Classe 12 . Numeri complessi.

12.1. Definizione di numeri complessi in forma algebrica. Confronto e rappresentazione dei numeri complessi sul piano complesso. Accoppiamento complesso. Addizione, moltiplicazione, divisione di numeri complessi.

12.2. Modulo, argomento di un numero complesso.

12.3. Forme trigonometriche ed esponenziali di scrittura di un numero complesso.

12.4. Elevare a potenza intera ed estrarre la radice di un numero complesso.

Definizione di numeri complessi in forma algebrica. Confronto e rappresentazione dei numeri complessi sul piano complesso. Accoppiamento complesso. Addizione, moltiplicazione, divisione di numeri complessi.

Un numero complesso in forma algebrica è il numero

Dove
chiamato unità immaginaria E
- numeri reali:
chiamato parte reale (reale).;
- parte immaginaria numero complesso . Numeri complessi della forma
sono chiamati numeri puramente immaginari. L'insieme di tutti i numeri complessi è indicato con la lettera .

Per definizione,

L'insieme di tutti i numeri reali fa parte del set
: . D'altra parte, ci sono numeri complessi che non appartengono all'insieme
.
Per esempio,
.

E

, Perché I numeri complessi in forma algebrica emergono naturalmente quando si risolvono equazioni quadratiche con un discriminante negativo.
.

Esempio 1

. Risolvi l'equazione

,
.

Soluzione. , Pertanto, l'equazione quadratica data ha radici complesse

,

,
.

Esempio 2 ,

. Trovare le parti reali e immaginarie dei numeri complessi
Di conseguenza, le parti reali e immaginarie del numero Qualsiasi numero complesso
rappresentato da un vettore sul piano complesso , che rappresenta un piano con un sistema di coordinate cartesiane
. L'inizio del vettore si trova nel punto
e la fine è nel punto con le coordinate
- asse immaginario del piano complesso .

I numeri complessi vengono confrontati tra loro solo tramite segni
. .
Se almeno una delle uguaglianze:
. è violato, quindi
Record di tipo.

non ha senso Per definizione, complesso
numero
chiamato complesso coniugato di un numero
.
In questo caso scrivono

. E' ovvio

. Ovunque sotto, una barra sopra un numero complesso indicherà una coniugazione complessa. Per esempio, .

Sopra numeri complessi

È possibile eseguire operazioni come addizione (sottrazione), moltiplicazione, divisione.

1. Addizione di numeri complessi

fatto così:

Proprietà dell'operazione di addizione:
- proprietà di commutatività; - proprietà associativa.

È facile vedere che geometricamente l'addizione di numeri complessi significa la somma di quelli ad essi corrispondenti sul piano vettori secondo la regola del parallelogramma.

Operazione di sottrazione di numeri vettori secondo la regola del parallelogramma.

da tra

1. Addizione di numeri complessi

fatto così:

2. Moltiplicazione di numeri complessi

Proprietà dell'operazione di moltiplicazione: - proprietà dell'associatività;
- la legge della distributività.

.

3. Divisione di numeri complessi fattibile solo con
ed è fatto così:

Esempio 3. Trovare
ed è fatto così:

, Se .
.

Esempio 4

. Calcolare

z, perché

.(ahi!)
Non è difficile verificare (si consiglia di farlo da soli) la validità delle seguenti affermazioni: Modulo, argomento di un numero complesso. Modulo di un numero complesso
(modulo
.

indicato da ) è un numero non negativo , cioè. Significato geometrico
- lunghezza del vettore che rappresenta il numero sul piano complesso .
.

Equazione
definisce l'insieme di tutti i numeri Modulo, argomento di un numero complesso.
(vettori per ), i cui estremi giacciono sulla circonferenza unitaria
Argomento sui numeri complessi , cioè. (discussione ) questo è un angolo
in radianti tra l'asse reale e numero , E positivo se viene conteggiato
in radianti tra l'asse reale A.

in senso antiorario e negativo se
misurato dall'asse
in senso orario Quindi l'argomento numerico
è determinato in modo ambiguo, fino a un termine . , Dove
. Sicuramente un argomento numerico
,determinato entro un giro del cerchio unitario sull'aereo
.

