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Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt richtig , wenn seine Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Man nennt eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind Tetraeder .

Seitliche Rippe einer Pyramide ist die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Grundfläche gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenrippen regelmäßige Pyramide einander gleich, alle Seitenflächen sind gleich gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitel aus gezogenen regelmäßigen Pyramide wird aufgerufen Apothema . Diagonaler Abschnitt heißt ein Abschnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Bereich Vollflächig heißt die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Grundfläche.

Theoreme

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleichmäßig zur Grundebene geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in der Nähe der Grundfläche umschriebenen Kreises projiziert.

2. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleich lang sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte eines Kreises projiziert, der nahe der Basis umschrieben wird.

3. Wenn alle Flächen einer Pyramide gleich stark zur Grundebene geneigt sind, wird die Spitze der Pyramide in die Mitte eines in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, lautet die richtige Formel:

Wo V- Lautstärke;

S-Basis– Grundfläche;

H– Höhe der Pyramide.

Für eine regelmäßige Pyramide sind die folgenden Formeln korrekt:

Wo P– Basisumfang;

h a– Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S-Basis– Grundfläche;

V– Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf bezeichnet den Teil der Pyramide, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Regelmäßiger Pyramidenstumpf ist der Teil einer regelmäßigen Pyramide, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Gründe Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen – Trapeze. Höhe eines Pyramidenstumpfes ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Spitzen verbindet, die nicht auf derselben Seite liegen. Diagonaler Abschnitt ist ein Schnitt durch einen Pyramidenstumpf durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten folgende Formeln:

(4)

Wo S 1 , S 2 – Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll– Gesamtfläche;

S-Seite– seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

V– Volumen eines Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf ist die Formel korrekt:

Wo P 1 , P 2 – Umfang der Sockel;

h a– Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60°. Finden Sie den Tangens des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist richtig, also an der Basis gleichseitiges Dreieck und alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Der Diederwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel A zwischen zwei Senkrechten: usw. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des Umkreises und des eingeschriebenen Kreises des Dreiecks). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenkante (z.B S.B.) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Ebene der Basis. Für die Rippe S.B. Dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Beine kennen ALSO Und O.B.. Sei die Länge des Segments BD gleich 3 A. Punkt UM Segment BD ist in Teile unterteilt: und Von wir finden ALSO: Daraus finden wir:

Antwort:

Beispiel 2. Ermitteln Sie das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, wenn die Diagonalen ihrer Grundflächen gleich cm und cm sind und ihre Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu ermitteln, verwenden wir Formel (4). Um die Fläche der Grundflächen zu ermitteln, müssen Sie die Seiten der Grundquadrate ermitteln und dabei deren Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen betragen jeweils 2 cm und 8 cm. Das bedeutet, dass die Flächen der Basen und unter Einsetzen aller Daten in die Formel das Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen:

Antwort: 112cm3.

Beispiel 3. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Grundseiten 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Grundfläche und Höhe kennen. Die Sockel sind dem Zustand entsprechend angegeben, lediglich die Höhe bleibt unbekannt. Wir werden sie von wo aus finden A 1 E senkrecht von einem Punkt A 1 auf der Ebene der unteren Basis, A 1 D– senkrecht von A 1 pro Wechselstrom. A 1 E= 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Zu finden DE Lassen Sie uns eine zusätzliche Zeichnung erstellen, die die Draufsicht zeigt (Abb. 20). Punkt UM– Projektion der Mittelpunkte der oberen und unteren Basis. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK– Radius eingeschrieben in den Kreis und OM– In einen Kreis eingeschriebener Radius:

MK = DE.

