Mittelstufe

Quadratische Ungleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Um herauszufinden, wie man quadratische Gleichungen löst, müssen wir verstehen, was das ist quadratische Funktion und welche Eigenschaften es hat.

Sie haben sich wahrscheinlich gefragt, warum überhaupt eine quadratische Funktion benötigt wird? Wo ist sein Graph (Parabel) anwendbar? Ja, man muss sich nur umschauen, das merkt man jeden Tag aufs Neue Alltag du triffst sie. Ist Ihnen aufgefallen, wie ein geworfener Ball im Sportunterricht fliegt? „Entlang des Bogens“? Die richtigste Antwort wäre „Parabel“! Und auf welcher Flugbahn bewegt sich der Strahl in der Fontäne? Ja, auch in einer Parabel! Wie fliegt eine Kugel oder Granate? Genau, auch in einer Parabel! Wenn man also die Eigenschaften einer quadratischen Funktion kennt, ist es möglich, viele praktische Probleme zu lösen. In welchem ​​Winkel sollte beispielsweise ein Ball geworfen werden, um die größtmögliche Distanz zu gewährleisten? Oder wo landet das Projektil, wenn Sie es in einem bestimmten Winkel abfeuern? usw.

Quadratische Funktion

Also, lasst es uns herausfinden.

Zum Beispiel, . Was sind hier die Gleichen und? Nun, natürlich!

Was wäre, wenn, d.h. kleiner als Null? Nun, natürlich sind wir „traurig“, was bedeutet, dass die Zweige nach unten gerichtet sind! Schauen wir uns die Grafik an.

Diese Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion. Da, d.h. kleiner als Null sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet. Außerdem ist Ihnen wahrscheinlich bereits aufgefallen, dass die Äste dieser Parabel die Achse schneiden, was bedeutet, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat und die Funktion sowohl positive als auch negative Werte annimmt!

Ganz am Anfang, als wir die Definition einer quadratischen Funktion gaben, hieß es, dass es sich um einige Zahlen handelt. Können sie gleich Null sein? Nun, natürlich können sie! Ich werde sogar ein noch größeres Geheimnis verraten (das überhaupt kein Geheimnis ist, aber erwähnenswert): Es gibt keine Beschränkungen für diese Zahlen (und) überhaupt!

Schauen wir uns mal an, was mit den Diagrammen passiert, wenn und gleich Null sind.

Wie Sie sehen, haben sich die Graphen der betrachteten Funktionen (und) so verschoben, dass ihre Eckpunkte nun am Koordinatenpunkt, also am Schnittpunkt der Achsen, liegen und dies keinen Einfluss auf die Richtung der Zweige hat . Daraus können wir schließen, dass sie für die „Bewegung“ des Parabelgraphen entlang des Koordinatensystems verantwortlich sind.

Der Graph einer Funktion berührt die Achse in einem Punkt. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Wurzel hat. Somit nimmt die Funktion Werte größer oder gleich Null an.

Wir folgen der gleichen Logik mit dem Graphen der Funktion. Es berührt die x-Achse in einem Punkt. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Wurzel hat. Somit nimmt die Funktion Werte an, die kleiner oder gleich Null sind.

Um das Vorzeichen eines Ausdrucks zu bestimmen, müssen Sie also zunächst die Wurzeln der Gleichung finden. Das wird uns sehr nützlich sein.

Quadratische Ungleichung

Beim Lösen solcher Ungleichungen müssen wir bestimmen können, wo eine quadratische Funktion größer, kleiner oder gleich Null ist. Das heißt:

• Wenn wir eine Ungleichung der Form haben, besteht die Aufgabe tatsächlich darin, das numerische Werteintervall zu bestimmen, für das die Parabel über der Achse liegt.
• Wenn wir eine Ungleichung der Form haben, besteht die Aufgabe tatsächlich darin, das numerische Intervall der x-Werte zu bestimmen, für das die Parabel unterhalb der Achse liegt.

