Trigonometrische Ungleichungen online auf einem Kreis lösen. Trigonometrische Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung

Der erste Punkt ist wie üblich arcsin(-a)=-arcsina. Um zum zweiten Punkt zu gelangen, gehen wir den oberen Weg, also in Richtung der Winkelvergrößerung.

Dieses Mal bewegen wir uns über n hinaus. Wie lange machen wir noch? Auf Arcsin x. Das bedeutet, dass der zweite Punkt n+arcsin x ist. Warum gibt es kein Minus? Denn das Minus in der Notation -arcsin a bedeutet eine Bewegung im Uhrzeigersinn, wir gingen aber gegen den Uhrzeigersinn. Und schließlich fügen Sie an jedem Ende des Intervalls 2 PN hinzu.

5) sinx>a, wenn a>1.

Der Einheitskreis liegt vollständig unter der Geraden y=a. Es gibt keinen einzigen Punkt oberhalb der Geraden. Es gibt also keine Lösungen.

6) sinx>-a, wobei a>1.

In diesem Fall liegt der gesamte Einheitskreis vollständig über der Geraden y=a. Daher erfüllt jeder Punkt die Bedingung sinx>a. Das bedeutet, dass x eine beliebige Zahl ist.

Und hier ist x eine beliebige Zahl, da im Gegensatz zur strikten Ungleichung sinx>-1 die Punkte -n/2+2nn in die Lösung eingehen. Es besteht keine Notwendigkeit, etwas auszuschließen.

Der einzige Punkt auf dem Kreis, der zufriedenstellend ist dieser Zustand, ist p/2. Unter Berücksichtigung der Periode des Sinus ist die Lösung dieser Ungleichung die Punktmenge x=n/2+2n.

Lösen Sie beispielsweise die Ungleichung sinx>-1/2:

Ungleichungen enthalten trigonometrische Funktionen werden, wenn sie gelöst werden, auf die einfachsten Ungleichungen der Form cos(t)>a, sint(t)=a und ähnliche reduziert. Und schon sind die einfachsten Ungleichungen gelöst. Schauen wir uns an verschiedene Beispiele Möglichkeiten zur Lösung einfacher trigonometrischer Ungleichungen.

Beispiel 1. Lösen Sie die Ungleichung sin(t) > = -1/2.

Zeichne einen Einheitskreis. Da sin(t) per Definition die y-Koordinate ist, markieren wir den Punkt y = -1/2 auf der Oy-Achse. Wir ziehen eine Gerade durch ihn, parallel zur Ox-Achse. Markieren Sie am Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen des Einheitskreises die Punkte Pt1 und Pt2. Wir verbinden den Koordinatenursprung mit den Punkten Pt1 und Pt2 durch zwei Segmente.

Die Lösung dieser Ungleichung sind alle Punkte des Einheitskreises, die über diesen Punkten liegen. Mit anderen Worten, die Lösung ist der Bogen l. Nun müssen die Bedingungen angegeben werden, unter denen ein beliebiger Punkt zum Bogen l gehört.

Pt1 liegt im rechten Halbkreis, seine Ordinate ist -1/2, dann ist t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Um Punkt Pt1 zu beschreiben, können Sie die folgende Formel schreiben:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Als Ergebnis erhalten wir die folgende Ungleichung für t:

Wir bewahren die Ungleichheiten. Und da die Sinusfunktion periodisch ist, bedeutet dies, dass die Lösungen alle 2*pi wiederholt werden. Wir addieren diese Bedingung zur resultierenden Ungleichung für t und schreiben die Antwort auf.

Antwort: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Beispiel 2. Lösen Sie die cos(t)-Ungleichung<1/2.

Zeichnen wir einen Einheitskreis. Da laut Definition cos(t) die x-Koordinate ist, markieren wir den Punkt x = 1/2 im Diagramm auf der Ox-Achse.
Durch diesen Punkt ziehen wir eine Gerade parallel zur Oy-Achse. Markieren Sie am Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen des Einheitskreises die Punkte Pt1 und Pt2. Wir verbinden den Koordinatenursprung mit den Punkten Pt1 und Pt2 durch zwei Segmente.

Die Lösungen sind alle Punkte des Einheitskreises, die zum Bogen l gehören. Suchen wir die Punkte t1 und t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Wir haben die Ungleichung für t erhalten: pi/3

Da der Kosinus eine periodische Funktion ist, werden die Lösungen alle 2*pi wiederholt. Wir addieren diese Bedingung zur resultierenden Ungleichung für t und schreiben die Antwort auf.

Antwort: pi/3+2*pi*n

Beispiel 3. Ungleichung tg(t) lösen< = 1.

