Kleinstes gemeinsames Vielfaches von wie. So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen

Das unten präsentierte Material ist eine logische Fortsetzung der Theorie aus dem Artikel mit dem Titel LCM – kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele, Zusammenhang zwischen LCM und GCD. Hier werden wir darüber reden Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM), Und besondere Aufmerksamkeit Konzentrieren wir uns auf die Lösung von Beispielen. Zunächst zeigen wir, wie der kgV zweier Zahlen mithilfe des GCD dieser Zahlen berechnet wird. Als nächstes schauen wir uns an, wie wir das kleinste gemeinsame Vielfache finden, indem wir Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Danach konzentrieren wir uns auf die Ermittlung des LCM von drei oder mehr Zahlen und konzentrieren uns auch auf die Berechnung des LCM von negativen Zahlen.

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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) über GCD

Eine Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Beziehung zwischen LCM und GCD. Die bestehende Verbindung zwischen LCM und GCD ermöglicht es uns, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver Ganzzahlen über einen bekannten größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Die entsprechende Formel lautet LCM(a, b)=ab:GCD(a, b) . Schauen wir uns Beispiele für die Ermittlung des LCM mithilfe der angegebenen Formel an.

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen 126 und 70.

Lösung.

In diesem Beispiel a=126 , b=70 . Nutzen wir den Zusammenhang zwischen LCM und GCD, ausgedrückt durch die Formel LCM(a, b)=ab:GCD(a, b). Das heißt, wir müssen zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70 und 126 finden, woraufhin wir den kgV dieser Zahlen mithilfe der geschriebenen Formel berechnen können.

Finden wir GCD(126, 70) mit dem euklidischen Algorithmus: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, also GCD(126, 70)=14.

Jetzt ermitteln wir das erforderliche kleinste gemeinsame Vielfache: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Antwort:

LCM(126, 70)=630 .

Beispiel.

Was ist LCM(68, 34) gleich?

Lösung.

Weil 68 ist durch 34 teilbar, dann ist GCD(68, 34)=34. Jetzt berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Antwort:

LCM(68, 34)=68 .

Beachten Sie, dass das vorherige Beispiel die folgende Regel zum Ermitteln des LCM für positive ganze Zahlen a und b erfüllt: Wenn die Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen a.

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, besteht darin, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn Sie ein Produkt aus allen Primfaktoren gegebener Zahlen zusammenstellen und dann aus diesem Produkt alle gemeinsamen Primfaktoren ausschließen, die in den Zerlegungen der gegebenen Zahlen vorkommen, dann ist das resultierende Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der gegebenen Zahlen .

Die angegebene Regel zum Finden des LCM folgt aus der Gleichheit LCM(a, b)=ab:GCD(a, b). Tatsächlich ist das Produkt der Zahlen a und b gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung der Zahlen a und b beteiligt sind. GCD(a, b) ist wiederum gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Entwicklungen der Zahlen a und b vorkommen (wie im Abschnitt zum Ermitteln des GCD mithilfe der Entwicklung von Zahlen in Primfaktoren beschrieben).

Geben wir ein Beispiel. Lassen Sie uns wissen, dass 75=3·5·5 und 210=2·3·5·7. Stellen wir das Produkt aus allen Faktoren dieser Entwicklungen zusammen: 2·3·3·5·5·5·7 . Aus diesem Produkt schließen wir nun alle Faktoren aus, die sowohl in der Entwicklung der Zahl 75 als auch in der Entwicklung der Zahl 210 vorkommen (solche Faktoren sind 3 und 5), dann wird das Produkt die Form 2·3·5·5·7 annehmen . Der Wert dieses Produkts entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 75 und 210, d. h. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Beispiel.

Zerlegen Sie die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren und ermitteln Sie das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Lösung.

Zerlegen wir die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren:

Wir erhalten 441=3·3·7·7 und 700=2·2·5·5·7.

Lassen Sie uns nun ein Produkt aus allen Faktoren erstellen, die an der Entwicklung dieser Zahlen beteiligt sind: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Schließen wir aus diesem Produkt alle Faktoren aus, die in beiden Erweiterungen gleichzeitig vorhanden sind (es gibt nur einen solchen Faktor – das ist die Zahl 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Daher, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Antwort:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Die Regel zum Ermitteln des LCM mithilfe der Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren kann etwas anders formuliert werden. Wenn die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Zahl b zu den Faktoren aus der Entwicklung der Zahl a addiert werden, dann ist der Wert des resultierenden Produkts gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a und b.

Nehmen wir zum Beispiel die gleichen Zahlen 75 und 210, ihre Zerlegung in Primfaktoren ist wie folgt: 75=3·5·5 und 210=2·3·5·7. Zu den Faktoren 3, 5 und 5 aus der Entwicklung der Zahl 75 addieren wir die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der Entwicklung der Zahl 210, wir erhalten das Produkt 2·3·5·5·7, dessen Wert ist gleich LCM(75, 210).

