Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen. Quadratisches Trinom

Es ist ein Quadrat und besteht aus drei Termen (). Es stellt sich also heraus – ein quadratisches Trinom.

Beispiele Nicht Quadratische Trinome:

\(x^3-3x^2-5x+6\) – kubisches Quadrinom
\(2x+1\) – lineares Binomial

Quadratwurzel des Trinoms:

Beispiel:
Das Trinom \(x^2-2x+1\) hat eine Wurzel \(1\), weil \(1^2-2 1+1=0\)
Das Trinom \(x^2+2x-3\) hat Wurzeln \(1\) und \(-3\), weil \(1^2+2-3=0\) und \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

Zum Beispiel: wenn Sie Wurzeln finden müssen quadratisches Trinom\(x^2-2x+1\), setze es mit Null gleich und löse die Gleichung \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Bereit. Die Wurzel ist \(1\).

Zerlegung eines quadratischen Trinoms in:

Das quadratische Trinom \(ax^2+bx+c\) kann als \(a(x-x_1)(x-x_2)\) entwickelt werden, wenn die Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\) lauten größer als Null \ (x_1\) und \(x_2\) sind Wurzeln derselben Gleichung).

Zum Beispiel Betrachten Sie das Trinom \(3x^2+13x-10\).
Die quadratische Gleichung \(3x^2+13x-10=0\) hat eine Diskriminante gleich 289 (größer als Null) und Wurzeln gleich \(-5\) und \(\frac(2)(3)\) . Daher \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Es ist leicht, die Richtigkeit dieser Aussage zu überprüfen – wenn wir , dann erhalten wir das ursprüngliche Trinom.

Das quadratische Trinom \(ax^2+bx+c\) kann als \(a(x-x_1)^2\) dargestellt werden, wenn die Diskriminante der Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) ist null.

Zum Beispiel Betrachten Sie das Trinom \(x^2+6x+9\).
Die quadratische Gleichung \(x^2+6x+9=0\) hat eine Diskriminante gleich \(0\) und eine eindeutige Wurzel gleich \(-3\). Das bedeutet \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (hier ist der Koeffizient \(a=1\), daher wird er nicht vor die Klammer geschrieben – es ist nicht nötig). Bitte beachten Sie, dass die gleiche Konvertierung auch von durchgeführt werden kann.

Das quadratische Trinom \(ax^2+bx+c\) wird nicht faktorisiert, wenn die Diskriminante der Gleichung \(ax^2+bx+c=0\) kleiner als Null ist.

Zum Beispiel, die Trinome \(x^2+x+4\) und \(-5x^2+2x-1\) haben eine Diskriminante kleiner als Null. Daher ist es unmöglich, sie zu faktorisieren.

Beispiel . Faktorisieren Sie \(2x^2-11x+12\).
Lösung :
Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Also, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Antwort : \(2(x-1,5)(x-4)\)

Die resultierende Antwort kann anders geschrieben werden: \((2x-3)(x-4)\).

Beispiel . (Aufgabe der OGE) Das quadratische Trinom wird faktorisiert \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Finden Sie \(a\).
Lösung:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Antwort : \(-1,6\)

Beim Vereinfachen von Ausdrücken (damit eine Reduktion durchgeführt werden kann), beim Lösen von Gleichungen oder beim Zerlegen einer gebrochenrationalen Funktion in einfache Brüche ist es notwendig, Polynome zu faktorisieren.

Es ist sinnvoll, von der Faktorisierung eines Polynoms zu sprechen, wenn sein Grad nicht kleiner als zwei ist.

Ein Polynom ersten Grades heißt linear.

Betrachten wir zunächst die theoretischen Grundlagen und gehen dann direkt zu den Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms über.

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Notwendige Theorie.

Satz.

Jedes Polynom mit Grad N Typ wird durch das Produkt eines konstanten Faktors mit der höchsten Potenz und dargestellt N lineare Multiplikatoren, i=1, 2, …, n, das heißt, und, i=1, 2, …, n sind die Wurzeln des Polynoms.

