Laisser UN Et DANS sont les deux événements considérés dans ce test. Dans ce cas, la survenance de l’un des événements peut influencer la possibilité de la survenance d’un autre. Par exemple, la survenance d'un événement UN peut influencer l'événement DANS ou vice versa. Pour prendre en compte cette dépendance de certains événements par rapport à d'autres, la notion de probabilité conditionnelle est introduite.
Définition. Si la probabilité d'un événement DANS se trouve à la condition que l'événement UN s'est produit, alors la probabilité résultante de l'événement DANS appelé probabilite conditionnelleévénements DANS. Pour désigner une telle probabilité conditionnelle, les symboles suivants sont utilisés : R. UN ( DANS) ou R.(DANS / UN).
Note 2. Contrairement à la probabilité conditionnelle, la probabilité « inconditionnelle » est également prise en compte lorsque des conditions pour la survenance d'un événement sont également prises en compte. DANS sont manquantes.
Exemple. Il y a 5 boules dans l'urne, dont 3 rouges et 2 bleues. Une balle à la fois en est retirée, avec et sans retour. Trouver la probabilité conditionnelle de tirer une boule rouge pour la deuxième fois, à condition que la première fois soit tirée : a) une boule rouge ; b) boule bleue.
Laissez l'événement UN– tirer la boule rouge pour la première fois, et l'événement DANS– tirer la boule rouge une seconde fois. Il est évident que R.(UN) = 3 / 5 ; puis dans le cas où la boule sortie pour la première fois revient dans l'urne, R.(DANS)=3/5. Dans le cas où la boule retirée n'est pas restituée, la probabilité de tirer une boule rouge est R.(DANS) dépend de la boule tirée la première fois - rouge (événement UN) ou bleu (événement ). Alors dans le premier cas R. UN ( DANS) = 2 / 4, et dans le second ( DANS) = 3 / 4.
Le théorème de multiplication des probabilités d'événements dont l'un se produit sous réserve de l'apparition de l'autre
La probabilité que deux événements se produisent est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux et de la probabilité conditionnelle de l'autre, trouvée sous l'hypothèse que le premier événement s'est produit :
R.(UNE∙B) = R.(UN) ∙ R. UN ( DANS) . (1.7)
Preuve. En effet, laissez n– le nombre total de résultats de tests également possibles et incompatibles (élémentaires). Laisse tomber n 1 – nombre d’issues favorables à l’événement UN, qui vient en premier, et m– le nombre de résultats dans lesquels l'événement se produit DANS en supposant que l'événement UN c'est arrivé. Ainsi, m est le nombre d'issues favorables à l'événement DANS. Alors on a:
Ceux. la probabilité que plusieurs événements se produisent est égale au produit de la probabilité de l'un de ces événements et des probabilités conditionnelles des autres, et la probabilité conditionnelle de chaque événement ultérieur est calculée en supposant que tous les événements précédents se sont produits.
Exemple. Il y a 4 maîtres du sport dans une équipe de 10 athlètes. Par tirage au sort, 3 athlètes sont sélectionnés dans l'équipe. Quelle est la probabilité que tous les athlètes sélectionnés soient des maîtres du sport ?
Solution. Réduisons le problème au modèle de « l’urne », c’est-à-dire Supposons que dans une urne contenant 10 boules il y ait 4 boules rouges et 6 boules blanches. 3 boules sont tirées au hasard dans cette urne (sélection S= 3). Laissez l'événement UN consiste à extraire 3 boules. Le problème peut être résolu de deux manières : selon le schéma classique et selon la formule (1.9).
La première méthode, basée sur la formule combinatoire :
La deuxième méthode (selon la formule (1.9)). 3 boules sont tirées séquentiellement de l'urne sans remise. Laisser UN 1 – la première boule tirée est rouge, UN 2 – la deuxième boule tirée est rouge, UN 3 – la troisième boule tirée est rouge. Laissez aussi l'événement UN signifie que les 3 boules tirées sont rouges. Alors: UN = UN 1 ∙ (UN 2 / UN 1) ∙ UN 3 / (UN 1 ∙ UN 2), c'est-à-dire
Exemple. Laissez de la collection de cartes a, a, p, b, o, t les cartes sont retirées séquentiellement, une à la fois. Quelle est la probabilité de recevoir le mot « Emploi» en les pliant séquentiellement en une seule ligne de gauche à droite ?
Laisser DANS– l'événement dans lequel le mot déclaré est obtenu. Ensuite, en utilisant la formule (1.9), on obtient :
R.(DANS) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.
