Cosa significano le coordinate geodetiche x e y? Sistemi di coordinate utilizzati in geodesia e topografia

4.1. COORDINATE RETTANGOLARI

In topografia, le coordinate rettangolari sono quelle più utilizzate. Prendiamo due linee reciprocamente perpendicolari sul piano - OX E OH. Queste linee sono chiamate assi delle coordinate e il loro punto di intersezione ( O) - l'origine delle coordinate.

Riso. 4.1. Coordinate rettangolari

La posizione di qualsiasi punto sul piano può essere facilmente determinata specificando le distanze più brevi dagli assi delle coordinate al punto dato. Le distanze più brevi sono perpendicolari. Le distanze perpendicolari dagli assi delle coordinate a un dato punto sono chiamate coordinate rettangolari di questo punto. Rette parallele all'asse X, sono chiamate coordinate XUN e assi paralleli Y- coordinate AUN .
Quarti sistema rettangolare le coordinate sono numerate. Vengono contati in senso orario dalla direzione positiva dell'asse delle ascisse: I, II, III, IV (Fig. 4.1).
Le coordinate rettangolari discusse vengono utilizzate su un piano. Da qui hanno preso il nome coordinate rettangolari piatte. Questo sistema di coordinate viene utilizzato su piccole aree terreno considerato pianeggiante.

4.2. SISTEMA ZONALE DI COORDINATE GAUSSIANE RETTANGOLARI

Considerando la questione della “Proiezione di mappe topografiche”, si è notato che la superficie della Terra viene proiettata sulla superficie di un cilindro, che tocca la superficie della Terra lungo il meridiano assiale. In questo caso sul cilindro non viene proiettata tutta la superficie della Terra, ma solo una parte di essa, limitata da 3° di longitudine ad ovest e 3° ad est dal meridiano assiale. Poiché ciascuna delle proiezioni gaussiane trasferisce sul piano solo un frammento della superficie terrestre, limitato dai meridiani per 6° di longitudine, è necessario compilare un totale di 60 proiezioni (60 zone) sulla superficie terrestre. In ciascuna delle 60 proiezioni, a sistema separato coordinate rettangolari.
In ogni zona l'asse Xè il meridiano medio (assiale) della zona, situato a 500 km a ovest dalla sua posizione attuale, e l'asse Y- equatore (Fig. 4.2).

Riso. 4.2. Sistema di coordinate rettangolari
sulle carte topografiche

L'intersezione del meridiano assiale esteso con l'equatore sarà l'origine delle coordinate: x = 0, y = 0. Il punto di intersezione dell'equatore e l'attuale meridiano centrale ha le coordinate : x = 0, y = 500 km.
Ogni zona ha la sua origine. Le zone vengono contate dal meridiano di Greenwich verso est. La prima zona di sei gradi si trova tra il meridiano di Greenwich e il meridiano con longitudine est 6º (meridiano assiale 3º). La seconda zona è 6º est. - 12º E (meridiano assiale 9º). Terza zona - 12º est. - 18º est (meridiano assiale 15º). Quarta zona - 18º est. - 24º est (meridiano assiale 21º), ecc.
Il numero della zona è indicato nelle coordinate A prima cifra. Ad esempio, registra A = 4 525 340 significa che il punto indicato si trova nella quarta zona (prima cifra) a distanza 525 340 m dal meridiano assiale della zona, situato ad ovest di 500 km.

Per determinare il numero della zona in base alle coordinate geografiche, è necessario aggiungere 6 alla longitudine espressa in gradi interi e dividere l'importo risultante per 6. Come risultato della divisione, lasciamo solo un numero intero.

Esempio. Determina il numero della zona gaussiana per un punto avente una longitudine orientale di 18º10".
Soluzione. Al numero intero di gradi di longitudine 18 aggiungiamo 6 e dividiamo la somma per 6
(18 + 6) / 6 = 4.
La nostra mappa è nella quarta zona.

Difficoltà nell'utilizzo del sistema di coordinate zonali sorgono nei casi in cui il lavoro topografico e geodetico viene svolto in aree di confine situate in due zone adiacenti (adiacenti). Le linee di coordinate di tali zone si trovano ad angolo tra loro (Figura 4.3).

Per eliminare le complicazioni emergenti, a striscia di sovrapposizione delle zone , in cui le coordinate dei punti possono essere calcolate in due sistemi adiacenti. La larghezza della striscia di sovrapposizione è di 4°, 2° in ciascuna zona.

Una griglia aggiuntiva sulla mappa viene applicata solo sotto forma di uscite delle sue linee tra i fotogrammi minuti ed esterni. La sua digitalizzazione è una continuazione della digitalizzazione delle linee della griglia della zona adiacente. Ulteriori linee della griglia sono firmate all'esterno della cornice esterna del foglio. Di conseguenza, su un foglio di mappa situato nella zona orientale, collegando le omonime uscite della rete aggiuntiva, si ottiene una griglia chilometrica della zona occidentale. Utilizzando questa griglia è possibile determinare, ad esempio, le coordinate rettangolari di un punto IN nel sistema di coordinate rettangolari della zona occidentale, ovvero coordinate rettangolari dei punti UN E IN sarà ottenuto in un sistema di coordinate della zona occidentale.

Riso. 4.3. Linee chilometriche aggiuntive ai confini delle zone

Su una carta in scala 1:10.000, la griglia aggiuntiva è divisa solo su quei fogli in cui il meridiano orientale o occidentale del riquadro interno (riquadro trapezoidale) costituisce il confine della zona. Alle piante topografiche non viene applicata una griglia aggiuntiva.

4.3. DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE RETTANGOLARI USANDO UN COMPASSOMETRO

Un elemento importante mappa topografica(piano) è una griglia rettangolare. Su tutti i fogli di questa zona di 6 gradi, la griglia viene applicata sotto forma di file di linee, parallelo al meridiano assiale e all'equatore(Fig. 4.2). Le linee della griglia verticale sono parallele al meridiano assiale della zona e le linee orizzontali sono parallele all'equatore. Le linee orizzontali dei chilometri vengono contate dal basso verso l'alto e quelle verticali da sinistra a destra. .

Gli intervalli tra le linee sulle mappe in scala 1:200.000 - 1:50.000 sono 2 cm, 1:25.000 - 4 cm, 1:10.000 - 10 cm, che corrisponde a un numero intero di chilometri sul terreno. Pertanto, viene anche chiamata una mesh rettangolare chilometro, e le sue linee sono chilometro.
Le linee dei chilometri più vicine agli angoli della cornice del foglio della mappa sono contrassegnate con il numero completo di chilometri, il resto con le ultime due cifre. Iscrizione 60 65 (vedi Fig. 4.4) su una delle linee orizzontali significa che questa linea è a 6065 km dall'equatore (nord): iscrizione 43 07 sulla linea verticale significa che si trova nella quarta zona e si trova a 307 km a est dell'inizio del conteggio delle ordinate. Se un numero di tre cifre è scritto in piccoli numeri vicino alla linea verticale del chilometro, i primi due indicano il numero della zona.

Esempio.È necessario determinare dalla mappa le coordinate rettangolari di un punto del terreno, ad esempio un punto della rete geodetica statale (GGS) con il segno 214.3 (Fig. 4.4). Per prima cosa scrivi (in chilometri) l'ascissa del lato sud del quadrato in cui si trova questo punto (cioè 6065). Quindi, utilizzando un compasso e una scala lineare, determinare la lunghezza della perpendicolare Δх= 550 m, pubescente da dato punto a questa linea. Il valore risultante (in questo caso 550 m) viene aggiunto all'ascissa della linea. Il numero 6.065.550 è l'ascissa X Punto GGS.
L'ordinata del punto GGS è pari all'ordinata del lato occidentale dello stesso quadrato (4307 km), sommata alla lunghezza della perpendicolare Δу= 250 m, misurati sulla mappa. Il numero 4.307.250 è l'ordinata dello stesso punto.
In assenza di un compasso, le distanze si misurano con un righello o una striscia di carta.

