Vergleich komplexer Zahlen online. Modul und Argument einer komplexen Zahl

Erinnern wir uns an die notwendigen Informationen über komplexe Zahlen.

Komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form A + Bi, Wo A, B sind reelle Zahlen, und ich- das sogenannte imaginäre Einheit, ein Symbol, dessen Quadrat gleich –1 ist ich 2 = –1. Nummer A angerufen echter Teil, und die Zahl B - imaginärer Teil komplexe Zahl z = A + Bi. Wenn B= 0, dann stattdessen A + 0ich sie schreiben einfach A. Es ist ersichtlich, dass es sich um reelle Zahlen handelt Sonderfall komplexe Zahlen.

Arithmetische Operationen an komplexen Zahlen sind die gleichen wie an reellen Zahlen: Sie können miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Addition und Subtraktion erfolgen nach der Regel ( A + Bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)ich, und die Multiplikation folgt der Regel ( A + Bi) · ( C + di) = (ac – bd) + (Anzeige + v. Chr)ich(Hier wird das verwendet ich 2 = –1). Zahl = A – Bi angerufen komplexes Konjugat Zu z = A + Bi. Gleichwertigkeit z · = A 2 + B 2 ermöglicht es Ihnen zu verstehen, wie man eine komplexe Zahl durch eine andere (ungleich Null) komplexe Zahl dividiert:

(Zum Beispiel, .)

Komplexe Zahlen haben eine praktische und anschauliche geometrische Darstellung: Zahl z = A + Bi kann durch einen Vektor mit Koordinaten dargestellt werden ( A; B) auf der kartesischen Ebene (oder, was fast dasselbe ist, ein Punkt – das Ende eines Vektors mit diesen Koordinaten). In diesem Fall wird die Summe zweier komplexer Zahlen als Summe der entsprechenden Vektoren dargestellt (die mit der Parallelogrammregel ermittelt werden können). Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge des Vektors mit Koordinaten ( A; B) ist gleich . Diese Menge heißt Modul komplexe Zahl z = A + Bi und wird mit | bezeichnet z|. Der Winkel, den dieser Vektor mit der positiven Richtung der x-Achse (gegen den Uhrzeigersinn gezählt) bildet, wird aufgerufen Argument komplexe Zahl z und wird mit Arg bezeichnet z. Das Argument ist nicht eindeutig definiert, sondern nur bis zur Addition eines Vielfachen von 2 π Bogenmaß (oder 360°, wenn in Grad gezählt) - schließlich ist klar, dass eine Drehung um einen solchen Winkel um den Ursprung den Vektor nicht verändert. Aber wenn der Vektor der Länge R bildet einen Winkel φ mit der positiven Richtung der x-Achse, dann sind seine Koordinaten gleich ( R cos φ ; R Sünde φ ). Von hier aus stellt sich heraus trigonometrische Notation komplexe Zahl: z = |z| · (cos(Arg z) + ich Sünde(Arg z)). Es ist oft praktisch, komplexe Zahlen in dieser Form zu schreiben, da dies die Berechnungen erheblich vereinfacht. Komplexe Zahlen in trigonometrischer Form zu multiplizieren ist sehr einfach: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + ich Sünde(Arg z 1 + Arg z 2)) (bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden ihre Module multipliziert und ihre Argumente addiert). Von hier aus folgen Moivres Formeln: z n = |z|N· (cos( N· (Arg z)) + ich Sünde( N· (Arg z))). Mit diesen Formeln ist es leicht zu lernen, wie man aus komplexen Zahlen Wurzeln beliebigen Grades zieht. Wurzel n. Grad ab Nummer z- Das ist eine komplexe Zahl w, Was w n = z. Das ist klar , und , wo k kann jeden Wert aus der Menge annehmen (0, 1, ..., N– 1). Das heißt, es gibt immer genau N Wurzeln N Grad einer komplexen Zahl (in der Ebene liegen sie an den Eckpunkten der Regelmäßigkeit). N-gon).

Mit dem Taschenrechner

Um einen Ausdruck auszuwerten, müssen Sie eine auszuwertende Zeichenfolge eingeben. Bei der Eingabe von Zahlen ist das Trennzeichen zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen ein Punkt. Sie können Klammern verwenden. Operationen an komplexen Zahlen sind Multiplikation (*), Division (/), Addition (+), Subtraktion (-), Potenzierung (^) und andere. Sie können Exponential- und Algebraformen verwenden, um komplexe Zahlen zu schreiben. Geben Sie eine imaginäre Einheit ein ich es ist ohne das Multiplikationszeichen möglich; in anderen Fällen ist das Multiplikationszeichen erforderlich, beispielsweise zwischen Klammern oder zwischen einer Zahl und einer Konstante. Es können auch Konstanten verwendet werden: Die Zahl π wird als Pi, Exponent, eingegeben e, müssen alle Ausdrücke im Indikator in Klammern eingeschlossen werden.

