Logarithmus zu einer beliebigen Basis. Grundlegende logarithmische Identität

Haupteigenschaften.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identische Gründe

Log6 4 + log6 9.

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Übergang zu einer neuen Stiftung

Lass es gegeben sein Logarithmus-Log Axt. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich den Exponenten zu merken, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist gleich 2,7 und doppelt so groß wie das Geburtsjahr von Leo Nikolajewitsch Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

2.

3.

4. Wo .

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Beispiel 3. Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also fangen wir an.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Schlüsselpunkt Hier - identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen bei der Berechnung logarithmischer Ausdruck auch wenn seine einzelnen Teile nicht gezählt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Logarithmusformeln. Beispiellösungen für Logarithmen.

Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln sind in der konventionellen Medizin selten zu finden numerische Ausdrücke. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Berücksichtigung der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit die gleiche Grundlage, wir bekommen:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – sie sind vielmehr Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus von b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine Potenz x() zu finden, bei der die Gleichheit erfüllt ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Es ist notwendig, die oben genannten Eigenschaften zu kennen, da fast alle Probleme und Beispiele im Zusammenhang mit Logarithmen auf ihrer Grundlage gelöst werden. Der Rest der exotischen Eigenschaften kann durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formel für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) stößt man häufig darauf. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gebräuchlichsten Logarithmen sind solche, bei denen die Basis gerade zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird üblicherweise als dezimaler Logarithmus bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus der Aufnahme geht klar hervor, dass die Grundlagen in der Aufnahme nicht festgeschrieben sind. Zum Beispiel

Ein natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis ein Exponent ist (bezeichnet mit ln(x)).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich den Exponenten zu merken, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist gleich 2,7 und doppelt so groß wie das Geburtsjahr von Leo Nikolajewitsch Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei wird mit bezeichnet

Die Ableitung des Logarithmus einer Funktion ist gleich eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Beziehung bestimmt

Das bereitgestellte Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern, werde ich nur einige gängige Beispiele aus dem Lehrplan von Schulen und Universitäten nennen.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

2.
Durch die Eigenschaft der Differenz von Logarithmen haben wir

3.
Mit den Eigenschaften 3.5 finden wir

4. Wo .

Im Aussehen komplexer Ausdruck Durch die Verwendung einer Reihe von Regeln wird die Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Lösung. Für die Berechnung beziehen wir uns auf die letzten Laufzeiten 5 und 13

Wir halten es zu Protokoll und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Einstiegsniveau.

Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nehmen wir einen Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe ihrer Terme zu schreiben

Dies ist erst der Anfang unserer Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie das Rechnen, erweitern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – das erworbene Wissen benötigen Sie schon bald zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zur Lösung solcher Gleichungen studiert haben, werden wir Ihr Wissen auf ein weiteres, ebenso wichtiges Thema erweitern – logarithmische Ungleichungen...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also fangen wir an.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben.

So lösen Sie Logarithmen

Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum letzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – sie sind vielmehr Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Logarithmus einer Zahl N bezogen auf A Exponent genannt X , auf die Sie bauen müssen A um die Nummer zu bekommen N

Vorausgesetzt das
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt Folgendes
, d.h.
- Diese Gleichheit ist die grundlegende logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden dezimale Logarithmen genannt. Anstatt
schreiben
.

Logarithmen zur Basis e werden als natürlich bezeichnet und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Der Logarithmus von Eins ist für jede Basis gleich Null.

Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

3) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen

Faktor
wird als Übergangsmodul vom Logarithmus zur Basis bezeichnet A zu Logarithmen an der Basis B .

Mithilfe der Eigenschaften 2–5 ist es häufig möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen an Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen eines Logarithmus werden Logarithmen genannt. Zum Logarithmus inverse Transformationen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Grenze der Funktion
ist eine endliche Zahl A if, as xx 0 für jeden vorgegeben
, es gibt so eine Nummer
das sobald
, Das
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich von ihr um einen verschwindend kleinen Betrag:
, wo- b.m.v., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j tendiert gegen Null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Limit konstanter Wert gleich diesem konstanten Wert

.