Wenn die Ungleichungen nicht streng sind, werden die Wurzeln (die Koordinaten des Schnittpunkts der Parabel mit der Achse) in das gewünschte Zahlenintervall einbezogen, bei strengen Ungleichungen werden sie ausgeschlossen.

Das ist alles ziemlich formalisiert, aber verzweifeln Sie nicht und haben Sie keine Angst! Schauen wir uns nun die Beispiele an, und alles wird zusammenpassen.

Bei der Lösung quadratischer Ungleichungen halten wir uns an den vorgegebenen Algorithmus und der unvermeidliche Erfolg erwartet uns!

Algorithmus	Beispiel:
1) Schreiben wir die entsprechende Ungleichung auf quadratische Gleichung(Ändern Sie einfach das Ungleichheitszeichen in das Gleichheitszeichen „=“).
2) Finden wir die Wurzeln dieser Gleichung.
3) Markieren Sie die Wurzeln auf der Achse und zeigen Sie schematisch die Ausrichtung der Äste der Parabel („oben“ oder „unten“)
4) Platzieren wir auf der Achse Vorzeichen, die dem Vorzeichen der quadratischen Funktion entsprechen: Wo sich die Parabel über der Achse befindet, setzen wir „ “ und wo darunter – „ “.
5) Schreiben Sie die Intervalle auf, die je nach Ungleichheitszeichen „ “ oder „ “ entsprechen. Wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Wurzeln in das Intervall einbezogen; wenn sie streng ist, sind sie es nicht.

Habe es? Dann machen Sie weiter und pinnen Sie es!

Beispiel:

Na, hat es funktioniert? Wenn Sie Schwierigkeiten haben, suchen Sie nach Lösungen.

Lösung:

Schreiben wir die Intervalle auf, die dem Zeichen „ “ entsprechen, da das Ungleichheitszeichen „ “ ist. Die Ungleichung ist nicht streng, daher werden die Wurzeln in die Intervalle einbezogen:

Schreiben wir die entsprechende quadratische Gleichung:

Finden wir die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung:

Markieren wir schematisch die erhaltenen Wurzeln auf der Achse und ordnen die Zeichen an:

Schreiben wir die Intervalle auf, die dem Zeichen „ “ entsprechen, da das Ungleichheitszeichen „ “ ist. Die Ungleichung ist streng, daher sind die Wurzeln nicht in den Intervallen enthalten:

Schreiben wir die entsprechende quadratische Gleichung:

Finden wir die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung:

Diese Gleichung hat eine Wurzel

Markieren wir schematisch die erhaltenen Wurzeln auf der Achse und ordnen die Zeichen an:

Schreiben wir die Intervalle auf, die dem Zeichen „ “ entsprechen, da das Ungleichheitszeichen „ “ ist. Für alle nimmt die Funktion nichtnegative Werte an. Da die Ungleichung nicht streng ist, lautet die Antwort.

Schreiben wir die entsprechende quadratische Gleichung:

Finden wir die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung:

Zeichnen wir schematisch einen Graphen einer Parabel und ordnen die Zeichen an:

Schreiben wir die Intervalle auf, die dem Zeichen „ “ entsprechen, da das Ungleichheitszeichen „ “ ist. Für jeden nimmt die Funktion positive Werte an, daher ist die Lösung der Ungleichung das Intervall:

QUADRATISCHE UNGLEICHHEITEN. MITTLERE EBENE

Quadratische Funktion.

Bevor wir über das Thema „quadratische Ungleichungen“ sprechen, erinnern wir uns daran, was eine quadratische Funktion ist und was ihr Graph ist.