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Lösung.

Wir erhalten zunächst die Zerlegungen der Zahlen 84 und 648 in Primfaktoren. Sie sehen aus wie 84=2·2·3·7 und 648=2·2·2·3·3·3·3. Zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 aus der Entwicklung der Zahl 84 addieren wir die fehlenden Faktoren 2, 3, 3 und 3 aus der Entwicklung der Zahl 648, wir erhalten das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, was 4 536 entspricht. Somit ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648 4.536.

Antwort:

LCM(84, 648)=4.536 .

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen kann ermittelt werden, indem nacheinander das kgV von zwei Zahlen ermittelt wird. Erinnern wir uns an den entsprechenden Satz, der eine Möglichkeit bietet, das kgV von drei oder mehr Zahlen zu ermitteln.

Satz.

Seien positive ganze Zahlen a 1 , a 2 , …, a k gegeben, das kleinste gemeinsame Vielfache m k dieser Zahlen wird durch sequentielle Berechnung von m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ermittelt 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Betrachten wir die Anwendung dieses Theorems am Beispiel der Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von vier Zahlen.

Beispiel.

Finden Sie den LCM der vier Zahlen 140, 9, 54 und 250.

Lösung.

In diesem Beispiel ist a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Zuerst finden wir m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Dazu bestimmen wir mit dem Euklidischen Algorithmus GCD(140, 9), wir haben 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, daher GCD(140, 9)=1 , von wo GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Das heißt, m 2 =1 260.

Jetzt finden wir m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Berechnen wir es über GCD(1 260, 54), das wir ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus ermitteln: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Dann ist ggT(1,260, 54)=18, woraus ggT(1,260, 54)= 1,260·54:ggT(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Das heißt, m 3 =3 780.

Es bleibt nur noch zu finden m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Dazu ermitteln wir GCD(3.780, 250) mithilfe des euklidischen Algorithmus: 3.780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Daher ist GCM(3.780, 250)=10, woraus GCM(3.780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Das heißt, m 4 =94.500.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen vier Zahlen ist also 94.500.

Antwort:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In vielen Fällen ist es praktisch, das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen mithilfe der Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahlen zu ermitteln. In diesem Fall sollten Sie sich an die folgende Regel halten. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkt, das sich wie folgt zusammensetzt: Die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl werden zu allen Faktoren aus der Entwicklung der ersten Zahl addiert, die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung von die dritte Zahl wird zu den resultierenden Faktoren addiert und so weiter.

Schauen wir uns ein Beispiel für die Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Primfaktorzerlegung an.

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der fünf Zahlen 84, 6, 48, 7, 143.

Lösung.

Zuerst erhalten wir Zerlegungen dieser Zahlen in Primfaktoren: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ist eine Primzahl, sie stimmt überein mit seiner Zerlegung in Primfaktoren) und 143=11·13.

Um den LCM dieser Zahlen zu ermitteln, müssen Sie zu den Faktoren der ersten Zahl 84 (es sind 2, 2, 3 und 7) die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl 6 hinzufügen. Die Zerlegung der Zahl 6 enthält keine fehlenden Faktoren, da sowohl 2 als auch 3 bereits in der Zerlegung der ersten Zahl 84 vorhanden sind. Als nächstes fügen wir zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Entwicklung der dritten Zahl 48 hinzu, wir erhalten eine Reihe von Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7. Es ist im nächsten Schritt nicht erforderlich, diesem Set Multiplikatoren hinzuzufügen, da 7 bereits darin enthalten ist. Zu den Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7 fügen wir schließlich die fehlenden Faktoren 11 und 13 aus der Entwicklung der Zahl 143 hinzu. Wir erhalten das Produkt 2·2·2·2·3·7·11·13, was 48.048 entspricht.

Beginnen wir mit der Untersuchung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von zwei oder mehr Zahlen. In diesem Abschnitt definieren wir den Begriff, betrachten den Satz, der den Zusammenhang zwischen dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem größten gemeinsamen Teiler herstellt, und geben Beispiele für die Lösung von Problemen.

Gemeinsame Vielfache – Definition, Beispiele

In diesem Thema interessieren wir uns nur für gemeinsame Vielfache ganzer Zahlen ungleich Null.

Definition 1

Gemeinsames Vielfaches ganzer Zahlen ist eine ganze Zahl, die ein Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist. Tatsächlich handelt es sich um jede ganze Zahl, die durch jede der angegebenen Zahlen geteilt werden kann.

Die Definition gemeinsamer Vielfacher bezieht sich auf zwei, drei oder mehr ganze Zahlen.