X = 6065550, A= 4307250
Riso. 4.4. Definizione di coordinate rettangolari utilizzando una scala lineare

4.4. DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE RETTANGOLARI USANDO UN COORDINATOMETRO

Coordinatore - un quadratino con due lati perpendicolari. Lungo i bordi interni dei righelli sono presenti delle scale, la cui lunghezza è uguale alla lunghezza del lato delle celle delle coordinate della mappa di una determinata scala. Le divisioni sul misuratore delle coordinate vengono trasferite dalla scala lineare della mappa.
La scala orizzontale è allineata con la linea inferiore del quadrato (in cui si trova il punto) e la scala verticale dovrebbe passarci attraverso questo punto. Le scale determinano le distanze dal punto alle linee del chilometro.

xA = 6135.350 yA = 5577.710
Riso. 4.5. Determinazione delle coordinate rettangolari utilizzando un misuratore di coordinate

4.5. POSIZIONAMENTO DEI PUNTI SULLA MAPPA ALLE COORDINATE RETTANGOLARI SPECIFICATE

Per tracciare un punto su una mappa secondo coordinate rettangolari date, procedere come segue: nel record delle coordinate si trovano numeri a due cifre che abbreviano le linee della griglia rettangolare. Utilizzando il primo numero, sulla mappa viene trovata una linea della griglia orizzontale, mentre utilizzando il secondo numero viene trovata una linea della griglia verticale. La loro intersezione forma l'angolo sud-ovest del quadrato in cui si trova il punto desiderato. Sui lati orientale e occidentale della piazza sono posti due segmenti uguali dal lato meridionale, corrispondenti sulla scala della mappa al numero di metri nell'ascissa X . Le estremità dei segmenti sono collegate da una linea retta e su di essa, dal lato occidentale del quadrato, è tracciato in scala cartografica un segmento corrispondente al numero di metri in ordinata; la fine di questo segmento è il punto desiderato.

4.6. CALCOLO DELLE COORDINATE GAUSSIANE RETTANGOLARI PIATTE MEDIANTE LE COORDINATE GEOGRAFICHE

Coordinate gaussiane del piano rettangolare X E A molto difficile da mettere in relazione con le coordinate geografiche φ (latitudine) e λ punti (longitudine). superficie terrestre. Supponiamo che qualche punto UN ha coordinate geografiche φ E λ . Poiché la differenza nelle longitudini dei meridiani di confine della zona è di 6°, quindi per ciascuna delle zone è possibile ottenere le longitudini dei meridiani estremi: 1a zona (0° - 6°), 2a zona (6° - 12°), 3a zona (12° - 18°), ecc. Quindi, secondo longitudine geografica punti UNè possibile determinare il numero della zona in cui si trova questo punto. Allo stesso tempo, longitudine λ L'asse del meridiano assiale della zona è determinato dalla formula
λ sistema operativo = (6°n - 3°),
in cui N- numero di zona.

Per definire le coordinate rettangolari del piano X E A tramite coordinate geografiche φ E λ Usiamo le formule derivate per l'ellissoide di riferimento di Krasovsky (l'ellissoide di riferimento è una figura che si avvicina il più possibile alla figura della Terra nella parte su cui si trova questo stato o un gruppo di Stati):

X = 6367558,4969 (φ lieto ) − (a 0 − l 2 N)peccatoφ cosφ (4.1)
A(l) = lNcosφ (4.2)

Le formule (4.1) e (4.2) utilizzano la seguente notazione:
y(l) - distanza dal punto al meridiano assiale della zona;
l= (λ - λ sistema operativo ) - la differenza tra le longitudini del punto determinato e il meridiano assiale della zona);
φ lieto - latitudine di un punto, espressa in radianti;
N = 6399698,902 - cos2φ;
UN 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
UN 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) cos2φ - 0,1666667;
UN 4 = (0,25 + 0,00252 cos2φ) cos2φ - 0,04166;
UN 5 = 0,0083 - cos2φ;
UN 6 = (0,166 cos2φ - 0,084) cos2φ.
y" - distanza dal meridiano assiale situato ad ovest di 500 km.

Secondo la formula (4.1), il valore delle coordinate y(l) si ottengono rispetto al meridiano assiale della zona, cioè può risultare con segni “più” per la parte orientale della zona o segni “meno” per la parte occidentale della zona. Per registrare le coordinate sì nel sistema di coordinate zonali, è necessario calcolare la distanza di un punto dal meridiano assiale della zona, situato a 500 km a ovest (sì"nella tabella ) e scrivere il numero della zona davanti al valore risultante. Ad esempio, il valore ricevuto è
y(l)= -303678,774 m nella zona 47.
Poi
A= 47 (500000.000 - 303678.774) = 47196321.226 mt.
Utilizziamo fogli di calcolo per i calcoli MicrosoftXL .

Esempio. Calcolare le coordinate rettangolari di un punto avente coordinate geografiche:
φ = 47º02"15,0543"N; λ = 65º01"38.2456" est.

Al tavolo MicrosoftXL inserire i dati iniziali e le formule (Tabella 4.1).

Tabella 4.1.

		D	E	F
Parametro	Calcoli	salve

φ (gradi)	D2+E2/60+F2/3600
φ (rad)	RADIANTI(C3)


Cos2φ

Zona n.	INTERO((D8+6)/6)
λos (gradi)

l (gradi)	D11+E11/60+F11/3600
l (rad)	RADIANTI(C12)
	6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612C6^2)C6^2))*C6^2
UN 0	32140,404-((135,3302- (0,7092-0,004C6^2)C6^2))*C6^2
UN 4	=(0,25+0,00252C6^2)C6^2-0,04166
UN 6	=(0,166C6^2-0,084)C6^2
UN 3	=(0,3333333+0,001123C6^2)C6^2-0,1666667
UN 5	0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004C6^2)C6^2))*C6^2


	6367558.4969C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17C20)C20)) C20C14)))C5*C6)
	=((1+(C18+C19C20)C20))C13C14*C6
	ARROTONDA((500000+C23);3)
	CONCATENA(C9;C24)

Visualizzazione della tabella dopo i calcoli (Tabella 4.2).

Tabella 4.2.


Parametro	Calcoli	salve
φ (gradi, min, secondi)
φ (gradi)
φ (radianti)


Cos2φ
λ (gradi, min, sec)
Numero di zona
λos (gradi)
l (min, sec)
l (gradi)
l (radianti)

UN 0
UN 4
UN 6
UN 3
UN 5

4.7. CALCOLO DELLE COORDINATE GEOGRAFICHE USANDO COORDINATE GAUSSIANE RETTANGOLARI PIATTE

Per risolvere questo problema vengono utilizzate anche le formule di ricalcolo ottenute per l’ellissoide di riferimento di Krasovsky.
Supponiamo di dover calcolare le coordinate geografiche φ E λ punti UN dalle sue coordinate rettangolari piatte X E A, specificato nel sistema di coordinate zonali. In questo caso, il valore delle coordinate A trascritto indicando il numero della zona e tenendo conto dello spostamento del meridiano assiale della zona verso ovest di 500 km.
Valore pre-per A trova il numero della zona in cui si trova il punto da determinare e utilizza il numero della zona per determinare la longitudine λ o il meridiano assiale e dalla distanza dal punto al meridiano assiale riferito ad ovest, trovare la distanza y(l) da un punto al meridiano assiale della zona (quest'ultimo può avere un segno più o meno).
Valori delle coordinate geografiche φ E λ su coordinate rettangolari piane X E A trovato utilizzando le formule:
φ = φ X -z2b 2 ρ″ (4.3)
λ = λ 0 +l (4.4)
l = zρ″ (4,5)

Nelle formule (4.3) e (4.5):
φ x ″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (X / 6367558,4969) ρ″; ρ″ = 206264.8062″ - numero di secondi in un radiante
z = У(L) / (Nx сos φx);
N x = 6399698.902 - cos 2 φ x;
b 2 = (0,5 + 0,003369 cos 2 φ x) sin φ x cos φ x;
b 3 = 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ x) cos2 φ x;
b 4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos 2 φ x) cos 2 φ x;
b 5 = 0,2 - (0,1667 - 0,0088 cos 2 φ x) cos 2 φ x.

Utilizziamo fogli di calcolo per i calcoli MicrosoftXL .
Esempio. Calcola le coordinate geografiche di un punto utilizzando le coordinate rettangolari:
x = 5213504,619; y = 11654079,966.

Al tavolo MicrosoftXL inserire i dati iniziali e le formule (Tabella 4.3).

Tabella 4.3.