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form

Mit anderen Worten, dies Polynom zweiten Grades.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel (erinnern Sie sich, was das ist?). Seine Zweige sind nach oben gerichtet, wenn „a) die Funktion für alle nur positive Werte annimmt und im zweiten () nur negative:

Wenn die Gleichung () genau eine Wurzel hat (z. B. wenn die Diskriminante Null ist), bedeutet dies, dass der Graph die Achse berührt:

Dann gilt, ähnlich wie im vorherigen Fall, für „ .

So haben wir kürzlich gelernt, wie man bestimmt, wo eine quadratische Funktion größer als Null und wo kleiner ist:

Wenn die quadratische Ungleichung nicht streng ist, sind die Wurzeln im numerischen Intervall enthalten; wenn sie streng ist, sind sie es nicht.

Wenn es nur eine Wurzel gibt, ist es in Ordnung, das gleiche Zeichen wird überall sein. Wenn es keine Wurzeln gibt, hängt alles nur vom Koeffizienten ab: if "25((x)^(2))-30x+9

Antworten:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Es gibt keine Wurzeln, daher nimmt der gesamte Ausdruck auf der linken Seite das Vorzeichen des Koeffizienten an:

• Wenn Sie ein numerisches Intervall finden möchten, in dem das quadratische Trinom größer als Null ist, dann ist dies das numerische Intervall, in dem die Parabel über der Achse liegt.
• Wenn Sie ein numerisches Intervall finden möchten, in dem das quadratische Trinom kleiner als Null ist, dann ist dies das numerische Intervall, in dem die Parabel unterhalb der Achse liegt.

QUADRATISCHE UNGLEICHHEITEN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Quadratische Funktion ist eine Funktion der Form: ,

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Seine Zweige sind nach oben gerichtet, wenn und nach unten, wenn:

Arten quadratischer Ungleichungen:

Alle quadratischen Ungleichungen werden auf die folgenden vier Typen reduziert:

Lösungsalgorithmus:

Algorithmus	Beispiel:
1) Schreiben wir die quadratische Gleichung, die der Ungleichung entspricht (ändern Sie einfach das Ungleichheitszeichen in das Gleichheitszeichen „“).
2) Finden wir die Wurzeln dieser Gleichung.
3) Markieren Sie die Wurzeln auf der Achse und zeigen Sie schematisch die Ausrichtung der Äste der Parabel („oben“ oder „unten“)
4) Platzieren wir auf der Achse Vorzeichen, die dem Vorzeichen der quadratischen Funktion entsprechen: Wo sich die Parabel über der Achse befindet, setzen wir „ “ und wo darunter – „ “.
5) Schreiben Sie die Intervalle auf, die je nach Ungleichheitszeichen „ “ oder „ “ entsprechen. Wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Wurzeln in das Intervall einbezogen; wenn sie streng ist, sind sie es nicht.

Lektion und Präsentation zum Thema: „Quadratische Ungleichungen, Lösungsbeispiele“

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Leute, wir wissen bereits, wie man quadratische Gleichungen löst. Jetzt lernen wir, wie man quadratische Ungleichungen löst.
Quadratische Ungleichung Diese Art von Ungleichung heißt:

$ax^2+bx+c>0$.

Das Ungleichheitszeichen kann beliebig sein, die Koeffizienten a, b, c können beliebige Zahlen sein ($a≠0$).
Alle Regeln, die wir für lineare Ungleichungen definiert haben, gelten auch hier. Wiederholen Sie diese Regeln selbst!

Lassen Sie uns eine weitere wichtige Regel einführen:
Wenn das Trinom $ax^2+bx+c$ eine negative Diskriminante hat und Sie einen beliebigen Wert von x ersetzen, ist das Vorzeichen des Trinoms dasselbe wie das Vorzeichen des Koeffizienten a.

Beispiele zur Lösung quadratischer Ungleichungen

kann durch das Zeichnen von Diagrammen oder das Zeichnen von Intervallen gelöst werden. Schauen wir uns Beispiele für Lösungen für Ungleichheiten an.