Beispiel 1

Gemäß der oben gegebenen Definition sind die gemeinsamen Vielfachen der Zahl 12 3 und 2. Außerdem ist die Zahl 12 ein gemeinsames Vielfaches der Zahlen 2, 3 und 4. Die Zahlen 12 und -12 sind gemeinsame Vielfache der Zahlen ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Gleichzeitig wird das gemeinsame Vielfache der Zahlen 2 und 3 die Zahlen 12, 6, − 24, 72, 468, − 100.010.004 und eine ganze Reihe anderer sein.

Wenn wir Zahlen nehmen, die durch die erste Zahl eines Paares teilbar und durch die zweite nicht teilbar sind, dann sind diese Zahlen keine gemeinsamen Vielfachen. Für die Zahlen 2 und 3 sind die Zahlen 16, − 27, 5009, 27001 also keine gemeinsamen Vielfachen.

0 ist ein gemeinsames Vielfaches einer beliebigen Menge von ganzen Zahlen außer Null.

Wenn wir uns an die Eigenschaft der Teilbarkeit in Bezug auf entgegengesetzte Zahlen erinnern, stellt sich heraus, dass eine ganze Zahl k ein gemeinsames Vielfaches dieser Zahlen sein wird, genau wie die Zahl - k. Das bedeutet, dass gemeinsame Teiler entweder positiv oder negativ sein können.

Ist es möglich, das LCM für alle Zahlen zu finden?

Das gemeinsame Vielfache kann für jede ganze Zahl gefunden werden.

Beispiel 2

Angenommen, wir sind gegeben k ganze Zahlen a 1 , a 2 , … , a k. Die Zahl, die wir erhalten, wenn wir Zahlen multiplizieren a 1 · a 2 · … · a k entsprechend der Teilbarkeitseigenschaft wird es in jeden der Faktoren aufgeteilt, die im Originalprodukt enthalten waren. Dies bedeutet, dass das Produkt von Zahlen a 1 , a 2 , … , a k ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Wie viele gemeinsame Vielfache können diese ganzen Zahlen haben?

Eine Gruppe von ganzen Zahlen kann haben große Zahl gemeinsame Vielfache. Tatsächlich ist ihre Zahl unendlich.

Beispiel 3

Angenommen, wir haben eine Zahl k. Dann ist das Produkt der Zahlen k · z, wobei z eine ganze Zahl ist, ein gemeinsames Vielfaches der Zahlen k und z. Da die Zahl der Zahlen unendlich ist, ist auch die Zahl der gemeinsamen Vielfachen unendlich.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) – Definition, Notation und Beispiele

Erinnern Sie sich an das Konzept der kleinsten Zahl aus einer gegebenen Zahlenmenge, das wir im Abschnitt „Ganzzahlen vergleichen“ besprochen haben. Unter Berücksichtigung dieses Konzepts formulieren wir die Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, das unter allen gemeinsamen Vielfachen die größte praktische Bedeutung hat.

Definition 2

Kleinstes gemeinsames Vielfaches gegebener Ganzzahlen ist das kleinste positive gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Für jede beliebige Anzahl gegebener Zahlen gibt es ein kleinstes gemeinsames Vielfaches. Die in der Referenzliteratur am häufigsten verwendete Abkürzung für das Konzept ist NOC. Kurzschreibweise für das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen a 1 , a 2 , … , a k wird die Form LOC haben (a 1 , a 2 , … , a k).

Beispiel 4

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 7 ist 42. Diese. LCM(6, 7) = 42. Das kleinste gemeinsame Vielfache der vier Zahlen 2, 12, 15 und 3 ist 60. Eine kurze Notation sieht so aus: LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist nicht für alle Gruppen gegebener Zahlen offensichtlich. Oft muss es berechnet werden.

Beziehung zwischen NOC und GCD

Das kleinste gemeinsame Vielfache und der größte gemeinsame Teiler hängen zusammen. Die Beziehung zwischen Konzepten wird durch den Satz hergestellt.

Satz 1

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver Ganzzahlen a und b ist gleich dem Produkt von a und b dividiert durch den größten gemeinsamen Teiler von a und b, d. h. LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Beweis 1

Angenommen, wir haben eine Zahl M, die ein Vielfaches der Zahlen a und b ist. Wenn die Zahl M durch a teilbar ist, gibt es auch eine ganze Zahl z , unter der die Gleichheit wahr ist M = ein k. Gemäß der Definition der Teilbarkeit, wenn M teilbar ist durch B, Dann a · k geteilt durch B.

Wenn wir eine neue Notation für gcd (a, b) as einführen D, dann können wir die Gleichungen verwenden a = a 1 d und b = b 1 · d. In diesem Fall sind beide Gleichungen relativ Primzahlen.

