So finden Sie komplexe Stammfunktionen. Stammfunktion der Funktion

Betrachten wir die Bewegung eines Punktes entlang einer geraden Linie. Lass es Zeit T Vom Beginn der Bewegung an hat der Punkt eine Strecke zurückgelegt s(t). Dann die momentane Geschwindigkeit v(t) gleich der Ableitung der Funktion s(t), das heißt v(t) = s"(t).

In der Praxis stoßen wir auf das umgekehrte Problem: gegebene Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes v(t) Finden Sie den Weg, den sie eingeschlagen hat s(t), das heißt, eine solche Funktion finden s(t), deren Ableitung gleich ist v(t). Funktion s(t), so dass s"(t) = v(t), heißt Stammfunktion der Funktion v(t).

Zum Beispiel, wenn v(t) = at, Wo A ist eine gegebene Zahl, dann die Funktion
s(t) = (à bei 2) / 2v(t), Weil
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).

Funktion F(x) wird Stammfunktion der Funktion genannt f(x) in einigen Abständen, wenn überhaupt X aus dieser Lücke F"(x) = f(x).

Zum Beispiel die Funktion F(x) = sin x ist die Stammfunktion der Funktion f(x) = cos x, Weil (sin x)“ = cos x; Funktion F(x) = x 4 /4 ist die Stammfunktion der Funktion f(x) = x 3, Weil (x 4 /4)" = x 3.

Betrachten wir das Problem.

Aufgabe.

Beweisen Sie, dass die Funktionen x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 Stammfunktionen derselben Funktion f(x) = x 2 sind.

Lösung.

1) Bezeichnen wir F 1 (x) = x 3 /3, dann F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Im Allgemeinen ist jede Funktion x 3 /3 + C, wobei C eine Konstante ist, eine Stammfunktion der Funktion x 2. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Ableitung der Konstante Null ist. Dieses Beispiel zeigt, dass für eine gegebene Funktion ihre Stammfunktion mehrdeutig bestimmt ist.

Seien F 1 (x) und F 2 (x) zwei Stammfunktionen derselben Funktion f(x).

Dann ist F 1 "(x) = f(x) und F" 2 (x) = f(x).

Die Ableitung ihrer Differenz g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) ist gleich Null, da g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f(x) = 0.

Wenn g"(x) = 0 in einem bestimmten Intervall, dann ist die Tangente an den Graphen der Funktion y = g(x) an jedem Punkt dieses Intervalls parallel zur Ox-Achse. Daher ist der Graph der Funktion y = g(x) ist eine Gerade parallel zur Ox-Achse, d. h. g(x) = C, wobei C eine Konstante aus den Gleichungen g(x) = C, g(x) = F 1 (x) ist. – F 2 (x) Daraus folgt F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Wenn also die Funktion F(x) eine Stammfunktion der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall ist, dann werden alle Stammfunktionen f(x) in der Form F(x) + C geschrieben, wobei C eine beliebige Konstante ist .

Betrachten wir die Graphen aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f(x). Wenn F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist, dann erhält man jede Stammfunktion dieser Funktion, indem man zu F(x) eine Konstante hinzufügt: F(x) + C. Funktionsgraphen y = F( x) + C ergeben sich aus dem Graphen y = F(x) durch Verschiebung entlang der Oy-Achse. Durch die Wahl von C können Sie sicherstellen, dass der Graph der Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt verläuft.

Achten wir auf die Regeln zum Finden von Stammfunktionen.

Denken Sie daran, dass die Operation zum Finden der Ableitung für eine gegebene Funktion aufgerufen wird Differenzierung. Die Umkehroperation zum Finden der Stammfunktion für eine gegebene Funktion wird aufgerufen Integration(vom lateinischen Wort "wiederherstellen").

Tabelle der Stammfunktionen Für einige Funktionen kann es mithilfe einer Ableitungstabelle zusammengestellt werden. Zum Beispiel, das zu wissen (cos x)“ = -sin x, wir bekommen (-cos x)“ = sin x, woraus folgt, dass alle Stammfunktionen funktionieren Sünde x werden in das Formular geschrieben -cos x + C, Wo MIT– konstant.

Schauen wir uns einige Bedeutungen von Stammfunktionen an.

1) Funktion: x p, p ≠ -1. Stammfunktion: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funktion: 1/x, x > 0. Stammfunktion: ln x + C.

3) Funktion: x p, p ≠ -1. Stammfunktion: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funktion: ex. Stammfunktion: e x + C.