Der Grenzwert der Summe (Differenz) einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Produkts einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners nicht Null ist.

Wunderbare Grenzen

,
, Wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings lassen sich nicht alle Grenzwerte so einfach berechnen. In den meisten Fällen kommt es bei der Berechnung des Grenzwerts darauf an, eine Unsicherheit der folgenden Art aufzudecken: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Argument habe etwas Zuwachs bekommen
. Dann erhält die Funktion ein Inkrement
.

Argumentwert entspricht dem Funktionswert
.

Argumentwert
entspricht dem Funktionswert.

Somit, .

Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses bei
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition 3 Ableitung einer gegebenen Funktion
durch Argumentation heißt Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null tendiert.

Ableitung einer Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Differenzierung.

2.1. Mechanische Bedeutung von Derivat.

Betrachten wir die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann mal lassen beweglicher Punkt
war in einiger Entfernung von der Ausgangsposition aus
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit materieller Punkt
. Lassen Sie uns unter Berücksichtigung dessen die Grenze dieses Verhältnisses ermitteln
.

Folglich reduziert sich die Bestimmung der momentanen Bewegungsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes auf die Ermittlung der Ableitung des Weges nach der Zeit.

2.2. Geometrischer Wert der Ableitung

Lassen Sie uns eine grafisch definierte Funktion haben
.

Reis. 1. Geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn
, dann zeigen
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Somit
, d.h. der Wert der Ableitung für einen gegebenen Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem bestimmten Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Umkehren trigonometrische Funktion

2.4. Differenzierungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung einer komplexen Funktion.

Die Funktion sei gegeben
so dass es in der Form dargestellt werden kann

Und
, wo die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel 2.

3. Differentialfunktion.

Lass es sein
, differenzierbar auf einem bestimmten Intervall
und lass bei Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann können wir schreiben

(1),

Wo - eine unendlich kleine Größe,

seit wann

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Wo
- b.m.v. höherer Ordnung.

Größe
wird als Differential der Funktion bezeichnet
und ist bezeichnet

.

3.1. Geometrischer Wert des Differentials.

Die Funktion sei gegeben
.

Abb.2. Geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an einem bestimmten Punkt.

3.2. Ableitungen und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Falls ja
, Dann
heißt die erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung der n-ten Ordnung der Funktion
heißt die Ableitung (n-1)-ter Ordnung und wird geschrieben:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung genannt.

.

.

3.3 Lösung biologischer Probleme durch Differenzierung.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen einem Gesetz unterliegt
, Wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), T – Zeit (Tage).

b) Wird die Population der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antwort. Die Größe der Kolonie wird zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu überwachen. Durch T Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration anhand des Verhältnisses bestimmt

.

Wann wird der See eine minimale Bakterienkonzentration aufweisen und kann man darin schwimmen?

Lösung: Eine Funktion erreicht ihr Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns das Maximum oder Minimum in 6 Tagen bestimmen. Nehmen wir dazu die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.

Was ist ein Logarithmus?

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders Gleichungen mit Logarithmen.

Das ist absolut nicht wahr. Absolut! Glauben Sie mir nicht? Bußgeld. Jetzt können Sie in nur 10 bis 20 Minuten:

1. Du wirst es verstehen Was ist ein Logarithmus?.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse zu lösen Exponentialgleichungen. Auch wenn Sie noch nichts davon gehört haben.

3. Lernen Sie, einfache Logarithmen zu berechnen.

Darüber hinaus müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie man eine Zahl potenziert ...

Ich habe das Gefühl, dass Sie Zweifel haben ... Na gut, nehmen Sie sich die Zeit! Lass uns gehen!