Le théorème de multiplication des probabilités prend sa forme la plus simple lorsque le produit est formé d’événements indépendants les uns des autres.
Définition.Événement DANS appelé indépendant de l'événement UN, si sa probabilité ne change pas selon que l'événement s'est produit ou non UN ou non. Deux événements sont dits indépendants (dépendants) si l'occurrence de l'un d'eux ne change pas (change) la probabilité d'occurrence de l'autre. Ainsi, pour les événements indépendants p(B/UN) = R.(DANS) ou = R.(DANS), et pour les événements dépendants R.(DANS/UN)
L'événement A est appelé indépendant de l'événement B si la probabilité de l'événement A ne dépend pas du fait que l'événement B se produise ou non. L'événement A est appelé dépendant de l'événement B si la probabilité de l'événement A change selon que l'événement B se produit ou non.
La probabilité de l'événement A, calculée sous la condition que l'événement B se soit déjà produit, est appelée probabilité conditionnelle de l'événement A et est notée .
La condition d’indépendance de l’événement A par rapport à l’événement B peut s’écrire 
.
Théorème de multiplication de probabilité. La probabilité que deux événements se produisent est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux et de la probabilité conditionnelle de l'autre, calculée sous la condition que le premier se soit produit :
Si l'événement A ne dépend pas de l'événement B, alors l'événement B ne dépend pas de l'événement A. De plus, la probabilité d'occurrence des événements est égale au produit de leurs probabilités :
.
Exemple 14. Il y a 3 boîtes contenant 10 pièces. La première boîte contient 8, la deuxième - 7 et la troisième - 9 pièces standards. Une pièce est retirée au hasard de chaque boîte. Trouvez la probabilité que les trois parties retirées soient standard.
La probabilité qu'une pièce étalon soit extraite de la première case (événement A) est égale à 
. La probabilité qu'une pièce étalon soit retirée de la deuxième case (événement B) est égale à 
. La probabilité qu'une pièce étalon soit retirée de la troisième case (événement C) est égale à 
.
Puisque les événements A, B et C sont collectivement indépendants, alors d'après le théorème de multiplication, la probabilité requise est égale à
Donnons un exemple d'utilisation conjointe des théorèmes d'addition et de multiplication.
Exemple 15. Les probabilités d'apparition d'événements indépendants A 1 et A 2 sont respectivement égales à p 1 et p 2. Trouvez la probabilité qu'un seul de ces événements se produise (événement A). Trouvez la probabilité d'occurrence d'au moins un de ces événements (événement B).
Notons les probabilités d'événements opposés 
Et 
via q 1 =1-p 1 et q 2 =1-p 2 respectivement.
L'événement A se produira si l'événement A 1 se produit et que l'événement A 2 ne se produit pas, ou si l'événement A 2 se produit et que l'événement A 1 ne se produit pas. Ainsi,
L'événement B se produira si l'événement A se produit, ou si les événements A 1 et A 2 se produisent simultanément. Ainsi,
La probabilité de l'événement B peut être déterminée différemment. Événement 
Le contraire de l'événement B est que les deux événements A 1 et A 2 ne se produiront pas. Par conséquent, en utilisant le théorème de multiplication de probabilité pour des événements indépendants, nous obtenons
ce qui coïncide avec l'expression obtenue plus tôt, puisque l'identité tient
7. Formule de probabilité totale. La formule de Bayes.
Théorème 1. Supposons que les événements 
forment un groupe complet d’événements incompatibles par paires (ces événements sont appelés hypothèses). Soit A un événement arbitraire. Ensuite, la probabilité de l'événement A peut être calculée à l'aide de la formule
Preuve. Puisque les hypothèses forment un groupe complet, alors , et donc.
Étant donné que les hypothèses sont des événements incompatibles par paire, les événements sont également incompatibles par paire. Par le théorème d'addition des probabilités
En appliquant maintenant le théorème de multiplication de probabilité, on obtient
La formule (1) est appelée formule de probabilité totale. Sous forme abrégée, il peut s'écrire comme suit
.
La formule est utile si les probabilités conditionnelles de l'événement A sont plus faciles à calculer que la probabilité inconditionnelle.
Exemple 16. Il y a 3 jeux de 36 cartes et 2 jeux de 52 cartes. Nous choisissons un jeu au hasard et une carte au hasard. Trouvez la probabilité que la carte tirée soit un as.
