Résolution d'équations rationnelles entières et fractionnaires. Systèmes d'équations rationnelles en mathématiques Définition d'une équation rationnelle à deux variables

L'approche de l'auteur sur ce sujet n'est pas fortuite. Les équations à deux variables sont rencontrées pour la première fois dans le cours de 7e année. Une équation à deux variables possède un nombre infini de solutions. Ceci est clairement démontré par le graphique d’une fonction linéaire, donnée par ax + by=c. Dans le cours scolaire, les étudiants étudient des systèmes de deux équations à deux variables. De ce fait, toute une série de problèmes avec des conditions limitées sur le coefficient de l'équation, ainsi que les méthodes pour les résoudre, tombent hors de vue de l'enseignant et, par conséquent, de l'élève.

Nous parlons de résoudre une équation à deux inconnues en nombres entiers ou naturels.

À l'école, les nombres naturels et les nombres entiers sont étudiés de la 4e à la 6e année. Au moment où ils terminent leurs études, tous les élèves ne se souviennent pas des différences entre les ensembles de ces nombres.

Cependant, un problème tel que « résoudre une équation de la forme ax + by=c en nombres entiers » se retrouve de plus en plus dans les examens d'entrée aux universités et dans les documents de l'examen d'État unifié.

La résolution d’équations incertaines développe la pensée logique, l’intelligence et l’attention à l’analyse.

Je propose de développer plusieurs leçons sur ce sujet. Je n'ai pas de recommandations claires sur le calendrier de ces cours. Certains éléments peuvent également être utilisés en 7e (pour une classe forte). Ces cours peuvent servir de base et développer un petit cours au choix sur la formation préprofessionnelle en 9e année. Et, bien sûr, ce matériel peut être utilisé de la 10e à la 11e année pour préparer les examens.

Le but de la leçon :

• répétition et généralisation des connaissances sur le thème «Équations du premier et du second ordre»
• nourrir l’intérêt cognitif pour le sujet
• développer la capacité d'analyser, de faire des généralisations, de transférer des connaissances à une nouvelle situation

Leçon 1.

Pendant les cours.

1) Organisation. moment.

2) Actualisation des connaissances de base.

Définition. Une équation linéaire à deux variables est une équation de la forme

mx + ny = k, où m, n, k sont des nombres, x, y sont des variables.

Exemple : 5x+2y=10

Définition. Une solution à une équation à deux variables est une paire de valeurs de variables qui transforme l'équation en une véritable égalité.

Les équations avec deux variables ayant les mêmes solutions sont dites équivalentes.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6

Cette équation peut avoir un certain nombre de solutions. Pour ce faire, il suffit de prendre n'importe quelle valeur x et de trouver la valeur y correspondante.

Soit x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Paires de nombres (2 ; 1 ); (4;-4) – solutions à l'équation (1).

Cette équation a une infinité de solutions.

3) Contexte historique

Les équations indéfinies (diophantiennes) sont des équations contenant plus d’une variable.

Au 3ème siècle. ANNONCE – Diophante d'Alexandrie a écrit « Arithmétique », dans lequel il a élargi l'ensemble des nombres aux nombres rationnels et a introduit le symbolisme algébrique.

Diophante a également examiné les problèmes de résolution d'équations indéfinies et a donné des méthodes pour résoudre des équations indéfinies du deuxième et du troisième degré.

4) Étudier du nouveau matériel.

Définition : Une équation diophantienne inhomogène du premier ordre à deux inconnues x, y est une équation de la forme mx + ny = k, où m, n, k, x, y Z k0

Déclaration 1.

Si le terme libre k dans l'équation (1) n'est pas divisible par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres m et n, alors l'équation (1) n'a pas de solutions entières.

Exemple : 34x – 17a = 3.

PGCD (34 ; 17) = 17, 3 n'est pas divisible également par 17, il n'y a pas de solution en nombres entiers.

Soit k divisé par pgcd (m, n). En divisant tous les coefficients, nous pouvons garantir que m et n deviennent relativement premiers.

Déclaration 2.

Si m et n de l’équation (1) sont des nombres relativement premiers, alors cette équation a au moins une solution.

Déclaration 3.

Si les coefficients m et n de l'équation (1) sont des nombres premiers entre eux, alors cette équation a une infinité de solutions :

Où (; ) est une solution de l'équation (1), t Z

Définition. Une équation diophantienne homogène du premier ordre à deux inconnues x, y est une équation de la forme mx + ny = 0, où (2)

Déclaration 4.