Lösen Sie zunächst diese Gleichung im Kopf:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Anweisungen

Schreiben Sie den angegebenen logarithmischen Ausdruck. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Schreibweise verkürzt und sieht folgendermaßen aus: lg b ist der dezimale Logarithmus. Wenn der Logarithmus die Zahl e als Basis hat, dann schreiben Sie den Ausdruck: ln b – natürlicher Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, mit der die Basiszahl erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn Sie die Summe zweier Funktionen ermitteln möchten, müssen Sie diese lediglich einzeln differenzieren und die Ergebnisse addieren: (u+v)" = u"+v";

Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu ermitteln, ist es notwendig, die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten zu multiplizieren und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion zu addieren: (u*v)“ = u“*v +v"*u;

Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu ermitteln, ist es notwendig, vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Funktion des Dividenden zu subtrahieren und zu dividieren das alles durch die Divisorfunktion quadriert. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Falls gegeben komplexe Funktion, dann ist es notwendig, die Ableitung der internen Funktion und die Ableitung der externen Funktion zu multiplizieren. Sei y=u(v(x)), dann ist y"(x)=y"(u)*v"(x).

Anhand der oben erhaltenen Ergebnisse können Sie nahezu jede Funktion differenzieren. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Es gibt auch Probleme bei der Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Angenommen, die Funktion y=e^(x^2+6x+5) sei gegeben, Sie müssen den Wert der Funktion am Punkt x=1 finden.
1) Finden Sie die Ableitung der Funktion: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Berechnen Sie den Wert der Funktion in angegebenen Punkt y"(1)=8*e^0=8

Video zum Thema

Nützlicher Rat

Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Dies wird erheblich Zeit sparen.

Quellen:

• Ableitung einer Konstante

Also, was ist der Unterschied zwischen rationale Gleichung aus dem Rationalen? Wenn die unbekannte Variable unter dem Vorzeichen steht Quadratwurzel, dann gilt die Gleichung als irrational.

Anweisungen

Die Hauptmethode zur Lösung solcher Gleichungen ist die Methode der Konstruktion beider Seiten Gleichungen in ein Quadrat. Jedoch. Das ist natürlich, das erste, was Sie tun müssen, ist, das Schild zu entfernen. Diese Methode ist technisch nicht schwierig, kann aber manchmal zu Problemen führen. Die Gleichung lautet beispielsweise v(2x-5)=v(4x-7). Durch Quadrieren beider Seiten erhält man 2x-5=4x-7. Eine solche Gleichung zu lösen ist nicht schwierig; x=1. Aber die Nummer 1 wird nicht vergeben Gleichungen. Warum? Setzen Sie eins anstelle des Werts von x in die Gleichung ein, und die rechte und linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Dieser Wert ist für eine Quadratwurzel nicht gültig. Daher ist 1 eine Fremdwurzel und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Eine irrationale Gleichung wird also mit der Methode der Quadrierung beider Seiten gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst ist, müssen überflüssige Wurzeln abgeschnitten werden. Ersetzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung.

Betrachten Sie einen anderen.
2x+vx-3=0
Natürlich kann diese Gleichung mit derselben Gleichung wie die vorherige gelöst werden. Verbindungen verschieben Gleichungen, die keine Quadratwurzel haben, auf die rechte Seite und verwenden Sie dann die Quadrierungsmethode. Lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber auch eine andere, elegantere. Geben Sie eine neue Variable ein; vх=y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung der Form 2y2+y-3=0. Das heißt, das Übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1=1 und y2=-3/2. Als nächstes lösen Sie zwei Gleichungen vх=1; vх=-3/2. Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln; aus der ersten finden wir, dass x=1. Vergessen Sie nicht, die Wurzeln zu überprüfen.

Identitäten zu lösen ist ganz einfach. Dazu ist es notwendig, identische Transformationen durchzuführen, bis das gesetzte Ziel erreicht ist. Mit Hilfe einfacher Rechenoperationen wird die gestellte Aufgabe somit gelöst.

Sie werden brauchen

• - Papier;
• - Stift.

Anweisungen

Die einfachsten dieser Transformationen sind algebraische abgekürzte Multiplikationen (z. B. Quadrat der Summe (Differenz), Differenz von Quadraten, Summe (Differenz), Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele und trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten sind.

