Nimm oft eine Nummer e = 2,718281828 . Auf dieser Basis basierende Logarithmen werden aufgerufen natürlich. Bei Berechnungen mit natürlichen Logarithmen wird üblicherweise mit dem Vorzeichen gearbeitet lN, nicht Protokoll; während die Zahl 2,718281828 , die die Basis definieren, sind nicht angegeben.
Mit anderen Worten, die Formulierung sieht so aus: natürlicher Logarithmus Zahlen X- Dies ist ein Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss e zu bekommen X.
Also, ln(7.389...)= 2, da e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e= 1 weil e 1 =e, und der natürliche Logarithmus der Einheit ist seitdem Null e 0 = 1.
Die Nummer selbst e definiert den Grenzwert einer monotonen begrenzten Folge
das wird berechnet e = 2,7182818284... .
Um eine Zahl im Gedächtnis zu fixieren, werden die Ziffern der benötigten Zahl häufig mit einem ausstehenden Datum verknüpft. Geschwindigkeit beim Auswendiglernen der ersten neun Ziffern einer Zahl e Nachkomma wird erhöht, wenn Sie beachten, dass 1828 das Geburtsjahr von Leo Tolstoi ist!
Heutzutage gibt es ziemlich vollständige Tabellen natürlicher Logarithmen.
Zeitplan natürlicher Logarithmus (Funktionen y=ln x) ist eine Folge des Exponentialgraphen als Spiegelbild der Geraden y = x und hat die Form:
Der natürliche Logarithmus lässt sich für jede positive reelle Zahl ermitteln A als Fläche unter der Kurve j = 1/X aus 1 Zu A.
Der elementare Charakter dieser Formulierung, der mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, in denen der natürliche Logarithmus eine Rolle spielt, war der Grund für die Namensbildung „natürlich“.
Wenn Sie analysieren natürlicher Logarithmus, als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann wirkt es Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion, die sich auf die Identitäten reduziert:
e ln(a) =a (a>0)
ln(ea) =a
Analog zu allen Logarithmen wandelt der natürliche Logarithmus Multiplikation in Addition und Division in Subtraktion um:
ln(xy) = ln(X) + ln(j)
ln(x/y)= lnx - lny
Der Logarithmus kann für jede positive Basis ungleich eins gefunden werden, nicht nur für e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur um einen konstanten Faktor und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert.
Nach der Analyse natürlicher Logarithmus-Graph, Wir stellen fest, dass es für positive Werte der Variablen existiert X. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.
Bei X → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( -∞ ).Bei x → +∞ der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist plus unendlich ( + ∞ ). Im Großen und Ganzen X Der Logarithmus steigt recht langsam an. Jede Leistungsfunktion xa mit positivem Exponenten A steigt schneller als der Logarithmus. Der natürliche Logarithmus ist eine monoton wachsende Funktion und weist daher keine Extrema auf.
Verwendung natürliche Logarithmen sehr rational beim Passieren Höhere Mathematik. Daher ist die Verwendung des Logarithmus praktisch, um die Antwort auf Gleichungen zu finden, in denen Unbekannte als Exponenten auftreten. Die Verwendung natürlicher Logarithmen in Berechnungen ermöglicht eine erhebliche Vereinfachung große Zahl mathematische Formeln. Logarithmen zur Basis e sind bei der Lösung einer erheblichen Anzahl physikalischer Probleme beteiligt und fließen selbstverständlich in die mathematische Beschreibung einzelner chemischer, biologischer und anderer Prozesse ein. Daher werden Logarithmen verwendet, um die Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit zu berechnen oder um die Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen zu berechnen. Sie spielen in vielen Bereichen der Mathematik und Mathematik eine führende Rolle praktische Wissenschaften Sie werden im Finanzbereich zur Lösung herangezogen große Zahl Aufgaben, einschließlich der Berechnung des Zinseszinses.
1.1. Bestimmen des Exponenten für einen ganzzahligen Exponenten
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X – N mal
1.2. Null Grad.
Per Definition ist allgemein anerkannt, dass die Nullpotenz jeder Zahl 1 ist:1.3. Negativer Abschluss.
X -N = 1/X N1.4. Bruchteilskraft, Wurzel.
X 1/N = N Wurzel von X.Zum Beispiel: X 1/2 = √X.
1.5. Formel zum Addieren von Potenzen.
X (N+M) = X N *X M1.6.Formel zum Subtrahieren von Potenzen.
X (N-M) = X N /X M1.7. Formel zur Multiplikation von Potenzen.