1		Parametro	Calcolo	Salve.	minimo	Sez.
2	1	X	5213504,619
	2	A	11654079,966
4	3	**N.zone***	SE(C3<1000000; C3/100000;C3/1000000)
5	4	Zona n.	INTERO(C4)
6	5	*λoos*	C5*6-3
7	6	*sì"*	C3-C5*1000000
8	7	*y(l)*	C7-500000
9	8	ρ″	206264,8062
10	9	β"	C2/6367558.4969*C9
11	10	*βrad*	RADIANTI(C10/3600)
12	11	β		TOTALE (C10/3600)	TOTALE ((C10-D12*3600)/60)	C10-D12* 3600-E12*60
13	12	*Peccato β*	PECCATO(C11)
14	13	*Cosβ*	COS(C11)
15	14	*Cos2β*	C14^2
16	15	*φ X "*	C10+(((50221746+((293622+ (2350+22C14^2)C14^2))C14^2))) 10^-10C13C14*C9
17	16	*φ X lieto*	RADIANTI(C16/3600)
18	17	*φ X*		TOTALE (C16/3600)	TOTALE ((C16-D18*3600)/60)	C16-D18* 3600-E18*60
19	18	*Peccato φ.*	PECCATO(C17)
20	19	*Cosφ X*	COS(C17)
21	20	*Cos2φ X*	C20^2
22	21	*N X*	6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612C21)C21))*C21
23	22	*Ν X Cosφ X*	C22*C20
24	23	z	C8/(C22*C20)
25	24	*z 2*	C24^2
26	25	*B 4*	0,25+(0,16161+0,00562C21)C21
27	26	*B 2*	=(0,5+0,003369C21)C19*C20
28	27	*B 3*	0,333333-(0,166667-0,001123C21)C21
29	28	*B 5*	0,2-(0,1667-0,0088C21)C21
30	29		C16-((1-(C26-0,12 C25)C25))C25C27*C9
31	30	φ		=INTERO (C30/3600)	=INTERO ((C30-D31*3600)/60)	=C30-D31* 3600-E31*60
32	31	l"	=((1-(C28-C29C25)C25))C24C9
33	32	*l 0*		=INTERO (C32/3600)	=INTERO ((C32-D33*3600)/60)	=C32-D33* 3600-E33*60
34	33	λ		C6+D33

Visualizzazione della tabella dopo i calcoli (Tabella 4.4).

Tabella 4.4.


Parametro	Calcolo	Salve.


Numero di zona*
Numero di zona
λoos (gradi)
*sì"*



βrad



Cos2β
φ X "
φ X lieto
φ X

Cosφ X
Cos2φ X
N X
Ν X Cosφ X

z 2
B 4
B 2
B 3
B 5

φ

l 0
λ

Se i calcoli vengono eseguiti correttamente, copiare entrambe le tabelle su un foglio, nascondere le righe dei calcoli intermedi e il numero di colonna e lasciare solo le righe per l'inserimento dei dati iniziali e dei risultati dei calcoli. Formattiamo la tabella e adattiamo i nomi delle colonne e delle colonne a tua discrezione.

I fogli di lavoro potrebbero assomigliare a questo

Tabella 4.5.

Note.
1. A seconda della precisione richiesta, è possibile aumentare o diminuire la profondità di bit.
2. Il numero di righe nella tabella può essere ridotto combinando i calcoli. Ad esempio, non calcolare separatamente i radianti di un angolo, ma scriverli subito nella formula =SIN(RADIANTI(C3)).
3. Arrotondamenti di cui al paragrafo 23 della tabella. 4.1. Produciamo per “frizione”. Numero di cifre nell'arrotondamento 3.
4. Se non modifichi il formato delle celle nelle colonne "Grad" e "Min", non ci saranno zeri prima dei numeri. Il cambio di formato qui viene effettuato solo per la percezione visiva (a discrezione dell'autore) e non influisce sui risultati del calcolo.
5. Per evitare di danneggiare accidentalmente le formule, è opportuno proteggere la tabella: Foglio Servizio / Proteggi. Prima di proteggere, seleziona le celle in cui inserire i dati originali, quindi: Formato cella / Protezione / Cella protetta: deseleziona la casella.

4.8. RAPPORTO TRA SISTEMI PIANI RETTANGOLARI E DI COORDINATE POLARI

La semplicità del sistema di coordinate polari e la possibilità di costruirlo rispetto a qualsiasi punto del terreno preso come polo hanno portato al suo ampio utilizzo in topografia. Per collegare tra loro i sistemi polari dei singoli punti del terreno, è necessario procedere alla determinazione della posizione di questi ultimi in un sistema di coordinate rettangolare, che può essere esteso ad un'area molto più ampia. La connessione tra i due sistemi viene stabilita risolvendo problemi geodetici diretti e inversi.
Problema geodetico diretto consiste nel determinare le coordinate del punto finale IN (figura 4.4) linee AB lungo la sua lunghezza G disposizione orizzontaleD , direzioneα e le coordinate del punto di partenza XUN , AUN .

Riso. 4.6. Risoluzione di problemi geodetici diretti e inversi

Quindi, se accettiamo il punto UN(Fig. 4.4) oltre il polo del sistema di coordinate polari e la linea retta AB- oltre l'asse polare parallelo all'asse OH, quindi le coordinate polari del punto IN Volere D E α . È necessario calcolare le coordinate rettangolari di questo punto nel sistema HOU.

Dalla fig. 3.4 è chiaro che XIN diverso da XUN per l'importo ( XIN - XUN ) = Δ XAB , UN AIN diverso da AUN per l'importo ( AIN - AUN ) = Δ AAB . Differenze di coordinate finali IN e primario UN punti della linea AB Δ X e Δ A chiamato incrementi di coordinate . Gli incrementi delle coordinate sono proiezioni ortogonali della linea AB sull'asse delle coordinate. Coordinate XIN E AIN può essere calcolato utilizzando le formule:

XIN = XUN + Δ XAB (4.1)
AIN = AUN + Δ AAB (4.2)

I valori di incremento sono determinati dal triangolo rettangolo DIA secondo quanto indicato D e α, poiché gli incrementi Δ X e Δ A sono i cateti di questo triangolo rettangolo:

Δ XAB =Dcos α (4.3)
Δ AAB = Dpeccato α (4.4)

Il segno degli incrementi delle coordinate dipende dall'angolo di posizione.

Tabella 4.1.

Sostituendo il valore degli incrementi Δ XAB e Δ AAB nelle formule (3.1 e 3.2), otteniamo formule per risolvere il problema geodetico diretto:

XIN = XUN + Dcos α (4.5)
AIN = AUN + Dpeccato α (4.6)

Problema geodetico inverso consiste nel determinare la lunghezza dello spazio orizzontaleDe la direzione α della linea AB secondo le coordinate date del suo punto iniziale A (xA, yA) e del punto finale B (xB, yB). L'angolo di direzione si calcola utilizzando i cateti di un triangolo rettangolo:

marrone chiaro α = (4.7)

Disposizione orizzontale D, determinato dalla formula:

D = (4.8)

Per risolvere problemi geodetici diretti e inversi, è possibile utilizzare i fogli di calcolo Microsoft Eccellere .

Esempio.
Punto dato UN con coordinate: XUN = 6068318,25; AUN = 4313450,37. Disposizione orizzontale (D) tra punto UN e punto INè uguale a 5248,36 m L'angolo tra la direzione nord dell'asse OH e la direzione verso il punto IN(angolo di posizione - α ) è pari a 30º.

Calcolare le coordinate rettangolari di un punto B(xIN ,AIN ).

Immissione di dati di origine e formule in fogli di calcolo Microsoft Excel (Tabella 4.2).

Tabella 4.2.


	Dati iniziali
	XUN
	AUN


	Calcoli
	Δ XAB =dcosα	B4*COS(RADIANTI(B5))
	Δ AAB = d peccato α	B4*SIN(RADIANTI(B5))
	XIN
	AIN

Visualizzazione della tabella dopo i calcoli (Tabella 4.3).

Tabella 4.3.


	Dati iniziali
	XUN
	AUN


	Calcoli
	Δ XAB =dcosα
	Δ AAB = d peccato α
	XIN
	AIN

Esempio.
Punti specificati UN E IN con coordinate:
XUN = 6068318,25; AUN = 4313450,37;
XIN = 6072863,46; AIN = 4313450,37.
Calcola la distanza orizzontale D tra punto UN e punto IN, e anche l'angolo α tra la direzione nord dell'asse OH e la direzione verso il punto IN.
Immissione di dati di origine e formule in fogli di calcolo Microsoft Excel (Tabella 4.4).