Tatsächlich das Quadrat der Summe zweier Terme gleich Quadrat das erste plus das Doppelte des Produkts des ersten durch das zweite und plus das Quadrat des zweiten, also (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Vereinfachen Sie beides

Allgemeine Prinzipien der Lösung

Wiederholen Sie das Lehrbuch zur mathematischen Analyse oder Höhere Mathematik, was ein bestimmtes Integral ist. Bekanntlich ist die Lösung eines bestimmten Integrals eine Funktion, deren Ableitung einen Integranden ergibt. Diese Funktion wird Stammfunktion genannt. Basierend auf diesem Prinzip werden die Hauptintegrale konstruiert.
Bestimmen Sie anhand der Art des Integranden, welches der Tabellenintegrale in diesem Fall geeignet ist. Dies lässt sich nicht immer sofort feststellen. Oftmals macht sich die tabellarische Form erst nach mehreren Transformationen zur Vereinfachung des Integranden bemerkbar.

Variable Ersetzungsmethode

Wenn der Integrand eine trigonometrische Funktion ist, deren Argument ein Polynom ist, versuchen Sie es mit der Methode der Variablenänderung. Ersetzen Sie dazu das Polynom im Argument des Integranden durch eine neue Variable. Bestimmen Sie anhand der Beziehung zwischen den neuen und alten Variablen die neuen Integrationsgrenzen. Finden Sie durch Differenzieren dieses Ausdrucks das neue Differential in . So wirst du bekommen neuer Look des vorherigen Integrals nahe oder sogar einem tabellarischen Integral entspricht.

Integrale zweiter Art lösen

Wenn das Integral ein Integral zweiter Art ist, eine Vektorform des Integranden, müssen Sie die Regeln für den Übergang von diesen Integralen zu skalaren Integralen verwenden. Eine solche Regel ist die Ostrogradsky-Gauss-Beziehung. Dieses Gesetz ermöglicht es uns, vom Rotorfluss einer bestimmten Vektorfunktion zum Dreifachintegral über die Divergenz eines gegebenen Vektorfelds zu gelangen.

Substitution von Integrationsgrenzen

Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, ist es notwendig, die Integrationsgrenzen zu ersetzen. Ersetzen Sie zunächst den Wert der Obergrenze in den Ausdruck für die Stammfunktion. Sie erhalten eine Nummer. Als nächstes subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl eine weitere Zahl, die Sie von der Untergrenze erhalten, in die Stammfunktion. Wenn eine der Grenzen der Integration die Unendlichkeit ist, dann beim Einsetzen in Stammfunktion Es ist notwendig, bis an die Grenzen zu gehen und herauszufinden, wonach der Ausdruck strebt.
Wenn das Integral zweidimensional oder dreidimensional ist, müssen Sie die Grenzen der Integration geometrisch darstellen, um zu verstehen, wie das Integral ausgewertet wird. Tatsächlich können beispielsweise im Fall eines dreidimensionalen Integrals die Integrationsgrenzen ganze Ebenen sein, die das zu integrierende Volumen begrenzen.

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also fangen wir an.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log A X und protokollieren A j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

1. Protokoll A X+ Protokoll A j= Protokoll A (X · j);
2. Protokoll A X− log A j= Protokoll A (X : j).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Log 6 4 + Log 6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, also Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wir haben:

[Bildunterschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum letzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus log A X. Dann für eine beliebige Zahl C so dass C> 0 und C≠ 1, die Gleichheit gilt:

[Bildunterschrift]

Insbesondere, wenn wir sagen C = X, wir bekommen:

[Bildunterschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

[Bildunterschrift]

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

[Bildunterschrift]

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall die Nummer N wird zu einem Indikator für den Stellenwert der Argumentation. Nummer N kann absolut alles sein, da es sich lediglich um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So nennt man es: die grundlegende logarithmische Identität.

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl B auf eine solche Potenz erhöhen, dass die Zahl B zu dieser Potenz gibt die Zahl A? Das ist richtig: Sie erhalten dieselbe Nummer A. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

[Bildunterschrift]

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – sie sind vielmehr Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

1. Protokoll A A= 1 ist eine logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: Logarithmus zu jeder Basis A von dieser Basis aus ist gleich eins.
2. Protokoll A 1 = 0 ist logarithmischer Nullpunkt. Base A kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Weil A 0 = 1 ist eine direkte Konsequenz der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.