Soit A l'événement selon lequel la carte tirée est un as. Introduisons deux hypothèses en considération :
- une carte est tirée d'un jeu de 36 cartes,
- une carte est tirée d'un jeu de 52 cartes.
Pour calculer la probabilité de l'événement A, nous utilisons la formule de probabilité totale :
Théorème 2. Supposons que les événements 
forment un groupe complet d’événements incompatibles par paires. Soit A un événement arbitraire. Probabilité conditionnelle de l'hypothèse 
en supposant que l'événement A s'est produit, peut être calculé à l'aide de la formule de Bayes :
Preuve. Du théorème de multiplication des probabilités pour les événements dépendants, il s'ensuit que .
.
En appliquant la formule de probabilité totale, nous obtenons (2).
Probabilités des hypothèses 
sont appelées a priori, et les probabilités des hypothèses 
à condition que l'événement A ait eu lieu sont appelés a posteriori. Les formules de Bayes elles-mêmes sont également appelées formules de probabilité d'hypothèse.
Exemple 17. Il y a 2 urnes. La première urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires, et la deuxième urne contient 7 boules blanches et 5 noires. Nous choisissons une urne au hasard et en tirons une boule au hasard. Il s'est avéré qu'il était noir (l'événement A s'est produit). Trouver la probabilité que la balle ait été tirée de la première urne (conjecture 
). Trouver la probabilité que la boule ait été tirée de la deuxième urne (conjecture 
).
Appliquons les formules de Bayes :
,
.
Exemple 18. À l'usine, les boulons sont produits par trois machines, qui produisent respectivement 25 %, 35 % et 40 % de tous les boulons. Les défauts des produits de ces machines sont respectivement de 5 %, 4 % et 2 %. Un boulon a été sélectionné parmi les produits des trois machines. Il s'est avéré défectueux (événement A). Trouvez la probabilité que le boulon ait été libéré par la première, la deuxième et la troisième machine.
Laisser 
- le cas où le pêne a été desserré par la première machine, 
- deuxième voiture, 
- la troisième voiture. Ces événements sont incompatibles par paires et forment un groupe complet. Utilisons les formules de Bayes
En conséquence nous obtenons
,
,
.
Il y aura également des problèmes que vous devrez résoudre vous-même, dont vous pourrez voir les réponses.
Énoncé général du problème : les probabilités de certains événements sont connues et vous devez calculer les probabilités d'autres événements associés à ces événements. Dans ces problèmes, des opérations avec des probabilités telles que l’addition et la multiplication de probabilités sont nécessaires.
Par exemple, lors d'une chasse, deux coups de feu sont tirés. Événement UN- frapper un canard du premier coup, événement B- touché dès le deuxième coup. Alors la somme des événements UN Et B- frapper du premier ou du deuxième coup ou de deux coups.
Des problèmes d’un autre type. Plusieurs événements sont proposés, par exemple, une pièce est lancée trois fois. Vous devez trouver la probabilité que soit les armoiries apparaissent toutes les trois fois, soit que les armoiries apparaissent au moins une fois. Il s'agit d'un problème de multiplication de probabilité.
Ajout de probabilités d'événements incompatibles
L'ajout de probabilités est utilisé lorsque vous devez calculer la probabilité d'une combinaison ou d'une somme logique d'événements aléatoires.
Somme des événements UN Et B dénoter UN + B ou UN ∪ B. La somme de deux événements est un événement qui se produit si et seulement si au moins un des événements se produit. Cela signifie que UN + B– un événement qui se produit si et seulement si l’événement s’est produit pendant l’observation UN ou un événement B, ou simultanément UN Et B.
Si les événements UN Et B sont mutuellement incohérents et leurs probabilités sont données, alors la probabilité qu'un de ces événements se produise à la suite d'un essai est calculée en utilisant l'addition de probabilités.
Théorème d’addition de probabilité. La probabilité que l'un des deux événements mutuellement incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :
Par exemple, lors d'une chasse, deux coups de feu sont tirés. Événement UN– frapper un canard du premier coup, événement DANS– touché dès le deuxième coup, événement ( UN+ DANS) – une touche du premier ou du deuxième coup ou de deux coups. Ainsi, si deux événements UN Et DANS– des événements incompatibles, alors UN+ DANS– la survenance d'au moins un de ces événements ou de deux événements.
Exemple 1. Il y a 30 boules de même taille dans une boîte : 10 rouges, 5 bleues et 15 blanches. Calculez la probabilité qu’une balle colorée (et non blanche) soit ramassée sans regarder.