Tabella 4.4.


	Dati iniziali
	XUN
	AUN
	XIN
	AIN
	Calcoli
	ΔхAB
	ΔуAB
		Quadrato(B7^2+B8^2)
	Tangente
	Arcotangente
	Gradi	GRADI(B11)
	Scelta	SE(B12<0;B12+180;B12)
	Angolo di posizione (gradi)	SE(B8<0;B13+180;B13)

Vista della tabella dopo i calcoli (Tabella 4.5).

Tabella 4.5.


	Dati iniziali
	XUN
	AUN
	XIN
	AIN
	Calcoli
	ΔхAB
	ΔуAB

	Tangente
	Arcotangente
	Gradi
	Scelta
	Angolo di posizione (gradi)

Se i tuoi calcoli corrispondono a quelli del tutorial, nascondi i calcoli intermedi, formatta e proteggi la tabella.

Video
Coordinate rettangolari

Domande e compiti per l'autocontrollo

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Calcola la longitudine del meridiano assiale della zona di sei gradi in cui si trova Lugansk.
Come vengono calcolate le coordinate xey nel sistema di coordinate gaussiano rettangolare?
Spiegare la procedura per determinare le coordinate rettangolari su una mappa topografica utilizzando una bussola di misurazione.
Spiegare la procedura per determinare le coordinate rettangolari su una mappa topografica utilizzando un misuratore di coordinate.
Qual è l'essenza di un problema geodetico diretto?
Qual è l'essenza del problema geodetico inverso?
Quale quantità viene chiamata incremento delle coordinate?
Definire seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo.
Come possiamo applicare il teorema di Pitagora sulla relazione tra i lati di un triangolo rettangolo in topografia?

Sistema di coordinate rettangolari- un sistema di coordinate rettilineo con assi reciprocamente perpendicolari su un piano o nello spazio. Il sistema di coordinate più semplice e quindi più comunemente utilizzato. È molto facile e diretto generalizzare a spazi di qualsiasi dimensione, il che contribuisce anche alla sua ampia applicazione.

Termini correlati: cartesiano solitamente chiamato sistema di coordinate rettangolari con scale uguali lungo gli assi (così chiamato da René Descartes), e sistema di coordinate cartesiane generale chiamato sistema di coordinate affine (non rettangolare).

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Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è formato da due assi di coordinate reciprocamente perpendicolari e O (\displaystyle O), che è chiamata origine delle coordinate, su ciascun asse viene scelta la direzione positiva.

Posizione del punto A (\displaystyle A) sul piano è determinata da due coordinate x (\displaystyle x) E y (\displaystyle y). Coordinata x (\displaystyle x) uguale alla lunghezza del segmento O B, coordinare y (\displaystyle y)- lunghezza del segmento OC (\displaystyle OC) O B E OC (\displaystyle OC) sono determinati dalle linee tracciate dal punto A (\displaystyle A) paralleli agli assi Y′Y (\displaystyle Y"Y) E X′X (\displaystyle X"X) rispettivamente.
A queste coordinate x (\displaystyle x) B (\displaystyle B) giace sul raggio (e non sul raggio O X (\displaystyle OX), come in figura). Coordinata y (\displaystyle y) se il punto viene assegnato un segno meno C (\displaystyle C) giace sulla trave. Così, O X ′ (\displaystyle OX") E O Y ′ (\displaystyle OY") sono le direzioni negative degli assi delle coordinate (ciascun asse delle coordinate è considerato come un asse numerico).
Asse x (\displaystyle x)è chiamato asse delle ascisse e asse y (\displaystyle y)- asse delle ordinate. Coordinata x (\displaystyle x) chiamato ascissa punti A (\displaystyle A), coordinare y (\displaystyle y) - ordinata punti A (\displaystyle A).
UN (x, y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x, y) (\displaystyle A=(x,\;y))
oppure indicare che le coordinate appartengono ad un punto specifico utilizzando un indice:
x A , x B (\displaystyle x_(A),x_(B))

Sistema di coordinate rettangolari nello spazio(in questo paragrafo intendiamo lo spazio tridimensionale, per quanto riguarda spazi più multidimensionali - vedi sotto) è formato da tre assi coordinati reciprocamente perpendicolari O X (\displaystyle OX), O Y (\displaystyle OY) E OZ (\displaystyle OZ). Gli assi delle coordinate si intersecano nel punto O (\displaystyle O), che viene chiamata origine delle coordinate, su ciascun asse viene selezionata una direzione positiva, indicata dalle frecce, e un'unità di misura per i segmenti sugli assi. Le unità di misura sono solitamente (non necessariamente) le stesse per tutti gli assi. O X (\displaystyle OX)- asse delle ascisse, O Y (\displaystyle OY)- asse delle ordinate, OZ (\displaystyle OZ)- asse applicatore.

Posizione del punto A (\displaystyle A) nello spazio è determinato da tre coordinate x (\displaystyle x), y (\displaystyle y) E z (\displaystyle z). Coordinata x (\displaystyle x) uguale alla lunghezza del segmento O B, coordinare y (\displaystyle y)- lunghezza del segmento OC (\displaystyle OC), coordinare z (\displaystyle z)- lunghezza del segmento OD (\displaystyle OD) nelle unità di misura selezionate. Segmenti O B, OC (\displaystyle OC) E OD (\displaystyle OD) sono determinati dai piani tracciati dal punto A (\displaystyle A) paralleli ai piani Y O Z (\displaystyle YOZ), XOZ (\displaystyle XOZ) E X O Y (\displaystyle XOY) rispettivamente.
Coordinata x (\displaystyle x) chiamata ascissa del punto A (\displaystyle A), coordinare y (\displaystyle y)- ordinata del punto A (\displaystyle A), coordinare z (\displaystyle z)- punto di applicazione A (\displaystyle A).
Simbolicamente è scritto così:
UN (x, y, z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x, y, z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))
oppure collegare un record di coordinate a un punto specifico utilizzando un indice:
x UN , y UN , z UN (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))
Ogni asse è considerato come una linea numerica, cioè ha una direzione positiva, e ai punti che giacciono su un raggio negativo vengono assegnati valori di coordinate negativi (la distanza viene presa con un segno meno). Cioè, se, ad esempio, punto B (\displaystyle B) non giacere come nella foto, sulla trave O X (\displaystyle OX), e sulla sua continuazione in senso inverso rispetto al punto O (\displaystyle O)(sulla parte negativa dell'asse O X (\displaystyle OX)), quindi l'ascissa x (\displaystyle x) punti A (\displaystyle A) sarebbe negativo (meno la distanza O B). Stessa cosa per gli altri due assi.
Tutti i sistemi di coordinate rettangolari nello spazio tridimensionale sono divisi in due classi: diritti(termini usati anche positivo, standard) E Sinistra. Di solito, per impostazione predefinita, cercano di utilizzare sistemi di coordinate destrorsi e, quando li raffigurano graficamente, li posizionano anche, se possibile, in una delle numerose posizioni usuali (tradizionali). (La Figura 2 mostra un sistema di coordinate destrorso.) È impossibile combinare i sistemi di coordinate destro e sinistro mediante rotazione in modo che gli assi corrispondenti (e le loro direzioni) coincidano. È possibile determinare a quale classe appartiene un particolare sistema di coordinate utilizzando la regola della mano destra, la regola della vite, ecc. (la direzione positiva degli assi viene scelta in modo che quando l'asse viene ruotato O X (\displaystyle OX) in senso antiorario di 90° la sua direzione positiva coincide con la direzione positiva dell'asse O Y (\displaystyle OY), se questa rotazione viene osservata dalla direzione positiva dell'asse OZ (\displaystyle OZ)).

Sistema di coordinate rettangolari nello spazio multidimensionale

Il sistema di coordinate rettangolari può essere utilizzato nello spazio di qualsiasi dimensione finita, allo stesso modo in cui viene utilizzato per lo spazio tridimensionale. Il numero di assi coordinati è uguale alla dimensione dello spazio (in questa sezione lo denoteremo N).
Per designare le coordinate, di solito non usano lettere diverse, ma la stessa lettera con un indice numerico. Molto spesso questo è:
x 1, x 2, x 3, … x n.
(\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\punti x_(n).) Per denotare arbitrario io

Le coordinate th di questo insieme utilizzano un indice di lettere: e spesso la designazione x io , (\displaystyle x_(i),) è anche usato per denotare l'intero insieme, il che implica che l'indice attraversa l'intero insieme di valori:.
i = 1 , 2 , 3 , … n (\displaystyle i=1,2,3,\dots n)

In qualsiasi dimensione dello spazio, i sistemi di coordinate rettangolari sono divisi in due classi, destra e sinistra (o positiva e negativa). Per gli spazi multidimensionali, uno dei sistemi di coordinate è arbitrariamente (convenzionalmente) chiamato destrorso, e gli altri sono destrorsi o mancini, a seconda che abbiano o meno lo stesso orientamento.