Nach dem Satz des Pythagoras von

Seitenfläche:

Antwort:

Beispiel 4. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Grundflächen A Und B (A> B). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel, der der Ebene der Basis der Pyramide entspricht J. Finden Sie die Gesamtoberfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtoberfläche der Pyramide SABCD gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes ABCD.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleichermaßen zur Ebene der Grundfläche geneigt sind, der Scheitelpunkt in die Mitte des in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt UM– Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Ebene der Basis. Nach dem Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion flache Figur wir bekommen:

Ebenso bedeutet es Somit reduzierte sich das Problem darauf, die Fläche des Trapezes zu finden ABCD. Zeichnen wir ein Trapez ABCD separat (Abb. 22). Punkt UM– der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben werden kann, dann oder Aus dem Satz des Pythagoras haben wir

ist ein Polyeder, das aus der Basis der Pyramide und einem dazu parallelen Abschnitt besteht. Wir können sagen, dass ein Pyramidenstumpf eine Pyramide ist, deren Spitze abgeschnitten ist. Diese Figur hat viele einzigartige Eigenschaften:

• Die Seitenflächen der Pyramide sind Trapeze;
• Die Seitenkanten eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich lang und im gleichen Winkel zur Grundfläche geneigt;
• Die Basen sind ähnliche Polygone;
• Bei einem regelmäßigen Pyramidenstumpf sind die Flächen identisch gleichschenklige Trapeze, deren Fläche gleich ist. Außerdem sind sie in einem Winkel zur Basis geneigt.

Die Formel für die Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes ist die Summe seiner Seitenflächen:

Da die Seiten eines Pyramidenstumpfes Trapeze sind, müssen Sie zur Berechnung der Parameter die Formel verwenden Trapezfläche. Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf können Sie eine andere Formel zur Berechnung der Fläche anwenden. Da alle Seiten, Flächen und Winkel an der Basis gleich sind, ist es möglich, die Umfänge der Basis und des Apothems zu verwenden und auch die Fläche durch den Winkel an der Basis abzuleiten.

Wenn gemäß den Bedingungen in einem regelmäßigen Pyramidenstumpf das Apothem (Höhe der Seite) und die Längen der Seiten der Grundfläche gegeben sind, kann die Fläche durch das Halbprodukt der Summe der Umfänge von berechnet werden die Basen und das Apothem:

Schauen wir uns ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes an.
Gegeben sei eine regelmäßige fünfeckige Pyramide. Apothema l= 5 cm, die Länge der Kante in der großen Basis beträgt A= 6 cm, und der Rand liegt an der kleineren Basis B= 4 cm. Berechnen Sie die Fläche des Pyramidenstumpfes.

Lassen Sie uns zunächst die Umfänge der Basen ermitteln. Da wir eine fünfeckige Pyramide erhalten, verstehen wir, dass die Grundflächen Fünfecke sind. Das bedeutet, dass die Sockel eine Figur mit fünf identischen Seiten enthalten. Lassen Sie uns den Umfang der größeren Basis ermitteln:

Auf die gleiche Weise ermitteln wir den Umfang der kleineren Basis:

Jetzt können wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes berechnen. Setzen Sie die Daten in die Formel ein:

Daher haben wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes durch die Umfänge und das Apothem berechnet.

Eine andere Möglichkeit, die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel durch die Winkel an der Basis und die Fläche dieser Basen.

Schauen wir uns eine Beispielrechnung an. Denken Sie daran, dass diese Formel nur für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf gilt.

Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Kante der unteren Basis beträgt a = 6 cm und die Kante der oberen Basis beträgt b = 4 cm. Der Diederwinkel an der Basis beträgt β = 60°. Finden Sie die Mantelfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Berechnen wir zunächst die Fläche der Basen. Da die Pyramide regelmäßig ist, sind alle Kanten der Grundflächen einander gleich. Wenn man bedenkt, dass die Basis ein Viereck ist, verstehen wir, dass eine Berechnung erforderlich ist Fläche des Platzes. Es ist das Produkt aus Breite und Länge, aber quadriert sind diese Werte gleich. Finden wir die Fläche der größeren Basis:


Aus den gefundenen Werten berechnen wir nun die Mantelfläche.