Beispiele.
1. Lösen Sie die Ungleichung: $x^2-2x-8
Lösung:
Finden wir die Wurzeln der Gleichung $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ und $x_2=-2$.

Lassen Sie uns die quadratische Gleichung grafisch darstellen. Die x-Achse schneidet sich in den Punkten 4 und -2.
Unser quadratisches Trinom nimmt Werte kleiner als Null an, wenn der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse liegt.
Wenn wir uns den Graphen der Funktion ansehen, erhalten wir die Antwort: $x^2-2x-8 Antwort: $-2

2. Ungleichung lösen: $5x-6

Lösung:
Lassen Sie uns die Ungleichung transformieren: $-x^2+5x-6 Teilen wir die Ungleichung durch minus eins. Vergessen wir nicht, das Vorzeichen zu ändern: $x^2-5x+6>0$.
Finden wir die Wurzeln des Trinoms: $x_1=2$ und $x_2=3$.

Erstellen wir einen Graphen einer quadratischen Gleichung, deren x-Achse sich in den Punkten 2 und 3 schneidet.


Unser quadratisches Trinom nimmt Werte größer Null an, wenn der Graph der Funktion über der x-Achse liegt. Wenn wir uns den Graphen der Funktion ansehen, erhalten wir die Antwort: $5x-6 Antwort: $x 3$.

3. Lösen Sie die Ungleichung: $2^2+2x+1≥0$.

Lösung:
Finden wir die Wurzeln unseres Trinoms, dazu berechnen wir die Diskriminante: $D=2^2-4*2=-4 Die Diskriminante ist kleiner als Null. Verwenden wir die Regel, die wir am Anfang eingeführt haben. Das Vorzeichen der Ungleichung ist dasselbe wie das Vorzeichen des Koeffizienten des Quadrats. In unserem Fall ist der Koeffizient positiv, was bedeutet, dass unsere Gleichung für jeden Wert von x positiv ist.
Antwort: Für alle x ist die Ungleichung größer als Null.

4. Lösen Sie die Ungleichung: $x^2+x-2
Lösung:
Suchen wir die Wurzeln des Trinoms und platzieren sie auf der Koordinatenlinie: $x_1=-2$ und $x_2=1$.

Wenn $x>1$ und $x Wenn $x>-2$ und $x Antwort: $x>-2$ und $x

Probleme zur Lösung quadratischer Ungleichungen

Ungleichungen lösen:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$.

Definition der quadratischen Ungleichung

Hinweis 1

Die Ungleichung heißt quadratisch, weil die Variable ist quadriert. Man nennt auch quadratische Ungleichungen Ungleichungen zweiten Grades.

Beispiel 1

Beispiel.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – quadratische Ungleichungen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, sind nicht alle Elemente der Ungleichung der Form $ax^2+bx+c > 0$ vorhanden.

Beispielsweise gibt es in der Ungleichung $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ keinen freien Term (Term $с$) und in der Ungleichung $11z^2+8 \le 0$ gibt es keinen Term mit dem Koeffizienten $b$. Solche Ungleichungen sind ebenfalls quadratisch, werden aber auch genannt unvollständige quadratische Ungleichungen. Es bedeutet lediglich, dass die Koeffizienten $b$ oder $c$ gleich Null sind.

Methoden zur Lösung quadratischer Ungleichungen

Bei der Lösung quadratischer Ungleichungen werden folgende grundlegende Methoden verwendet:

• Grafik;
• Intervallmethode;
• Isolieren des Quadrats eines Binomials.

Grafische Methode

Hinweis 2

Grafische Methode zur Lösung quadratischer Ungleichungen $ax^2+bx+c > 0$ (oder mit dem $-Zeichen

Diese Intervalle sind Lösung der quadratischen Ungleichung.