Coordinate vettoriali rettangolari Per definire rettangolare coordinate vettoriali

(applicabile per rappresentare vettori di qualsiasi dimensione) possiamo procedere dal fatto che le coordinate di un vettore (segmento diretto), il cui inizio è all'origine delle coordinate, coincidono con le coordinate della sua fine.
1. Per i vettori (segmenti orientati) la cui origine non coincide con l'origine delle coordinate, le coordinate rettangolari possono essere determinate in due modi:
2. Il vettore può essere spostato in modo che la sua origine coincida con l'origine delle coordinate). Successivamente si determinano le sue coordinate nel modo descritto all'inizio del paragrafo: le coordinate di un vettore traslato in modo che la sua origine coincida con l'origine delle coordinate sono le coordinate della sua fine.
- Invece, puoi semplicemente sottrarre le coordinate del suo inizio dalle coordinate della fine del vettore (segmento diretto).
Per le coordinate rettangolari, il concetto di coordinata vettoriale coincide con il concetto di proiezione ortogonale di un vettore sulla direzione del corrispondente asse coordinato.
- Tutte le operazioni sui vettori sono scritte molto semplicemente in coordinate rettangolari:
Addizione e moltiplicazione per scalare: a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , … , a n + b n) (\displaystyle \mathbf (a) +\mathbf (b) =(a_(1)+ b_(1),a_(2)+b_(2),a_(3)+b_(3),\punti ,a_(n)+b_(n))) c a = (c a 1 , c a 2 , c a 3 , … , c un n) (\displaystyle c\ \mathbf (a) =(c\ a_(1),c\ a_(2),c\ a_(3),\ punti ,c\ a_(n))) (c un) io = c un io .(\displaystyle (c\ \mathbf (a))_(i)=c\ a_(i).) e quindi sottrazione e divisione: un - b = (un 1 - b 1 , un 2 - b 2 , un 3 - b 3 , ... , un n - b n) (\displaystyle \mathbf (a) -\mathbf (b) =(a_(1)- b_(1),a_(2)-b_(2),a_(3)-b_(3),\punti ,a_(n)-b_(n))) (a − b) i = a io − b io , (\displaystyle (\mathbf (a) -\mathbf (b))_(i)=a_(i)-b_(i),) un λ = (un 1 λ , un 2 λ , un 3 λ , … , un n λ) (\displaystyle (\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))=(\Big ()(\frac (a_ (1))(\lambda )),(\frac (a_(2))(\lambda )),(\frac (a_(3))(\lambda )),\dots ,(\frac (a_(n ))(\lambda ))(\Grande)))
(aλ) io = aioλ . N(\displaystyle (\Big ()(\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda )).)
(Questo è vero per qualsiasi dimensione e anche, al pari di quelle rettangolari, per le coordinate oblique).
a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\punti +a_(n)b_(n))
- a ⋅ b = ∑ i = 1 n a io b io , (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i),)
(Solo in coordinate rettangolari con scala unitaria su tutti gli assi). Usando il prodotto scalare puoi calcolare la lunghezza del vettore |
- un | = un ⋅ un (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a) ))) e l'angolo tra i vettori, ∠ (a, b) = a r c c o s a ⋅ b | E un |.
  ⋅ | b |, (\displaystyle \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b) )(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |))) E E k (\displaystyle \mathbf (k) ) e x (\displaystyle \mathbf (e)_(x)), e y (\displaystyle \mathbf (e)_(y)) E e z (\displaystyle \mathbf (e)_(z)) Simboli freccia (
  i → (\displaystyle (\vec (i)))
  
  Per dimensioni maggiori di 3 (o in generale, quando la dimensione può essere qualsiasi), solitamente per i vettori unitari, si usa invece la notazione con indici numerici, molto spesso questa è
  e 1 , e 2 , e 3 , … e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( e) _(n),)
  Dove N- dimensione dello spazio.
  Un vettore di qualsiasi dimensione viene espanso secondo la sua base (le coordinate servono come coefficienti di espansione):
  a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( e) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\dots +a_(n)\mathbf (e) _(n)) a = ∑ i = 1 n a io e io , (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i),) Pierre Fermat, tuttavia, le sue opere furono pubblicate per la prima volta dopo la sua morte. Cartesio e Fermat usarono il metodo delle coordinate solo sul piano.
  Il metodo delle coordinate per lo spazio tridimensionale fu utilizzato per la prima volta da Leonhard Euler già nel XVIII secolo. L'uso degli orti pare risalga al
Se ti trovi in un punto zero e stai pensando a quante unità di distanza ti servono per andare dritto e poi dritto a destra per raggiungere un altro punto, allora stai già utilizzando un sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano. E se il punto si trova sopra il piano su cui ti trovi, e ai tuoi calcoli aggiungi una salita al punto lungo le scale rigorosamente verso l'alto anche di un certo numero di unità di distanza, allora stai già utilizzando un sistema di coordinate cartesiane rettangolari in spazio.

Viene chiamato un sistema ordinato di due o tre assi che si intersecano perpendicolari tra loro con un'origine comune (origine delle coordinate) e un'unità di lunghezza comune sistema di coordinate cartesiane rettangolari .

Il nome del matematico francese René Descartes (1596-1662) è associato principalmente a un sistema di coordinate in cui un'unità di lunghezza comune viene misurata su tutti gli assi e gli assi sono diritti. Oltre a quello rettangolare, c'è sistema di coordinate cartesiane generale (sistema di coordinate affini). Può anche includere assi che non sono necessariamente perpendicolari. Se gli assi sono perpendicolari, il sistema di coordinate è rettangolare.

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano ha due assi e Sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio - tre assi. Ogni punto su un piano o nello spazio è definito da un insieme ordinato di coordinate - numeri corrispondenti all'unità di lunghezza del sistema di coordinate.

Si noti che, come segue dalla definizione, esiste un sistema di coordinate cartesiane su una linea retta, cioè in una dimensione. L'introduzione delle coordinate cartesiane su una retta è uno dei modi in cui a qualsiasi punto di una retta viene associato un numero reale ben definito, cioè una coordinata.

Il metodo delle coordinate, nato nelle opere di René Descartes, segnò una ristrutturazione rivoluzionaria di tutta la matematica. È diventato possibile interpretare le equazioni algebriche (o disuguaglianze) sotto forma di immagini geometriche (grafici) e, al contrario, cercare soluzioni a problemi geometrici utilizzando formule analitiche e sistemi di equazioni. Sì, la disuguaglianza z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy e situato sopra questo piano di 3 unità.

Utilizzando il sistema di coordinate cartesiane, l'appartenenza di un punto su una data curva corrisponde al fatto che i numeri X E sì soddisfare qualche equazione. Pertanto, le coordinate di un punto su una circonferenza con centro in un dato punto ( UN; B) soddisfano l'equazione (X - UN)² + ( sì - B)² = R² .

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano

Si formano due assi perpendicolari su un piano che hanno l'origine comune e la stessa unità di scala Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano . Uno di questi assi è chiamato asse Bue, O asse x , l'altro - l'asse Ehi, O asse y . Questi assi sono anche chiamati assi delle coordinate. Indichiamo con MX E Msì rispettivamente, la proiezione di un punto arbitrario M sull'asse Bue E Ehi. Come ottenere le proiezioni? Passiamo al punto M Bue. Questa linea retta interseca l'asse Bue al punto MX. Passiamo al punto M retta perpendicolare all'asse Ehi. Questa linea retta interseca l'asse Ehi al punto Msì. Questo è mostrato nella figura qui sotto.

X E sì punti M chiameremo di conseguenza i valori dei segmenti diretti OMX E OMsì. I valori di questi segmenti diretti vengono calcolati di conseguenza come X = X0 - 0 E sì = sì0 - 0 . Coordinate cartesiane X E sì punti M ascissa E ordinata . Il fatto è che il punto M ha delle coordinate X E sì, è indicato come segue: M(X, sì) .