Das haben wir oben bereits festgestellt a · k geteilt durch B. Nun kann diese Bedingung wie folgt geschrieben werden:
a 1 d k geteilt durch b 1 d, was der Bedingung entspricht ein 1 k geteilt durch b 1 nach den Eigenschaften der Teilbarkeit.

Nach der Eigenschaft von teilerfremden Zahlen, wenn eine 1 Und b 1– Koprimzahlen, eine 1 nicht teilbar durch b 1 trotz der Tatsache, dass ein 1 k geteilt durch b 1, Das b 1 müssen geteilt werden k.

In diesem Fall wäre es angemessen anzunehmen, dass es eine Zahl gibt T, wofür k = b 1 t, und da b 1 = b: d, Das k = b: d t.

Jetzt statt k lasst uns in Gleichheit ersetzen M = ein k Ausdruck der Form b: d t. Dadurch erreichen wir Gleichberechtigung M = a b: d t. Bei t = 1 Wir können das kleinste positive gemeinsame Vielfache von a und b erhalten , gleich a b: d, sofern die Zahlen a und b positiv.

Wir haben also bewiesen, dass LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Wenn Sie eine Verbindung zwischen LCM und GCD herstellen, können Sie das kleinste gemeinsame Vielfache durch den größten gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr gegebenen Zahlen ermitteln.

Definition 3

Der Satz hat zwei wichtige Konsequenzen:

• Vielfache des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen sind gleich den gemeinsamen Vielfachen dieser beiden Zahlen;
• Das kleinste gemeinsame Vielfache der gegenseitig primitiv positiven Zahlen a und b ist gleich ihrem Produkt.

Es ist nicht schwer, diese beiden Tatsachen zu belegen. Jedes gemeinsame Vielfache von M der Zahlen a und b wird durch die Gleichheit M = LCM (a, b) · t für einen ganzzahligen Wert t definiert. Da a und b teilerfremd sind, ist ggT (a, b) = 1, also ggT (a, b) = a · b: ggT (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von drei oder mehr Zahlen

Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu finden, müssen Sie nacheinander das kgV zweier Zahlen ermitteln.

Satz 2

Nehmen wir das an a 1 , a 2 , … , a k sind einige positive ganze Zahlen. Zur Berechnung des LCM m k Diese Zahlen müssen wir nacheinander berechnen m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Beweis 2

Die erste Folgerung aus dem ersten Satz, die in diesem Thema besprochen wird, wird uns helfen, die Gültigkeit des zweiten Satzes zu beweisen. Die Argumentation basiert auf dem folgenden Algorithmus:

• gemeinsame Vielfache von Zahlen eine 1 Und eine 2 stimmen mit Vielfachen ihres LCM überein, tatsächlich stimmen sie mit Vielfachen der Zahl überein m 2;
• gemeinsame Vielfache von Zahlen eine 1, eine 2 Und eine 3 m 2 Und eine 3 m 3;
• gemeinsame Vielfache von Zahlen a 1 , a 2 , … , a k fallen mit gemeinsamen Vielfachen von Zahlen zusammen m k - 1 Und ein k stimmen daher mit Vielfachen der Zahl überein m k;
• aufgrund der Tatsache, dass das kleinste positive Vielfache der Zahl m k ist die Zahl selbst m k, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a 1 , a 2 , … , a k Ist m k.

So haben wir den Satz bewiesen.

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Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache?

Wir müssen jeden Faktor jeder der beiden Zahlen finden, für den wir das kleinste gemeinsame Vielfache finden, und dann die Faktoren, die in der ersten und zweiten Zahl übereinstimmen, miteinander multiplizieren. Das Ergebnis des Produkts ist das erforderliche Vielfache.

Wir haben zum Beispiel die Zahlen 3 und 5 und müssen das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ermitteln. Uns müssen sich vermehren und drei und fünf für alle Zahlen beginnend mit 1 2 3 ... und so weiter, bis wir an beiden Stellen die gleiche Zahl sehen.

Multiplizieren Sie drei und erhalten Sie: 3, 6, 9, 12, 15

Multiplizieren Sie mit fünf und erhalten Sie: 5, 10, 15

Die Methode der Primfaktorzerlegung ist die klassischste Methode zum Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) mehrerer Zahlen. Diese Methode wird im folgenden Video anschaulich und einfach demonstriert:

Addieren, multiplizieren, dividieren, reduzieren auf gemeinsamer Nenner und andere Rechenoperationen sind eine sehr spannende Tätigkeit; besonders faszinierend sind die Beispiele, die ein ganzes Blatt Papier einnehmen.

