So faktorisieren Sie ein quadratisches Trinom. So faktorisieren Sie ein quadratisches Trinom

Quadratisches Trinom heißt Polynom der Form Axt 2 +bx +C, Wo X– variabel, A,B,C– einige Zahlen und a ≠ 0.

Koeffizient A angerufen Senior-Koeffizient, C – kostenloses Mitglied quadratisches Trinom.

Beispiele quadratische Trinome:

2 x 2 + 5x+4(Hier A = 2, B = 5, C = 4)

x 2 – 7x + 5(Hier A = 1, B = -7, C = 5)

9x 2 + 9x – 9(Hier A = 9, B = 9, C = -9)

Koeffizient B oder Koeffizient C oder beide Koeffizienten können gleichzeitig gleich Null sein. Zum Beispiel:

5 x 2 + 3X(Hiera = 5,b = 3,c = 0, also gibt es keinen Wert für c in der Gleichung).

6x 2 – 8 (Hiera = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Hiera = 2, b = 0, c = 0)

Der Wert der Variablen, bei dem das Polynom verschwindet, wird aufgerufen Wurzel des Polynoms.

Die Wurzeln eines quadratischen Trinoms findenAxt 2 + bx + C, wir müssen es mit Null gleichsetzen -
das heißt, lösen Sie die quadratische GleichungAxt 2 + bx + c = 0 (siehe Abschnitt „Quadratische Gleichung“).

Faktorisieren eines quadratischen Trinoms

Beispiel:

Lassen Sie uns das Trinom 2 faktorisieren X 2 + 7x – 4.

Wir sehen: Koeffizient A = 2.

Lassen Sie uns nun die Wurzeln des Trinoms finden. Dazu setzen wir es mit Null gleich und lösen die Gleichung

2X 2 + 7x – 4 = 0.

Wie man eine solche Gleichung löst, erfahren Sie im Abschnitt „Wurzelformeln“. quadratische Gleichung. Diskriminant. Hier geben wir gleich das Ergebnis der Berechnungen bekannt. Unser Trinom hat zwei Wurzeln:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Ersetzen wir die Werte der Wurzeln in unserer Formel und nehmen den Wert des Koeffizienten aus den Klammern A, und wir erhalten:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Das erhaltene Ergebnis kann anders geschrieben werden, indem der Koeffizient 2 mit dem Binomial multipliziert wird X – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Das Problem ist gelöst: Das Trinom wird faktorisiert.

Eine solche Entwicklung kann für jedes quadratische Trinom mit Wurzeln erhalten werden.

AUFMERKSAMKEIT!

Wenn die Diskriminante eines quadratischen Trinoms Null ist, dann hat dieses Trinom eine Wurzel, aber bei der Zerlegung des Trinoms wird diese Wurzel als Wert zweier Wurzeln – also als gleicher Wert – angenommen X 1 undX 2 .

Ein Trinom hat beispielsweise eine Wurzel gleich 3. Dann ist x 1 = 3, x 2 = 3.

QUADRATISCHES DREIFACH III

§ 54. Zerlegung eines quadratischen Trinoms in lineare Faktoren

In diesem Abschnitt werden wir uns mit der folgenden Frage befassen: In welchem ​​Fall handelt es sich um ein quadratisches Trinom? Axt 2 + bx + c kann als Produkt dargestellt werden

(A 1 x+b 1) (A 2 x+b 2)

zwei lineare relative X Multiplikatoren mit reellen Koeffizienten A 1 , B 1 , A 2 , B 2 (A 1 =/=0, A 2 =/=0) ?

1. Angenommen, das gegebene quadratische Trinom Axt 2 + bx + c Lassen Sie es uns in der Form darstellen

Axt 2 + bx + c = (A 1 x+b 1) (A 2 x+b 2). (1)

Die rechte Seite der Formel (1) verschwindet, wenn X = - B 1 / A 1 und X = - B 2 / A 2 (A 1 und A 2 sind aufgrund der Bedingung ungleich Null). Aber in diesem Fall sind es die Zahlen B 1 / A 1 und - B 2 / A 2 sind die Wurzeln der Gleichung

Axt 2 + bx + c = 0.