Die Tangentenperiode ist gleich pi. Finden wir Lösungen, die zum Intervall (-pi/2;pi/2) des rechten Halbkreises gehören. Als nächstes schreiben wir unter Verwendung der Periodizität der Tangente alle Lösungen dieser Ungleichung auf. Zeichnen wir einen Einheitskreis und markieren eine Tangentenlinie darauf.

Wenn t eine Lösung der Ungleichung ist, muss die Ordinate des Punktes T = tg(t) kleiner oder gleich 1 sein. Die Menge dieser Punkte bildet den Strahl AT. Die Punktmenge Pt, die den Punkten dieses Strahls entspricht, ist der Bogen l. Darüber hinaus gehört der Punkt P(-pi/2) nicht zu diesem Bogen.

1.5 Trigonometrische Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung

1.5.1 Einfache trigonometrische Ungleichungen lösen

Die meisten Autoren moderner Mathematiklehrbücher schlagen vor, dieses Thema mit der Lösung der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen zu beginnen. Das Prinzip der Lösung der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen basiert auf dem Wissen und den Fähigkeiten, auf einem trigonometrischen Kreis nicht nur die Werte der wichtigsten trigonometrischen Winkel, sondern auch anderer Werte zu bestimmen.

In der Zwischenzeit kann die Lösung von Ungleichungen der Form , , , wie folgt durchgeführt werden: Zuerst finden wir ein Intervall (), in dem diese Ungleichung erfüllt ist, und schreiben dann die endgültige Antwort auf, indem wir an den Enden des gefundenen Intervalls a hinzufügen Zahl, die ein Vielfaches der Periode des Sinus oder Cosinus ist: ( ). In diesem Fall ist der Wert leicht zu finden, weil oder . Die Suche nach Bedeutung basiert auf der Intuition der Schüler, ihrer Fähigkeit, die Gleichheit von Bögen oder Segmenten zu erkennen und dabei die Symmetrie einzelner Teile des Sinus- oder Kosinusdiagramms auszunutzen. Und das übersteigt manchmal die Fähigkeiten einer großen Zahl von Studierenden. Um die genannten Schwierigkeiten zu überwinden, wurden in den letzten Jahren in Lehrbüchern unterschiedliche Ansätze zur Lösung einfacher trigonometrischer Ungleichungen verwendet, was jedoch zu keiner Verbesserung der Lernergebnisse führte.

Seit einigen Jahren verwenden wir recht erfolgreich Formeln für die Wurzeln der entsprechenden Gleichungen, um Lösungen für trigonometrische Ungleichungen zu finden.

Wir untersuchen dieses Thema auf folgende Weise:

1. Wir erstellen Graphen und y = a, vorausgesetzt, dass .

Dann schreiben wir die Gleichung und ihre Lösung auf. Geben Sie n 0; 1; 2 finden wir die drei Wurzeln der kompilierten Gleichung: . Die Werte sind die Abszissen von drei aufeinanderfolgenden Schnittpunkten der Graphen und y = a. Es ist offensichtlich, dass die Ungleichung immer für das Intervall () gilt und die Ungleichung immer für das Intervall () gilt.

Indem wir an den Enden dieser Intervalle eine Zahl hinzufügen, die ein Vielfaches der Periode des Sinus ist, erhalten wir im ersten Fall eine Lösung der Ungleichung in der Form: ; und im zweiten Fall eine Lösung der Ungleichung in der Form:

Nur im Gegensatz zum Sinus aus der Formel, der eine Lösung der Gleichung darstellt, erhalten wir für n = 0 zwei Wurzeln und für n = 1 die dritte Wurzel in der Form . Und wieder sind es drei aufeinanderfolgende Abszissen der Schnittpunkte der Graphen und . Im Intervall () gilt die Ungleichung, im Intervall () die Ungleichung

Nun ist es nicht schwer, die Lösungen der Ungleichungen und aufzuschreiben. Im ersten Fall erhalten wir: ;

und im zweiten: .

Fassen wir zusammen. Um die Ungleichung zu lösen, müssen Sie die entsprechende Gleichung erstellen und lösen. Finden Sie aus der resultierenden Formel die Wurzeln von und und schreiben Sie die Antwort auf die Ungleichung in der Form: .

Beim Lösen von Ungleichungen ermitteln wir aus der Formel für die Wurzeln der entsprechenden Gleichung die Wurzeln und und schreiben die Antwort auf die Ungleichung in der Form: .