Si m et n sont des nombres premiers entre eux, alors toute solution à l’équation (2) a la forme

5) Devoirs. Résolvez l'équation en nombres entiers :

1. 9x – 18 ans = 5
2. x + y = xy
3. Plusieurs enfants cueillaient des pommes. Chaque garçon a collecté 21 kg et la fille 15 kg. Au total, ils ont collecté 174 kg. Combien de garçons et combien de filles ont cueilli des pommes ?

Commentaire. Cette leçon ne fournit pas d’exemples de résolution d’équations en nombres entiers. Par conséquent, les enfants résolvent leurs devoirs sur la base de l'énoncé 1 et de la sélection.

Leçon 2.

1) Moment organisationnel

2) Vérification des devoirs

1) 9x – 18 ans = 5

5 n'est pas divisible par 9 ; il n'y a pas de solutions en nombres entiers.

En utilisant la méthode de sélection, vous pouvez trouver une solution

Réponse : (0;0), (2;2)

3) Faisons une équation :

Soit les garçons x, x Z et les filles y, y Z, alors nous pouvons créer l'équation 21x + 15y = 174

De nombreux étudiants, après avoir écrit une équation, ne seront pas capables de la résoudre.

Réponse : 4 garçons, 6 filles.

3) Apprendre du nouveau matériel

Ayant rencontré des difficultés pour réaliser leurs devoirs, les élèves étaient convaincus de la nécessité d’apprendre leurs méthodes de résolution d’équations incertaines. Examinons quelques-uns d'entre eux.

I. Méthode de prise en compte des restes de division.

Exemple. Résolvez l'équation en nombres entiers 3x – 4y = 1.

Le côté gauche de l’équation est divisible par 3, donc le côté droit doit être divisible. Considérons trois cas.

Réponse : où m Z.

La méthode décrite est pratique à utiliser si les nombres m et n ne sont pas petits, mais peuvent être décomposés en facteurs simples.

Exemple : Résoudre des équations en nombres entiers.

Soit y = 4n, alors 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) est divisé par 4.

y = 4n+1, alors 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n n'est pas divisible par 4.

y = 4n+2, alors 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n n'est pas divisible par 4.

y = 4n+3, alors 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n n'est pas divisible par 4.

Donc y = 4n, alors

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Réponse : , où n Z.

II. Equations incertaines du 2ème degré

Aujourd'hui, dans la leçon, nous n'aborderons que la solution des équations diophantiennes du second ordre.

Et parmi tous les types d'équations, nous considérerons le cas où l'on peut appliquer la formule de la différence des carrés ou une autre méthode de factorisation.

Exemple : Résoudre une équation en nombres entiers.

13 est un nombre premier, il ne peut donc être factorisé que de quatre manières : 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Considérons ces cas

Réponse : (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Devoirs.

Exemples. Résolvez l'équation en nombres entiers :

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	ne convient pas	ne convient pas
2x = -4	ne convient pas	ne convient pas
x = -2
y = 0

Réponse : (-2 ;0), (2 ;0).

Réponses : (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Réponse : (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Résultats. Que signifie résoudre une équation en nombres entiers ?

Quelles méthodes connaissez-vous pour résoudre des équations incertaines ?

Application:

Exercices pour l'entraînement.

1) Résolvez en nombres entiers.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5a = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7a = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, nZ
d) 9x – 2a = 1	x = 1 – 2 m, y = 4 + 9 m, mZ
e) 9x – 11a = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, nZ
e) 7x – 4 ans = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, nZ
g) 19x – 5 ans = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, pZ
h) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, tZ

2) Trouver des solutions entières non négatives à l'équation :

Solution :Z (2 ; -1)

Littérature.

1. Encyclopédie pour enfants « Pédagogie », Moscou, 1972.
2. Algèbre-8, N.Ya. Vilenkin, VO « Science », Novossibirsk, 1992
3. Problèmes de concurrence basés sur la théorie des nombres. V.Ya. Galkin, D. Yu. Sychugov. MSU, VMK, Moscou, 2005.
4. Problèmes de difficulté accrue dans le cours d'algèbre de la 7e à la 9e année. N.P. Kosrykina. « Lumières », Moscou, 1991
5. Algèbre 7, Makarychev Yu.N., « Lumières ».