Finden Sie also das gemeinsame Vielfache zweier Zahlen, das die kleinste Zahl ist, durch die die beiden Zahlen teilbar sind. Ich möchte anmerken, dass es in Zukunft nicht notwendig ist, auf Formeln zurückzugreifen, um das Gesuchte zu finden. Wenn Sie in Ihrem Kopf zählen können (und das kann man trainieren), dann tauchen die Zahlen selbst in Ihrem Kopf auf und dann knacken die Brüche wie Nüsse.

Lassen Sie uns zunächst lernen, dass Sie zwei Zahlen miteinander multiplizieren und diese Zahl dann reduzieren und abwechselnd durch diese beiden Zahlen dividieren können, um das kleinste Vielfache zu finden.

Zum Beispiel zwei Zahlen, 15 und 6. Multiplizieren Sie und erhalten Sie 90. Dies ist eindeutig eine größere Zahl. Außerdem ist 15 durch 3 teilbar und 6 ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass wir auch 90 durch 3 teilen. Wir erhalten 30. Wir versuchen, 30 dividiert 15 gleich 2. Und 30 dividiert 6 gleich 5. Da 2 die Grenze ist, dreht es sich Beachten Sie, dass das kleinste Vielfache für Zahlen 15 ist und 6 30 ist.

Bei größeren Zahlen wird es etwas schwieriger. Aber wenn man weiß, welche Zahlen beim Dividieren oder Multiplizieren einen Nullrest ergeben, dann gibt es im Prinzip keine großen Schwierigkeiten.

• So finden Sie NOC

  Hier ist ein Video, das Ihnen zwei Möglichkeiten zeigt, das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zu finden. Nachdem Sie die erste der vorgeschlagenen Methoden geübt haben, können Sie besser verstehen, was das kleinste gemeinsame Vielfache ist.

Ich präsentiere eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden. Schauen wir es uns anhand eines klaren Beispiels an.

Sie müssen den LCM von drei Zahlen gleichzeitig ermitteln: 16, 20 und 28.

• Wir stellen jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar:
• Wir schreiben die Potenzen aller Primfaktoren auf:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Wir wählen alle Primteiler (Multiplikatoren) mit den größten Potenzen aus, multiplizieren sie und ermitteln das LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Das Ergebnis der Berechnung war also die Zahl 560. Sie ist das kleinste gemeinsame Vielfache, das heißt, sie ist ohne Rest durch jede der drei Zahlen teilbar.

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eine Zahl, die ohne Rest durch mehrere gegebene Zahlen geteilt werden kann. Um eine solche Zahl zu berechnen, müssen Sie jede Zahl in einfache Faktoren zerlegen. Die übereinstimmenden Zahlen werden entfernt. Verlassen Sie alle einzeln, multiplizieren Sie sie der Reihe nach untereinander und erhalten Sie das gewünschte Vielfache – das kleinste gemeinsame Vielfache.

NOC, oder kleinstes gemeinsames Vielfaches ist die kleinste natürliche Zahl von zwei oder mehr Zahlen, die durch jede der gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Hier ist ein Beispiel dafür, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache von 30 und 42 ermittelt.

• Der erste Schritt besteht darin, diese Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Für 30 ist es 2 x 3 x 5.

Für 42 ist das 2 x 3 x 7. Da 2 und 3 in der Erweiterung der Zahl 30 liegen, streichen wir sie durch.

• Wir schreiben die Faktoren auf, die in die Entwicklung der Zahl 30 eingehen. Das ist 2 x 3 x 5.
• Jetzt müssen wir sie mit dem fehlenden Faktor multiplizieren, den wir bei der Erweiterung von 42 haben, also 7. Wir erhalten 2 x 3 x 5 x 7.
• Wir finden heraus, was 2 x 3 x 5 x 7 ist, und erhalten 210.

Als Ergebnis finden wir, dass der LCM der Zahlen 30 und 42 210 beträgt.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen Sie mehrere nacheinander ausführen einfache Aktionen. Schauen wir uns das am Beispiel zweier Zahlen an: 8 und 12

1. Wir zerlegen beide Zahlen in Primfaktoren: 8=2*2*2 und 12=3*2*2
2. Wir reduzieren die gleichen Faktoren einer der Zahlen. In unserem Fall fallen 2 * 2 zusammen, reduzieren wir sie auf die Zahl 12, dann bleibt für 12 ein Faktor übrig: 3.
3. Finden Sie das Produkt aller verbleibenden Faktoren: 2*2*2*3=24

Bei der Überprüfung stellen wir sicher, dass 24 sowohl durch 8 als auch durch 12 teilbar ist und dass dies die kleinste natürliche Zahl ist, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. Hier sind wir das kleinste gemeinsame Vielfache gefunden.

Ich versuche es am Beispiel der Zahlen 6 und 8 zu erklären. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eine Zahl, die durch diese Zahlen geteilt werden kann (in unserem Fall 6 und 8) und es keinen Rest gibt.