Dieser Satz wird für komplexe Wurzeln formuliert, i=1, 2, …, n und komplexe Koeffizienten, k=0, 1, 2, …, n. Es ist die Grundlage für die Faktorisierung jedes Polynoms.

Wenn die Koeffizienten k=0, 1, 2, …, n sind reelle Zahlen, dann MÜSSEN die komplexen Wurzeln des Polynoms in komplex konjugierten Paaren auftreten.

Wenn beispielsweise die Wurzeln des Polynoms komplex konjugiert sind und die übrigen Wurzeln reell sind, wird das Polynom in der Form dargestellt, wobei

Kommentar.

Unter den Wurzeln eines Polynoms können sich wiederholende sein.

Der Beweis des Satzes erfolgt mit Grundsatz der Algebra Und Folgerungen des Satzes von Bezout.

Grundsatz der Algebra.

Jedes Polynom mit Grad N hat mindestens eine Wurzel (komplex oder reell).

Satz von Bezout.

Beim Teilen eines Polynoms durch (x-s) der Rest wird erhalten gleich dem Wert Polynom an einem Punkt S, das heißt, wo es ein Gradpolynom gibt n-1.

Folgerung zum Satz von Bezout.

Wenn S ist dann die Wurzel des Polynoms.

Wir werden diese Folgerung häufig verwenden, wenn wir Lösungen für Beispiele beschreiben.

Faktorisieren eines quadratischen Trinoms.

Das quadratische Trinom wird in zwei lineare Faktoren zerlegt: , wobei und Wurzeln (komplex oder reell) sind.

Somit reduziert sich die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms auf die Lösung einer quadratischen Gleichung.

Beispiel.

Faktorisieren Sie ein quadratisches Trinom.

Lösung.

Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung .

Die Diskriminante der Gleichung ist also gleich

Daher, .

Zur Kontrolle können Sie die Klammern erweitern: . Bei der Überprüfung gelangten wir zum ursprünglichen Trinom, sodass die Zerlegung korrekt war.

Beispiel.

Lösung.

Relevant quadratische Gleichung sieht aus wie .

Lassen Sie uns seine Wurzeln finden.

Deshalb, .

Beispiel.

Faktorisieren Sie das Polynom.

Lösung.

Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Wir haben ein Paar komplex konjugierter Wurzeln erhalten.

Die Entwicklung des Polynoms wird die Form haben .

Beispiel.

Faktorisieren Sie das quadratische Trinom.

Lösung.

Lassen Sie uns eine quadratische Gleichung lösen .

Deshalb,

Kommentar:

Im Folgenden belassen wir Polynome zweiter Ordnung bei negativer Diskriminante in ihrer ursprünglichen Form, d. h. wir zerlegen sie nicht in lineare Faktoren mit komplexen freien Termen.

Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms mit einem höheren Grad als zwei.

Im Allgemeinen umfasst diese Aufgabe Kreativität, da es keine universelle Lösungsmethode gibt. Aber versuchen wir, ein paar Tipps zu geben.

In den allermeisten Fällen basiert die Faktorisierung eines Polynoms auf einer Folgerung des Bezout-Theorems, d. h. die Wurzel wird gefunden oder ausgewählt und der Grad des Polynoms wird durch Division durch um eins reduziert. Die Wurzel des resultierenden Polynoms wird gesucht und der Vorgang bis zur vollständigen Entwicklung wiederholt.

Wenn die Wurzel nicht gefunden werden kann, werden bestimmte Erweiterungsmethoden verwendet: von der Gruppierung bis zur Einführung zusätzlicher, sich gegenseitig ausschließender Begriffe.

Die weitere Darstellung basiert auf Fertigkeiten mit ganzzahligen Koeffizienten.

Den gemeinsamen Faktor ausklammern.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall, wenn der freie Term gleich Null ist, das Polynom also die Form hat.

