è questa?
Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.
Qualsiasi sequenza numeri reali, che si ottiene aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente, è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:
Qui i è il numero seriale dell'elemento della riga a i. Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.
Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.
Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula
Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi calcolarne la somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo dello stesso valore d = 1, allora la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.
Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n ; numero totale n termini.
Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza mentre cercava una soluzione a un problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.
Somma degli elementi da m a n: formula
La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?
Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti presentare il segmento dato da m a n della progressione sotto forma di una nuova serie numerica. In questa visione mese a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Esempio di utilizzo delle formule
Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.
Di seguito una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:
I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:
a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;
a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.
Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, nonché sapendo quali numeri della serie occupano, è possibile utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Risulterà:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.
Quando studi l'algebra in una scuola secondaria (grado 9) uno dei argomenti importantiè lo studio delle sequenze numeriche, che includono progressioni geometriche e aritmetiche. In questo articolo esamineremo una progressione aritmetica ed esempi con soluzioni.
Cos'è una progressione aritmetica?
Per capirlo, è necessario definire la progressione in questione, nonché fornire le formule di base che verranno utilizzate successivamente per risolvere i problemi.
Aritmetica o è un insieme di numeri razionali ordinati, ciascun membro dei quali differisce dal precedente per un valore costante. Questo valore è chiamato differenza. Cioè, conoscendo qualsiasi membro di una serie ordinata di numeri e la differenza, è possibile ripristinare l'intera progressione aritmetica.
Facciamo un esempio. La seguente sequenza di numeri sarà una progressione aritmetica: 4, 8, 12, 16, ..., poiché la differenza in questo caso è 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ma l’insieme dei numeri 3, 5, 8, 12, 17 non può più essere attribuito al tipo di progressione in esame, poiché la differenza per esso non è valore costante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formule importanti
Presentiamo ora le formule di base che saranno necessarie per risolvere i problemi utilizzando la progressione aritmetica. Indichiamo con il simbolo a n ennesimo termine sequenze in cui n è un numero intero. Indichiamo la differenza con la lettera latina d. Allora valgono le seguenti espressioni:
- Per determinare il valore dell'n-esimo termine è adatta la seguente formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Per determinare la somma dei primi n termini: S n = (a n +a 1)*n/2.
Per comprendere eventuali esempi di progressione aritmetica con soluzioni in 9a elementare, è sufficiente ricordare queste due formule, poiché eventuali problemi del tipo in esame si basano sul loro utilizzo. Dovresti anche ricordare che la differenza di progressione è determinata dalla formula: d = a n - a n-1.
Esempio n. 1: trovare un termine sconosciuto
Facciamo un semplice esempio di progressione aritmetica e le formule da utilizzare per risolverla.
Lascia che sia data la sequenza 10, 8, 6, 4, ..., devi trovare cinque termini in essa.
Dalle condizioni del problema risulta già che i primi 4 termini sono noti. La quinta può essere definita in due modi:
- Calcoliamo prima la differenza. Abbiamo: d = 8 - 10 = -2. Allo stesso modo, potresti prendere altri due membri qualsiasi uno accanto all'altro. Ad esempio, d = 4 - 6 = -2. Poiché è noto che d = a n - a n-1, allora d = a 5 - a 4, da cui si ottiene: a 5 = a 4 + d. Sostituiamo i valori noti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Anche il secondo metodo richiede la conoscenza della differenza della progressione in questione, quindi è necessario prima determinarla come mostrato sopra (d = -2). Sapendo che il primo termine a 1 = 10, usiamo la formula per il numero n della sequenza. Abbiamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Sostituendo n = 5 nell'ultima espressione, otteniamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Come puoi vedere, entrambe le soluzioni hanno portato allo stesso risultato. Si noti che in questo esempio la differenza di progressione d è un valore negativo. Tali sequenze sono dette decrescenti, poiché ogni termine successivo è minore del precedente.
Esempio n.2: differenza di progressione
Ora complichiamo un po' il compito, forniamo un esempio di come trovare la differenza di una progressione aritmetica.
È noto che in alcune progressioni algebriche il 1° termine è uguale a 6 e il 7° termine è uguale a 18. È necessario trovare la differenza e ripristinare questa sequenza al 7° termine.
Usiamo la formula per determinare il termine sconosciuto: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sostituiamo in essa i dati noti della condizione, cioè i numeri a 1 e a 7, abbiamo: 18 = 6 + 6 * d. Da questa espressione puoi facilmente calcolare la differenza: d = (18 - 6) /6 = 2. Abbiamo così risposto alla prima parte del problema.
Per riportare la sequenza al 7° termine, dovresti usare la definizione di progressione algebrica, cioè a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d e così via. Ripristiniamo di conseguenza l'intera sequenza: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.
Esempio n.3: redazione di una progressione
Complichiamo ancora di più il problema. Ora dobbiamo rispondere alla domanda su come trovare una progressione aritmetica. Si può fare il seguente esempio: vengono dati due numeri, ad esempio 4 e 5. È necessario creare una progressione algebrica in modo che tra questi vengano inseriti altri tre termini.
Prima di iniziare a risolvere questo problema, devi capire quale posto occuperanno i numeri indicati nella progressione futura. Dato che ci saranno altri tre termini tra loro, allora a 1 = -4 e a 5 = 5. Stabilito questo, passiamo al problema, che è simile al precedente. Ancora una volta, per l'ennesimo termine usiamo la formula, otteniamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Da: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Quello che abbiamo qui non è un valore intero della differenza, ma è un numero razionale, quindi le formule per la progressione algebrica rimangono le stesse.