Beispielzeile zur Berechnung: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), was dem Ausdruck \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\] entspricht

Mit dem Rechner können Sie Konstanten, mathematische Funktionen, zusätzliche Operationen und mehr verwenden. komplexe Ausdrücke, Sie können sich mit diesen Möglichkeiten auf der Seite mit den allgemeinen Regeln für die Verwendung von Taschenrechnern auf dieser Website vertraut machen.

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Nachricht

07.07.2016
Ein Rechner zum Lösen von Systemen nichtlinearer algebraischer Gleichungen wurde hinzugefügt: .

30.06.2016
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Klasse 12 . Komplexe Zahlen.

12.1. Definition komplexer Zahlen in algebraischer Form. Vergleich und Darstellung komplexer Zahlen auf der komplexen Ebene. Komplexe Paarung. Addition, Multiplikation, Division komplexer Zahlen.

12.2. Modul, Argument einer komplexen Zahl.

12.3. Trigonometrische und exponentielle Schreibweisen einer komplexen Zahl.

12.4. Erhöhen auf eine ganze Zahl und Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl.

Definition komplexer Zahlen in algebraischer Form. Vergleich und Darstellung komplexer Zahlen auf der komplexen Ebene. Komplexe Paarung. Addition, Multiplikation, Division komplexer Zahlen.

Eine komplexe Zahl in algebraischer Form ist die Zahl

Wo
angerufen imaginäre Einheit Und
- reelle Zahlen:
angerufen echter (echter) Teil;
- imaginärer Teil komplexe Zahl . Komplexe Zahlen der Form
werden aufgerufen rein imaginäre Zahlen. Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit dem Buchstaben bezeichnet .

Per Definition ist

Die Menge aller reellen Zahlen ist Teil des Sets
: . Andererseits gibt es komplexe Zahlen, die nicht zur Menge gehören
.
Zum Beispiel,
.

Und , Weil Komplexe Zahlen in algebraischer Form entstehen beim Lösen auf natürliche Weise

quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante.
.

Beispiel 1

. Lösen Sie die Gleichung

,
.

Lösung. , Daher hat die gegebene quadratische Gleichung komplexe Wurzeln

,

,
.

Beispiel 2 ,

. Finden Sie den Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen
Dementsprechend sind der Real- und der Imaginärteil der Zahl Jede komplexe Zahl
dargestellt durch einen Vektor auf der komplexen Ebene , was eine Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem darstellt
. Der Anfang des Vektors liegt am Punkt
, und das Ende ist der Punkt mit den Koordinaten
(Abbildung 1.) Achse .

heißt die reale Achse und die Achse
- imaginäre Achse der komplexen Ebene
Komplexe Zahlen werden nur durch Vorzeichen miteinander verglichen
. . .
Wenn mindestens eine der Gleichheiten:.

ist also verletzt Datensätze vom Typ
ergibt keinen Sinn
Per Definition komplex
Nummer
wird das komplexe Konjugat einer Zahl genannt

.

In diesem Fall schreiben sie

. Das ist offensichtlich.

Überall unten bedeutet ein Überstrich über einer komplexen Zahl eine komplexe Konjugation.

Zum Beispiel, .

Sie können Operationen an komplexen Zahlen wie Addition (Subtraktion), Multiplikation und Division durchführen.

1. Addition komplexer Zahlen
so gemacht: Vektoren nach der Parallelogrammregel.

Zahlensubtraktionsoperation aus der Mitte so gemacht:

2. Multiplikation komplexer Zahlen so gemacht:

Eigenschaften der Multiplikationsoperation:

Zum Beispiel, .

- Eigenschaft der Assoziativität;

- das Gesetz der Distributivität.

3. Division komplexer Zahlen machbar nur mit
und das geht so:

.

Beispiel 3. Finden
, Wenn .

Beispiel 4. Berechnen
, Wenn .

z, weil
.

.(Autsch!)

Es ist nicht schwer, die Gültigkeit der folgenden Aussagen zu überprüfen (es wird empfohlen, dies selbst zu tun):

Modul, Argument einer komplexen Zahl.

Modul einer komplexen Zahl
(Modul bezeichnet mit ) ist eine nicht negative Zahl
, d.h.
.

Geometrische Bedeutung - Länge des Vektors, der die Zahl darstellt auf der komplexen Ebene .
Gleichung definiert die Menge aller Zahlen (Vektoren pro
.