Mit ein paar einfachen Formeln konnten wir die Fläche des seitlichen Trapezes eines Pyramidenstumpfes anhand verschiedener Werte leicht berechnen.

Ein Polyeder, bei dem eine seiner Flächen ein Polygon ist und alle anderen Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind, wird Pyramide genannt.

Diese Dreiecke, aus denen die Pyramide besteht, werden genannt Seitenflächen, und das verbleibende Polygon ist Basis Pyramiden.

An der Basis der Pyramide liegt eine geometrische Figur – ein N-Eck. In diesem Fall wird auch Pyramide genannt n-Kohlenstoff.

Eine dreieckige Pyramide, deren Kanten alle gleich sind, heißt Tetraeder.

Die Kanten der Pyramide, die nicht zur Basis gehören, werden aufgerufen seitlich, und ihr gemeinsamer Punkt ist Scheitel Pyramiden. Die anderen Kanten der Pyramide werden üblicherweise aufgerufen Parteien der Basis.

Die Pyramide heißt richtig, wenn es an seiner Basis ein regelmäßiges Vieleck hat und alle Seitenkanten einander gleich sind.

Der Abstand von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis wird genannt Höhe Pyramiden. Wir können sagen, dass die Höhe der Pyramide ein Segment senkrecht zur Basis ist, dessen Enden sich an der Spitze der Pyramide und in der Ebene der Basis befinden.

Für jede Pyramide gelten die folgenden Formeln:

1) S voll = S Seite + S Haupt, Wo

S total – Fläche der Gesamtoberfläche der Pyramide;

S-Seite – Bereich der Mantelfläche, d.h. die Summe der Flächen aller Seitenflächen der Pyramide;

S main – Bereich der Basis der Pyramide.

2) V = 1/3 S Basis N, Wo

V – Volumen der Pyramide;

H – Höhe der Pyramide.

Für regelmäßige Pyramide findet statt:

S-Seite = 1/2 P Haupt-H, Wo

P main – Umfang der Basis der Pyramide;

h ist die Länge des Apothems, also die Länge der Höhe der Seitenfläche, die von der Spitze der Pyramide abgesenkt ist.

Der Teil der Pyramide, der zwischen zwei Ebenen – der Basisebene und der zur Basis parallelen Schnittebene – eingeschlossen ist, wird genannt Pyramidenstumpf.

Als Grundfläche der Pyramide bezeichnet man den Schnitt der Pyramide durch eine parallele Ebene Gründe Pyramidenstumpf. Die restlichen Gesichter werden aufgerufen seitlich. Der Abstand zwischen den Ebenen der Basen wird aufgerufen Höhe Pyramidenstumpf. Kanten, die nicht zu den Basen gehören, werden aufgerufen seitlich.

Außerdem die Basis des Pyramidenstumpfes ähnliche n-Ecke. Wenn die Grundflächen eines Pyramidenstumpfes regelmäßige Vielecke sind und alle Seitenkanten einander gleich sind, dann heißt ein solcher Pyramidenstumpf richtig.

Für beliebiger Pyramidenstumpf Es gelten folgende Formeln:

1) S voll = S Seite + S 1 + S 2, Wo

S total – Gesamtoberfläche;

S-Seite – Bereich der Mantelfläche, d.h. die Summe der Flächen aller Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes, die Trapeze sind;

S 1, S 2 – Grundflächen;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Wo

V – Volumen des Pyramidenstumpfes;

H – Höhe des Pyramidenstumpfes.

Für regelmäßiger Pyramidenstumpf wir haben auch:

S-Seite = 1/2(P 1 + P 2) h, Wo

P 1, P 2 – Umfang der Basen;

h – Apothem (Höhe der Seitenfläche, die ein Trapez ist).

Betrachten wir mehrere Probleme im Zusammenhang mit einem Pyramidenstumpf.

Aufgabe 1.