Solution. Supposons que l'événement UN- "la boule rouge est prise", et l'événement DANS- "La balle bleue a été prise." Ensuite, l’événement est « une balle colorée (et non blanche) est prise ». Trouvons la probabilité de l'événement UN:
et événements DANS:
Événements UN Et DANS– mutuellement incompatible, puisque si une balle est prise, alors il est impossible de prendre des balles de couleurs différentes. On utilise donc l’addition de probabilités :
Le théorème pour ajouter des probabilités pour plusieurs événements incompatibles. Si les événements constituent un ensemble complet d'événements, alors la somme de leurs probabilités est égale à 1 :
La somme des probabilités d'événements opposés est également égale à 1 :
Les événements opposés forment un ensemble complet d’événements et la probabilité d’un ensemble complet d’événements est de 1.
Les probabilités d'événements opposés sont généralement indiquées en minuscules p Et q. En particulier,
d'où découlent les formules suivantes pour la probabilité d'événements opposés :
Exemple 2. La cible du stand de tir est divisée en 3 zones. La probabilité qu'un certain tireur tire sur la cible dans la première zone est de 0,15, dans la deuxième zone – 0,23, dans la troisième zone – 0,17. Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible et la probabilité que le tireur rate la cible.
Solution : Trouvez la probabilité que le tireur atteigne la cible :
Trouvons la probabilité que le tireur rate la cible :
Des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, peuvent être trouvés sur la page "Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités".
Ajout de probabilités d'événements mutuellement simultanés
Deux événements aléatoires sont dits conjoints si la survenance d’un événement n’exclut pas la survenance d’un deuxième événement dans la même observation. Par exemple, lors du lancement d'un dé, l'événement UN Le chiffre 4 est considéré comme déployé, et l'événement DANS– lancer un nombre pair. Puisque 4 est un nombre pair, les deux événements sont compatibles. En pratique, il existe des problèmes liés au calcul des probabilités d'apparition de l'un des événements mutuellement simultanés.
Théorème d'addition de probabilité pour les événements conjoints. La probabilité que l'un des événements conjoints se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements, à laquelle est soustraite la probabilité de l'occurrence commune des deux événements, c'est-à-dire le produit des probabilités. La formule des probabilités d'événements conjoints a la forme suivante :
Depuis les événements UN Et DANS compatible, événement UN+ DANS se produit si l’un des trois événements possibles se produit : ou UN B. D'après le théorème d'addition d'événements incompatibles, on calcule comme suit :
Événement UN se produira si l’un des deux événements incompatibles se produit : ou UN B. Cependant, la probabilité d'occurrence d'un événement parmi plusieurs événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de tous ces événements :
De même:
En remplaçant les expressions (6) et (7) dans l'expression (5), nous obtenons la formule de probabilité pour les événements conjoints :
Lors de l'utilisation de la formule (8), il convient de tenir compte du fait que les événements UN Et DANS peut être:
- mutuellement indépendants;
- mutuellement dépendants.
Formule de probabilité pour des événements mutuellement indépendants :
Formule de probabilité pour des événements mutuellement dépendants :
Si les événements UN Et DANS sont incohérents, alors leur coïncidence est un cas impossible et, par conséquent, P.(UN B) = 0. La quatrième formule de probabilité pour les événements incompatibles est :
Exemple 3. En course automobile, lorsque vous conduisez la première voiture, vous avez de meilleures chances de gagner, et lorsque vous conduisez la deuxième voiture. Trouver:
- la probabilité que les deux voitures gagnent ;
- la probabilité qu'au moins une voiture gagne ;
1) La probabilité que la première voiture gagne ne dépend pas du résultat de la deuxième voiture, donc les événements UN(la première voiture gagne) et DANS(la deuxième voiture gagnera) – épreuves indépendantes. Trouvons la probabilité que les deux voitures gagnent :
2) Trouvez la probabilité que l'une des deux voitures gagne :
Des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, peuvent être trouvés sur la page "Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités".
Résolvez vous-même le problème de l'addition de probabilités, puis examinez la solution
Exemple 4. Deux pièces sont lancées. Événement UN- perte des armoiries sur la première monnaie. Événement B- perte des armoiries sur la deuxième monnaie. Trouver la probabilité d'un événement C = UN + B .
Multiplier les probabilités
La multiplication de probabilité est utilisée lorsque la probabilité d'un produit logique d'événements doit être calculée.