Dans le cours de mathématiques de 7ème, on rencontre pour la première fois équations à deux variables, mais ils ne sont étudiés que dans le contexte de systèmes d'équations à deux inconnues. C'est pourquoi toute une série de problèmes dans lesquels certaines conditions sont introduites sur les coefficients de l'équation qui les limite tombent hors de vue. De plus, les méthodes de résolution de problèmes telles que « Résoudre une équation en nombres naturels ou entiers » sont également ignorées, bien que des problèmes de ce type se retrouvent de plus en plus souvent dans les documents de l'examen d'État unifié et dans les examens d'entrée.

Quelle équation sera appelée équation à deux variables ?

Ainsi, par exemple, les équations 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ou xy = 12 sont des équations à deux variables.

Considérons l'équation 2x – y = 1. Elle devient vraie lorsque x = 2 et y = 3, donc cette paire de valeurs variables est une solution à l'équation en question.

Ainsi, la solution de toute équation à deux variables est un ensemble de paires ordonnées (x ; y), valeurs des variables qui transforment cette équation en une véritable égalité numérique.

Une équation à deux inconnues peut :

UN) avoir une solution. Par exemple, l'équation x 2 + 5y 2 = 0 a une solution unique (0 ; 0) ;

b) avoir plusieurs solutions. Par exemple, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 a 4 solutions : (5 ; 2), (-5 ; 2), (5 ; -2), (-5 ; - 2);

V) n'ai pas de solutions. Par exemple, l'équation x 2 + y 2 + 1 = 0 n'a pas de solution ;

G) avoir une infinité de solutions. Par exemple, x + y = 3. Les solutions de cette équation seront des nombres dont la somme est égale à 3. L'ensemble des solutions de cette équation peut s'écrire sous la forme (k ; 3 – k), où k est n'importe quel réel nombre.

Les principales méthodes de résolution d'équations à deux variables sont des méthodes basées sur des expressions de factorisation, isolant un carré complet, utilisant les propriétés d'une équation quadratique, des expressions limitées et des méthodes d'estimation. L'équation est généralement transformée en une forme à partir de laquelle un système permettant de trouver les inconnues peut être obtenu.

Factorisation

Exemple 1.

Résolvez l’équation : xy – 2 = 2x – y.

Solution.

Nous regroupons les termes à des fins de factorisation :

(xy + y) – (2x + 2) = 0. De chaque parenthèse nous retirons un facteur commun :

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0 ;

(x + 1)(y – 2) = 0. On a :

y = 2, x – n'importe quel nombre réel ou x = -1, y – n'importe quel nombre réel.

Ainsi, la réponse est toutes les paires de la forme (x; 2), x € R et (-1; y), y € R.

Égalité des nombres non négatifs à zéro

Exemple 2.

Résolvez l'équation : 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Solution.

Regroupement:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Maintenant, chaque parenthèse peut être pliée en utilisant la formule de différence au carré.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

La somme de deux expressions non négatives est nulle seulement si 3x – 2 = 0 et 2y – 3 = 0.

Cela signifie x = 2/3 et y = 3/2.

Réponse : (2/3 ; 3/2).

Méthode d'estimation

Exemple 3.

Résolvez l'équation : (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Solution.

Dans chaque parenthèse nous sélectionnons un carré complet :

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Estimons le sens des expressions entre parenthèses.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 et (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, alors le côté gauche de l'équation est toujours au moins 2. L'égalité est possible si :

(x + 1) 2 + 1 = 1 et (y – 2) 2 + 2 = 2, ce qui signifie x = -1, y = 2.

Réponse : (-1 ; 2).

Faisons connaissance avec une autre méthode de résolution d'équations à deux variables du deuxième degré. Cette méthode consiste à traiter l'équation comme carré par rapport à une variable.

Exemple 4.

Résolvez l'équation : x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Solution.

Résolvons l'équation comme une équation quadratique pour x. Trouvons le discriminant :

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . L'équation n'aura de solution que lorsque D = 0, c'est-à-dire si y = 4. Nous substituons la valeur de y dans l'équation d'origine et constatons que x = 3.

Réponse : (3 ; 4).

Souvent dans les équations à deux inconnues, ils indiquent restrictions sur les variables.

Exemple 5.

Résolvez l'équation en nombres entiers : x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solution.

Réécrivons l'équation sous la forme x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Le côté droit de l'équation résultante lorsqu'il est divisé par 5 donne un reste de 2. Par conséquent, x 2 n'est pas divisible par 5. Mais le carré d'un un nombre non divisible par 5 donne un reste de 1 ou 4. Ainsi, l'égalité est impossible et il n'y a pas de solutions.