Di solito devi trovare
nell'intervallo questo valore è chiamato valore principale dell'argomento numerico
ed è designato E numeri può essere trovato dall'equazione , Mentre Necessariamente
:

devono essere presi in considerazione
, in quale quarto dell'aereo si trova la fine del vettore

devono essere presi in considerazione
- punto Se

devono essere presi in considerazione
(1° quarto dell'aereo si trova la fine del vettore

devono essere presi in considerazione
), Quello ; (2° quarto dell'aereo

), Quello;
(3° quarto dell'aereo
(piano del 4° quarto
), Quello . è determinato in modo ambiguo, fino a un termine .

In effetti, il modulo e l'argomento del numero, queste sono le coordinate polari

.

punti
- fine del vettore , si possono trovare immediatamente dalle rappresentazioni grafiche di questi numeri sull'aereo .

Forme trigonometriche ed esponenziali di scrittura di un numero complesso. Moltiplicazione e divisione di numeri complessi in notazione trigonometrica ed esponenziale.

Notazione trigonometrica numero complesso
ha la forma:

, (2)

Dove - modulo, - argomento sui numeri complessi . Questa rappresentazione dei numeri complessi segue dalle uguaglianze.

Indicativo(esponenziale) forma di scrittura di un numero complesso
ha la forma:

, (3)

Dove - modulo, - argomento numerico . La possibilità di rappresentare i numeri complessi in forma esponenziale (3) deriva dalla forma trigonometrica (2) e dalla formula di Eulero:

. (4)

Questa formula è dimostrata nel corso della TFKP (Teoria delle funzioni di una variabile complessa).

Esempio 6. Trova forme trigonometriche ed esponenziali per numeri complessi: dall'esempio 5.

Soluzione. Usiamo i risultati dell'Esempio 5, in cui si trovano i moduli e gli argomenti di tutti i numeri indicati.

,

.

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale di scrittura di un numero .

3)

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale di scrittura di un numero .

Forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale di scrittura di un numero .

5)

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale di scrittura di un numero .

Forma trigonometrica di un numero ,

.

7)

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale di un numero .

- forma trigonometrica di scrittura di un numero ,

- forma esponenziale di scrittura di un numero .

La forma esponenziale di scrittura dei numeri complessi porta alla seguente interpretazione geometrica delle operazioni di moltiplicazione e divisione dei numeri complessi. Permettere
- Forme esponenziali dei numeri
.

1. Quando si moltiplicano numeri complessi, i loro moduli vengono moltiplicati e i loro argomenti vengono aggiunti.

2. Quando si divide un numero complesso per numero risulta essere un numero complesso , modulo che è uguale al rapporto tra i moduli e l'argomento - differenze
argomenti numerici
.

Elevare a potenza intera ed estrarre la radice di un numero complesso.

Per definizione,

Quando elevato a potenza intera numero complesso
, dovresti procedere in questo modo: trova prima il modulo e argomento questo numero; introdurre in forma dimostrativa
;
Trovare

eseguendo la seguente sequenza di azioni

Dove . (5) Commento.
Discussione
numeri
potrebbe non appartenere all'intervallo . In questo caso, in base al valore ottenuto

trovare il significato principale
discussione
numeri
, aggiungendo (o sottraendo) un numero

con questo significato
, A apparteneva all'intervallo .

. fattibile solo con .
Successivamente, è necessario sostituire nelle formule (5)
.

1)
=
SU Esempio 7

2)
, Se
.
.
.

(vedi numero dall'esempio 6).

, Dove
.

3)
, Se
.
.

Quindi, può essere sostituito da e, il che significa

Dove Sostituiremo
SU . Quindi,
Estrazione delle radici

IV grado

da un numero complesso Di solito devi trovare effettuata secondo la formula di Moivre-Laplace

Numeri complessi

Immaginario

rappresentazione dei numeri complessi. Piano complesso.

Modulo e argomento di un numero complesso. Trigonometrico

forma dei numeri complessi. Operazioni con complesso

numeri in forma trigonometrica. La formula di Moivre.