Dans ce cas, les événements aléatoires doivent être indépendants. Deux événements sont dits indépendants l’un de l’autre si la survenance de l’un d’entre eux n’affecte pas la probabilité de survenance du deuxième événement.
Théorème de multiplication de probabilité pour les événements indépendants. Probabilité d'occurrence simultanée de deux événements indépendants UN Et DANS est égal au produit des probabilités de ces événements et se calcule par la formule :
Exemple 5. La pièce est lancée trois fois de suite. Trouvez la probabilité que les armoiries apparaissent trois fois.
Solution. La probabilité que les armoiries apparaissent au premier tirage au sort, la deuxième fois et la troisième fois. Trouvons la probabilité que les armoiries apparaissent toutes les trois fois :
Résolvez vous-même les problèmes de multiplication de probabilités, puis examinez la solution
Exemple 6. Il y a une boîte de neuf balles de tennis neuves. Pour jouer, on prend trois balles, et après le jeu elles sont remises. Lors du choix des balles, les balles jouées ne sont pas distinguées des balles non jouées. Quelle est la probabilité qu’après trois parties, il ne reste plus aucune balle non jouée dans la surface ?
Exemple 7. 32 lettres de l'alphabet russe sont écrites sur des cartes alphabet découpées. Cinq cartes sont tirées au hasard les unes après les autres et placées sur la table par ordre d'apparition. Trouvez la probabilité que les lettres forment le mot « fin ».
Exemple 8. D'un jeu complet de cartes (52 feuilles), quatre cartes sont retirées à la fois. Trouvez la probabilité que ces quatre cartes soient de couleurs différentes.
Exemple 9. La même tâche que dans l'exemple 8, mais chaque carte après avoir été retirée est remise dans le paquet.
Des problèmes plus complexes, dans lesquels vous devez utiliser à la fois l'addition et la multiplication de probabilités, ainsi que calculer le produit de plusieurs événements, peuvent être trouvés sur la page « Divers problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités ».
La probabilité qu'au moins un des événements mutuellement indépendants se produise peut être calculée en soustrayant de 1 le produit des probabilités d'événements opposés, c'est-à-dire en utilisant la formule.
Définition. Produit ou intersection les événements A et B sont un événement constitué de la survenance simultanée des événements A et B. Désignation du produit : AB ou A B.
Exemple. Atteindre deux fois la cible est le produit de deux événements. La réponse aux deux questions figurant sur le ticket d’examen est le produit de deux événements.
Les événements A et B sont appelés incompatible, si leur produit est un événement impossible, c'est-à-dire AB = V.
Les événements A - la perte d'un blason et B - la perte d'un numéro lors d'un seul tirage au sort ne peuvent pas se produire simultanément, leur création est un événement impossible, les événements A et B sont incompatibles.
Les concepts de somme et de produit d'événements ont une interprétation géométrique claire.
Riz. 6.4. Interprétation géométrique du produit (a) et de la somme (b) de deux événements conjoints
Soit l'événement A un ensemble de points dans la zone A ; l'événement B est un ensemble de points dans la zone B. La zone ombrée correspond à l'événement AB sur la figure 6.4,a ; événement sur la Fig. 6.4, b.
Pour les événements incompatibles A et B nous avons : AB = V (Fig. 6.5, a). L'événement A+B correspond à la zone ombrée de la figure 6.5, b.
Riz. 6.5. Interprétation géométrique du produit (a) et de la somme (b) de deux événements incompatibles
Les événements sont appelés opposé, s'ils sont incompatibles et constituent au total un événement fiable, c'est-à-dire
Par exemple, tirons un coup sur une cible : événement - le tireur a touché la cible, l'a raté ; une pièce de monnaie est lancée : événement – les têtes tombent, − le nombre tombe ; les écoliers passent un test : événement - pas une seule erreur dans le test, - il y a des erreurs dans le test ; l'étudiant est venu passer le test : événement A - a réussi le test, - n'a pas réussi le test.
Il y a des garçons et des filles dans la classe, d'excellents élèves, de bons élèves et des élèves C, qui étudient l'anglais et l'allemand. Que l'événement M soit un garçon, O soit un excellent élève et A soit un étudiant d'anglais. Un élève au hasard qui sort de la classe peut-il être un garçon, un excellent élève et un apprenant d'anglais ? Ce sera le produit ou l’intersection des événements MOA.