Daher die Diskriminante des quadratischen Trinoms Axt 2 + bx + c darf nicht negativ sein.

2. Nehmen wir umgekehrt an, dass die Diskriminante D = B 2 - 4ac quadratisches Trinom Axt 2 + bx + c nicht negativ. Dann hat dieses Trinom echte Wurzeln X 1 und X 2. Mit dem Satz von Vieta erhalten wir:

Axt 2 + bx + c =A (X 2 + B / A X + C / A ) = A [X 2 - (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 ] =

= A [(X 2 - X 1 X ) - (X 2 X - X 1 X 2)] = A [X (X - X 1) - X 2 (X - X 1) =

=A (X - X 1)(X - X 2).

Axt 2 + bx + c = A (X - X 1)(X - X 2), (2)

Wo X 1 und X 2 - Wurzeln des Trinoms Axt 2 + bx + c . Koeffizient A kann auf einen von zwei linearen Faktoren zurückgeführt werden, zum Beispiel:

A (X - X 1)(X - X 2) = (Ah - Axt 1)(X - X 2).

Dies bedeutet jedoch, dass es sich im betrachteten Fall um ein quadratisches Trinom handelt Axt 2 + bx + c Stellen Sie es als Produkt zweier linearer Faktoren mit reellen Koeffizienten dar.

Durch die Kombination der in den Absätzen 1 und 2 erhaltenen Ergebnisse gelangen wir zum folgenden Satz.

Satz. Quadratisches Trinom Axt 2 + bx + c dann und nur dann kann es als Produkt zweier linearer Faktoren mit reellen Koeffizienten dargestellt werden,

Axt 2 + bx + c = (Ah - Axt 1)(X - X 2),

wenn die Diskriminante dieses quadratischen Trinoms nicht negativ ist (d. h. wenn dieses Trinom reelle Wurzeln hat).

Beispiel 1. Linearfaktorisieren 6 X 2 - X -1.

Die Wurzeln dieses quadratischen Trinoms sind gleich X 1 = 1/2 und X 2 = - 1 / 3 .

Daher gilt nach Formel (2)

6X 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3X + 1).

Beispiel 2. Lineare Faktorisierung X 2 + X + 1. Die Diskriminante dieses quadratischen Trinoms ist negativ:

D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.

Daher kann dieses quadratische Trinom nicht in lineare Faktoren mit reellen Koeffizienten erweitert werden.

Übungen

Faktorisieren Sie die folgenden Ausdrücke in lineare Faktoren (Nr. 403 - 406):

403. 6X 2 - 7X + 2. 405. X 2 - X + 1.

404. 2X 2 - 7Oh + 6A 2 . 406. X 2 - 3Oh + 2A 2 - ab - B 2 .

Brüche reduzieren (Nr. 407, 408):

Gleichungen lösen:

Quadratisches Trinom Axt 2 +bx+c kann mit der Formel in lineare Faktoren zerlegt werden:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Wo x1, x2- Wurzeln einer quadratischen Gleichung Axt 2 +bx+c=0.

Faktorisieren Sie das quadratische Trinom in lineare Faktoren:

Beispiel 1). 2x 2 -7x-15.

Lösung. 2x 2 -7x-15=0.

A=2; B=-7; C=-15. Dies ist der allgemeine Fall für eine vollständige quadratische Gleichung. Die Diskriminante finden D.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 echte Wurzeln.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1,5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Wir haben dieses Trinom eingeführt 2x 2 -7x-15 2x+3 Und x-5.

Antwort: 2x 2 -7x-15= (2x+3)(x-5).

Beispiel 2). 3x 2 +2x-8.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=3; B=2;C=-8. Das Sonderfall für eine vollständige quadratische Gleichung mit einem geraden zweiten Koeffizienten ( B=2). Die Diskriminante finden D 1.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Wir haben das Trinom eingeführt 3x 2 +2x-8 als Produkt von Binomialen x+2 Und 3x-4.