Offensichtlich ist die Wurzel eines solchen Polynoms, das heißt, wir können das Polynom in der Form darstellen.

Diese Methode ist nichts anderes als den gemeinsamen Faktor aus Klammern setzen.

Beispiel.

Faktorisieren Sie ein Polynom dritten Grades.

Lösung.

Offensichtlich, was ist die Wurzel des Polynoms? X kann aus Klammern entnommen werden:

Finden wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms

Daher,

Faktorisieren eines Polynoms mit rationalen Wurzeln.

Betrachten wir zunächst eine Methode zum Erweitern eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten der Form: Der Koeffizient höchsten Grades ist gleich eins.

Wenn in diesem Fall ein Polynom ganzzahlige Wurzeln hat, dann sind diese Teiler des freien Termes.

Beispiel.

Lösung.

Lassen Sie uns prüfen, ob intakte Wurzeln vorhanden sind. Notieren Sie dazu die Teiler der Zahl -18 : . Das heißt, wenn ein Polynom ganzzahlige Wurzeln hat, dann gehören diese zu den geschriebenen Zahlen. Lassen Sie uns diese Zahlen nacheinander mithilfe des Horner-Schemas überprüfen. Seine Bequemlichkeit liegt auch darin, dass wir am Ende die Entwicklungskoeffizienten des Polynoms erhalten:

Das heißt, x=2 Und x=-3 sind die Wurzeln des ursprünglichen Polynoms und wir können es als Produkt darstellen:

Es bleibt die Erweiterung des quadratischen Trinoms.

Die Diskriminante dieses Trinoms ist negativ, daher hat es keine reellen Wurzeln.

Antwort:

Kommentar:

Anstelle des Horner-Schemas könnte man auch die Auswahl der Wurzel und die anschließende Division des Polynoms durch ein Polynom verwenden.

Betrachten Sie nun die Entwicklung eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten der Form, wobei der Koeffizient höchsten Grades ungleich eins ist.

In diesem Fall kann das Polynom gebrochen rationale Wurzeln haben.

Beispiel.

Faktorisieren Sie den Ausdruck.

Lösung.

Durch Ausführen einer Variablenänderung y=2x Kommen wir nun zu einem Polynom mit einem Koeffizienten gleich eins im höchsten Grad. Dazu multiplizieren Sie zunächst den Ausdruck mit 4 .

Wenn die resultierende Funktion ganzzahlige Wurzeln hat, gehören diese zu den Teilern des freien Termes. Schreiben wir sie auf:

Berechnen wir nacheinander die Werte der Funktion g(y) an diesen Punkten, bis Null erreicht ist.

Das heißt, y=-5 ist die Wurzel ist daher die Wurzel der ursprünglichen Funktion. Teilen wir das Polynom durch eine Spalte (Ecke) in ein Binomial.

Daher,

Es ist nicht ratsam, die verbleibenden Teiler weiter zu überprüfen, da es einfacher ist, das resultierende quadratische Trinom zu faktorisieren

Somit,

Künstliche Techniken zur Faktorisierung eines Polynoms.

Polynome haben nicht immer rationale Wurzeln. In diesem Fall müssen Sie beim Factoring nach speziellen Methoden suchen. Aber egal wie sehr wir es möchten, einige Polynome (oder besser gesagt die überwiegende Mehrheit) können nicht als Produkt dargestellt werden.

Gruppierungsmethode.

Manchmal bietet es sich an, die Terme eines Polynoms zu gruppieren, wodurch Sie einen gemeinsamen Faktor finden und ihn aus Klammern entfernen können.

Beispiel.

Polynom erweitern durch Multiplikatoren.

Lösung.

Da die Koeffizienten ganze Zahlen sind, kann es zwischen den Teilern des freien Termes ganzzahlige Wurzeln geben. Lassen Sie uns die Werte überprüfen 1 , -1 , 2 Und -2 , Berechnen des Werts des Polynoms an diesen Punkten.