In einem dreieckigen Pyramidenstumpf mit einer Höhe von 10 betragen die Seiten einer der Grundflächen 27, 29 und 52. Bestimmen Sie das Volumen des Pyramidenstumpfs, wenn der Umfang der anderen Grundfläche 72 beträgt.

Lösung.

Betrachten Sie den in gezeigten Pyramidenstumpf ABCA 1 B 1 C 1 Abbildung 1.

1. Das Volumen eines Pyramidenstumpfes lässt sich mit der Formel ermitteln

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), wobei S 1 die Fläche einer der Basen ist, kann mit der Heron-Formel ermittelt werden

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

Weil Das Problem gibt die Längen der drei Seiten eines Dreiecks an.

Wir haben: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Die Pyramide ist stumpf, was bedeutet, dass an der Basis ähnliche Polygone liegen. In unserem Fall Dreieck ABCähnlich dem Dreieck A 1 B 1 C 1. Darüber hinaus kann der Ähnlichkeitskoeffizient als Verhältnis der Umfänge der betrachteten Dreiecke ermittelt werden, und das Verhältnis ihrer Flächen entspricht dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten. Somit haben wir:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Daher ist S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Also, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Antwort: 1900.

Aufgabe 2.

In einem dreieckigen Pyramidenstumpf durch die Seite obere Basis Eine Ebene wird parallel zur gegenüberliegenden Seitenkante gezeichnet. In welchem ​​Verhältnis ist das Volumen eines Pyramidenstumpfs aufgeteilt, wenn die entsprechenden Seiten der Grundflächen im Verhältnis 1:2 stehen?

Lösung.

Betrachten Sie ABCA 1 B 1 C 1 – einen Pyramidenstumpf, dargestellt in Reis. 2.

Da die Seiten in den Basen im Verhältnis 1:2 stehen, stehen die Flächen der Basen im Verhältnis 1:4 (Dreieck ABC ähnelt Dreieck A 1 B 1 C 1).

Dann ist das Volumen des Pyramidenstumpfes:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, wobei S 2 – Fläche der oberen Basis, h – Höhe.

Aber das Volumen des Prismas ADEA 1 B 1 C 1 ist V 1 = S 2 h und daher

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Also V 2: V 1 = 3: 4.

Antwort: 3:4.

Aufgabe 3.

Die Seiten der Grundflächen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes sind gleich 2 und 1 und die Höhe beträgt 3. Durch den Schnittpunkt der Diagonalen der Pyramide wird eine Ebene gezogen, die parallel zu den Grundflächen der Pyramide verläuft und die Pyramide teilt in zwei Teile. Finden Sie die Lautstärke jedes einzelnen davon.

Lösung.

Betrachten Sie den in gezeigten Pyramidenstumpf ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Reis. 3.

Bezeichnen wir O 1 O 2 = x, dann OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Betrachten Sie das Dreieck B 1 O 2 D 1 und das Dreieck BO 2 D:

Winkel B 1 O 2 D 1 ist gleich dem Winkel BO 2 D als Vertikale;

Der Winkel BDO 2 ist gleich dem Winkel D 1 B 1 O 2 und der Winkel O 2 ÂD ist gleich dem Winkel B 1 D 1 O 2, der quer bei B 1 D 1 || liegt BD und Sekanten B₁D bzw. BD₁.

Daher ähnelt das Dreieck B 1 O 2 D 1 dem Dreieck BO 2 D und das Seitenverhältnis ist:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 oder 1/2 = x/(x – 3), woraus x = 1.

Betrachten Sie das Dreieck B 1 D 1 B und das Dreieck LO 2 B: Der Winkel B ist gemeinsam, und es gibt auch ein Paar einseitiger Winkel bei B 1 D 1 || LM, was bedeutet, dass das Dreieck B 1 D 1 B dem Dreieck LO 2 B ähnelt, woraus B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, d. h.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Dann ist S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Also, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Antwort: 152/27; 37/27.

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