Antwort: 3x 2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

Beispiel 3). 5x 2 -3x-2.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=5; B=-3; C=-2. Dies ist ein Sonderfall für eine vollständige quadratische Gleichung mit der folgenden Bedingung: a+b+c=0(5-3-2=0). In solchen Fällen erste Wurzel ist immer gleich eins, und zweite Wurzel gleich dem Quotienten des freien Termes dividiert durch den ersten Koeffizienten:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0,4)=(x-1)(5x+2). Wir haben das Trinom eingeführt 5x 2 -3x-2 als Produkt von Binomialen x-1 Und 5x+2.

Antwort: 5x 2 -3x-2= (x-1)(5x+2).

Beispiel 4). 6x 2 +x-5.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=6; B=1; C=-5. Dies ist ein Sonderfall für eine vollständige quadratische Gleichung mit der folgenden Bedingung: a-b+c=0(6-1-5=0). In solchen Fällen erste Wurzel ist immer gleich minus eins und zweite Wurzel ist gleich dem Minusquotienten der Division des freien Termes durch den ersten Koeffizienten:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Wir haben das Trinom eingeführt 6x 2 +x-5 als Produkt von Binomialen x+1 Und 6x-5.

Antwort: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

Beispiel 5). x 2 -13x+12.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung:

x 2 -13x+12=0. Lassen Sie uns prüfen, ob es angewendet werden kann. Dazu suchen wir die Diskriminante und stellen sicher, dass sie ein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl ist.

A=1; B=-13; C=12. Die Diskriminante finden D.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Wenden wir den Satz von Vieta an: Die Summe der Wurzeln muss gleich dem zweiten Koeffizienten sein, der mit dem umgekehrten Vorzeichen genommen wird, und das Produkt der Wurzeln muss gleich dem freien Term sein:

x 1 + x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Es ist offensichtlich, dass x 1 =1; x 2 =12.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).

Antwort: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

Beispiel 6). x 2 -4x-6.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung:

A=1; B=-4; C=-6. Der zweite Koeffizient ist eine gerade Zahl. Finden Sie die Diskriminante D 1.

Die Diskriminante ist kein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl, daher hilft uns der Satz von Vieta nicht weiter und wir werden die Wurzeln mithilfe der Formeln für den geraden zweiten Koeffizienten finden:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) und schreibe die Antwort auf.

Faktorisieren eines quadratischen Trinoms kann nützlich sein, wenn Ungleichungen aus Problem C3 oder Problem mit Parameter C5 gelöst werden. Außerdem werden viele B13-Textaufgaben viel schneller gelöst, wenn Sie den Satz von Vieta kennen.

Dieser Satz kann natürlich aus der Perspektive der 8. Klasse betrachtet werden, in der er erstmals gelehrt wird. Unsere Aufgabe ist es aber, uns gut auf das Einheitliche Staatsexamen vorzubereiten und zu lernen, Prüfungsaufgaben möglichst effizient zu lösen. Daher wird in dieser Lektion ein etwas anderer Ansatz als in der Schule betrachtet.

Formel für die Wurzeln der Gleichung unter Verwendung des Satzes von Vieta Viele Menschen wissen (oder haben es zumindest gesehen):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

wobei „a, b“ und „c“ die Koeffizienten des quadratischen Trinoms „ax^2+bx+c“ sind.

Um zu lernen, wie man den Satz einfach anwenden kann, sollten wir zunächst verstehen, woher er kommt (dadurch wird es tatsächlich leichter, ihn sich zu merken).

Lassen Sie uns die Gleichung „ax^2+ bx+ c = 0“ haben. Teilen Sie es der Einfachheit halber durch „a“ und erhalten Sie „x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0“. Eine solche Gleichung heißt eine reduzierte quadratische Gleichung.

Wichtiger Unterrichtsgedanke: Jedes quadratische Polynom mit Wurzeln kann in Klammern erweitert werden. Nehmen wir an, dass unsere als „x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)“ dargestellt werden kann, wobei „k“ und „ l` - einige Konstanten.

Mal sehen, wie sich die Klammern öffnen:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Somit ist „k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)“.