Informazioni iniziali O immaginario E numeri complessi sono riportati nella sezione “Numeri immaginari e complessi”. La necessità di questi numeri di nuovo tipo è nata durante la risoluzione di equazioni quadratiche per il casoD< 0 (здесь D– discriminante equazione quadratica). Per molto tempo questi numeri non avevano alcuna applicazione fisica, motivo per cui venivano chiamati numeri “immaginari”. Tuttavia, ora sono ampiamente utilizzati in vari campi della fisica.

e tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.

IV grado sono scritti nella forma:a+bi. Qui UN Di solito devi trovare B – numeri reali , UN io – unità immaginaria, cioè e. io 2 = –1. Numero UN chiamato ascissa, UN b – ordinatanumero complessoa+bi.Due numeri complessia+bi. a–bi sono chiamati coniugare numeri complessi.

Principali accordi:

1. Numero realeUNpuò anche essere scritto nella formanumero complesso:a+ 0 io O UN - 0 io. Ad esempio, registra 5 + 0io e 5 – 0 iosignificano lo stesso numero 5 .

2. Numero complesso 0 + bichiamato puramente immaginario numero. Documentazionebisignifica uguale a 0 + bi.

3. Due numeri complessia+bi Ec+disono considerati uguali seun = c Di solito devi trovare b = d. Altrimenti i numeri complessi non sono uguali.

Aggiunta. Somma di numeri complessia+bi E c+diè chiamato numero complesso (a+c ) + (b+d ) io.Così, quando si aggiunge numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono aggiunte separatamente.

Questa definizione corrisponde alle regole per le operazioni con polinomi ordinari.

Sottrazione. La differenza di due numeri complessia+bi(diminuito) e c+di(sottraendo) è chiamato numero complesso (a–c ) + (b-d ) io.

Così, Quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.

Moltiplicazione. Prodotto di numeri complessia+bi. c+di si chiama numero complesso:

(ac–bd ) + (ad+bc ) io.Questa definizione deriva da due requisiti:

1) numeri a+bi E c+dideve essere moltiplicato come algebrico binomi,

2) numero ioha la proprietà principale:io 2 = – 1.

ESEMPIO ( a+bi )(a–bi) =a 2 + b 2 . Quindi, lavoro

due numeri complessi coniugati sono uguali al reale

un numero positivo.

Divisione. Dividere un numero complessoa+bi (divisibile) per un altroc+di(divisore) - significa trovare il terzo numeroe + f i(chat), che se moltiplicato per un divisorec+di, si traduce nel dividendoa+bi.

Se il divisore è diverso da zero la divisione è sempre possibile.

ESEMPIO Trova (8+io ) : (2 – 3 io) .

Soluzione. Riscriviamo questo rapporto come una frazione:

Moltiplicando il suo numeratore e denominatore per 2 + 3io

E Dopo aver eseguito tutte le trasformazioni, otteniamo:

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla retta numerica:

Ecco il punto UNindica il numero –3, puntoB– numero 2, e O- zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. A questo scopo scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con la stessa scala su entrambi gli assi. Poi il numero complessoa+bi sarà rappresentato da un punto P con ascissa a e ordinata b (vedi foto). Questo sistema di coordinate si chiama piano complesso .

Modulo numero complesso è la lunghezza del vettoreOP, che rappresenta un numero complesso sulla coordinata ( completo) aereo. Modulo di un numero complessoa+bi indicato | a+bi| o lettera R

Utilizzando la calcolatrice

Per valutare un'espressione, è necessario immettere una stringa da valutare. Quando si immettono numeri, il separatore tra la parte intera e quella frazionaria è un punto. Puoi usare le parentesi. Le operazioni sui numeri complessi sono la moltiplicazione (*), la divisione (/), l'addizione (+), la sottrazione (-), l'elevamento a potenza (^) e altre. Puoi utilizzare le forme esponenziali e algebriche per scrivere numeri complessi. Inserisci l'unità immaginaria ioè possibile senza il segno di moltiplicazione; negli altri casi è necessario il segno di moltiplicazione, ad esempio tra parentesi oppure tra un numero e una costante. È possibile utilizzare anche le costanti: il numero π viene inserito come esponente pi greco e, qualsiasi espressione nell'indicatore deve essere racchiusa tra parentesi.