5) Funktion: Sünde x. Stammfunktion: -cos x + C.

6) Funktion: (kx + b) p, ð ≠ -1, k ≠ 0. Stammfunktion: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funktion: 1/(kx + b), k ≠ 0. Stammfunktion: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funktion: e kx + b, k ≠ 0. Stammfunktion: (1/k) e kx + b + C.

9) Funktion: sin (kx + b), k ≠ 0. Stammfunktion: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funktion: cos (kx + b), k ≠ 0. Stammfunktion: (1/k) sin (kx + b).

Integrationsregeln kann mit erhalten werden Differenzierungsregeln. Schauen wir uns einige Regeln an.

Lassen F(x) Und G(x)– Stammfunktionen von Funktionen bzw f(x) Und g(x) in einem gewissen Abstand. Dann:

1) Funktion F(x) ± G(x) ist die Stammfunktion der Funktion f(x) ± g(x);

2) Funktion aF(x) ist die Stammfunktion der Funktion af(x).

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Tabelle der Stammfunktionen

Definition. Die Funktion F(x) in einem gegebenen Intervall heißt Stammfunktion der Funktion f(x) für alle x aus diesem Intervall, wenn F"(x)=f(x) .

Die Operation zum Finden einer Stammfunktion für eine Funktion wird aufgerufen Integration. Es ist die Umkehrung der Differenzierungsoperation.

Satz. Jede auf einem Intervall stetige Funktion (x) hat eine Stammfunktion auf demselben Intervall.

Satz (die Haupteigenschaft der Stammfunktion). Wenn die Funktion F(x) in einem Intervall eine Stammfunktion der Funktion f(x) ist, dann ist die Funktion F(x)+C in diesem Intervall auch eine Stammfunktion von f(x), wobei C eine beliebige Konstante ist .

Aus diesem Satz folgt, dass es viele dieser Grundfunktionen gibt, wenn f(x) eine Stammfunktion F(x) in einem gegebenen Intervall hat. Wenn wir C beliebige numerische Werte geben, erhalten wir jedes Mal eine Stammfunktion.

Um Stammfunktionen zu finden, verwenden Sie Tabelle der Stammfunktionen. Es wird aus der Ableitungstabelle erhalten.

Das Konzept eines unbestimmten Integrals

Definition. Die Menge aller Stammfunktionen zur Funktion f(x) heißt unbestimmtes Integral und wird bezeichnet.

In diesem Fall heißt f(x). Integrandenfunktion, und f(x) dx - Integrand.

Wenn also F(x) die Stammfunktion von f(x) ist, dann .

Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Der Begriff eines bestimmten Integrals

Lassen Sie uns überlegen flache Figur, begrenzt durch einen kontinuierlichen und nicht negativen Graphen im Intervall [a; b] Funktion f(x), Segment [a; b] und Geraden x=a und x=b .

Die resultierende Zahl heißt gebogenes Trapez. Berechnen wir seine Fläche.

Dazu teilen wir das Segment [a; b] in n gleiche Segmente.

Die Längen jedes Segments sind gleich Δx.
Dies ist eine dynamische GeoGebra-Zeichnung.

Rote Elemente können geändert werden

Reis. 1. Der Begriff eines bestimmten Integrals

Auf jedem Segment konstruieren wir Rechtecke mit der Höhe f(x k-1) (Abb. 1).

Die Fläche jedes solchen Rechtecks ​​ist gleich S k = f(x k-1)Δx k. .

Die Fläche aller dieser Rechtecke ist gleich Dieser Betrag wird aufgerufen Integralsumme

für die Funktion f(x) .

Wenn n→∞, dann wird sich die Fläche der so konstruierten Figur immer weniger von der Fläche des krummlinigen Trapezes unterscheiden. Definition. Der Rand der Integralsumme, wenn n→∞ aufgerufen wird bestimmtes Integral .

, und ist so geschrieben: lautet:

„Integral von a nach b f von xdx“

Die Zahl a heißt die untere Integrationsgrenze, b ist die obere Integrationsgrenze, das Segment [a; b] – Integrationsintervall.

Eigenschaften eines bestimmten Integrals

Newton-Leibniz-Formel Das bestimmte Integral ist eng mit der Stammfunktion und dem unbestimmten Integral verwandt

.