Das heißt, es gibt keine ganzen Wurzeln. Suchen wir nach einer anderen Art der Zerlegung.

Lassen Sie uns gruppieren:

Nach der Gruppierung wurde das ursprüngliche Polynom als Produkt zweier quadratischer Trinome dargestellt. Lassen Sie uns sie berücksichtigen.

Zur Faktorisierung ist es notwendig, die Ausdrücke zu vereinfachen. Dies ist notwendig, damit es weiter reduziert werden kann. Die Entwicklung eines Polynoms ist dann sinnvoll, wenn sein Grad nicht kleiner als zwei ist. Ein Polynom ersten Grades heißt linear.

Der Artikel behandelt alle Konzepte der Zerlegung, theoretischen Grundlagen und Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms.

Theorie

Satz 1

Wenn ein Polynom mit Grad n die Form P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + hat. . . + a 1 x + a 0, werden als Produkt mit einem konstanten Faktor mit dem höchsten Grad a n und n linearen Faktoren (x - x i) dargestellt, i = 1, 2, ..., n, dann P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , wobei x i, i = 1, 2, …, n die Wurzeln des Polynoms sind.

Der Satz ist für Wurzeln vom komplexen Typ x i, i = 1, 2, …, n und für komplexe Koeffizienten a k, k = 0, 1, 2, …, n gedacht. Dies ist die Grundlage jeder Zersetzung.

Wenn Koeffizienten der Form a k, k = 0, 1, 2, …, n sind reelle Zahlen, dann komplexe Wurzeln, die in konjugierten Paaren auftreten. Zum Beispiel beziehen sich die Wurzeln x 1 und x 2 auf ein Polynom der Form P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 werden als komplex konjugiert betrachtet, dann sind die anderen Wurzeln reell, woraus wir erhalten, dass das Polynom die Form P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · annimmt. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, wobei x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Kommentar

Die Wurzeln eines Polynoms können wiederholt werden. Betrachten wir den Beweis des Algebra-Theorems, eine Konsequenz des Bezout-Theorems.

Grundsatz der Algebra

Satz 2

Jedes Polynom vom Grad n hat mindestens eine Wurzel.

Satz von Bezout

Nach der Division eines Polynoms der Form P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 auf (x - s), dann erhalten wir den Rest, der gleich dem Polynom am Punkt s ist, dann erhalten wir

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , wobei Q n - 1 (x) ein Polynom mit Grad n - 1 ist.

Folgerung zum Satz von Bezout

Wenn die Wurzel des Polynoms P n (x) als s betrachtet wird, dann gilt P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Diese Folgerung reicht aus, um die Lösung zu beschreiben.

Faktorisieren eines quadratischen Trinoms

Ein quadratisches Trinom der Form a x 2 + b x + c kann in lineare Faktoren zerlegt werden. dann erhalten wir a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , wobei x 1 und x 2 Wurzeln (komplex oder reell) sind.

Dies zeigt, dass sich die Entwicklung selbst auf die anschließende Lösung der quadratischen Gleichung reduziert.

Beispiel 1

Faktorisieren Sie das quadratische Trinom.

Lösung

Es ist notwendig, die Wurzeln der Gleichung 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 zu finden. Dazu müssen Sie den Wert der Diskriminante mithilfe der Formel ermitteln, dann erhalten wir D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Von hier aus haben wir das

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Daraus ergibt sich 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Um die Prüfung durchzuführen, müssen Sie die Klammern öffnen. Dann erhalten wir einen Ausdruck der Form:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Nach der Überprüfung gelangen wir zum ursprünglichen Ausdruck. Das heißt, wir können daraus schließen, dass die Zerlegung korrekt durchgeführt wurde.

Beispiel 2

Faktorisieren Sie das quadratische Trinom der Form 3 x 2 - 7 x - 11 .

Lösung

Wir finden, dass es notwendig ist, die resultierende quadratische Gleichung der Form 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 zu berechnen.