Exemple. Ils lancent un dé - un cube constitué d'un matériau homogène dont les faces sont numérotées. Observez le nombre (nombre de points) qui apparaît sur le bord supérieur. Soit l'événement A l'apparition d'un nombre impair et l'événement B l'apparition d'un nombre multiple de trois. Trouvez les issues qui composent chacun des événements : U, A, A+B, AB et indiquez leur signification.
Solution. Résultat – l'apparition sur le bord supérieur de l'un des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'ensemble de tous les résultats constitue l'espace des événements élémentaires. Il est clair que l'événement, l'événement
Un événement est l'apparition soit d'un nombre impair, soit d'un multiple de trois. Lors de la liste des résultats, il est pris en compte que chaque résultat ne peut être contenu dans l'ensemble qu'une seule fois.
L'événement est l'apparition à la fois d'un nombre impair et d'un multiple de trois.
Exemple. Les devoirs de trois étudiants ont été vérifiés. Supposons que l'événement soit l'accomplissement d'une tâche par l'étudiant. Quelle est la signification des événements : et ?
Solution.Événement – réalisation d'une tâche par au moins un étudiant, c'est-à-dire ou n'importe quel élève (ou le premier, ou le deuxième, ou le troisième), ou deux, ou les trois.
Événement - la tâche n'a été accomplie par aucun élève : ni le premier, ni le deuxième, ni le troisième. Événement – réalisation d'une tâche par trois étudiants : le premier, le deuxième et le troisième.
Lorsqu’on considère la survenance conjointe de plusieurs événements, il peut y avoir des cas où la survenance de l’un d’eux affecte la possibilité de survenance d’un autre. Par exemple, si la journée est ensoleillée en automne, il est moins probable que le temps se gâte (il commence à pleuvoir). Si le soleil n’est pas visible, il y a plus de chances qu’il pleuve.
Définition. L'événement A est appelé indépendant de l'événement B, si la probabilité de l'événement A ne change pas selon que l'événement B s'est produit ou non. Dans le cas contraire, l'événement A est appelé en fonction de l'événement B. Deux événements A et B sont appelés indépendant, si la probabilité de l'un d'eux ne dépend pas de l'occurrence ou de la non-occurrence de l'autre, dépendante - sinon. Les événements sont dits indépendants par paire si tous deux d’entre eux sont indépendants l’un de l’autre.
Théorème. (Multiplication de probabilité) La probabilité du produit de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements :
P(UNE·B)=P(UNE)·P(B)
Ce théorème est valable pour tout nombre fini d'événements, à condition qu'ils soient collectivement indépendants, c'est-à-dire la probabilité que l’un d’entre eux se produise ne dépend pas de la survenance ou non de l’autre de ces événements.
Exemple. L'étudiant passe trois examens. La probabilité de réussir le premier examen est de 0,9, le deuxième de 0,65 et le troisième de 0,35. Trouvez la probabilité qu'il échoue à au moins un examen.
Solution: Désignons l'événement comme un étudiant qui n'a pas réussi au moins un examen. Alors P(A) = 1- P(ùA), où ùA est l'événement inverse : l'étudiant a réussi tous les examens. Puisque la réussite de chaque examen ne dépend pas des autres examens, alors P(A)=1-P(ùA)= 1- 0,9*0,65*0,35=0,7953.
Définition. La probabilité de l'événement A, calculée étant donné que l'événement B se produit, est appelée probabilite conditionnelle l'événement A est soumis à l'occurrence de B et est noté P B (A) ou P (A/B).
Théorème La probabilité d'occurrence d'un produit de deux événements est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux et de la probabilité conditionnelle du second, calculée sous la condition que le premier événement se soit produit :
Р(А·В)=Р(А)·Р А (В)=Р(В)·Р В (А).(*)
Exemple. Un étudiant tire deux fois un ticket sur 34. Quelle est la probabilité qu'il réussisse l'examen s'il a préparé 30 tickets et tire un ticket raté la première fois ?
Solution: Supposons que l'événement A soit qu'un ticket non réussi ait été tiré la première fois, et que l'événement B soit qu'un ticket réussi ait été tiré la deuxième fois. Ensuite A·B – l’étudiant réussira l’examen (dans les circonstances spécifiées). Les événements A et B sont dépendants, car la probabilité de choisir un ticket réussi à la deuxième tentative dépend du résultat du premier choix. Par conséquent, nous utilisons la formule (6) :
P(A·B) = P(A)·RA(B) = (4/34)*(30/33)= 20/187
Notez que la probabilité obtenue dans la solution est ≈0,107. Pourquoi la probabilité de réussir l'examen est-elle si faible si vous apprenez 30 tickets sur 34 et avez deux tentatives ?!