Intervallmethode

Hinweis 3

Intervallverfahren zur Lösung quadratischer Ungleichungen der Form $ax^2+bx+c > 0$ (das Ungleichheitszeichen kann auch $ sein

Lösungen für quadratische Ungleichungen mit dem Vorzeichen $""$ - positive Intervalle, mit den Vorzeichen $"≤"$ und $"≥"$ - negative bzw. positive Intervalle, einschließlich Punkte, die den Nullstellen des Trinoms entsprechen.

Isolieren des Quadrats eines Binomials

Die Methode zum Lösen einer quadratischen Ungleichung durch Isolieren des Quadrats des Binomials besteht darin, zu einer äquivalenten Ungleichung der Form $(x-n)^2 > m$ (oder mit dem Vorzeichen $) überzugehen

Ungleichungen, die sich auf quadratisch reduzieren lassen

Hinweis 4

Beim Lösen von Ungleichungen müssen diese häufig auf quadratische Ungleichungen der Form $ax^2+bx+c > 0$ reduziert werden (das Ungleichheitszeichen kann auch $ Ungleichungen sein, die sich auf quadratische Ungleichungen reduzieren lassen).

Hinweis 5

Der einfachste Weg, Ungleichungen auf quadratische zu reduzieren, besteht darin, die Terme in der ursprünglichen Ungleichung umzuordnen oder sie beispielsweise von der rechten auf die linke Seite zu übertragen.

Wenn wir beispielsweise alle Terme der Ungleichung $7x > 6-3x^2$ von der rechten Seite nach links übertragen, erhalten wir eine quadratische Ungleichung der Form $3x^2+7x-6 > 0$.

Wenn wir die Terme auf der linken Seite der Ungleichung $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ in absteigender Reihenfolge des Grades der Variablen $y$ neu anordnen, dann führt dies zu einer äquivalenten quadratischen Ungleichung der Form $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$.

Bei der Lösung rationaler Ungleichungen werden diese häufig auf quadratische Ungleichungen reduziert. In diesem Fall ist es notwendig, alle Terme auf die linke Seite zu übertragen und den resultierenden Ausdruck in die Form eines quadratischen Trinoms umzuwandeln.

Beispiel 2

Beispiel.

Reduzieren Sie die Ungleichung $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ auf eine quadratische.

Lösung.

Verschieben wir alle Terme auf die linke Seite der Ungleichung:

$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

Mithilfe abgekürzter Multiplikationsformeln und öffnender Klammern vereinfachen wir den Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung:

$7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21,5x-19 > 0$.

Antwort: $x^2-21,5x-19 > 0$.

Die Intervallmethode gilt zu Recht als universelle Methode zur Lösung von Ungleichungen. Es ist am einfachsten zum Lösen quadratischer Ungleichungen in einer Variablen zu verwenden. In diesem Material werden wir alle Aspekte der Verwendung der Intervallmethode zur Lösung quadratischer Ungleichungen betrachten. Um die Aufnahme des Materials zu erleichtern, werden wir eine Vielzahl von Beispielen unterschiedlicher Komplexität betrachten.

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Algorithmus zur Anwendung der Intervallmethode

Betrachten wir einen Algorithmus zur Verwendung der Intervallmethode in einer angepassten Version, der zur Lösung quadratischer Ungleichungen geeignet ist. Es ist diese Version der Intervallmethode, die den Schülern im Algebraunterricht vorgestellt wird. Machen wir die Aufgabe auch nicht komplizierter.

Kommen wir zum Algorithmus selbst.

Wir haben das quadratische Trinom a · x 2 + b · x + c von der linken Seite der quadratischen Ungleichung. Wir finden die Nullstellen dieses Trinoms.

Im Koordinatensystem stellen wir eine Koordinatenlinie dar. Wir markieren die Wurzeln darauf. Der Einfachheit halber können wir verschiedene Arten der Notation von Punkten für strikte und nicht strikte Ungleichungen einführen. Vereinbaren wir, dass wir „leere“ Punkte verwenden, um die Koordinaten zu markieren, wenn wir eine strenge Ungleichung lösen, und gewöhnliche Punkte, um eine nicht strenge Ungleichung zu markieren. Durch Markieren der Punkte erhalten wir mehrere Intervalle auf der Koordinatenachse.