Um die Wurzeln zu finden, müssen Sie den Wert der Diskriminante bestimmen. Wir verstehen das

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Daraus ergibt sich 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Beispiel 3

Faktorisieren Sie das Polynom 2 x 2 + 1.

Lösung

Jetzt müssen wir die quadratische Gleichung 2 x 2 + 1 = 0 lösen und ihre Wurzeln finden. Wir verstehen das

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Diese Wurzeln werden komplex konjugiert genannt, was bedeutet, dass die Entwicklung selbst als 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i dargestellt werden kann.

Beispiel 4

Zerlegen Sie das quadratische Trinom x 2 + 1 3 x + 1 .

Lösung

Zuerst müssen Sie eine quadratische Gleichung der Form x 2 + 1 3 x + 1 = 0 lösen und ihre Wurzeln finden.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Nachdem wir die Wurzeln ermittelt haben, schreiben wir

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Kommentar

Wenn der Diskriminanzwert negativ ist, bleiben die Polynome Polynome zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass wir sie nicht zu linearen Faktoren erweitern werden.

Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms mit einem höheren Grad als zwei

Bei der Zerlegung wird von einer universellen Methode ausgegangen. Die meisten Fälle basieren auf einer Folgerung des Satzes von Bezout. Dazu müssen Sie den Wert der Wurzel x 1 auswählen und ihren Grad reduzieren, indem Sie durch ein Polynom durch 1 dividieren, indem Sie durch (x - x 1) dividieren. Das resultierende Polynom muss die Wurzel x 2 finden, und der Suchvorgang ist zyklisch, bis wir eine vollständige Entwicklung erhalten.

Wenn die Wurzel nicht gefunden wird, werden andere Methoden der Faktorisierung verwendet: Gruppierung, zusätzliche Terme. In diesem Thema geht es um das Lösen von Gleichungen mit höheren Potenzen und ganzzahligen Koeffizienten.

Den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen

Betrachten Sie den Fall, dass der freie Term gleich Null ist, dann wird die Form des Polynoms P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + ein 1 x .

Es ist ersichtlich, dass die Wurzel eines solchen Polynoms gleich x 1 = 0 ist, dann kann das Polynom als Ausdruck P n (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + dargestellt werden. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Bei dieser Methode wird davon ausgegangen, dass der gemeinsame Faktor aus Klammern entfernt wird.

Beispiel 5

Faktorisieren Sie das Polynom dritten Grades 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Lösung

Wir sehen, dass x 1 = 0 die Wurzel des gegebenen Polynoms ist, dann können wir x aus den Klammern des gesamten Ausdrucks entfernen. Wir bekommen:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Fahren wir mit der Suche nach den Wurzeln des quadratischen Trinoms 4 x 2 + 8 x - 1 fort. Finden wir die Diskriminante und die Wurzeln:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Dann folgt daraus

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Betrachten wir zunächst eine Zerlegungsmethode, die ganzzahlige Koeffizienten der Form P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + enthält. . . + a 1 x + a 0, wobei der Koeffizient des höchsten Grades 1 ist.

Wenn ein Polynom ganzzahlige Wurzeln hat, werden diese als Teiler des freien Termes betrachtet.

Beispiel 6

Zerlegen Sie den Ausdruck f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Lösung

Überlegen wir, ob es vollständige Wurzeln gibt. Es ist notwendig, die Teiler der Zahl 18 aufzuschreiben. Wir erhalten ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Daraus folgt, dass dieses Polynom ganzzahlige Wurzeln hat. Sie können dies mit dem Horner-Schema überprüfen. Dies ist sehr praktisch und ermöglicht es Ihnen, schnell die Entwicklungskoeffizienten eines Polynoms zu ermitteln:

Daraus folgt, dass x = 2 und x = - 3 die Wurzeln des ursprünglichen Polynoms sind, das als Produkt der Form dargestellt werden kann:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Wir fahren mit der Entwicklung eines quadratischen Trinoms der Form x 2 + 2 x + 3 fort.