Gli assi coordinati dividono il piano in quattro quadrante , la cui numerazione è riportata nella figura seguente. Mostra anche la disposizione dei segni per le coordinate dei punti a seconda della loro posizione in un particolare quadrante.

Oltre alle coordinate cartesiane su un piano, spesso viene considerato anche il sistema di coordinate polari. Informazioni sul metodo di transizione da un sistema di coordinate a un altro - nella lezione sistema di coordinate polari .

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio

Le coordinate cartesiane nello spazio vengono introdotte in completa analogia con le coordinate cartesiane nel piano.

Tre assi reciprocamente perpendicolari nello spazio (assi coordinati) con un'origine comune O e con la stessa unità di scala si formano Sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio .

Uno di questi assi è chiamato asse Bue, O asse x , l'altro - l'asse Ehi, O asse y , il terzo asse Oz, O asse applicato . Permettere MX, Msì Mz- proiezioni di un punto arbitrario M spazio sull'asse Bue , Ehi un | Oz rispettivamente.

Andiamo oltre il punto M BueBue al punto MX. Passiamo al punto M piano perpendicolare all'asse Ehi. Questo piano interseca l'asse Ehi al punto Msì. Passiamo al punto M piano perpendicolare all'asse Oz. Questo piano interseca l'asse Oz al punto Mz.

Coordinate cartesiane rettangolari X , sì un | z punti M chiameremo di conseguenza i valori dei segmenti diretti OMX, OMsì E OMz. I valori di questi segmenti diretti vengono calcolati di conseguenza come X = X0 - 0 , sì = sì0 - 0 E z = z0 - 0 .

Coordinate cartesiane X , sì un | z punti M vengono chiamati di conseguenza ascissa , ordinata E applicare .

Gli assi coordinati presi a coppie si trovano nei piani coordinati xOy , yOz un | zOx .

Problemi sui punti in un sistema di coordinate cartesiane

Esempio 1.

UN(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse delle ascisse.

Soluzione. Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse delle ascisse si trova sull'asse delle ascisse stesso, cioè sull'asse Bue, e quindi ha un'ascissa uguale all'ascissa del punto stesso, e un'ordinata (coordinata sull'asse Ehi, che l'asse x interseca nel punto 0), che è uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di questi punti sull'asse x:

UNx(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5; 0).

Esempio 2. Nel sistema di coordinate cartesiane i punti sono dati sul piano

UN(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse delle ordinate.

Soluzione. Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse delle ordinate si trova sull'asse delle ordinate stesso, cioè sull'asse Ehi, e quindi ha un'ordinata uguale all'ordinata del punto stesso, e un'ascissa (coordinata sull'asse Bue, che l'asse delle ordinate interseca nel punto 0), che è uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di questi punti sull'asse delle ordinate:

UNy(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Esempio 3. Nel sistema di coordinate cartesiane i punti sono dati sul piano

UN(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Bue .

Bue Bue Bue, avrà la stessa ascissa del punto dato, e un'ordinata uguale in valore assoluto all'ordinata del punto dato, e opposta in segno. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici a questi punti rispetto all'asse Bue :

UN"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Esempio 4. Determinare in quali quadranti (quarti, disegno con quadranti - alla fine del paragrafo "Sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano") può essere localizzato un punto M(X; sì) , Se

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − sì = 0 ;

4) X + sì = 0 ;

5) X + sì > 0 ;

6) X + sì < 0 ;

7) X − sì > 0 ;

8) X − sì < 0 .

Esempio 5. Nel sistema di coordinate cartesiane i punti sono dati sul piano

UN(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(UN; B) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici a questi punti rispetto all'asse Ehi .

Continuiamo a risolvere i problemi insieme

Esempio 6. Nel sistema di coordinate cartesiane i punti sono dati sul piano

UN(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici a questi punti rispetto all'asse Ehi .

Soluzione. Ruota di 180 gradi attorno all'asse Ehi segmento direzionale dall'asse Ehi fino a questo punto. Nella figura, dove sono indicati i quadranti del piano, vediamo che il punto simmetrico a quello dato rispetto all'asse Ehi, avrà la stessa ordinata del punto dato, e un'ascissa uguale in valore assoluto all'ascissa del punto dato e opposta in segno. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici a questi punti rispetto all'asse Ehi :

UN"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Esempio 7. Nel sistema di coordinate cartesiane i punti sono dati sul piano

UN(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici a questi punti rispetto all'origine.

Soluzione. Ruotiamo il segmento orientato che va dall'origine al punto dato di 180 gradi attorno all'origine. Nella figura, dove sono indicati i quadranti del piano, vediamo che un punto simmetrico al punto dato rispetto all'origine delle coordinate avrà un'ascissa e un'ordinata uguali in valore assoluto all'ascissa e all'ordinata del punto dato, ma opposto nel segno. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici a questi punti rispetto all'origine:

UN"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Esempio 8.

UN(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti:

1) su un aereo Ossi ;

2) su un aereo Oxz ;

3) all'aereo Oyz ;

4) sull'asse delle ascisse;

5) sull'asse delle ordinate;

6) sull'asse applicato.

1) Proiezione di un punto su un piano Ossi si trova su questo piano stesso, e quindi ha un'ascissa e un'ordinata uguali all'ascissa e all'ordinata di un dato punto, e un'applicata uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Ossi :

UNxy(4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Proiezione di un punto su un piano Oxz si trova su questo piano stesso, e quindi ha un'ascissa e applicata uguale all'ascissa e applicata di un dato punto, e un'ordinata uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oxz :

UNxz(4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2; 0; 0).

3) Proiezione di un punto su un piano Oyz si trova su questo piano stesso, e quindi ha ordinata e applicata uguali all'ordinata e applicata di un dato punto, e un'ascissa uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oyz :

UNyz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse delle ascisse si trova sull'asse delle ascisse stesso, cioè sull'asse Bue, e quindi ha un'ascissa uguale all'ascissa del punto stesso, e l'ordinata e l'applicata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ordinata e dell'applicata intersecano l'ascissa nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse delle ascisse:

UNx(4; 0; 0);

Bx(-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) La proiezione di un punto sull'asse delle ordinate si trova sull'asse delle ordinate stesso, cioè sull'asse Ehi, e quindi ha ordinata uguale all'ordinata del punto stesso, e l'ascissa e l'applicata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ascissa e dell'applicata intersecano l'asse delle ordinate nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse delle ordinate:

UNy(0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) La proiezione di un punto sull'asse applicato si trova sull'asse applicato stesso, cioè sull'asse Oz, e quindi ha applicata uguale all'applicata del punto stesso, e l'ascissa e l'ordinata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ascissa e dell'ordinata intersecano l'asse applicata nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse applicato:

UNz(0; 0; 5);

Bz(0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Esempio 9. Nel sistema di coordinate cartesiane i punti sono dati nello spazio

UN(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Trovare le coordinate dei punti simmetrici a questi punti rispetto a:

1) aereo Ossi ;

2) aerei Oxz ;

3) aerei Oyz ;

4) assi delle ascisse;

5) assi delle ordinate;

6) assi applicati;

7) origine delle coordinate.

1) “Spostare” il punto dall'altra parte dell'asse Ossi Ossi, avrà un'ascissa e un'ordinata uguali all'ascissa e all'ordinata di un dato punto, e un'applicata uguale in grandezza all'aplicata di un dato punto, ma opposta in segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati relativi al piano Ossi :

UN"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) “Spostare” il punto dall'altra parte dell'asse Oxz alla stessa distanza. Dalla figura che mostra lo spazio delle coordinate, vediamo che un punto simmetrico a quello dato rispetto all'asse Oxz, avrà ascissa e applicata uguali all'ascissa e applicata di un dato punto, e un'ordinata uguale in grandezza all'ordinata di un dato punto, ma di segno opposto. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati relativi al piano Oxz :

UN"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) “Spostare” il punto dall'altra parte dell'asse Oyz alla stessa distanza. Dalla figura che mostra lo spazio delle coordinate, vediamo che un punto simmetrico a quello dato rispetto all'asse Oyz, avrà un'ordinata e un'aplicata uguali all'ordinata e all'aplicata di un dato punto, e un'ascissa uguale in valore all'ascissa di un dato punto, ma opposta in segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati relativi al piano Oyz :

UN"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Per analogia con i punti simmetrici su un piano e i punti nello spazio simmetrici ai dati relativi ai piani, notiamo che nel caso di simmetria rispetto a qualche asse del sistema di coordinate cartesiane nello spazio, la coordinata sull'asse rispetto a cui è data la simmetria manterrà il suo segno, e le coordinate sugli altri due assi saranno le stesse in valore assoluto delle coordinate di un dato punto, ma opposte in segno.