Réponse : pas de racines.

Exemple 6.

Résolvez l'équation : (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Solution.

Soulignons les carrés complets dans chaque parenthèse :

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Le côté gauche de l'équation est toujours supérieur ou égal à 3. L'égalité est possible à condition que |x| – 2 = 0 et y + 3 = 0. Ainsi, x = ± 2, y = -3.

Réponse : (2 ; -3) et (-2 ; -3).

Exemple 7.

Pour chaque paire d'entiers négatifs (x;y) satisfaisant l'équation
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculez la somme (x + y). Veuillez indiquer le plus petit montant dans votre réponse.

Solution.

Sélectionnons des carrés complets :

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37 ;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Puisque x et y sont des nombres entiers, leurs carrés sont également des nombres entiers. On obtient la somme des carrés de deux entiers égale à 37 si l'on additionne 1 + 36. Donc :

(x – y) 2 = 36 et (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 et (y + 2) 2 = 36.

En résolvant ces systèmes et en tenant compte du fait que x et y sont négatifs, nous trouvons des solutions : (-7 ; -1), (-9 ; -3), (-7 ; -8), (-9 ; -8).

Réponse : -17.

Ne désespérez pas si vous avez des difficultés à résoudre des équations à deux inconnues. Avec un peu de pratique, vous pouvez gérer n'importe quelle équation.

Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre des équations à deux variables ?
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Instructions

Méthode de substitutionExprimez une variable et remplacez-la dans une autre équation. Vous pouvez exprimer n'importe quelle variable à votre discrétion. Par exemple, exprimez y à partir de la deuxième équation :
x-y=2 => y=x-2Ensuite, remplacez tout dans la première équation :
2x+(x-2)=10 Déplacez tout sans « x » vers la droite et calculez :
2x+x=10+2
3x=12 Ensuite, pour obtenir x, divisez les deux côtés de l'équation par 3 :
x = 4. Vous avez donc trouvé « x. Trouvez "y. Pour ce faire, remplacez « x » dans l’équation à partir de laquelle vous avez exprimé « y » :
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Faites une vérification. Pour ce faire, substituez les valeurs résultantes dans les équations :
2*4+2=10
4-2=2
Les inconnues ont été trouvées correctement !

Une façon d'ajouter ou de soustraire des équations. Débarrassez-vous immédiatement de toute variable. Dans notre cas, c’est plus facile à faire avec « y.
Puisque dans l'équation « y » a un signe « + » et dans la seconde « - », alors vous pouvez effectuer l'opération d'addition, c'est-à-dire pliez le côté gauche avec le gauche, et le droit avec le droit :
2x+y+(x-y)=10+2Convertir :
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Remplacez « x » dans n'importe quelle équation et trouvez « y » :
2*4+y=10
8+o=10
y=10-8
y=2 En utilisant la 1ère méthode, vous pouvez vérifier que les racines sont bien trouvées.

S'il n'y a pas de variables clairement définies, il est alors nécessaire de transformer légèrement les équations.
Dans la première équation, nous avons « 2x », et dans la seconde, nous avons simplement « x ». Pour réduire x lors de l'ajout ou de la soustraction, multipliez la deuxième équation par 2 :
x-y = 2
2x-2y=4Ensuite, soustrayez la seconde de la première équation :
2x+y-(2x-2y)=10-4 Notez que s'il y a un moins devant le support, alors après ouverture, remplacez les signes par les signes opposés :
2x+y-2x+2y=6
3у=6
trouvez y = 2x en exprimant à partir de n'importe quelle équation, c'est-à-dire
x=4

Vidéo sur le sujet

Lors de la résolution d'équations différentielles, l'argument x (ou le temps t dans les problèmes physiques) n'est pas toujours explicitement disponible. Néanmoins, il s'agit d'un cas particulier simplifié de spécification d'une équation différentielle, qui permet souvent de simplifier la recherche de son intégrale.

Instructions

Considérons un problème de physique qui aboutit à une équation différentielle dans laquelle l'argument t est manquant. Il s'agit d'un problème concernant les oscillations d'une masse m suspendue à un fil de longueur r situé dans un plan vertical. L'équation du mouvement du pendule est requise s'il était initialement immobile et incliné par rapport à l'état d'équilibre d'un angle α. Les forces doivent être négligées (voir Fig. 1a).