Da die Diskriminante negativ ist, bedeutet dies, dass es keine echten Wurzeln gibt.

Antwort: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kommentar

Es ist zulässig, anstelle des Horner-Schemas die Wurzelauswahl und Division eines Polynoms durch ein Polynom zu verwenden. Betrachten wir nun die Entwicklung eines Polynoms, das ganzzahlige Koeffizienten der Form P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + enthält. . . + a 1 x + a 0 , wobei der höchste Wert gleich eins ist.

Dieser Fall tritt bei rationalen Brüchen auf.

Beispiel 7

Faktorisiere f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Lösung

Es ist notwendig, die Variable y = 2 x zu ersetzen, Sie sollten zu einem Polynom mit Koeffizienten gleich 1 im höchsten Grad übergehen. Sie müssen damit beginnen, den Ausdruck mit 4 zu multiplizieren. Wir verstehen das

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Wenn die resultierende Funktion der Form g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ganzzahlige Wurzeln hat, dann liegt ihre Position unter den Teilern des freien Termes. Der Eintrag sieht folgendermaßen aus:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Fahren wir mit der Berechnung der Funktion g (y) an diesen Punkten fort, um als Ergebnis Null zu erhalten. Wir verstehen das

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Wir finden, dass y = - 5 die Wurzel einer Gleichung der Form y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ist, was bedeutet, dass x = y 2 = - 5 2 die Wurzel der ursprünglichen Funktion ist.

Beispiel 8

Es ist notwendig, mit einer Spalte 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 durch x + 5 2 zu dividieren.

Lösung

Schreiben wir es auf und erhalten:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Die Überprüfung der Teiler wird viel Zeit in Anspruch nehmen, daher ist es rentabler, das resultierende quadratische Trinom der Form x 2 + 7 x + 3 zu faktorisieren. Durch Gleichsetzen mit Null finden wir die Diskriminante.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Daraus folgt

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Künstliche Techniken zur Faktorisierung eines Polynoms

Rationale Wurzeln sind nicht allen Polynomen inhärent. Dazu müssen Sie verwenden auf besondere Weise Faktoren zu finden. Aber nicht alle Polynome können entwickelt oder als Produkt dargestellt werden.

Gruppierungsmethode

Es gibt Fälle, in denen Sie die Terme eines Polynoms gruppieren können, um einen gemeinsamen Faktor zu finden und ihn aus Klammern zu setzen.

Beispiel 9

Faktorisieren Sie das Polynom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Lösung

Da die Koeffizienten ganze Zahlen sind, können die Wurzeln vermutlich auch ganze Zahlen sein. Nehmen Sie zur Überprüfung die Werte 1, - 1, 2 und - 2, um den Wert des Polynoms an diesen Punkten zu berechnen. Wir verstehen das

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Dies zeigt, dass es keine Wurzeln gibt; es ist notwendig, eine andere Methode zur Erweiterung und Lösung zu verwenden.

Es ist notwendig, zu gruppieren:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Nachdem Sie das ursprüngliche Polynom gruppiert haben, müssen Sie es als Produkt zweier quadratischer Trinome darstellen. Dazu müssen wir faktorisieren. Das verstehen wir

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Kommentar

Die Einfachheit der Gruppierung bedeutet nicht, dass die Auswahl der Begriffe einfach genug ist. Es gibt keine spezifische Lösungsmethode, daher ist die Verwendung spezieller Theoreme und Regeln erforderlich.

Beispiel 10

Faktorisieren Sie das Polynom x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Lösung

Das gegebene Polynom hat keine ganzzahligen Wurzeln. Die Begriffe sollten gruppiert werden. Wir verstehen das

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Nach der Faktorisierung erhalten wir das

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln und des Newtonschen Binomials zur Faktorisierung eines Polynoms

Das Aussehen lässt oft nicht immer erkennen, welche Methode bei der Zersetzung angewendet werden soll. Nachdem die Transformationen durchgeführt wurden, können Sie eine Linie erstellen, die aus dem Pascalschen Dreieck besteht, andernfalls werden sie als Newtonsches Binomial bezeichnet.