4) L'ascissa manterrà il suo segno, ma l'ordinata e l'applicata cambieranno segno. Otteniamo quindi le seguenti coordinate dei punti simmetrici ai dati rispetto all'asse delle ascisse:

UN"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) L'ordinata manterrà il segno, ma l'ascissa e l'applicata cambieranno segno. Otteniamo quindi le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto all'asse delle ordinate:

UN"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) L'applicata manterrà il segno, ma l'ascissa e l'ordinata cambieranno segno. Otteniamo quindi le seguenti coordinate dei punti simmetrici ai dati rispetto all'asse applicato:

UN"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Per analogia con la simmetria nel caso di punti su un piano, nel caso di simmetria attorno all'origine delle coordinate, tutte le coordinate di un punto simmetrico a un dato saranno uguali in valore assoluto alle coordinate di un dato punto, ma di segno opposto. Otteniamo quindi le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati relativi all'origine.

Determinazione della posizione di un punto nello spazio

Quindi, la posizione di un punto nello spazio può essere determinata solo in relazione ad altri punti. Viene chiamato il punto rispetto al quale viene considerata la posizione di altri punti punto di riferimento . Useremo anche un altro nome per il punto di riferimento: punto di osservazione . Di solito ad alcuni è associato un punto di riferimento (o un punto di osservazione). sistema di coordinate , che si chiama sistema di riferimento. Nel sistema di riferimento selezionato, la posizione di OGNI punto è determinata da TRE coordinate.

Sistema di coordinate cartesiane (o rettangolari) di destra

Questo sistema di coordinate è costituito da tre linee dirette reciprocamente perpendicolari, chiamate anche assi coordinati , che si intersecano in un punto (origine). Il punto di origine è solitamente indicato con la lettera O.

Gli assi delle coordinate sono denominati:

1. Asse delle ascisse – designato come OX;

2. Asse Y – indicato come OY;

3. Asse applicato – designato come OZ

Ora spieghiamo perché questo sistema di coordinate è chiamato destrorso. Osserviamo il piano XOY dalla direzione positiva dell'asse OZ, ad esempio dal punto A, come mostrato in figura.

Supponiamo di iniziare a ruotare l'asse OX attorno al punto O. Quindi, il sistema di coordinate destro ha una proprietà tale che se guardi il piano XOY da qualsiasi punto sul semiasse positivo OZ (per noi questo è il punto A) , quindi, ruotando l'asse OX di 90 in senso antiorario, la sua direzione positiva coinciderà con la direzione positiva dell'asse OY.

Questa decisione è stata presa nel mondo scientifico, ma possiamo accettarla solo così com'è.

Quindi, dopo aver deciso il sistema di riferimento (nel nostro caso il sistema di coordinate cartesiane di destra), la posizione di qualsiasi punto viene descritta attraverso i valori delle sue coordinate o, in altre parole, attraverso i valori delle proiezioni di questo punto sugli assi coordinati.

Si scrive così: A(x, y, z), dove x, y, z sono le coordinate del punto A.

Un sistema di coordinate rettangolari può essere pensato come le linee di intersezione di tre piani reciprocamente perpendicolari.

Va notato che puoi orientare un sistema di coordinate rettangolari nello spazio come preferisci e deve essere soddisfatta solo una condizione: l'origine delle coordinate deve coincidere con il centro di riferimento (o punto di osservazione).

Sistema di coordinate sferiche

La posizione di un punto nello spazio può essere descritta in un altro modo. Supponiamo di aver scelto una regione dello spazio in cui si trova il punto di riferimento O (o punto di osservazione) e di conoscere anche la distanza dal punto di riferimento a un certo punto A. Colleghiamo questi due punti con una linea retta OA . Questa linea si chiama vettore del raggio ed è indicato come R. Tutti i punti che hanno lo stesso valore del raggio vettore giacciono su una sfera, il cui centro si trova nel punto di riferimento (o punto di osservazione), e il raggio di questa sfera è uguale, rispettivamente, al raggio vettore.

Diventa quindi ovvio per noi che conoscere il valore del raggio vettore non ci dà una risposta univoca sulla posizione del punto di nostro interesse. Sono necessarie DUE coordinate in più, perché per determinare in modo inequivocabile la posizione di un punto, il numero di coordinate deve essere TRE.

Successivamente, procederemo come segue: costruiremo due piani reciprocamente perpendicolari, che, naturalmente, daranno una linea di intersezione, e questa linea sarà infinita, perché i piani stessi non sono limitati da nulla. Impostiamo un punto su questa linea e designiamolo, ad esempio, come punto O1. Ora combiniamo questo punto O1 con il centro della sfera – punto O e vediamo cosa succede?

E si scopre un'immagine molto interessante:

· Lo saranno sia l'uno che l'altro aereo centrale aerei.

· L'intersezione di questi piani con la superficie della sfera è indicata con grande cerchi

· Uno di questi cerchi - lo chiameremo arbitrariamente EQUATORE, verrà chiamato l'altro cerchio MERIDIANO PRINCIPALE.

· La linea di intersezione di due piani determinerà in modo univoco la direzione LINEE DEL MERIDIANO PRINCIPALE.

Indichiamo i punti di intersezione della linea del meridiano principale con la superficie della sfera come M1 e M2

Attraverso il centro della sfera, punto O nel piano del meridiano principale, tracciamo una linea retta perpendicolare alla linea del meridiano principale. Questa linea retta si chiama ASSE POLARE.

L'asse polare intersecherà la superficie della sfera in due punti chiamati POLI DELLA SFERA. Designiamo questi punti come P1 e P2.

Determinazione delle coordinate di un punto nello spazio

Ora diamo un'occhiata al processo di determinazione delle coordinate di un punto nello spazio e diamo anche nomi a queste coordinate. Per completare il quadro, quando si determina la posizione di un punto, indichiamo le direzioni principali da cui vengono conteggiate le coordinate, nonché la direzione positiva durante il conteggio.

1. Impostare la posizione nello spazio del punto di riferimento (o punto di osservazione). Indichiamo questo punto con la lettera O.

2. Costruisci una sfera il cui raggio è uguale alla lunghezza del raggio vettore del punto A. (Il raggio vettore del punto A è la distanza tra i punti O e A). Il centro della sfera si trova nel punto di riferimento O.

3. Impostiamo la posizione nello spazio del piano dell'EQUATORE e di conseguenza il piano del MERIDIANO PRINCIPALE. Va ricordato che questi piani sono tra loro perpendicolari e centrali.

4. L'intersezione di questi piani con la superficie della sfera determina per noi la posizione del cerchio dell'equatore, del cerchio del meridiano principale, nonché della direzione della linea del meridiano principale e dell'asse polare.

5. Determinare la posizione dei poli dell'asse polare e dei poli della linea meridiana principale. (I poli dell'asse polare sono i punti di intersezione dell'asse polare con la superficie della sfera. I poli della linea del meridiano principale sono i punti di intersezione della linea del meridiano principale con la superficie della sfera ).

6. Per il punto A e l'asse polare costruiamo un piano, che chiameremo piano del meridiano del punto A. Quando questo piano si interseca con la superficie della sfera, si otterrà un grande cerchio, che chiameremo MERIDIANO del punto A.

7. Il meridiano del punto A intersecherà ad un certo punto il cerchio dell'EQUATORE, che chiameremo E1

8. La posizione del punto E1 sul cerchio equatoriale è determinata dalla lunghezza dell'arco racchiuso tra i punti M1 ed E1. Il conto alla rovescia è IN SENSO ANTIORARIO. L'arco del cerchio equatoriale racchiuso tra i punti M1 ed E1 è chiamato LONGITUDINE del punto A. La longitudine è indicata con la lettera  .