X N*M = (X N) M1.8. Formel zur Potenzierung eines Bruchs.
(X/Y) N = X N /Y N2. Nummer e.
Der Wert der Zahl e entspricht dem folgenden Grenzwert:E = lim(1+1/N), da N → ∞.
Mit einer Genauigkeit von 17 Stellen beträgt die Zahl e 2,71828182845904512.
3. Eulers Gleichheit.
Diese Gleichheit verbindet fünf Zahlen, die in der Mathematik eine besondere Rolle spielen: 0, 1, e, Pi, imaginäre Einheit.E (i*pi) + 1 = 0
4. Exponentialfunktion exp(x)
exp(x) = e x5. Ableitung der Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Die Ableitung der Funktion ist gleich der Exponentialfunktion selbst:(exp(x))" = exp(x)
6. Logarithmus.
6.1. Definition der Logarithmusfunktion
Wenn x = by, dann ist der Logarithmus die FunktionY = Log b(x).
Der Logarithmus zeigt, mit welcher Potenz eine Zahl erhöht werden muss – die Basis des Logarithmus (b), um eine gegebene Zahl (X) zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist für X größer als Null definiert.
Beispiel: Log 10 (100) = 2.
6.2. Dezimaler Logarithmus
Dies ist der Logarithmus zur Basis 10:Y = Log 10 (x) .
Bezeichnet durch Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Ein Beispiel für die Verwendung des dezimalen Logarithmus ist Dezibel.
6.3. Dezibel
Der Artikel wird auf einer separaten Seite Dezibel hervorgehoben6.4. Binärer Logarithmus
Dies ist der Logarithmus zur Basis 2:Y = Log 2 (x).
Bezeichnet durch Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Natürlicher Logarithmus
Dies ist der Logarithmus zur Basis e:Y = Log e (x) .
Bezeichnet durch Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp(X).
6.6. Charakteristische Punkte
Loga(1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Produktlogarithmusformel
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Formel für den Logarithmus des Quotienten
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Logarithmus der Potenzformel
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Formel zur Umrechnung in einen Logarithmus mit anderer Basis
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Beispiel:
Protokoll 2 (8) = Protokoll 10 (8)/Protokoll 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Im Leben nützliche Formeln
Oft gibt es Probleme bei der Umrechnung von Volumen in Fläche oder Länge und das umgekehrte Problem – die Umrechnung von Fläche in Volumen. Bretter werden beispielsweise in Würfeln (Kubikmetern) verkauft und wir müssen berechnen, wie viel Wandfläche mit Brettern in einem bestimmten Volumen abgedeckt werden kann, siehe Berechnung von Brettern, wie viele Bretter ein Würfel enthält. Wenn die Abmessungen der Wand bekannt sind, müssen Sie auch die Anzahl der Ziegel berechnen, siehe Ziegelberechnung.
Die Nutzung von Site-Materialien ist gestattet, sofern ein aktiver Link zur Quelle installiert ist.
Natürlicher Logarithmus
Diagramm der natürlichen Logarithmusfunktion. Die Funktion nähert sich mit zunehmender Größe langsam der positiven Unendlichkeit X und nähert sich schnell der negativen Unendlichkeit, wenn X tendiert gegen 0 („langsam“ und „schnell“ im Vergleich zu jeder Potenzfunktion von X).
Natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis , Wo e- eine irrationale Konstante, die ungefähr 2,718281 828 entspricht. Der natürliche Logarithmus wird normalerweise als ln( geschrieben X), Protokoll e (X) oder manchmal einfach log( X), wenn die Basis e impliziert.
Natürlicher Logarithmus einer Zahl X(geschrieben als ln(x)) ist der Exponent, auf den die Zahl erhöht werden muss e zu bekommen X. Zum Beispiel, ln(7.389...) ist gleich 2, weil e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e (ln(e)) ist gleich 1, weil e 1 = e, und der natürliche Logarithmus ist 1 ( ln(1)) ist gleich 0, weil e 0 = 1.
Der natürliche Logarithmus kann für jede positive reelle Zahl definiert werden A als Fläche unter der Kurve j = 1/X von 1 bis A. Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, die den natürlichen Logarithmus verwenden, führte zu der Bezeichnung „natürlich“. Diese Definition kann auf komplexe Zahlen erweitert werden, wie weiter unten erläutert wird.