Beispiel 11

Faktorisieren Sie das Polynom x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Lösung

Es ist notwendig, den Ausdruck in die Form umzuwandeln

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Die Koeffizientenfolge der Summe in Klammern wird durch den Ausdruck x + 1 4 angegeben.

Das heißt, wir haben x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 · 4 - 3.

Nachdem wir die Differenz der Quadrate angewendet haben, erhalten wir

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Betrachten Sie den Ausdruck in der zweiten Klammer. Es ist klar, dass es dort keine Ritter gibt, daher sollten wir die Formel für die Quadratdifferenz erneut anwenden. Wir erhalten einen Ausdruck der Form

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Beispiel 12

Faktorisiere x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Lösung

Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln. Wir verstehen das

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Es ist notwendig, die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Würfeldifferenz anzuwenden. Wir bekommen:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Eine Methode zum Ersetzen einer Variablen beim Faktorisieren eines Polynoms

Beim Ersetzen einer Variablen wird der Grad reduziert und das Polynom faktorisiert.

Beispiel 13

Faktorisieren Sie das Polynom der Form x 6 + 5 x 3 + 6 .

Lösung

Gemäß der Bedingung ist klar, dass die Ersetzung y = x 3 erfolgen muss. Wir bekommen:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Die Wurzeln der resultierenden quadratischen Gleichung sind dann y = - 2 und y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Es ist notwendig, die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Würfelsumme anzuwenden. Wir erhalten Ausdrücke der Form:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Das heißt, wir haben die gewünschte Zerlegung erhalten.

Die oben besprochenen Fälle helfen dabei, ein Polynom auf unterschiedliche Weise zu betrachten und zu faktorisieren.

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Es werden 8 Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen angegeben. Dazu gehören Beispiele zum Lösen quadratischer und biquadratischer Gleichungen, Beispiele für reziproke Polynome und Beispiele zum Finden ganzzahliger Wurzeln von Polynomen dritten und vierten Grades.

Inhalt

Siehe auch: Methoden zur Faktorisierung von Polynomen
Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Kubische Gleichungen lösen

1. Beispiele zum Lösen einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Wir nehmen x heraus 2 außerhalb der Klammern:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Wurzeln der Gleichung:
, .

.

Beispiel 1.2

Faktorisieren Sie das Polynom dritten Grades:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.

Nehmen wir x aus Klammern:
.
Lösen der quadratischen Gleichung x 2 + 6 x + 9 = 0:
Seine Diskriminante: .
Da die Diskriminante Null ist, sind die Wurzeln der Gleichung Vielfache: ;
.

Daraus erhalten wir die Faktorisierung des Polynoms:
.

Beispiel 1.3

Faktorisieren Sie das Polynom fünften Grades:
X 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Wir nehmen x heraus 3 außerhalb der Klammern:
.
Lösen der quadratischen Gleichung x 2 - 2 x + 10 = 0.
Seine Diskriminante: .
Da die Diskriminante kleiner als Null ist, sind die Wurzeln der Gleichung komplex: ;
, .

Die Faktorisierung des Polynoms hat die Form:
.

Wenn wir an der Faktorisierung mit reellen Koeffizienten interessiert sind, dann:
.

Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mithilfe von Formeln

Beispiele mit biquadratischen Polynomen

Beispiel 2.1

Faktorisieren Sie das biquadratische Polynom:
X 4 + x 2 - 20.

Wenden wir die Formeln an:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Beispiel 2.2

Faktorisieren Sie das Polynom, das sich auf ein biquadratisches reduziert:
X 8 + x 4 + 1.

Wenden wir die Formeln an:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Beispiel 2.3 mit rekurrentem Polynom

Faktorisieren Sie das reziproke Polynom:
.