Dies unterscheidet sich geringfügig von der klassischen Interpretation Satz von Vieta- Darin suchen wir nach den Wurzeln der Gleichung. Ich schlage vor, nach Begriffen für zu suchen Klammerzerlegung- Auf diese Weise müssen Sie sich nicht an das Minus aus der Formel erinnern (bedeutet „x_1+x_2 = -\frac(b)(a)“). Es reicht aus, zwei solcher Zahlen auszuwählen, deren Summe gleich dem durchschnittlichen Koeffizienten ist und deren Produkt gleich dem freien Term ist.

Wenn wir eine Lösung der Gleichung brauchen, dann ist es offensichtlich: die Wurzeln „x=-k“ oder „x=-l“ (da in diesen Fällen eine der Klammern Null ist, was bedeutet, dass der gesamte Ausdruck Null ist ).

Ich zeige Ihnen den Algorithmus als Beispiel: So erweitern Sie ein quadratisches Polynom in Klammern.

Beispiel eins. Algorithmus zur Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

Der Weg, den wir haben, ist ein Quadrantentrinom „x^2+5x+4“.

Es wird reduziert (der Koeffizient von „x^2“ ist gleich eins). Er hat Wurzeln. (Um sicherzugehen, können Sie die Diskriminante schätzen und sicherstellen, dass sie größer als Null ist.)

Weitere Schritte (Sie müssen sie lernen, nachdem Sie alle abgeschlossen haben Trainingsaufgaben):

1. Vervollständigen Sie den folgenden Eintrag: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Anstelle von Punkten lassen Sie freien Platz, wir werden dort passende Zahlen und Zeichen hinzufügen.
2. Alle anzeigen mögliche Optionen, wie kann man die Zahl „4“ in das Produkt zweier Zahlen zerlegen? Wir erhalten Paare von „Kandidaten“ für die Wurzeln der Gleichung: „2, 2“ und „1, 4“.
3. Finden Sie heraus, welches Paar Sie bekommen können durchschnittlicher Koeffizient. Offensichtlich ist es „1, 4“.
4. Schreiben Sie $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Der nächste Schritt besteht darin, Schilder vor den eingefügten Zahlen zu platzieren.

   Wie kann man verstehen und sich für immer daran erinnern, welche Zeichen vor den Zahlen in Klammern stehen sollten? Versuchen Sie, sie zu öffnen (Klammern). Der Koeffizient vor „x“ zur ersten Potenz beträgt „(± 4 ± 1)“ (wir kennen die Vorzeichen noch nicht – wir müssen wählen) und sollte gleich „5“ sein. Offensichtlich wird es zwei Pluspunkte $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ geben.

   Führen Sie diesen Vorgang mehrmals durch (Hallo, Trainingsaufgaben!) und mehr Probleme das wird nie passieren.

Wenn Sie die Gleichung „x^2+5x+4“ lösen müssen, wird es jetzt nicht schwierig sein, sie zu lösen. Seine Wurzeln sind „-4, -1“.

Beispiel zwei. Faktorisierung eines quadratischen Trinoms mit Koeffizienten unterschiedlichen Vorzeichens

Lassen Sie uns die Gleichung „x^2-x-2=0“ lösen. Ohne weiteres ist die Diskriminante positiv.

Wir folgen dem Algorithmus.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Es gibt nur eine Faktorisierung von zwei in ganzzahlige Faktoren: „2 · 1“.
3. Wir überspringen den Punkt – es gibt nichts zur Auswahl.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Das Produkt unserer Zahlen ist negativ („-2“ ist der freie Term), was bedeutet, dass eine davon negativ und die andere positiv ist.
   Da ihre Summe gleich „-1“ (dem Koeffizienten von „x“) ist, ist „2“ negativ (die intuitive Erklärung ist, dass zwei die größere der beiden Zahlen ist, sie wird stärker hineingezogen). negative Seite). Wir erhalten $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Drittes Beispiel. Faktorisieren eines quadratischen Trinoms

Die Gleichung lautet „x^2+5x -84 = 0“.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Zerlegung von 84 in ganzzahlige Faktoren: „4 21, 6 14, 12 7, 2 42“.
3. Da die Differenz (oder Summe) der Zahlen 5 sein muss, ist das Paar „7, 12“ geeignet.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Hoffnung, Erweiterung dieses quadratischen Trinoms in Klammern Es ist klar.