Newton-Leibniz-Formel

Verwendung des Integrals

Berechnung von Körpervolumina

Gegeben sei eine Funktion, die die Querschnittsfläche des Körpers in Abhängigkeit von einer Variablen S = s(x), x[a; B] . Dann kann das Volumen eines gegebenen Körpers durch Integration dieser Funktion innerhalb der entsprechenden Grenzen ermittelt werden.
Wenn wir einen Körper erhalten, der durch Drehen eines krummlinigen Trapezes um die Ox-Achse, begrenzt durch eine Funktion f(x), erhalten wird, ist x [a; B] . (Abb. 3). Dieses Quadrat Querschnitte kann mit der bekannten Formel S = π f 2 (x) berechnet werden. Daher lautet die Formel für das Volumen eines solchen Rotationskörpers

Ziel:

• Bildung des Konzepts der Stammfunktion.
• Vorbereitung auf die Wahrnehmung des Integrals.
• Ausbildung von Computerkenntnissen.
• Den Sinn für Schönheit kultivieren (die Fähigkeit, Schönheit im Ungewöhnlichen zu sehen).

Die mathematische Analyse ist eine Reihe von Teilgebieten der Mathematik, die sich mit der Untersuchung von Funktionen und deren Verallgemeinerungen mithilfe der Methoden der Differential- und Integralrechnung befassen.

Bisher haben wir einen Zweig der mathematischen Analyse namens Differentialrechnung studiert, dessen Kern die Untersuchung einer Funktion im „Kleinen“ ist.

Diese. Untersuchung einer Funktion in ausreichend kleinen Umgebungen jedes Definitionspunkts. Eine der Operationen der Differenzierung besteht darin, die Ableitung (Differential) zu finden und sie auf das Studium von Funktionen anzuwenden.

Das umgekehrte Problem ist nicht weniger wichtig. Wenn das Verhalten einer Funktion in der Nähe jedes Punkts ihrer Definition bekannt ist, wie kann man dann die Funktion als Ganzes rekonstruieren, d. h. im gesamten Umfang seiner Definition. Dieses Problem ist Gegenstand der Untersuchung der sogenannten Integralrechnung.

Integration ist die umgekehrte Wirkung der Differenzierung. Oder Wiederherstellen der Funktion f(x) aus einer gegebenen Ableitung f`(x). Das lateinische Wort „integro“ bedeutet Wiederherstellung.

Beispiel Nr. 1.

Sei (x)`=3x 2.
Finden wir f(x).

Lösung:

Basierend auf der Differenzierungsregel ist es nicht schwer zu erraten, dass f(x) = x 3, weil (x 3)` = 3x 2
Man kann jedoch leicht erkennen, dass f(x) nicht eindeutig gefunden wird.
Als f(x) können wir nehmen
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 usw.

Weil die Ableitung von jedem von ihnen gleich 3x 2 ist. (Die Ableitung einer Konstante ist 0). Alle diese Funktionen unterscheiden sich durch einen konstanten Term voneinander. Deshalb allgemeine Lösung Das Problem kann in der Form f(x)= x 3 +C geschrieben werden, wobei C eine beliebige konstante reelle Zahl ist.

Jede der gefundenen Funktionen f(x) wird aufgerufen PRIMODIUM für die Funktion F`(x)= 3x 2

Definition. Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion für eine Funktion f(x) auf einem gegebenen Intervall J, wenn für alle x aus diesem Intervall F`(x)= f(x) gilt. Die Funktion F(x)=x 3 ist also Stammfunktion für f(x)=3x 2 auf (- ∞ ; ∞).
Da für alle x ~R die Gleichheit gilt: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Wie wir bereits bemerkt haben, hat diese Funktion unendlich viele Stammfunktionen (siehe Beispiel Nr. 1).

Beispiel Nr. 2. Die Funktion F(x)=x ist Stammfunktion für alle f(x)= 1/x auf dem Intervall (0; +), weil Für alle x aus diesem Intervall gilt Gleichheit.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Beispiel Nr. 3. Die Funktion F(x)=tg3x ist eine Stammfunktion für f(x)=3/cos3x auf dem Intervall (-n/ 2; P/ 2),
Weil F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Beispiel Nr. 4. Die Funktion F(x)=3sin4x+1/x-2 ist Stammfunktion für f(x)=12cos4x-1/x 2 auf dem Intervall (0;∞)
Weil F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Vorlesung 2.

Thema: Stammfunktion. Die Haupteigenschaft einer Stammfunktion.