Mit dieser Technik können Sie allen Schülern das Lösen trigonometrischer Ungleichungen beibringen, weil Diese Technik beruht ausschließlich auf Fähigkeiten, die die Schüler gut beherrschen. Dies sind die Fähigkeiten, einfache Probleme zu lösen und den Wert einer Variablen mithilfe einer Formel zu ermitteln. Darüber hinaus wird es völlig überflüssig, unter Anleitung eines Lehrers eine große Anzahl von Übungen sorgfältig zu lösen, um je nach Vorzeichen der Ungleichung, dem Wert des Moduls der Zahl a und ihrem Vorzeichen alle möglichen Argumentationstechniken zu demonstrieren . Und der Prozess der Lösung der Ungleichheit selbst wird kurz und, was sehr wichtig ist, einheitlich.

Ein weiterer Vorteil dieser Methode besteht darin, dass Sie Ungleichungen problemlos lösen können, selbst wenn die rechte Seite kein Tabellenwert von Sinus oder Cosinus ist.

Lassen Sie uns dies anhand eines konkreten Beispiels demonstrieren. Angenommen, wir müssen eine Ungleichung lösen. Lassen Sie uns die entsprechende Gleichung erstellen und lösen:

Finden wir die Werte von und .

Wenn n = 1

Wenn n = 2

Wir schreiben die endgültige Antwort auf diese Ungleichung auf:

Im betrachteten Beispiel zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen kann es nur einen Nachteil geben – das Vorhandensein eines gewissen Formalismus. Wenn aber alles nur von diesen Standpunkten aus beurteilt wird, kann man den Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung und allen Formeln zur Lösung trigonometrischer Gleichungen und vielem mehr Formalismus vorwerfen.

Obwohl die vorgeschlagene Methode einen würdigen Platz bei der Ausbildung von Fähigkeiten zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen einnimmt, sind die Bedeutung und Merkmale anderer Methoden zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen nicht zu unterschätzen. Dazu gehört die Intervallmethode.

Betrachten wir sein Wesen.

Satz herausgegeben von A.G. Mordkovich, obwohl man auch die restlichen Lehrbücher nicht außer Acht lassen sollte. § 3. Methodik zur Vermittlung des Themas „Trigonometrische Funktionen“ im Rahmen der Algebra und Anfänge der Analysis Beim Studium trigonometrischer Funktionen in der Schule lassen sich zwei Hauptphasen unterscheiden: ü Erste Bekanntschaft mit trigonometrischen Funktionen...

Bei der Durchführung der Forschung wurden folgende Aufgaben gelöst: 1) Die aktuellen Lehrbücher der Algebra und die Anfänge der mathematischen Analysis wurden analysiert, um die darin vorgestellten Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen und Ungleichungen zu identifizieren. Die Analyse lässt folgende Schlussfolgerungen zu: ·In der weiterführenden Schule wird den Methoden zur Lösung verschiedener irrationaler Gleichungen nicht genügend Aufmerksamkeit geschenkt, vor allem...

Ein Algorithmus zum Lösen einfacher trigonometrischer Ungleichungen und zum Erkennen von Methoden zum Lösen trigonometrischer Ungleichungen.

Lehrkräfte der höchsten Qualifikationskategorie:

Shirko F.M. S. Progress, MOBU-Sekundarschule Nr. 6

Sankina L.S. Armavir, private weiterführende Schule „New Way“

Es gibt keine universellen Methoden für den Unterricht in Naturwissenschaften und Mathematik. Jeder Lehrer findet seine eigenen Lehrmethoden, die nur für ihn akzeptabel sind.

Unsere langjährige Lehrerfahrung zeigt, dass Schüler Stoff, der Konzentration und das Behalten einer großen Menge an Informationen im Gedächtnis erfordert, leichter lernen, wenn ihnen in der Anfangsphase des Erlernens eines komplexen Themas beigebracht wird, Algorithmen in ihren Aktivitäten zu verwenden. Ein solches Thema ist unserer Meinung nach das Thema der Lösung trigonometrischer Ungleichungen.

Bevor wir also mit den Schülern beginnen, Techniken und Methoden zur Lösung trigonometrischer Ungleichungen zu identifizieren, üben und festigen wir einen Algorithmus zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen.

Algorithmus zur Lösung einfacher trigonometrischer Ungleichungen

Markieren Sie Punkte auf der entsprechenden Achse ( Für Sünde X– OA-Achse, zcos X– OX-Achse)

Wir stellen eine Senkrechte zur Achse wieder her, die den Kreis an zwei Punkten schneidet.

Der erste Punkt auf dem Kreis ist ein Punkt, der per Definition zum Intervall des Bogenfunktionsbereichs gehört.

Schattieren Sie ausgehend vom markierten Punkt den Kreisbogen, der dem schattierten Teil der Achse entspricht.

Besonderes Augenmerk legen wir auf die Richtung der Umleitung. Wenn die Durchquerung im Uhrzeigersinn erfolgt (d. h. es gibt einen Übergang durch 0), ist der zweite Punkt auf dem Kreis negativ, bei Gegenuhrzeigersinn ist er positiv.