Wenn wir im ersten Schritt Nullen gefunden haben, bestimmen wir die Vorzeichen der Werte des Trinoms für jedes der resultierenden Intervalle. Wenn wir keine Nullen erhalten, führen wir diese Aktion für den gesamten Zahlenstrahl durch. Wir markieren die Lücken mit den Zeichen „+“ oder „-“.

Zusätzlich werden wir eine Schattierung in Fällen einführen, in denen wir Ungleichungen mit Vorzeichen > oder ≥ und lösen< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

Indem wir die Vorzeichen der Werte des Trinoms notieren und die Segmente schattieren, erhalten wir ein geometrisches Bild einer bestimmten Zahlenmenge, die tatsächlich eine Lösung der Ungleichung darstellt. Alles was wir tun müssen, ist die Antwort aufzuschreiben.

Lassen Sie uns näher auf den dritten Schritt des Algorithmus eingehen, bei dem das Vorzeichen der Lücke bestimmt wird. Es gibt verschiedene Ansätze zur Definition von Zeichen. Schauen wir sie uns der Reihe nach an, beginnend mit der genauesten, wenn auch nicht der schnellsten. Bei dieser Methode werden die Werte des Trinoms an mehreren Punkten der resultierenden Intervalle berechnet.

Beispiel 1

Nehmen wir zum Beispiel das Trinom x 2 + 4 · x − 5 .

Die Wurzeln dieses Trinoms 1 und - 5 teilen die Koordinatenachse in drei Intervalle (− ∞, − 5), (− 5, 1) und (1, + ∞).

Beginnen wir mit dem Intervall (1, + ∞). Um unsere Aufgabe zu vereinfachen, nehmen wir x = 2. Wir erhalten 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7.

7 ist eine positive Zahl. Dies bedeutet, dass die Werte dieses quadratischen Trinoms im Intervall (1, + ∞) positiv sind und mit dem Zeichen „+“ bezeichnet werden können.

Um das Vorzeichen des Intervalls (− 5, 1) zu bestimmen, nehmen wir x = 0. Es gilt 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Platzieren Sie ein „-“-Zeichen über dem Intervall.

Für das Intervall (− ∞, − 5) nehmen wir x = − 6, wir erhalten (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Wir markieren dieses Intervall mit einem „+“-Zeichen.

Sie können die Anzeichen viel schneller erkennen, wenn Sie die folgenden Fakten berücksichtigen.

Bei einer positiven Diskriminante ergibt ein quadratisches Trinom mit zwei Wurzeln einen Vorzeichenwechsel seiner Werte in Intervallen, in die die Zahlenlinie durch die Wurzeln dieses Trinoms geteilt wird. Das bedeutet, dass wir nicht unbedingt für jedes Intervall Vorzeichen definieren müssen. Es reicht aus, für den einen Berechnungen durchzuführen und für den Rest Vorzeichen unter Berücksichtigung des Wechselprinzips anzugeben.

Wenn Sie möchten, können Sie ganz auf Berechnungen verzichten, indem Sie aus dem Wert des Leitkoeffizienten Rückschlüsse auf die Vorzeichen ziehen. Wenn a > 0, dann erhalten wir eine Zeichenfolge +, −, +, und wenn a< 0 – то − , + , − .

Bei quadratischen Trinomen mit einer Wurzel erhalten wir, wenn die Diskriminante Null ist, zwei Intervalle auf der Koordinatenachse mit den gleichen Vorzeichen. Das bedeutet, dass wir das Vorzeichen für eines der Intervalle bestimmen und dasselbe für das zweite festlegen.

Auch hier wenden wir die Methode zur Bestimmung des Vorzeichens anhand des Wertes des Koeffizienten a an: Wenn a > 0, dann ist es +, +, und wenn a< 0 , то − , − .