Beim Studium der Stammfunktion stützen wir uns auf die folgende Aussage. Konstanzzeichen einer Funktion: Wenn auf dem Intervall J die Ableitung Ψ(x) der Funktion gleich 0 ist, dann ist die Funktion Ψ(x) auf diesem Intervall konstant.

Diese Aussage lässt sich geometrisch beweisen.

Es ist bekannt, dass Ψ`(x)=tgα, γde α der Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion Ψ(x) am Punkt mit der Abszisse x 0 ist. Wenn Ψ`(υ)=0 an irgendeinem Punkt im Intervall J, dann ist tanα=0 δfür jede Tangente an den Graphen der Funktion Ψ(x). Dies bedeutet, dass die Tangente an den Funktionsgraphen an jedem Punkt parallel zur Abszissenachse verläuft. Daher fällt im angegebenen Intervall der Graph der Funktion Ψ(x) mit dem Geradensegment y=C zusammen.

Die Funktion f(x)=c ist also im Intervall J konstant, wenn f`(x)=0 in diesem Intervall.

Tatsächlich können wir für ein beliebiges x 1 und x 2 aus dem Intervall J unter Verwendung des Satzes über den Mittelwert einer Funktion schreiben:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), weil f`(c)=0, dann f(x 2)= f(x 1)

Satz: (Die Haupteigenschaft der Stammfunktion)

Wenn F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) im Intervall J ist, dann hat die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion die Form: F(x) + C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.

Nachweisen:

Sei F`(x) = f (x), dann ist (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), für x Є J.
Angenommen, es existiert Φ(x) – eine weitere Stammfunktion für f (x) im Intervall J, d. h. Φ`(x) = f (x),
dann ist (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, für x Є J.
Das bedeutet, dass Φ(x) - F(x) im Intervall J konstant ist.
Daher ist Φ(x) - F(x) = C.
Von wo aus Φ(x)= F(x)+C.
Das heißt, wenn F(x) eine Stammfunktion für eine Funktion f (x) im Intervall J ist, dann hat die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion die Form: F(x)+C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.
Folglich unterscheiden sich zwei beliebige Stammfunktionen einer gegebenen Funktion um einen konstanten Term voneinander.

Beispiel: Finden Sie die Menge der Stammfunktionen der Funktion f (x) = cos x. Zeichnen Sie Diagramme der ersten drei.

Lösung: Sin x ist eine der Stammfunktionen für die Funktion f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – die Menge aller Stammfunktionen.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrische Darstellung: Der Graph einer beliebigen Stammfunktion F(x)+C kann aus dem Graphen der Stammfunktion F(x) mithilfe der Parallelübertragung r (0;c) erhalten werden.

Beispiel: Finden Sie für die Funktion f (x) = 2x eine Stammfunktion, deren Graph durch t.M (1;4) verläuft.

Lösung: F(x)=x 2 +C – die Menge aller Stammfunktionen, F(1)=4 – entsprechend den Bedingungen des Problems.
Daher ist 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) (eine gestrichelte Linie bestehend aus drei geraden Segmenten). Berechnen Sie anhand der Abbildung F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist.

Lösung anzeigen

Lösung

Nach der Newton-Leibniz-Formel ist die Differenz F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist, gleich der Fläche des begrenzten krummlinigen Trapezes durch den Graphen der Funktion y=f(x), Geraden y=0 , x=9 und x=5.

Aus der Grafik bestimmen wir, dass das angegebene gebogene Trapez ein Trapez mit den Basen 4 und 3 und der Höhe 3 ist. Seine Fläche ist gleich

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Antwort

Lösung anzeigen

Lösung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=F(x) – eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x), die im Intervall (-5; 5) definiert ist.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x)=0 auf der Strecke [-3; 4]. Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt die Gleichung: F"(x)=f(x). Daher kann die Gleichung f(x)=0 als F"(x)=0 geschrieben werden. Da die Abbildung den Graphen der Funktion y=F(x) zeigt, müssen wir diese Punkte im Intervall [-3; 4], in dem die Ableitung der Funktion F(x) gleich Null ist. Aus der Abbildung geht hervor, dass dies die Abszissen der Extrempunkte (Maximum oder Minimum) des F(x)-Graphen sind.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Davon gibt es im angegebenen Intervall genau 7 (vier Minimalpunkte und drei Maximalpunkte).

Lösung anzeigen

Lösung

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017.

Aus der Grafik bestimmen wir, dass das angegebene gebogene Trapez ein Trapez mit den Basen 4 und 3 und der Höhe 3 ist. \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=F(x) – eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-5; 4).