Ein reziprokes Polynom hat ungeraden Grad. Daher hat es Wurzel x = - 1 . Teilen Sie das Polynom durch x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Als Ergebnis erhalten wir:

Machen wir eine Substitution:

Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Wurzeln
.

Beispiel 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Faktorisieren Sie das Polynom:;
Nehmen wir an, dass die Gleichung;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Wir haben also drei Wurzeln gefunden:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Da das ursprüngliche Polynom dritten Grades ist, hat es nicht mehr als drei Wurzeln. Da wir drei Wurzeln gefunden haben, sind sie einfach. Dann
.

Beispiel 3.2

Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen mit ganzzahligen Wurzeln
.

Beispiel 3.1

hat mindestens eine ganze Wurzel. Dann ist es ein Teiler der Zahl 2 (Mitglied ohne x). Das heißt, die ganze Wurzel kann eine der folgenden Zahlen sein:
-2, -1, 1, 2 .
Wir ersetzen diese Werte einzeln:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Also haben wir eine Wurzel gefunden:
X 1 = -1 .
Teilen Sie das Polynom durch x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Dann,
.

Jetzt müssen wir die Gleichung dritten Grades lösen:
.
Wenn wir davon ausgehen, dass diese Gleichung eine ganzzahlige Wurzel hat, dann ist sie ein Teiler der Zahl 2 (Mitglied ohne x). Das heißt, die ganze Wurzel kann eine der folgenden Zahlen sein:
1, 2, -1, -2 .
Ersetzen wir x = -1 :
.

Wir haben also eine weitere Wurzel x gefunden 2 = -1 .
.

Es wäre möglich, wie im vorherigen Fall, das Polynom durch zu dividieren, aber wir werden die Terme gruppieren:

Das quadratische Trinom kann wie folgt faktorisiert werden:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

wobei a eine Zahl ist, ein Koeffizient vor dem führenden Koeffizienten,

x – Variable (d. h. Buchstabe),

x 1 und x 2 sind Zahlen, Wurzeln der quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0, die durch die Diskriminante gefunden werden.

Wenn eine quadratische Gleichung nur eine Wurzel hat, sieht die Entwicklung so aus:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

1. Beispiele für die Faktorisierung eines quadratischen Trinoms:

− x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

1. − x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

− x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

• Wenn das quadratische Trinom unvollständig ist (b = 0 oder c = 0), kann es auf folgende Weise faktorisiert werden:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

b = 0 ⇒ Wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel für die Quadratdifferenz an.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung

Lösung:

Nr. 1. Das quadratische Trinom wird faktorisiert: x 2 + 6 x − 27 = (x + 9) (x − a) . Finden Sie eine.

Zuerst müssen Sie das quadratische Trinom mit Null gleichsetzen, um x 1 und x 2 zu finden.

x 2 + 6 x − 27 = 0

a = 1, b = 6, c = − 27

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144

D > 0 bedeutet, dass es zwei verschiedene Wurzeln gibt.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9

Da wir die Wurzeln kennen, faktorisieren wir das quadratische Trinom:

x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)

Lösung:

Nr. 2. Die Gleichung x 2 + p x + q = 0 hat Wurzeln − 5; 7. Finden Sie q.(Sie müssen wissen, wie man ein quadratisches Trinom faktorisiert)

Wenn x 1 und x 2 die Wurzeln des quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c sind, dann kann es wie folgt faktorisiert werden: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .

Da in einem gegebenen quadratischen Trinom der führende Koeffizient (der Faktor vor x 2) gleich eins ist, sieht die Entwicklung wie folgt aus:

x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x − 35 = x 2 − 2 x − 35

x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35

Methode 2: (Sie müssen den Satz von Vieta kennen)

Satz von Vieta:

Die Summe der Wurzeln des reduzierten quadratischen Trinoms x 2 + p x + q ist gleich seinem zweiten Koeffizienten p mit umgekehrtem Vorzeichen, und das Produkt ist der freie Term q.

( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q

q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.