Ora aggiungiamo la differenza trovata a 1 e ripristiniamo i termini mancanti della progressione. Otteniamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, che coincideva con le condizioni del problema.
Esempio n.4: primo termine della progressione
Continuiamo a fornire esempi di progressione aritmetica con soluzioni. In tutti i problemi precedenti era noto il primo numero della progressione algebrica. Consideriamo ora un problema di tipo diverso: siano dati due numeri, dove a 15 = 50 e a 43 = 37. È necessario trovare con quale numero inizia questa sequenza.
Le formule finora utilizzate presuppongono la conoscenza di a 1 e d. Nella dichiarazione del problema non si sa nulla di questi numeri. Tuttavia, scriveremo le espressioni per ciascun termine su cui sono disponibili informazioni: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Abbiamo ricevuto due equazioni in cui ci sono 2 quantità incognite (a 1 e d). Ciò significa che il problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari.
Il modo più semplice per risolvere questo sistema è esprimere un 1 in ciascuna equazione e quindi confrontare le espressioni risultanti. Prima equazione: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; seconda equazione: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Uguagliando queste espressioni, otteniamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, da cui la differenza d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (sono fornite solo 3 cifre decimali).
Conoscendo d, puoi usare una qualsiasi delle 2 espressioni sopra per un 1. Ad esempio, primo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Se hai dubbi sul risultato ottenuto, puoi verificarlo, ad esempio, determinare il 43° termine della progressione, che è specificato nella condizione. Otteniamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Il piccolo errore è dovuto al fatto che nei calcoli è stato utilizzato l'arrotondamento ai millesimi.
Esempio n.5: importo
Consideriamo ora alcuni esempi con soluzioni per la somma di una progressione aritmetica.
Sia data una progressione numerica il seguente tipo: 1, 2, 3, 4, ...,. Come calcolare la somma di 100 di questi numeri?
Grazie allo sviluppo della tecnologia informatica, è possibile risolvere questo problema, ovvero aggiungere tutti i numeri in sequenza, cosa che il computer farà non appena una persona preme il tasto Invio. Tuttavia, il problema può essere risolto mentalmente se si presta attenzione al fatto che la serie di numeri presentata è una progressione algebrica e la sua differenza è uguale a 1. Applicando la formula per la somma, otteniamo: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
È interessante notare che questo problema è chiamato “gaussiano” perché in inizio XVIII secolo, il famoso tedesco, quando aveva solo 10 anni, riuscì a risolverlo mentalmente in pochi secondi. Il ragazzo non conosceva la formula per sommare una progressione algebrica, ma notò che se si sommano a coppie i numeri agli estremi della sequenza si ottiene sempre lo stesso risultato, cioè 1+100=2+99 = 3 + 98 = ..., e poiché queste somme saranno esattamente 50 (100/2), allora per ottenere la risposta corretta è sufficiente moltiplicare 50 per 101.
Esempio n.6: somma dei termini da n a m
Un altro tipico esempio di somma di una progressione aritmetica è il seguente: data una serie di numeri: 3, 7, 11, 15, ..., bisogna trovare a quanto sarà uguale la somma dei suoi termini da 8 a 14 .
Il problema si risolve in due modi. Il primo consiste nel trovare i termini sconosciuti da 8 a 14 e poi sommarli in sequenza. Poiché ci sono pochi termini, questo metodo non richiede molta manodopera. Tuttavia, si propone di risolvere questo problema utilizzando un secondo metodo, più universale.
L'idea è di ottenere una formula per la somma della progressione algebrica tra i termini m e n, dove n > m sono numeri interi. In entrambi i casi scriviamo due espressioni per la somma:
- S m = m * (am + a 1) / 2.
- S n = n * (an + a 1) / 2.
Poiché n > m, è ovvio che la 2a somma include la prima. L'ultima conclusione significa che se prendiamo la differenza tra queste somme e vi aggiungiamo il termine a m (nel caso della differenza, viene sottratto dalla somma S n), otterremo la risposta necessaria al problema. Abbiamo: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). È necessario sostituire le formule per a n e m in questa espressione. Quindi otteniamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
La formula risultante è un po' complicata, tuttavia la somma S mn dipende solo da n, m, a 1 e d. Nel nostro caso a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sostituendo questi numeri, otteniamo: S mn = 301.
Come si può vedere dalle soluzioni di cui sopra, tutti i problemi si basano sulla conoscenza dell'espressione per l'ennesimo termine e della formula per la somma dell'insieme dei primi termini. Prima di iniziare a risolvere uno qualsiasi di questi problemi, si consiglia di leggere attentamente la condizione, comprendere chiaramente cosa si desidera trovare e solo successivamente procedere con la soluzione.
Un altro suggerimento è quello di tendere alla semplicità, cioè se puoi rispondere a una domanda senza utilizzare calcoli matematici complessi, allora devi farlo, poiché in questo caso la probabilità di commettere un errore è inferiore. Ad esempio, nell'esempio di una progressione aritmetica con la soluzione n. 6, ci si potrebbe fermare alla formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e rottura compito comune in sottoattività separate (in questo caso, trova prima i termini a n e a m).
Se si hanno dubbi sul risultato ottenuto si consiglia di verificarlo, come è stato fatto in alcuni degli esempi riportati. Abbiamo scoperto come trovare una progressione aritmetica. Se lo capisci, non è così difficile.
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