Wenn ein quadratisches Trinom keine Wurzeln hat, dann stimmen die Vorzeichen seiner Werte für die gesamte Koordinatenlinie sowohl mit dem Vorzeichen des führenden Koeffizienten a als auch mit dem Vorzeichen des freien Termes c überein.

Wenn wir beispielsweise das quadratische Trinom − 4 x 2 − 7 nehmen, hat es keine Wurzeln (seine Diskriminante ist negativ). Der Koeffizient von x 2 ist negativ − 4 und der Achsenabschnitt − 7 ist ebenfalls negativ. Dies bedeutet, dass seine Werte im Intervall (− ∞, + ∞) negativ sind.

Schauen wir uns Beispiele für die Lösung quadratischer Ungleichungen mit dem oben besprochenen Algorithmus an.

Beispiel 2

Lösen Sie die Ungleichung 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0.

Lösung

Wir verwenden die Intervallmethode, um die Ungleichung zu lösen. Dazu suchen wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms 8 x 2 − 4 x − 1 . Aufgrund der Tatsache, dass der Koeffizient von x gerade ist, ist es für uns bequemer, nicht die Diskriminante, sondern den vierten Teil der Diskriminante zu berechnen: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .

Die Diskriminante ist größer als Null. Dadurch können wir die beiden Wurzeln des quadratischen Trinoms finden: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 und x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Markieren wir diese Werte auf dem Zahlenstrahl. Da die Gleichung nicht streng ist, verwenden wir gewöhnliche Punkte im Diagramm.

Nun ermitteln wir mit der Intervallmethode die Vorzeichen der drei resultierenden Intervalle. Der Koeffizient von x 2 ist gleich 8, also positiv, daher ist die Zeichenfolge +, −, +.

Da wir eine Ungleichung mit dem ≥-Zeichen lösen, zeichnen wir die Intervalle mit Pluszeichen schattiert:

Schreiben wir den Zahlensatz analytisch aus dem resultierenden grafischen Bild. Wir können dies auf zwei Arten tun:

Antwort:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) oder x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

Beispiel 3

Lösen Sie die quadratische Ungleichung - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Lösung

Finden wir zunächst die Wurzeln des quadratischen Trinoms auf der linken Seite der Ungleichung:

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Da es sich um eine strikte Ungleichung handelt, verwenden wir einen „leeren“ Punkt im Diagramm. Mit Koordinate 7.

Jetzt müssen wir die Vorzeichen der resultierenden Intervalle (− ∞, 7) und (7, + ∞) bestimmen. Da die Diskriminante eines quadratischen Trinoms Null ist und der führende Koeffizient negativ ist, setzen wir die Vorzeichen − , − ein:

Da wir eine Ungleichung mit einem Vorzeichen lösen< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

In diesem Fall sind die Lösungen beide Intervalle (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .

Antwort:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) oder in einer anderen Schreibweise x ≠ 7 .

Beispiel 4

Ist die quadratische Ungleichung x 2 + x + 7?< 0 решения?

Lösung

Finden wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms auf der linken Seite der Ungleichung. Dazu ermitteln wir die Diskriminante: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Die Diskriminante ist kleiner als Null, was bedeutet, dass es keine echten Wurzeln gibt.

Das Grafikbild sieht aus wie eine Zahlenlinie ohne darauf markierte Punkte.

Bestimmen wir das Vorzeichen der Werte des quadratischen Trinoms. Bei D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

In diesem Fall könnten wir die Leerzeichen mit dem „-“-Zeichen schattieren. Aber wir haben solche Lücken nicht. Daher sieht die Zeichnung so aus:

Als Ergebnis der Berechnungen erhielten wir einen leeren Satz. Das bedeutet, dass diese quadratische Ungleichung keine Lösungen hat.

Antwort: NEIN.

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