), deren Enden auf dem Einheitskreis liegen
Komplexes Zahlenargument bezeichnet mit
(Argument ) Dies ist ein Winkel
im Bogenmaß zwischen der realen Achse auf der komplexen Ebene und Zahl , Und
positiv, wenn ab gezählt wird Zu gegen den Uhrzeigersinn und negativ wenn
positiv, wenn ab gezählt wird gemessen von der Achse.

im Uhrzeigersinn Also das Zahlenargument
ist bis auf einen Begriff mehrdeutig bestimmt
, Wo . Auf jeden Fall ein Zahlenargument
innerhalb einer Runde des Einheitskreises bestimmt . im Flugzeug
Normalerweise muss man es finden
,innerhalb des Intervalls Dieser Wert wird als Hauptwert des Zahlenarguments bezeichnet
.

und ist bezeichnet
Und Zahlen
kann aus der Gleichung ermittelt werden , während Unbedingt müssen berücksichtigt werden , in welchem ​​Viertel des Flugzeugs liegt am Ende des Vektors
:

- Punkt
Wenn (1. Viertel des Flugzeugs

- Punkt
), Das ; (2. Viertel des Flugzeugs

- Punkt
), Das; (1. Viertel des Flugzeugs

- Punkt
(3. Viertel des Flugzeugs (4. Viertel des Flugzeugs

), Das .
Tatsächlich der Modul und das Argument der Zahl
, das sind Polarkoordinaten
Punkte innerhalb einer Runde des Einheitskreises bestimmt .

- Ende des Vektors Beispiel 5

.

. Finden Sie den Modul und den Hauptwert des Zahlenarguments:
Argumente von Zahlen, die auf Achsen liegen , die die Viertel 1,2,3,4 der komplexen Ebene trennt .

, lässt sich sofort aus den grafischen Darstellungen dieser Zahlen in der Ebene ermitteln

Trigonometrische und exponentielle Schreibformen einer komplexen Zahl. Multiplikation und Division komplexer Zahlen in trigonometrischer und exponentieller Schreibweise. Trigonometrische Notation
komplexe Zahl

, (2)

Wo hat die Form: - Modul, - komplexes Zahlenargument

. Diese Darstellung komplexer Zahlen folgt aus den Gleichungen.(Indikativ exponentiell
komplexe Zahl

, (3)

Wo hat die Form: ) Schreibweise einer komplexen Zahl - Zahlenargument

. (4)

. Die Möglichkeit, komplexe Zahlen in Exponentialform (3) darzustellen, ergibt sich aus der trigonometrischen Form (2) und der Eulerschen Formel:

Diese Formel wird im Rahmen von TFKP (Funktionstheorie einer komplexen Variablen) bewiesen.. Finden Sie trigonometrische und exponentielle Formen für komplexe Zahlen: aus Beispiel 5.

Lösung. Verwenden wir die Ergebnisse von Beispiel 5, in dem die Module und Argumente aller angegebenen Zahlen gefunden werden.

,

.

- trigonometrische Schreibweise einer Zahl ,

- exponentielle Schreibweise einer Zahl .

3)

- trigonometrische Schreibweise einer Zahl ,

- exponentielle Schreibweise einer Zahl .

Trigonometrische Schreibweise einer Zahl ,

- exponentielle Schreibweise einer Zahl .

5)

- trigonometrische Schreibweise einer Zahl ,

- exponentielle Schreibweise einer Zahl .

Trigonometrische Form einer Zahl ,

.

7)

- trigonometrische Schreibweise einer Zahl ,

- Exponentialform einer Zahl .

- trigonometrische Schreibweise einer Zahl ,

- exponentielle Schreibweise einer Zahl .

Die exponentielle Schreibweise komplexer Zahlen führt zu der folgenden geometrischen Interpretation der Operationen der Multiplikation und Division komplexer Zahlen. Lassen
- Exponentialformen von Zahlen
.

1. Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Module multipliziert und ihre Argumente addiert.

2. Beim Dividieren einer komplexen Zahl pro Nummer Es stellt sich heraus, dass es sich um eine komplexe Zahl handelt , Modul was dem Verhältnis der Module entspricht , und das Argument - Unterschiede
Zahlenargumente
.

Erhöhen auf eine ganze Zahl und Ziehen der Wurzel einer komplexen Zahl.

Per Definition ist

Wenn es zu einer ganzen Kraft erhoben wird komplexe Zahl
Gehen Sie folgendermaßen vor: Suchen Sie zunächst das Modul und Argumentation diese Nummer; einführen in demonstrativer Form
;
finden

indem Sie die folgende Abfolge von Aktionen ausführen

Wo . (5) Kommentar.
Argument
Zahlen
gehört möglicherweise nicht zum Intervall . In diesem Fall entsprechend dem erhaltenen Wert

Finden Sie die Hauptbedeutung
Argument
Zahlen
, Addieren (oder Subtrahieren) einer Zahl

mit dieser Bedeutung
, Zu gehörte zum Intervall .

.. Finden .
Danach müssen Sie in Formeln (5) ersetzen
.

1)
=
An Beispiel 7

2)
, Wenn
.
.
.

(siehe Nummer aus Beispiel 6).

, Wo
.

3)
, Wenn
.
.

Somit, kann durch und ersetzt werden, was bedeutet

Wo Wir werden ersetzen
An . Somit,
Wurzelextraktion