Betrachten wir den natürlichen Logarithmus als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann ist er die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die zu den Identitäten führt:
Wie alle Logarithmen bildet der natürliche Logarithmus die Multiplikation auf die Addition ab:
Somit ist die logarithmische Funktion ein Isomorphismus der positiven Gruppe reelle Zahlen zur Multiplikation mit einer Gruppe reeller Zahlen durch Addition, die als Funktion dargestellt werden kann:
Der Logarithmus kann für jede positive Basis außer 1 definiert werden, nicht nur e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur um einen konstanten Faktor und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert. Logarithmen eignen sich zum Lösen von Gleichungen, die Unbekannte als Exponenten enthalten. Beispielsweise werden Logarithmen verwendet, um die Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit zu ermitteln oder um die Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen zu ermitteln. Sie spielen in vielen Bereichen der Mathematik und der angewandten Wissenschaften eine wichtige Rolle und werden im Finanzwesen zur Lösung vieler Probleme eingesetzt, darunter auch zur Ermittlung des Zinseszinses.
Geschichte
Die erste Erwähnung des natürlichen Logarithmus erfolgte durch Nicholas Mercator in seinem Werk Logarithmotechnik, veröffentlicht im Jahr 1668, obwohl der Mathematiklehrer John Spidell bereits 1619 eine Tabelle mit natürlichen Logarithmen erstellte. Früher wurde er hyperbolischer Logarithmus genannt, weil er der Fläche unter der Hyperbel entspricht. Er wird manchmal als Napier-Logarithmus bezeichnet, obwohl die ursprüngliche Bedeutung dieses Begriffs etwas anders war.
Bezeichnungskonventionen
Der natürliche Logarithmus wird normalerweise mit „ln( X)“, Logarithmus zur Basis 10 – über „lg( X)“ und andere Gründe werden in der Regel explizit mit dem Symbol „log“ gekennzeichnet.
In vielen Werken zur diskreten Mathematik, Kybernetik und Informatik verwenden Autoren die Notation „log( X)“ für Logarithmen zur Basis 2, aber diese Konvention wird nicht allgemein akzeptiert und bedarf einer Klarstellung entweder in der Liste der verwendeten Notationen oder (in Ermangelung einer solchen Liste) durch eine Fußnote oder einen Kommentar bei der ersten Verwendung.
Klammern um das Argument von Logarithmen werden normalerweise weggelassen (sofern dies nicht zu einer falschen Lesart der Formel führt) und bei der Potenzierung eines Logarithmus wird der Exponent direkt dem Vorzeichen des Logarithmus zugewiesen: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .
Angloamerikanisches System
Mathematiker, Statistiker und einige Ingenieure verwenden normalerweise den natürlichen Logarithmus oder „log( X)“ oder „ln( X)“, und um den Logarithmus zur Basis 10 zu bezeichnen – „log 10 ( X)».
Manche Ingenieure, Biologen und andere Spezialisten schreiben immer „ln( X)“ (oder gelegentlich „log e ( X)"), wenn sie den natürlichen Logarithmus meinen, und die Schreibweise „log( X)" sie meinen log 10 ( X).
Protokoll e ist ein „natürlicher“ Logarithmus, da er automatisch auftritt und in der Mathematik sehr häufig vorkommt. Betrachten Sie zum Beispiel das Problem der Ableitung einer logarithmischen Funktion:
Wenn die Basis B gleicht e, dann ist die Ableitung einfach 1/ X, und wann X= 1 ist diese Ableitung gleich 1. Ein weiterer Grund, warum die Basis e Das Natürlichste am Logarithmus ist, dass er ganz einfach als einfaches Integral oder als Taylor-Reihe definiert werden kann, was bei anderen Logarithmen nicht der Fall ist.
Weitere Begründungen für Natürlichkeit beziehen sich nicht auf die Notation. So gibt es zum Beispiel mehrere einfache Reihen mit natürlichen Logarithmen. Pietro Mengoli und Nicholas Mercator nannten sie Logarithmus naturalis mehrere Jahrzehnte, bis Newton und Leibniz die Differential- und Integralrechnung entwickelten.
Definition
Formal ln( A) kann als Fläche unter der Kurve des Diagramms 1/ definiert werden X von 1 bis A, also als Integral:
Es handelt sich tatsächlich um einen Logarithmus, da er die Grundeigenschaft des Logarithmus erfüllt:
Dies kann durch folgende Annahme nachgewiesen werden:
Numerischer Wert
Zur Berechnung Zahlenwert Um den natürlichen Logarithmus einer Zahl zu berechnen, können Sie die Taylor-Reihenentwicklung in der Form verwenden:
Zu bekommen bessere Geschwindigkeit Konvergenz können wir die folgende Identität verwenden:
Für ln( X), Wo X> 1, desto näher liegt der Wert X also auf 1 schnellere Geschwindigkeit Konvergenz. Die mit dem Logarithmus verbundenen Identitäten können verwendet werden, um das Ziel zu erreichen:
Diese Methoden wurden bereits vor dem Aufkommen von Taschenrechnern verwendet, für die numerische Tabellen verwendet und ähnliche Manipulationen wie oben beschrieben durchgeführt wurden.