Also beginnen wir zunächst mit der Multiplikation von 6 mit 1, 2, 3 usw. und 8 mit 1, 2, 3 usw.

Ein Vielfaches ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine bestimmte Zahl teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) einer Zahlengruppe ist die kleinste Zahl, die durch jede Zahl in der Gruppe ohne Rest teilbar ist. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen Sie die Primfaktoren gegebener Zahlen ermitteln. Der LCM kann auch mit einer Reihe anderer Methoden berechnet werden, die für Gruppen von zwei oder mehr Zahlen gelten.

Schritte

Serie von Multiples

Schauen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode eignet sich am besten, wenn zwei Zahlen angegeben werden, von denen jede kleiner als 10 ist. Falls angegeben große Zahlen, verwenden Sie eine andere Methode.

• Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 8. Da es sich um kleine Zahlen handelt, können Sie diese Methode verwenden.

1. Ein Vielfaches ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine bestimmte Zahl teilbar ist. Vielfache finden Sie in der Multiplikationstabelle.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind, sind beispielsweise: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Schreiben Sie eine Reihe von Zahlen auf, die ein Vielfaches der ersten Zahl sind. Tun Sie dies unter Vielfachen der ersten Zahl, um zwei Zahlenreihen zu vergleichen.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 8 sind, sind beispielsweise: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 und 64.

3. Finden Sie die kleinste Zahl, die in beiden Mengen von Vielfachen vorhanden ist. Möglicherweise müssen Sie lange Serien von Vielfachen schreiben, um sie zu finden Gesamtzahl. Die kleinste Zahl, die in beiden Mengen von Vielfachen vorhanden ist, ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

   • Zum Beispiel, die kleinste Zahl, die in der Reihe der Vielfachen von 5 und 8 vorkommt, ist die Zahl 40. Daher ist 40 das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 8.

   Primfaktorzerlegung

   1. Schauen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode eignet sich am besten, wenn zwei Zahlen angegeben werden, von denen jede größer als 10 ist. Wenn kleinere Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

      • Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 84. Jede der Zahlen ist größer als 10, daher können Sie diese Methode verwenden.

   2. Zerlegen Sie die erste Zahl in Primfaktoren. Das heißt, Sie müssen solche Primzahlen finden, die bei Multiplikation eine bestimmte Zahl ergeben. Wenn Sie die Primfaktoren gefunden haben, schreiben Sie sie als Gleichungen.

      • Zum Beispiel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Und 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Somit sind die Primfaktoren der Zahl 20 die Zahlen 2, 2 und 5. Schreiben Sie sie als Ausdruck: .

   3. Zerlegen Sie die zweite Zahl in Primfaktoren. Machen Sie dies auf die gleiche Weise, wie Sie die erste Zahl faktorisiert haben, d. h. finden Sie solche Primzahlen, die bei Multiplikation die gegebene Zahl ergeben.

      • Zum Beispiel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Und 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Somit sind die Primfaktoren der Zahl 84 die Zahlen 2, 7, 3 und 2. Schreiben Sie sie als Ausdruck: .

   4. Notieren Sie die gemeinsamen Faktoren beider Zahlen. Schreiben Sie solche Faktoren als Multiplikationsoperation. Wenn Sie jeden Faktor schreiben, streichen Sie ihn in beiden Ausdrücken durch (Ausdrücke, die die Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren beschreiben).

      • Zum Beispiel haben beide Zahlen einen gemeinsamen Faktor von 2, also schreiben Sie 2 × (\displaystyle 2\times ) und streiche die 2 in beiden Ausdrücken durch.
      • Was beide Zahlen gemeinsam haben, ist ein weiterer Faktor von 2, also schreiben Sie 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) und streichen Sie die zweite 2 in beiden Ausdrücken durch.

   5. Addieren Sie die verbleibenden Faktoren zur Multiplikationsoperation. Dabei handelt es sich um Faktoren, die in beiden Ausdrücken nicht durchgestrichen sind, also Faktoren, die nicht beiden Zahlen gemeinsam sind.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Beide Zweien (2) sind durchgestrichen, da es sich um gemeinsame Faktoren handelt. Der Faktor 5 ist nicht durchgestrichen, daher schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Im Ausdruck 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) beide Zweien (2) sind ebenfalls durchgestrichen. Die Faktoren 7 und 3 sind nicht durchgestrichen, daher schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen in der schriftlichen Multiplikationsoperation.

      • Zum Beispiel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 84 ist also 420.