Wenn Sie eine Lösung für eine Gleichung benötigen, finden Sie sie hier: „12, -7“.

Trainingsaufgaben

Ich mache Sie auf einige Beispiele aufmerksam, die einfach sind werden mit dem Satz von Vieta gelöst.(Beispiele aus der Zeitschrift „Mathematik“, 2002.)

1. „x^2+x-2=0“.
2. „x^2-x-2=0“.
3. „x^2+x-6=0“.
4. „x^2-x-6=0“.
5. „x^2+x-12=0“.
6. „x^2-x-12=0“.
7. „x^2+x-20=0“.
8. „x^2-x-20=0“.
9. „x^2+x-42=0“.
10. „x^2-x-42=0“.
11. „x^2+x-56=0“.
12. „x^2-x-56=0“.
13. „x^2+x-72=0“.
14. „x^2-x-72=0“.
15. „x^2+x-110=0“.
16. „x^2-x-110=0“.
17. „x^2+x-420=0“.
18. „x^2-x-420=0“.

Einige Jahre nach dem Verfassen des Artikels erschien eine Sammlung von 150 Aufgaben zur Zerlegung quadratisches Polynom nach dem Satz von Vieta.

Liken und stellen Sie Fragen in den Kommentaren!

In dieser Lektion lernen wir, wie man quadratische Trinome in lineare Faktoren faktorisiert. Dazu müssen wir uns an den Satz von Vieta und seine Umkehrung erinnern. Diese Fähigkeit hilft uns, quadratische Trinome schnell und bequem in lineare Faktoren zu erweitern und vereinfacht auch die Reduktion von Brüchen, die aus Ausdrücken bestehen.

Kehren wir also zur quadratischen Gleichung zurück, wobei .

Was wir auf der linken Seite haben, nennt man quadratisches Trinom.

Der Satz ist wahr: Sind die Wurzeln eines quadratischen Trinoms, dann gilt die Identität

Wo ist der führende Koeffizient, sind die Wurzeln der Gleichung.

Wir haben also eine quadratische Gleichung – ein quadratisches Trinom, wobei die Wurzeln der quadratischen Gleichung auch Wurzeln des quadratischen Trinoms genannt werden. Wenn wir also die Wurzeln eines quadratischen Trinoms haben, kann dieses Trinom in lineare Faktoren zerlegt werden.

Nachweisen:

Nachweisen diese Tatsache wird unter Verwendung des Satzes von Vieta durchgeführt, den wir in früheren Lektionen besprochen haben.

Erinnern wir uns daran, was uns der Satz von Vieta sagt:

Wenn die Wurzeln eines quadratischen Trinoms für which sind, dann .

Aus diesem Satz folgt die folgende Aussage:

Wir sehen, dass wir gemäß dem Satz von Vieta, d. h. durch Einsetzen dieser Werte in die obige Formel, den folgenden Ausdruck erhalten

Q.E.D.

Denken Sie daran, dass wir den Satz bewiesen haben, dass die Entwicklung gültig ist, wenn die Wurzeln eines quadratischen Trinoms sind.

Erinnern wir uns nun an ein Beispiel einer quadratischen Gleichung, für die wir mithilfe des Satzes von Vieta Wurzeln ausgewählt haben. Aus dieser Tatsache können wir dank des bewährten Satzes die folgende Gleichheit erhalten:

Überprüfen wir nun die Richtigkeit dieser Tatsache, indem wir einfach die Klammern öffnen:

Wir sehen, dass wir richtig faktorisiert haben und jedes Trinom, wenn es Wurzeln hat, gemäß diesem Satz in lineare Faktoren gemäß der Formel faktorisiert werden kann

Lassen Sie uns jedoch prüfen, ob eine solche Faktorisierung für jede Gleichung möglich ist:

Nehmen Sie zum Beispiel die Gleichung. Schauen wir uns zunächst das Diskriminanzzeichen an

Und wir erinnern uns, dass zur Erfüllung des Satzes, den wir gelernt haben, D größer als 0 sein muss, sodass in diesem Fall eine Faktorisierung gemäß dem Satz, den wir gelernt haben, unmöglich ist.