Riga di esempio per il calcolo: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), che corrisponde all'espressione \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

La calcolatrice consente di utilizzare costanti, funzioni matematiche, operazioni aggiuntive e altro ancora. espressioni complesse, puoi familiarizzare con queste possibilità nella pagina delle regole generali per l'utilizzo dei calcolatori su questo sito.

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Notizia

07.07.2016
Aggiunta una calcolatrice per risolvere sistemi di equazioni algebriche non lineari: .

30.06.2016
Il sito ha un design responsive; le pagine vengono visualizzate adeguatamente sia su monitor di grandi dimensioni che su dispositivi mobili.

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Ricordiamo le informazioni necessarie sui numeri complessi.

Numero complessoè un'espressione della forma UN + bi, Dove UN, B sono numeri reali e io- il cosiddetto unità immaginaria, un simbolo il cui quadrato è uguale a –1, cioè io 2 = –1. Numero UN chiamato parte reale e il numero B - parte immaginaria numero complesso z = UN + bi. Se B= 0, allora invece UN + 0io semplicemente scrivono UN. Si può vedere che i numeri reali lo sono caso speciale numeri complessi.

Le operazioni aritmetiche sui numeri complessi sono le stesse che sui numeri reali: possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise tra loro. L'addizione e la sottrazione avvengono secondo la regola ( UN + bi) ± ( C + di) = (UN ± C) + (B ± D)io, e la moltiplicazione segue la regola ( UN + bi) · ( C + di) = (ca – bd) + (a.D + a.C)io(qui si usa così io 2 = –1). Numero = UN – bi chiamato coniugato complesso A z = UN + bi. Uguaglianza z · = UN 2 + B 2 ti permette di capire come dividere un numero complesso per un altro numero complesso (diverso da zero):

(Per esempio, .)

I numeri complessi hanno una rappresentazione geometrica comoda e visiva: numero z = UN + bi può essere rappresentato da un vettore di coordinate ( UN; B) sul piano cartesiano (o, che è quasi la stessa cosa, un punto - l'estremità di un vettore con queste coordinate). In questo caso, la somma di due numeri complessi viene rappresentata come la somma dei vettori corrispondenti (che può essere trovata utilizzando la regola del parallelogramma). Secondo il teorema di Pitagora, la lunghezza del vettore con coordinate ( UN; B) è uguale a . Questa quantità si chiama modulo numero complesso z = UN + bi ed è indicato con | z|. Viene chiamato l'angolo che questo vettore forma con la direzione positiva dell'asse x (contato in senso antiorario). discussione numero complesso z ed è indicato con Arg z. L'argomento non è definito univocamente, ma solo fino alla somma di un multiplo di 2 π radianti (o 360°, se contati in gradi) - dopo tutto, è chiaro che una rotazione di tale angolo attorno all'origine non cambierà il vettore. Ma se il vettore di length R forma un angolo φ con la direzione positiva dell'asse x, allora le sue coordinate sono uguali a ( R cos φ ; R peccato φ ). Da qui si scopre notazione trigonometrica numero complesso: z = |z| · (cos(Arg z) + io peccato (Arg z)). Spesso è conveniente scrivere numeri complessi in questa forma, perché semplifica notevolmente i calcoli. Moltiplicare numeri complessi in forma trigonometrica è molto semplice: z 1 · z 2 = |z 1| · | z 2| · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + io peccato (Arg z 1 + Arg z 2)) (quando si moltiplicano due numeri complessi, i loro moduli vengono moltiplicati e i loro argomenti vengono aggiunti). Da qui segui Le formule di Moivre: zn = |z|N· (cos( N· (Arg z)) + io peccato( N· (Arg z))). Usando queste formule, è facile imparare come estrarre radici di qualsiasi grado da numeri complessi. Radice ennesimo grado dal numero z- questo è un numero complesso w, Che cosa w n = z. Questo è chiaro , e , dove k può assumere qualsiasi valore dall'insieme (0, 1, ..., N– 1). Ciò significa che c'è sempre esattamente N radici N-esimo grado di un numero complesso (sul piano si trovano ai vertici del numero regolare N-gon).