   Gemeinsame Faktoren finden

   1. Zeichnen Sie ein Raster wie für eine Partie Tic-Tac-Toe. Ein solches Gitter besteht aus zwei parallelen Linien, die sich (im rechten Winkel) mit zwei weiteren parallelen Linien schneiden. Dadurch erhalten Sie drei Zeilen und drei Spalten (das Raster ähnelt stark dem #-Symbol). Schreiben Sie die erste Zahl in die erste Zeile und die zweite Spalte. Schreiben Sie die zweite Zahl in die erste Zeile und die dritte Spalte.

      • Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 18 und 30. Schreiben Sie die Zahl 18 in die erste Zeile und die zweite Spalte und die Zahl 30 in die erste Zeile und die dritte Spalte.

   2. Finden Sie den gemeinsamen Teiler beider Zahlen. Schreiben Sie es in die erste Zeile und die erste Spalte. Es ist besser, nach Primfaktoren zu suchen, dies ist jedoch keine Voraussetzung.

      • Beispielsweise sind 18 und 30 gerade Zahlen, daher ist ihr gemeinsamer Faktor 2. Schreiben Sie also 2 in die erste Zeile und die erste Spalte.

   3. Teilen Sie jede Zahl durch den ersten Teiler. Notieren Sie jeden Quotienten unter der entsprechenden Zahl. Ein Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen.

      • Zum Beispiel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), also schreibe 9 unter 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), also notieren Sie 15 unter 30.

   4. Finden Sie den gemeinsamen Teiler beider Quotienten. Wenn es keinen solchen Teiler gibt, überspringen Sie die nächsten beiden Schritte. Andernfalls schreiben Sie den Teiler in die zweite Zeile und die erste Spalte.

      • Beispielsweise sind 9 und 15 durch 3 teilbar, also schreiben Sie 3 in die zweite Zeile und die erste Spalte.

   5. Teilen Sie jeden Quotienten durch seinen zweiten Teiler. Schreiben Sie jedes Divisionsergebnis unter den entsprechenden Quotienten.

      • Zum Beispiel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), also schreibe 3 unter 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), also schreibe 5 unter 15.

   6. Fügen Sie bei Bedarf weitere Zellen zum Raster hinzu. Wiederholen Sie die beschriebenen Schritte, bis die Quotienten einen gemeinsamen Teiler haben.

   7. Kreisen Sie die Zahlen in der ersten Spalte und der letzten Zeile des Rasters ein. Schreiben Sie dann die ausgewählten Zahlen als Multiplikationsoperation.

      • Beispielsweise befinden sich die Zahlen 2 und 3 in der ersten Spalte und die Zahlen 3 und 5 in der letzten Zeile. Schreiben Sie die Multiplikationsoperation also wie folgt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Finden Sie das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen. Dadurch wird das kleinste gemeinsame Vielfache zweier gegebener Zahlen berechnet.

      • Zum Beispiel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30 ist also 90.

   Euklids Algorithmus

   1. Denken Sie an die Terminologie im Zusammenhang mit der Divisionsoperation. Die Dividende ist die Zahl, die geteilt wird. Der Divisor ist die Zahl, durch die dividiert wird. Ein Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen. Ein Rest ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn zwei Zahlen geteilt werden.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) Ost. 3:
        15 ist die Dividende
        6 ist ein Teiler
        2 ist Quotient
        3 ist der Rest.

Den Schülern werden viele Aufgaben in Mathematik gestellt. Darunter gibt es sehr oft Probleme mit der folgenden Formulierung: Es gibt zwei Bedeutungen. Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen? Es ist notwendig, solche Aufgaben ausführen zu können, da die erworbenen Fähigkeiten dazu dienen, mit Brüchen zu arbeiten verschiedene Nenner. In diesem Artikel schauen wir uns an, wie man LOC und grundlegende Konzepte findet.

Bevor Sie die Antwort auf die Frage finden, wie man LCM findet, müssen Sie den Begriff „Mehrfach“ definieren. Am häufigsten klingt die Formulierung dieses Konzepts wie folgt: Ein Vielfaches eines bestimmten Wertes A ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist. Für 4 sind die Vielfachen also 8, 12, 16, 20. und so weiter, bis zur erforderlichen Grenze.

Darüber hinaus kann die Anzahl der Teiler für einen bestimmten Wert begrenzt werden, die Vielfachen sind jedoch unendlich viele. Es gibt auch den gleichen Wert für natürliche Werte. Dies ist ein Indikator, der ohne Rest in sie geteilt wird. Nachdem wir das Konzept des kleinsten Werts für bestimmte Indikatoren verstanden haben, gehen wir nun dazu über, wie man ihn findet.