Théorème. (Théorème d'addition étendu) La probabilité de la somme de deux événements est égale à la somme des probabilités de ces événements sans la probabilité de leur occurrence conjointe (produit) :
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B).
Exemple. Deux étudiants résolvent un problème. La probabilité que le premier élève résolve le problème (événement A) est de 0,9 ; la probabilité que le deuxième élève résolve le problème (événement B) est de 0,8. Quelle est la probabilité que le problème soit résolu ?
Lors de la recherche des probabilités d'événements, la définition classique de la probabilité a été utilisée.
Théorème d'addition de probabilité
Considérons des événements aléatoires incompatibles.
On sait que les événements aléatoires incompatibles $A$ et $B$ dans le même essai ont des probabilités d'occurrence $P\left(A\right)$ et $P\left(B\right)$, respectivement. Trouvons la probabilité de la somme $A+B$ de ces événements, c'est-à-dire la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux se produise.
Supposons que dans un test donné le nombre de tous les événements élémentaires également possibles est $n$. Parmi ceux-ci, les événements $A$ et $B$ sont favorisés par les événements élémentaires $m_(A) $ et $m_(B) $, respectivement. Les événements $A$ et $B$ étant incompatibles, l'événement $A+B$ est favorisé par les événements élémentaires $m_(A) +m_(B)$. On a $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\gauche(A\droite)+P\gauche(B\droite)$.
Théorème 1
La probabilité de la somme de deux événements incompatibles est égale à la somme de leurs probabilités.
Note 1
Corollaire 1. La probabilité de la somme d'un nombre quelconque d'événements incompatibles est égale à la somme des probabilités de ces événements.
Corollaire 2. La somme des probabilités d'un groupe complet d'événements incompatibles (la somme des probabilités de tous les événements élémentaires) est égale à un.
Corollaire 3. La somme des probabilités d’événements opposés est égale à un, puisqu’ils forment un groupe complet d’événements incompatibles.
Exemple 1
La probabilité qu'il ne pleuve jamais dans la ville pendant un certain temps est $p=0,7$. Trouvez la probabilité $q$ qu'au même moment il pleuve dans la ville au moins une fois.
Les événements « pendant un certain temps il n'a jamais plu dans la ville » et « pendant un certain temps il a plu dans la ville au moins une fois » sont opposés. Donc $p+q=1$, d'où $q=1-p=1-0.7=0.3$.
Considérons des événements aléatoires conjoints.
On sait que les événements aléatoires conjoints $A$ et $B$ dans le même essai ont des probabilités d'occurrence $P\left(A\right)$ et $P\left(B\right)$, respectivement. Trouvons la probabilité de la somme $A+B$ de ces événements, c'est-à-dire la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux se produise.
Supposons que dans un test donné le nombre de tous les événements élémentaires également possibles est $n$. Parmi ceux-ci, les événements $A$ et $B$ sont favorisés par les événements élémentaires $m_(A) $ et $m_(B) $, respectivement. Puisque les événements $A$ et $B$ sont compatibles, alors sur le nombre total d'événements élémentaires $m_(A) + m_(B) $, un certain nombre de $m_(AB) $ favorisent à la fois l'événement $A $ et l'événement $B$, c'est-à-dire leur occurrence conjointe (production d'événements $A\cdot B$). Cette quantité $m_(AB) $ est entrée simultanément à la fois $m_(A) $ et $m_(B) $ Donc l'événement $A+B$ est favorisé par $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ événements élémentaires. On a : $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right) -P\left(A\cdot B\ c'est vrai)$.
Théorème 2
La probabilité de la somme de deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements moins la probabilité de leur produit.
Commentaire. Si les événements $A$ et $B$ sont incohérents, alors leur produit $A\cdot B$ est un événement impossible, dont la probabilité $P\left(A\cdot B\right)=0$. Par conséquent, la formule d'addition des probabilités d'événements incompatibles est un cas particulier de la formule d'addition des probabilités d'événements conjoints.
Exemple 2
Trouvez la probabilité que lorsque deux dés sont lancés simultanément, le chiffre 5 apparaisse au moins une fois.
Lorsqu'on lance deux dés simultanément, le nombre de tous les événements élémentaires également possibles est $n=36$, puisque pour chaque numéro du premier dé six numéros du deuxième dé peuvent apparaître. Parmi ceux-ci, l'événement $A$ - le chiffre 5 tombant au premier dé - est réalisé 6 fois, l'événement $B$ - le chiffre 5 tombant au deuxième dé - est également réalisé 6 fois. Sur les douze fois, le chiffre 5 apparaît une fois sur les deux dés. Ainsi, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .
Théorème de multiplication de probabilité
Considérons des événements indépendants.
Les événements $A$ et $B$ qui se produisent dans deux essais consécutifs sont dits indépendants si la probabilité d'occurrence de l'événement $B$ ne dépend pas du fait que l'événement $A$ s'est produit ou non.
Par exemple, supposons qu'il y ait 2 boules blanches et 2 boules noires dans une urne. Le test consiste à récupérer le ballon. L'événement $A$ est « la boule blanche est tirée lors du premier essai ». Probabilité $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Après le premier test, la balle a été remise en place et un deuxième test a été effectué. Événement $B$ -- « la boule blanche est tirée au deuxième essai ». Probabilité $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. La probabilité $P\left(B\right)$ ne dépend pas du fait que l'événement $A$ ait eu lieu ou non, donc les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
On sait que les événements aléatoires indépendants $A$ et $B$ de deux essais consécutifs ont des probabilités d'occurrence $P\left(A\right)$ et $P\left(B\right)$, respectivement. Trouvons la probabilité du produit $A\cdot B$ de ces événements, c'est-à-dire la probabilité de leur occurrence conjointe.
Supposons que dans le premier test le nombre de tous les événements élémentaires également possibles est $n_(1) $. Parmi ceux-ci, l'événement $A$ est favorisé par les événements élémentaires $m_(1)$. Supposons également que dans le deuxième test le nombre de tous les événements élémentaires également possibles est $n_(2) $. Parmi ceux-ci, l'événement $B$ est favorisé par les événements élémentaires $m_(2)$. Considérons maintenant un nouvel événement élémentaire, qui consiste en l’apparition séquentielle des événements des premier et deuxième tests. Le nombre total de tels événements élémentaires également possibles est égal à $n_(1) \cdot n_(2) $. Puisque les événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors à partir de ce nombre, l'occurrence conjointe de l'événement $A$ et de l'événement $B$ (le produit des événements $A\cdot B$) est favorisée par $m_(1) \ cdot m_(2) $ événements . On a : $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.
Théorème 3
La probabilité du produit de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements.
Regardons les événements dépendants.
Dans deux essais consécutifs, les événements $A$ et $B$ se produisent. Un événement $B$ est dit dépendant d'un événement $A$ si la probabilité d'occurrence d'un événement $B$ dépend du fait que l'événement $A$ a eu lieu ou n'a pas eu lieu. Ensuite, la probabilité de l'événement $B$, qui a été calculée sous la condition que l'événement $A$ ait eu lieu, est appelée la probabilité conditionnelle de l'événement $B$ étant donné $A$ et est notée $P\left(B/A\ à droite)$.
Par exemple, supposons qu'il y ait 2 boules blanches et 2 boules noires dans une urne. Le test est le retrait de la balle. L'événement $A$ est « la boule blanche est tirée lors du premier essai ». Probabilité $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Après le premier test, la balle n'est pas remise et le deuxième test est effectué. Événement $B$ -- « la boule blanche est tirée au deuxième essai ». Si une boule blanche a été tirée lors du premier essai, alors la probabilité est $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Si lors du premier essai, une boule noire a été tirée, alors la probabilité est $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Ainsi, la probabilité de l'événement $B$ dépend du fait que l'événement $A$ s'est produit ou non, donc l'événement $B$ dépend de l'événement $A$.
Supposons que les événements $A$ et $B$ se produisent lors de deux essais consécutifs. On sait que l'événement $A$ a une probabilité d'occurrence $P\left(A\right)$. On sait également que l'événement $B$ dépend de l'événement $A$ et que sa probabilité conditionnelle étant donné $A$ est égale à $P\left(B/A\right)$.
Théorème 4
La probabilité du produit d'un événement $A$ et d'un événement dépendant $B$, c'est-à-dire la probabilité de leur occurrence conjointe, peut être trouvée par la formule $P\left(A\cdot B\right)=P\ gauche(A\droite)\cdot P\gauche(B/A\droite)$.
La formule symétrique $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ est également valide, où l'événement $A$ est supposé être dépendant de l'événement $ B$.
Pour les conditions du dernier exemple, on retrouve la probabilité que la boule blanche soit tirée dans les deux essais. Un tel événement est le produit des événements $A$ et $B$. Sa probabilité est égale à $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.
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