Riassumiamo i risultati intermedi. Al momento conosciamo DUE delle TRE coordinate che descrivono la posizione del punto A nello spazio: questo è il raggio vettore (r) e la longitudine (). Ora determineremo la terza coordinata. Questa coordinata è determinata dalla posizione del punto A sul suo meridiano. Ma la posizione del punto di partenza da cui avviene il conteggio non è ben definita: possiamo iniziare a contare sia dal polo della sfera (punto P1) che dal punto E1, cioè dal punto di intersezione delle linee meridiane del punto A e dell'equatore (o in altre parole - dalla linea dell'equatore).

Nel primo caso, la posizione del punto A sul meridiano è chiamata DISTANZA POLARE (indicata come R) ed è determinata dalla lunghezza dell'arco compreso tra il punto P1 (o il punto polare della sfera) e il punto A. Il conteggio si effettua lungo la linea meridiana dal punto P1 al punto A.

Nel secondo caso, quando il conto alla rovescia parte dalla linea dell'equatore, la posizione del punto A sulla linea meridiana è chiamata LATITUDINE (indicata come   ed è determinata dalla lunghezza dell'arco racchiuso tra il punto E1 e il punto A.

Ora possiamo finalmente dire che la posizione del punto A in un sistema di coordinate sferiche è determinata da:

· lunghezza del raggio della sfera (r),

lunghezza dell'arco di longitudine (),

lunghezza dell'arco della distanza polare (p)

In questo caso le coordinate del punto A verranno scritte come segue: A(r, , p)

Se utilizziamo un sistema di riferimento diverso, allora la posizione del punto A nel sistema di coordinate sferiche è determinata attraverso:

· lunghezza del raggio della sfera (r),

lunghezza dell'arco di longitudine (),

· lunghezza dell'arco di latitudine ()

In questo caso le coordinate del punto A verranno scritte come segue: A(r, , )

Metodi per misurare gli archi

Sorge la domanda: come misuriamo questi archi? Il modo più semplice e naturale è misurare direttamente le lunghezze degli archi con un righello flessibile, e questo è possibile se la dimensione della sfera è paragonabile alla grandezza di una persona. Ma cosa fare se questa condizione non viene soddisfatta?

In questo caso ricorreremo alla misurazione della lunghezza RELATIVA dell'arco. Prenderemo come standard la circonferenza, parte che è l'arco che ci interessa. Come è possibile farlo?

Per determinare Le posizioni dei punti nella geodesia utilizzano coordinate spaziali rettangolari, geodetiche e rettangolari piane.

Coordinate spaziali rettangolari. L'origine del sistema di coordinate si trova al centro O ellissoide terrestre(Fig. 2.2).

Asse Z diretto lungo l'asse di rotazione dell'ellissoide verso nord. Asse X si trova all'intersezione del piano equatoriale con il meridiano iniziale di Greenwich. Asse Y diretto perpendicolarmente agli assi Z E X a est.

Coordinate geodetiche. Le coordinate geodetiche di un punto sono la sua latitudine, longitudine e altezza (Fig. 2.2).

Latitudine geodetica punti M chiamato angolo IN, formato dalla normale alla superficie dell'ellissoide passante per un dato punto e il piano equatoriale.

La latitudine si misura dall'equatore nord e sud da 0° a 90° ed è chiamata nord o sud. La latitudine settentrionale è considerata positiva mentre la latitudine meridionale negativa.

Piani di sezione di un ellissoide passanti per l'asse OZ, vengono chiamati meridiani geodetici.

Longitudine geodetica punti M chiamato angolo diedro l, formato dai piani del meridiano geodetico iniziale (Greenwich) e del meridiano geodetico di un dato punto.

Le longitudini sono misurate dal meridiano fondamentale nell'intervallo da 0° a 360° est, o da 0° a 180° est (positivo) e da 0° a 180° ovest (negativo).

Altezza geodetica punti Mè la sua altezza N sopra la superficie dell'ellissoide terrestre.

Le coordinate geodetiche e le coordinate spaziali rettangolari sono correlate dalle formule

X =(N+H)cos B cos l,

Y=(N+H)cos B peccato l,

Z=[(1-e2)N+H]peccato B,

Dove e- prima eccentricità dell'ellisse del meridiano e N-raggio di curvatura della prima verticale In questo caso N=un/(1 - e 2 peccato 2 B) 1/2 .

Geodetico e spaziale le coordinate rettangolari dei punti vengono determinate utilizzando misurazioni satellitari, nonché collegandole con misurazioni geodetiche a punti con coordinate note.

Notalo insieme a Insieme alle geodetiche, ci sono anche la latitudine e la longitudine astronomiche. Latitudine astronomica j è l'angolo formato dal filo a piombo in un dato punto con il piano dell'equatore. Longitudine astronomica l è l'angolo tra i piani del meridiano di Greenwich e del meridiano astronomico che passa per il filo a piombo in un dato punto. Le coordinate astronomiche vengono determinate a terra dalle osservazioni astronomiche.

Coordinate astronomiche differiscono dalle geodetiche perché le direzioni dei fili a piombo non coincidono con le direzioni delle normali alla superficie dell'ellissoide. L'angolo tra la direzione della normale alla superficie dell'ellissoide e il filo a piombo in un dato punto della superficie terrestre è chiamato deviazione del filo a piombo.

Una generalizzazione delle coordinate geodetiche e astronomiche è il termine - coordinate geografiche.

Coordinate del piano rettangolare. Per risolvere i problemi di geodesia ingegneristica, si passa dalle coordinate spaziali e geodetiche a quelle più semplici: coordinate piatte, che consentono di rappresentare il terreno su un piano e determinare la posizione dei punti utilizzando due coordinate X E A.

Dalla superficie convessa della Terra non può essere rappresentato su un piano senza distorsioni; l'introduzione di coordinate piane è possibile solo in aree limitate dove le distorsioni sono così piccole da poter essere trascurate. In Russia è stato adottato un sistema di coordinate rettangolari, la cui base è una forma cilindrica trasversale equiangolare Proiezione gaussiana. La superficie di un ellissoide è raffigurata su un piano in parti chiamate zone. Le zone sono triangoli sferici, delimitati da meridiani, e si estendono dal polo nord a sud (Fig. 2.3). La dimensione della zona in longitudine è 6°. Il meridiano centrale di ciascuna zona è chiamato meridiano assiale. Le zone sono numerate da Greenwich a est.

La longitudine del meridiano assiale della zona con il numero N è uguale a:

l 0 = 6°× N - 3°.

Il meridiano assiale della zona e l'equatore sono rappresentati sul piano da linee rette (Fig. 2.4). Come asse delle ascisse si prende il meridiano assiale X e l'equatore è dietro l'asse delle ordinate sì. La loro intersezione (punto O) funge da origine delle coordinate per questa zona.

Da evitare valori di ordinata negativi, le coordinate di intersezione vengono prese uguali X 0 = 0, sì 0 = 500 km, che equivale allo spostamento dell'asse X 500 km a ovest.

In modo che dalle coordinate rettangolari di un punto si possa giudicare in quale zona si trova, rispetto all'ordinata sì il numero della zona di coordinate è assegnato a sinistra.

Consideriamo, ad esempio, le coordinate di un punto UN hanno la forma:

xA= 6.276.427 m

e A= 12.428.566 m

Queste coordinate indicano questo è il punto UN si trova ad una distanza di 6276427 m dall'equatore, nella parte occidentale ( sì < 500 км) 12-ой координатной зоны, на расстоянии 500000 - 428566 = 71434 м от осевого меридиана.

Per spaziale rettangolare, coordinate geodetiche e rettangolari piatte in Russia, è stato adottato un sistema di coordinate unificato SK-95, fissato al suolo da punti della rete geodetica statale e costruito secondo misurazioni satellitari e terrestri a partire dal 1995.

Sistemi di coordinate locali rettangolari. Durante la costruzione di vari oggetti vengono spesso utilizzati sistemi di coordinate locali (condizionali), in cui le direzioni degli assi e l'origine delle coordinate vengono assegnate in base alla comodità del loro utilizzo durante la costruzione e il successivo funzionamento dell'oggetto.

COSÌ, durante le riprese asse della stazione ferroviaria A sono dirette lungo l'asse del binario ferroviario principale nella direzione del picchettaggio crescente, e l'asse X- lungo l'asse dell'edificio della stazione passeggeri.

Durante la costruzione asse di attraversamento del ponte X solitamente combinato con l'asse del ponte e l'asse sì va in direzione perpendicolare.

Durante la costruzione grandi impianti industriali e civili dell’Asse X E sì diretto parallelamente agli assi degli edifici in costruzione.

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