Daher formulieren wir einen neuen Satz: Wenn ein quadratisches Trinom keine Wurzeln hat, kann es nicht in lineare Faktoren zerlegt werden.

Wir haben uns also den Satz von Vieta angesehen, die Möglichkeit, ein quadratisches Trinom in lineare Faktoren zu zerlegen, und werden nun mehrere Probleme lösen.

Aufgabe Nr. 1

In dieser Gruppe werden wir das Problem tatsächlich in umgekehrter Reihenfolge wie das gestellte Problem lösen. Wir hatten eine Gleichung und fanden ihre Wurzeln, indem wir sie faktorisierten. Hier werden wir das Gegenteil tun. Nehmen wir an, wir haben die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Das umgekehrte Problem lautet: Schreiben Sie eine quadratische Gleichung unter Verwendung ihrer Wurzeln.

Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen.

Da sind also die Wurzeln der Gleichung ist eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln Zahlen sind. Öffnen wir nun die Klammern und prüfen:

Dies war die erste Möglichkeit, eine quadratische Gleichung mit gegebenen Wurzeln zu erstellen, die keine anderen Wurzeln hat, da jede quadratische Gleichung höchstens zwei Wurzeln hat.

Diese Methode beinhaltet die Verwendung des inversen Vieta-Theorems.

Wenn die Wurzeln der Gleichung sind, dann erfüllen sie die Bedingung, dass .

Für die reduzierte quadratische Gleichung , , also in diesem Fall, und .

Somit haben wir eine quadratische Gleichung erstellt, die die angegebenen Wurzeln hat.

Aufgabe Nr. 2

Es ist notwendig, den Bruch zu reduzieren.

Wir haben ein Trinom im Zähler und ein Trinom im Nenner, und die Trinome können faktorisiert werden oder nicht. Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner faktorisiert werden, können unter ihnen gleiche Faktoren vorhanden sein, die reduziert werden können.

Zunächst müssen Sie den Zähler faktorisieren.

Zuerst müssen Sie prüfen, ob diese Gleichung faktorisiert werden kann. Lassen Sie uns die Diskriminante ermitteln. Da das Vorzeichen vom Produkt abhängt (muss kleiner als 0 sein), in diesem Beispiel also gegebene Gleichung hat Wurzeln.

Zur Lösung verwenden wir den Satz von Vieta:

Da es sich in diesem Fall um Wurzeln handelt, wird es ziemlich schwierig sein, die Wurzeln einfach auszuwählen. Aber wir sehen, dass die Koeffizienten ausgeglichen sind, das heißt, wenn wir davon ausgehen und diesen Wert in die Gleichung einsetzen, erhalten wir das folgende System: , d. h. 5-5=0. Somit haben wir eine der Wurzeln dieser quadratischen Gleichung ausgewählt.

Wir werden nach der zweiten Wurzel suchen, indem wir beispielsweise das bereits Bekannte in das Gleichungssystem einsetzen, d. h. .

Somit haben wir beide Wurzeln der quadratischen Gleichung gefunden und können ihre Werte in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um sie zu faktorisieren:

Erinnern wir uns an das ursprüngliche Problem: Wir mussten den Bruch reduzieren.

Versuchen wir, das Problem durch Ersetzen zu lösen.

Man darf nicht vergessen, dass in diesem Fall der Nenner nicht gleich 0 sein kann, d.h. , .

Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, haben wir den ursprünglichen Bruch auf die Form reduziert.

Problem Nr. 3 (Aufgabe mit einem Parameter)

Bei welchen Werten des Parameters liegt die Summe der Wurzeln der quadratischen Gleichung

Wenn die Wurzeln dieser Gleichung existieren, dann , Frage: wann.