Solution. Un pendule mathématique est un point matériel suspendu à un fil en apesanteur et inextensible au point O. Deux forces agissent sur le point : la force de gravité G=mg et la force de tension du fil N. Ces deux forces se situent dans le plan vertical. . Par conséquent, pour résoudre le problème, vous pouvez appliquer l'équation du mouvement de rotation d'un point autour d'un axe horizontal passant par le point O. L'équation du mouvement de rotation d'un corps a la forme montrée sur la Fig. 1b. Dans ce cas, I est le moment d'inertie du point matériel ; j est l'angle de rotation du filetage avec la pointe, mesuré à partir de l'axe vertical dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ; M est le moment des forces appliquées à un point matériel.

Calculez ces valeurs. Je = mr ^ 2, M = M (G) + M (N). Mais M(N)=0, puisque la ligne d'action de la force passe par le point O. M(G)=-mgrsinj. Le signe « - » signifie que le moment de force est dirigé dans la direction opposée au mouvement. Remplacez le moment d'inertie et le moment de force dans l'équation du mouvement et obtenez l'équation illustrée à la Fig. 1s. En réduisant la masse, une relation apparaît (voir Fig. 1d). Il n’y a pas de discussion ici.

Nous avons déjà appris à résoudre des équations quadratiques. Étendons maintenant les méthodes étudiées aux équations rationnelles.

Qu'est-ce qu'une expression rationnelle ? Nous avons déjà rencontré ce concept. Expressions rationnelles sont des expressions composées de nombres, de variables, de leurs puissances et de symboles d'opérations mathématiques.

En conséquence, les équations rationnelles sont des équations de la forme : , où - des expressions rationnelles.

Auparavant, nous n'avions considéré que les équations rationnelles pouvant être réduites à des équations linéaires. Examinons maintenant ces équations rationnelles qui peuvent être réduites à des équations quadratiques.

Exemple 1

Résous l'équation: .

Solution:

Une fraction est égale à 0 si et seulement si son numérateur est égal à 0 et son dénominateur n'est pas égal à 0.

On obtient le système suivant :

La première équation du système est une équation quadratique. Avant de le résoudre, divisons tous ses coefficients par 3. On obtient :

On obtient deux racines : ; .

Puisque 2 n’est jamais égal à 0, deux conditions doivent être remplies : . Puisqu'aucune des racines de l'équation obtenue ci-dessus ne coïncide avec les valeurs invalides de la variable obtenues lors de la résolution de la deuxième inégalité, ce sont toutes deux des solutions à cette équation.

Répondre:.

Formulons donc un algorithme pour résoudre des équations rationnelles :

1. Déplacez tous les termes vers la gauche afin que le côté droit se termine par 0.

2. Transformez et simplifiez le côté gauche, ramenez toutes les fractions à un dénominateur commun.

3. Égalisez la fraction résultante à 0 en utilisant l'algorithme suivant : .

4. Notez les racines obtenues dans la première équation et satisfaisez la deuxième inégalité dans la réponse.

Regardons un autre exemple.

Exemple 2

Résous l'équation: .

Solution

Au tout début, on déplace tous les termes vers la gauche pour que 0 reste à droite. On obtient :

Ramenons maintenant le côté gauche de l’équation à un dénominateur commun :

Cette équation est équivalente au système :

La première équation du système est une équation quadratique.

Coefficients de cette équation : . On calcule le discriminant :

On obtient deux racines : ; .

Résolvons maintenant la deuxième inégalité : le produit des facteurs n'est pas égal à 0 si et seulement si aucun des facteurs n'est égal à 0.

Deux conditions doivent être remplies : . On constate que des deux racines de la première équation, une seule convient - 3.

Répondre:.

Dans cette leçon, nous avons rappelé ce qu'est une expression rationnelle et avons également appris à résoudre des équations rationnelles, qui se réduisent à des équations quadratiques.

Dans la leçon suivante, nous examinerons les équations rationnelles en tant que modèles de situations réelles, ainsi que les problèmes de mouvement.

Bibliographie

1. Bashmakov M.I. Algèbre, 8e année. - M. : Éducation, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et autres, Algebra, 8, 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algèbre, 8e année. Manuel pour les établissements d'enseignement général. - M. : Éducation, 2006.

1. Festival d'idées pédagogiques "Leçon Ouverte" ().
2. École.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Devoirs