Hohe Genauigkeit
Für die Berechnung des natürlichen Logarithmus mit einer großen Anzahl von Präzisionsstellen ist die Taylor-Reihe nicht effektiv, da ihre Konvergenz langsam ist. Eine Alternative besteht darin, die Newton-Methode zur Invertierung in eine Exponentialfunktion zu verwenden, deren Reihe schneller konvergiert.
Eine Alternative für eine sehr hohe Berechnungsgenauigkeit ist die Formel:
Wo M bezeichnet den arithmetisch-geometrischen Mittelwert von 1 und 4/s, und
M so gewählt, dass P Genauigkeit erreicht wird. (In den meisten Fällen ist ein Wert von 8 für m ausreichend.) Wenn diese Methode verwendet wird, kann tatsächlich die Newtonsche Umkehrung des natürlichen Logarithmus angewendet werden, um die Exponentialfunktion effizient zu berechnen. (Die Konstanten ln 2 und pi können mithilfe einer der bekannten schnell konvergenten Reihen mit der gewünschten Genauigkeit vorberechnet werden.)
Rechenkomplexität
Die Rechenkomplexität natürlicher Logarithmen (unter Verwendung des arithmetisch-geometrischen Mittels) beträgt O( M(N)ln N). Hier N ist die Anzahl der Genauigkeitsstellen, für die der natürliche Logarithmus ausgewertet werden muss, und M(N) ist die rechnerische Komplexität der Multiplikation von zwei N-stellige Zahlen.
Fortsetzungsbrüche
Obwohl es keine einfachen Kettenbrüche zur Darstellung eines Logarithmus gibt, können mehrere verallgemeinerte Kettenbrüche verwendet werden, darunter:
Komplexe Logarithmen
Die Exponentialfunktion kann zu einer Funktion erweitert werden, die eine komplexe Zahl der Form angibt e X für jede beliebige komplexe Zahl X, in diesem Fall eine unendliche Reihe mit komplexem X. Diese Exponentialfunktion kann invertiert werden, um einen komplexen Logarithmus zu bilden meistens Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen. Es gibt jedoch zwei Schwierigkeiten: Es gibt keine X, wofür e X= 0, und es stellt sich heraus, dass e 2πi = 1 = e 0 . Da die Multiplikativitätseigenschaft dann für eine komplexe Exponentialfunktion gilt e z = e z+2nπi für alle Komplexen z und ganz N.
Der Logarithmus kann nicht über die gesamte komplexe Ebene definiert werden und ist dennoch mehrwertig – jeder komplexe Logarithmus kann durch Addition eines beliebigen ganzzahligen Vielfachen von 2 durch einen „äquivalenten“ Logarithmus ersetzt werden πi. Der komplexe Logarithmus kann nur auf einem Ausschnitt der komplexen Ebene einwertig sein. Zum Beispiel, ln ich = 1/2 πi oder 5/2 πi oder −3/2 πi usw. und obwohl ich 4 = 1,4 log ich kann als 2 definiert werden πi oder 10 πi oder −6 πi, und so weiter.
Siehe auch
- John Napier – Erfinder der Logarithmen
Notizen
- Mathematik für physikalische Chemie. - 3. – Academic Press, 2005. – S. 9. – ISBN 0-125-08347-5,Auszug aus Seite 9
- J J O"Connor und E F Robertson Die Zahl e. Das MacTutor History of Mathematics-Archiv (September 2001). Archiviert
- Cajori Florian Eine Geschichte der Mathematik, 5. Auflage. – AMS Bookstore, 1991. – S. 152. – ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Schätzen von Integralen mithilfe von Polynomen. Archiviert vom Original am 12. Februar 2012.
Diagramm der natürlichen Logarithmusfunktion. Die Funktion nähert sich mit zunehmender Größe langsam der positiven Unendlichkeit X und nähert sich schnell der negativen Unendlichkeit, wenn X tendiert gegen 0 („langsam“ und „schnell“ im Vergleich zu jeder Potenzfunktion von X).
Natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis , Wo e (\displaystyle e)- eine irrationale Konstante von ungefähr 2,72. Es wird als bezeichnet ln x (\displaystyle \ln x), log e x (\displaystyle \log _(e)x) oder manchmal auch einfach log x (\displaystyle \log x), wenn die Basis e (\displaystyle e) impliziert. Mit anderen Worten, der natürliche Logarithmus einer Zahl X- Dies ist ein Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss e zu bekommen X. Diese Definition kann auf komplexe Zahlen erweitert werden.
ln e = 1 (\displaystyle \ln e=1), Weil e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), Weil e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).Der natürliche Logarithmus kann auch geometrisch für jede positive reelle Zahl definiert werden A als Fläche unter der Kurve y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) dazwischen [ 1 ; a ] (\displaystyle ). Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, die diesen Logarithmus verwenden, erklärt den Ursprung des Namens „natürlich“.
Betrachten wir den natürlichen Logarithmus als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann ist er die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die zu den Identitäten führt:
e ln a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Wie alle Logarithmen bildet der natürliche Logarithmus die Multiplikation auf die Addition ab:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (a>0, a ist ungleich 1) ist eine Zahl c mit a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Beachten Sie, dass der Logarithmus einer nicht positiven Zahl undefiniert ist. Außerdem muss die Basis des Logarithmus eine positive Zahl sein, die ungleich 1 ist. Wenn wir beispielsweise -2 quadrieren, erhalten wir die Zahl 4, aber das bedeutet nicht, dass der Logarithmus zur Basis -2 von 4 gleich ist bis 2.
Grundlegende logarithmische Identität
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Es ist wichtig, dass der Definitionsbereich der rechten und linken Seite dieser Formel unterschiedlich ist. Die linke Seite ist nur für b>0, a>0 und a ≠ 1 definiert. Die rechte Seite ist für jedes b definiert und hängt überhaupt nicht von a ab. Somit kann die Anwendung der grundlegenden logarithmischen „Identität“ beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu einer Änderung der OD führen.
Zwei offensichtliche Konsequenzen der Definition des Logarithmus
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Tatsächlich erhalten wir dieselbe Zahl, wenn wir die Zahl a auf die erste Potenz erhöhen, und wenn wir sie auf die Nullpotenz erhöhen, erhalten wir eins.
Logarithmus des Produkts und Logarithmus des Quotienten
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Ich möchte Schulkinder davor warnen, diese Formeln beim Lösen unbedacht anzuwenden logarithmische Gleichungen und Ungleichheiten. Wenn man sie „von links nach rechts“ verwendet, verengt sich die ODZ, und wenn man von der Summe oder Differenz der Logarithmen zum Logarithmus des Produkts oder Quotienten übergeht, erweitert sich die ODZ.
Tatsächlich wird der Ausdruck log a (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f (x) und g (x) beide kleiner als Null sind.
Wenn wir diesen Ausdruck in die Summe log a f (x) + log a g (x) umwandeln, müssen wir uns nur auf den Fall beschränken, wenn f(x)>0 und g(x)>0. Es kommt zu einer Einengung des akzeptablen Wertebereichs, was grundsätzlich inakzeptabel ist, da es zum Lösungsverlust führen kann. Ein ähnliches Problem besteht für Formel (6).
Der Grad kann aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Und noch einmal möchte ich zur Genauigkeit aufrufen. Betrachten Sie das folgende Beispiel:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Die linke Seite der Gleichheit ist offensichtlich für alle Werte von f(x) außer Null definiert. Die rechte Seite gilt nur für f(x)>0! Indem wir den Grad aus dem Logarithmus herausnehmen, grenzen wir die ODZ erneut ein. Das umgekehrte Vorgehen führt zu einer Erweiterung des zulässigen Wertebereichs. Alle diese Bemerkungen gelten nicht nur für Potenz 2, sondern auch für jede gerade Potenz.
Formel für den Umzug in ein neues Fundament
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Der seltene Fall, dass sich die ODZ während der Transformation nicht ändert. Wenn Sie die Basis c mit Bedacht gewählt haben (positiv und ungleich 1), ist die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis völlig sicher.
Wenn wir die Zahl b als neue Basis c wählen, erhalten wir eine wichtige Sonderfall Formeln (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Einige einfache Beispiele mit Logarithmen
Beispiel 1. Berechnen Sie: log2 + log50.
Lösung. log2 + log50 = log100 = 2. Wir haben die Formel für die Summe der Logarithmen (5) und die Definition des dezimalen Logarithmus verwendet.
Beispiel 2. Berechnen Sie: lg125/lg5.
Lösung. log125/log5 = log 5 125 = 3. Wir haben die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis (8) verwendet.
Formeltabelle für Logarithmen
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Laden...