Das NOC finden

Das kleinste Vielfache von zwei oder mehr Exponenten ist das kleinste natürliche Zahl, die vollständig durch alle angegebenen Zahlen teilbar ist.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, einen solchen Wert zu ermitteln Betrachten Sie die folgenden Methoden:

1. Wenn die Zahlen klein sind, schreiben Sie alle durch sie teilbaren Zahlen auf eine Linie. Machen Sie so weiter, bis Sie eine Gemeinsamkeit zwischen ihnen feststellen. In der Schrift werden sie mit dem Buchstaben K bezeichnet. Beispielsweise ist für 4 und 3 das kleinste Vielfache 12.
2. Wenn diese groß sind oder Sie ein Vielfaches von 3 oder mehr Werten ermitteln müssen, sollten Sie eine andere Technik verwenden, bei der Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden. Legen Sie zuerst das größte aufgelistete Exemplar aus, dann alle anderen. Jeder von ihnen hat seine eigene Anzahl an Multiplikatoren. Als Beispiel zerlegen wir 20 (2*2*5) und 50 (5*5*2). Unterstreichen Sie für den kleineren die Faktoren und addieren Sie sie zum größten. Das Ergebnis ist 100, was das kleinste gemeinsame Vielfache der oben genannten Zahlen ist.
3. Beim Finden von 3 Zahlen (16, 24 und 36) gelten die gleichen Prinzipien wie bei den anderen beiden. Erweitern wir jeden von ihnen: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Nur zwei Zweier aus der Entwicklung der Zahl 16 wurden nicht in die Entwicklung der größten Zahl einbezogen. Wir addieren sie und erhalten 144, was das kleinste Ergebnis für die zuvor angegebenen Zahlenwerte ist.

Jetzt wissen wir, wie man im Allgemeinen den kleinsten Wert für zwei, drei oder mehr Werte ermittelt. Es gibt jedoch auch private Methoden, hilft bei der Suche nach NOC, wenn die vorherigen nicht helfen.

So finden Sie GCD und NOC.

Private Fundmethoden

Wie bei jedem mathematischen Abschnitt gibt es Sonderfälle bei der Suche nach LCM, die in bestimmten Situationen hilfreich sind:

• Wenn eine der Zahlen ohne Rest durch die anderen teilbar ist, dann ist das kleinste Vielfache dieser Zahlen gleich ihr (das LCM von 60 und 15 ist 15);
• Relativ Primzahlen haben keine gemeinsamen Primfaktoren. Ihr kleinster Wert ist gleich dem Produkt dieser Zahlen. Für die Zahlen 7 und 8 sind es also 56;
• Die gleiche Regel gilt für andere Fälle, auch für spezielle Fälle, über die in der Fachliteratur nachgelesen werden kann. Dies sollte auch Fälle der Zerlegung zusammengesetzter Zahlen einschließen, die Gegenstand einzelner Artikel und sogar Dissertationen von Kandidaten sind.

Sonderfälle kommen seltener vor als Standardbeispiele. Aber dank ihnen können Sie lernen, mit Brüchen unterschiedlicher Komplexität zu arbeiten. Dies gilt insbesondere für Brüche, wo es ungleiche Nenner gibt.

Einige Beispiele

Schauen wir uns einige Beispiele an, die Ihnen helfen, das Prinzip der Suche nach dem kleinsten Vielfachen zu verstehen:

1. Finden Sie das LOC (35; 40). Wir zerlegen zuerst 35 = 5*7, dann 40 = 5*8. Addiere 8 zur kleinsten Zahl und erhalte LOC 280.
2. NOC (45; 54). Wir zerlegen jedes davon: 45 = 3*3*5 und 54 = 3*3*6. Wir addieren die Zahl 6 zu 45. Wir erhalten einen LCM von 270.
3. Nun, das letzte Beispiel. Es gibt 5 und 4. Davon gibt es keine Primzahl-Vielfachen, daher ist das kleinste gemeinsame Vielfache in diesem Fall ihr Produkt, das gleich 20 ist.

Dank der Beispiele können Sie verstehen, wie sich das NOC befindet, welche Nuancen es gibt und welche Bedeutung solche Manipulationen haben.

NOC zu finden ist viel einfacher, als es zunächst scheinen mag. Dazu werden sowohl einfache Erweiterungen als auch Multiplikationen einfacher Werte miteinander verwendet. Die Fähigkeit, mit diesem Teil der Mathematik zu arbeiten, hilft beim weiteren Studium mathematischer Themen, insbesondere von Brüchen unterschiedlicher Komplexität.

Vergessen Sie nicht, regelmäßig Beispiele zu lösen verschiedene Methoden Dadurch wird der logische Apparat weiterentwickelt und Sie können sich zahlreiche Begriffe merken. Erfahren Sie, wie Sie einen solchen Exponenten finden, und Sie werden in den restlichen Mathematikabschnitten gute Ergebnisse erzielen. Viel Spaß beim Mathe-Lernen!

Video

Dieses Video hilft Ihnen zu verstehen und sich daran zu erinnern, wie Sie das kleinste gemeinsame Vielfache finden.