Wir schreiben die Antwort in Form eines Intervalls und berücksichtigen dabei die Periodizität der Funktion.

Schauen wir uns die Funktionsweise des Algorithmus anhand von Beispielen an.

1) Sünde ≥ 1/2;

Lösung:

Wir stellen einen Einheitskreis dar.;

Wir markieren Punkt ½ auf der OU-Achse.

Wir stellen die Senkrechte zur Achse wieder her,

die den Kreis in zwei Punkten schneidet.

Zur Definition des Arkussinus notieren wir zunächst

Punkt π/6.

Schattieren Sie den entsprechenden Teil der Achse

gegebene Ungleichheit, über dem Punkt ½.

Schattieren Sie den Kreisbogen, der dem schattierten Teil der Achse entspricht.

Die Durchquerung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn, wir erhalten den Punkt 5π/6.

Wir schreiben die Antwort in Form eines Intervalls und berücksichtigen dabei die Periodizität der Funktion;

Antwort:X;[π/6 + 2π N, 5π/6 + 2π N], N Z.

Die einfachste Ungleichung wird mit demselben Algorithmus gelöst, wenn der Antwortdatensatz keinen Tabellenwert enthält.

Wenn die Schüler in ihren ersten Unterrichtsstunden Ungleichungen an der Tafel lösen, sagen sie jeden Schritt des Algorithmus laut auf.

2) 5 cos X – 1 ≥ 0;

R Lösung:bei

5 cos X – 1 ≥ 0;

cos X ≥ 1/5;

Zeichne einen Einheitskreis.

Wir markieren einen Punkt mit der Koordinate 1/5 auf der OX-Achse.

Wir stellen die Senkrechte zur Achse wieder her, die

schneidet den Kreis an zwei Punkten.

Der erste Punkt auf dem Kreis ist ein Punkt, der per Definition zum Intervall des Arkuskosinusbereichs gehört (0;π).

Wir schattieren den Teil der Achse, der dieser Ungleichung entspricht.

Ausgehend vom signierten Punkt arccos 1/5, schattieren Sie den Kreisbogen, der dem schattierten Teil der Achse entspricht.

Die Durchquerung erfolgt im Uhrzeigersinn (d. h. es gibt einen Übergang durch 0), was bedeutet, dass der zweite Punkt auf dem Kreis negativ ist - arccos 1/5.

Wir schreiben die Antwort in Form eines Intervalls unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion vom kleineren zum größeren Wert.

Antwort: X  [-arccos 1/5 + 2π N, arccos 1/5 + 2π N], N Z.

Die Verbesserung der Fähigkeit, trigonometrische Ungleichungen zu lösen, wird durch die folgenden Fragen erleichtert: „Wie lösen wir eine Gruppe von Ungleichungen?“; „Wie unterscheidet sich eine Ungleichheit von einer anderen?“; „Wie ähnelt eine Ungleichheit einer anderen?“; Wie würde sich die Antwort ändern, wenn eine strikte Ungleichung gegeben wäre?“; Wie würde sich die Antwort ändern, wenn anstelle des Zeichens „“ ein Zeichen „gäbe“

Die Aufgabe, eine Liste von Ungleichungen unter dem Gesichtspunkt der Methoden zu ihrer Lösung zu analysieren, ermöglicht es Ihnen, deren Erkennung zu üben.

Den Schülern werden Ungleichheiten vorgegeben, die im Unterricht gelöst werden müssen.

Frage: Heben Sie die Ungleichungen hervor, die die Verwendung äquivalenter Transformationen erfordern, wenn eine trigonometrische Ungleichung auf ihre einfachste Form reduziert wird.

Antwort 1, 3, 5.

Frage: Bei welchen Ungleichungen müssen Sie ein komplexes Argument als einfaches betrachten?

Antwort: 1, 2, 3, 5, 6.

Frage: Auf welche Ungleichungen können trigonometrische Formeln angewendet werden?

Antwort: 2, 3, 6.

Frage: Nennen Sie die Ungleichungen, bei denen die Methode der Einführung einer neuen Variablen angewendet werden kann?

Antwort: 6.

Die Aufgabe, eine Liste von Ungleichungen unter dem Gesichtspunkt der Methoden zu ihrer Lösung zu analysieren, ermöglicht es Ihnen, deren Erkennung zu üben. Bei der Entwicklung von Fähigkeiten ist es wichtig, die Phasen ihrer Umsetzung zu identifizieren und in einer allgemeinen Form zu formulieren, die im Algorithmus zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Ungleichungen dargestellt wird.