Lösung anzeigen

Lösung

Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f (x) = 0 auf dem Segment (-3; 3).

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt die Gleichung: F"(x)=f(x). Daher kann die Gleichung f(x)=0 als F"(x)=0 geschrieben werden.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Da die Abbildung den Graphen der Funktion y=F(x) zeigt, müssen wir diese Punkte im Intervall [-3; 3], bei dem die Ableitung der Funktion F(x) gleich Null ist.

Aus der Abbildung geht hervor, dass dies die Abszissen der Extrempunkte (Maximum oder Minimum) des F(x)-Graphen sind.

Lösung anzeigen

Lösung

Davon gibt es im angegebenen Intervall genau 5 (zwei Minimalpunkte und drei Maximalpunkte). Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x). Die Funktion F(x)=-x^3+4,5x^2-7 ist eine der Stammfunktionen der Funktion f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die schattierte Figur ist ein krummliniges Trapez, das von oben durch den Graphen der Funktion y=f(x), der Geraden y=0, x=1 und x=3 begrenzt wird.

Funktion Nach der Newton-Leibniz-Formel ist seine Fläche S gleich der Differenz F(3)-F(1), wobei F(x) die Stammfunktion der in der Bedingung angegebenen Funktion f(x) ist.Deshalb ) S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x).Deshalb) Die Funktion F(x)=x^3+6x^2+13x-5 ist eine der Stammfunktionen der Funktion f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur. F(

XDeshalb ) = angerufen(Deshalb ) .

Stammfunktion für Funktion 2 Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x).Deshalb ) = 2X F(

in einem bestimmten Intervall, wenn überhaupt 2 )" = 2X ◄

ab diesem Intervall gilt die Gleichheit

F"( F(x) F f(x) Zum Beispiel die Funktion f(x) F(x) = x , Weil, Wo F"(x) = (x x = f(x).

Die Haupteigenschaft der Stammfunktion Wenn - Stammfunktion einer Funktion 2 + 1 in einem gegebenen Intervall, dann die Funktion Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x).Deshalb ) = 2X , Weil hat unendlich viele Stammfunktionen, und alle diese Stammfunktionen können in der Form geschrieben werden 1 )" = 2 F(x) + C; Funktion - Stammfunktion einer Funktion 2 - 1 in einem gegebenen Intervall, dann die Funktion Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x).Deshalb ) = 2X MIT in einem bestimmten Intervall, wenn überhaupt 2 - 1)" = 2F(x) + C ; Funktion für Funktion 2 - 3 ist eine beliebige Konstante. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x).Deshalb) = 2X MIT in einem bestimmten Intervall, wenn überhaupt 2 - 3)" = 2 Zum Beispiel.; Funktion für Funktion 2 + MIT , Wo F"(x) = (x F(x) = x Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x).Deshalb) = 2X . ◄

ist eine Stammfunktion der Funktion

1. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , Weil ist eine Stammfunktion der Funktion x = f(x) jede Funktion - eine beliebige Konstante, und nur eine solche Funktion ist eine Stammfunktion der Funktion Regeln zur Berechnung von Stammfunktionen F(x) - Stammfunktion für f(x) , A G(x) .
2. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , Weil - Stammfunktion für g(x) , Das g(x) · F"(x) = (x 2 + - Stammfunktion für g(x) · F(x) + G(x) , A - Stammfunktion für .
3. F"( F"(x) = (x 2 + x = f(x) , Weil - Stammfunktion für g(x),f(x) + g(x). Mit anderen Worten, die Stammfunktion der Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen 0 Regeln zur Berechnung von Stammfunktionen 1 / , Und k- also konstant f(x) Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden ) - Stammfunktion für B(g(x) - konstant, und k ≠) .

k

Unbestimmtes Integral aus der Funktion , Weil Ausdruck genannt , Weil, also die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion F(x) + G(x) . Das unbestimmte Integral wird wie folgt bezeichnet:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- sie rufen an Integrandenfunktion ;

f(x) dx- sie rufen an Integrand ;

Deshalb - sie rufen an Integrationsvariable ;

F"(x) = (x 2 + - eine der primitiven Funktionen , Weil ;

F"(x) = (x x = f(x).

Zum Beispiel, ∫ 2 x dx =X 2 + MIT , ∫ cosx dx = Sünde X + MIT und so weiter. ◄

Das Wort „Integral“ kommt vom lateinischen Wort ganze Zahl , was „wiederhergestellt“ bedeutet. Betrachtet man das unbestimmte Integral von 2 Deshalb, wir scheinen die Funktion wiederherzustellen X 2 , dessen Ableitung gleich ist 2 Deshalb. Das Wiederherstellen einer Funktion aus ihrer Ableitung oder, was dasselbe ist, das Finden eines unbestimmten Integrals über einem gegebenen Integranden nennt man Integration diese Funktion. Die Integration ist die Umkehroperation der Differenzierung. Um zu überprüfen, ob die Integration korrekt durchgeführt wurde, genügt es, das Ergebnis zu differenzieren und den Integranden zu erhalten.

Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Der konstante Faktor des Integranden lässt sich aus dem Integralzeichen entnehmen:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Integral der Summe (Differenz) von Funktionen gleich der Summe(Differenzen) von Integralen dieser Funktionen:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. F"( g(x),f(x) + g(x). Mit anderen Worten, die Stammfunktion der Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen 0 , Das

∫ F ( g(x) - konstant, und k ≠) dx = 1 / , Und k- also konstant f(x) Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden ) + C .

Tabelle der Stammfunktionen und unbestimmten Integrale

	F(x) + G(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
ICH.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Die in dieser Tabelle angegebenen Stammfunktionen und unbestimmten Integrale werden üblicherweise aufgerufen tabellarische Stammfunktionen Und Tabellenintegrale .

Bestimmtes Integral

Zwischendurch lassen [A; B] eine stetige Funktion ist gegeben y = f(x) , Dann bestimmtes Integral von a nach b Funktionen F(x) + G(x) heißt das Inkrement der Stammfunktion F"(x) = (x 2 + diese Funktion, das ist

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Zahlen A Und Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden heißen entsprechend untere Und Spitze Grenzen der Integration.

Grundregeln zur Berechnung eines bestimmten Integrals

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) wobei g(x) - konstant;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), wobei , Weil — gleichmäßige Funktion;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), wobei F(x) + G(x) ist eine seltsame Funktion.

Kommentar . In allen Fällen wird davon ausgegangen, dass die Integranden in numerischen Intervallen integrierbar sind, deren Grenzen die Grenzen der Integration sind.

Geometrische und physikalische Bedeutung des bestimmten Integrals

Geometrische Bedeutung bestimmtes Integral	Physikalische Bedeutung bestimmtes Integral
Quadrat S krummliniges Trapez (eine Figur, die durch den Graphen eines kontinuierlichen Positivs im Intervall begrenzt wird). [A; B] Funktionen F(x) + G(x) , Achse Ochse und gerade x=a , x=b ) wird nach der Formel berechnet $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Weg S, die der materielle Punkt überwunden hat, und bewegt sich geradlinig mit einer gesetzmäßig variierenden Geschwindigkeit v(t) , für einen Zeitraum a ; B] , dann die Fläche der Figur, die durch die Graphen dieser Funktionen und Geraden begrenzt wird x = a , x = b , berechnet nach der Formel $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Zum Beispiel. Berechnen wir die Fläche der durch Linien begrenzten Figur y = x 2 Und y= 2-X . Lassen Sie uns die Diagramme dieser Funktionen schematisch darstellen und die Figur, deren Fläche gefunden werden muss, in einer anderen Farbe hervorheben. Um die Grenzen der Integration zu finden, lösen wir die Gleichung: Deshalb 2 = 2-X ; Deshalb 2 + X- 2 = 0 ; Deshalb 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumen eines Rotationskörpers

	Wenn ein Körper durch Drehung um eine Achse entsteht Ochse krummliniges Trapez, das durch einen kontinuierlichen und nicht negativen Graphen im Intervall begrenzt wird [A; B] Funktionen y = f(x) und gerade x = a Und x = b , dann heißt es Rotationskörper . Das Volumen eines Rotationskörpers wird nach der Formel berechnet $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Wenn ein Rotationskörper als Ergebnis der Drehung einer nach oben und unten durch Funktionsgraphen begrenzten Figur entsteht y = f(x) Und y = g(x) , dementsprechend also $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Zum Beispiel. Berechnen wir das Volumen eines Kegels mit Radius R und Höhe H . Platzieren wir den Kegel bei rechteckiges System Koordinaten so, dass seine Achse mit der Achse übereinstimmt Ochse , und die Mitte der Basis befand sich im Ursprung. Generatorrotation AB definiert einen Kegel. Da die Gleichung AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
und für das Volumen des Kegels haben wir $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