Teilbarkeitskriterien für natürliche Zahlen.
Man nennt Zahlen, die ohne Rest durch 2 teilbar sindsogar .
Man nennt Zahlen, die nicht durch 2 teilbar sindseltsam .
Test auf Teilbarkeit durch 2
Wenn eine natürliche Zahl mit einer geraden Ziffer endet, ist diese Zahl ohne Rest durch 2 teilbar, und wenn eine Zahl mit einer ungeraden Ziffer endet, ist diese Zahl nicht gerade durch 2 teilbar.
Zum Beispiel die Zahlen 60 , 30 8 , 8 4 sind ohne Rest durch 2 teilbar und die Zahlen sind 51 , 8 5 , 16 7 sind nicht ohne Rest durch 2 teilbar.
Test auf Teilbarkeit durch 3
Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 3 teilbar; Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl nicht durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl nicht durch 3 teilbar.
Lassen Sie uns zum Beispiel herausfinden, ob die Zahl 2772825 durch 3 teilbar ist. Dazu berechnen wir die Summe der Ziffern dieser Zahl: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 – teilbar durch 3. Das bedeutet, dass die Zahl 2772825 durch 3 teilbar ist.
Teilbarkeitstest durch 5
Endet der Eintrag einer natürlichen Zahl mit der Ziffer 0 oder 5, dann ist diese Zahl ohne Rest durch 5 teilbar. Endet der Eintrag einer Zahl mit einer anderen Ziffer, dann ist die Zahl nicht ohne Rest durch 5 teilbar.
Zum Beispiel die Zahlen 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 sind ohne Rest durch 5 teilbar und die Zahlen sind 17 , 37 8 , 9 1 nicht teilen.
Teilbarkeitstest durch 9
Wenn die Summe der Ziffern einer Zahl durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl durch 9 teilbar; Wenn die Ziffernsumme einer Zahl nicht durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl nicht durch 9 teilbar.
Lassen Sie uns zum Beispiel herausfinden, ob die Zahl 5402070 durch 9 teilbar ist. Dazu berechnen wir die Summe der Ziffern dieser Zahl: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 – nicht durch 9 teilbar . Das bedeutet, dass die Zahl 5402070 nicht durch 9 teilbar ist.
Teilbarkeitstest durch 10
Endet eine natürliche Zahl mit der Ziffer 0, dann ist diese Zahl ohne Rest durch 10 teilbar. Endet eine natürliche Zahl mit einer anderen Ziffer, dann ist sie nicht gerade durch 10 teilbar.
Zum Beispiel die Zahlen 40 , 17 0 , 1409 0 sind ohne Rest durch 10 teilbar und die Zahlen 17 , 9 3 , 1430 7 - nicht teilen.
Die Regel zum Finden des größten gemeinsamen Teilers (GCD).
Um das Größte zu finden gemeinsamer Teiler Um mehrere natürliche Zahlen zu erhalten, benötigen Sie:
2) Von den Faktoren, die in die Entwicklung einer dieser Zahlen einfließen, streichen Sie diejenigen durch, die nicht in die Entwicklung anderer Zahlen eingehen;
3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.
Beispiel. Finden wir GCD (48;36). Nutzen wir die Regel.
1. Zerlegen wir die Zahlen 48 und 36 in Primfaktoren.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Von den Faktoren, die in der Entwicklung der Zahl 48 enthalten sind, streichen wir diejenigen, die nicht in der Entwicklung der Zahl 36 enthalten sind.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Die restlichen Faktoren sind 2, 2 und 3.
3. Multiplizieren Sie die restlichen Faktoren und erhalten Sie 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Die Regel zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).
Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen zu finden, müssen Sie:
1) faktorisiere sie in Primfaktoren;
2) Notieren Sie die Faktoren, die in die Entwicklung einer der Zahlen einfließen;
3) füge die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;
4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.
Beispiel. Finden wir den LOC (75;60). Nutzen wir die Regel.
1. Zerlegen wir die Zahlen 75 und 60 in Primfaktoren.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Schreiben wir die Faktoren auf, die in der Entwicklung der Zahl 75 enthalten sind: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Fügen Sie dazu die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Zahl 60 hinzu, d. h. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Definition. Die größte natürliche Zahl, die ohne Rest durch die Zahlen a und b teilbar ist, heißt größter gemeinsamer Teiler (GCD) diese Zahlen.
Finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 24 und 35.
Die Teiler von 24 sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 und die Teiler von 35 sind die Zahlen 1, 5, 7, 35.
Wir sehen, dass die Zahlen 24 und 35 nur einen gemeinsamen Teiler haben – die Zahl 1. Solche Zahlen heißen gegenseitig prim.
Definition. Natürliche Zahlen werden aufgerufen gegenseitig prim, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (GCD) 1 ist.
Größter gemeinsamer Teiler (GCD) kann gefunden werden, ohne alle Teiler dieser Zahlen auszuschreiben.
Wenn wir die Zahlen 48 und 36 faktorisieren, erhalten wir:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Von den Faktoren, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, streichen wir diejenigen heraus, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind (d. h. zwei Zweier).
Die verbleibenden Faktoren sind 2 * 2 * 3. Ihr Produkt ist 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36. Es gibt auch den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr Zahlen.
Zu finden größter gemeinsamer Teiler
2) Von den Faktoren, die in die Entwicklung einer dieser Zahlen einfließen, streichen Sie diejenigen durch, die nicht in die Entwicklung anderer Zahlen eingehen;
3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.
Wenn alle gegebenen Zahlen durch eine davon teilbar sind, dann ist diese Zahl größter gemeinsamer Teiler gegebene Zahlen.
Beispielsweise ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 15, 45, 75 und 180 die Zahl 15, da alle anderen Zahlen durch sie teilbar sind: 45, 75 und 180.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)
Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) Die natürlichen Zahlen a und b sind die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a und b ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Zahlen 75 und 60 kann ermittelt werden, ohne die Vielfachen dieser Zahlen hintereinander aufzuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in Primfaktoren: 75 = 3 * 5 * 5 und 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Schreiben wir die Faktoren auf, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, und fügen wir ihnen die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Entwicklung der zweiten Zahl hinzu (d. h. wir kombinieren die Faktoren).
Wir erhalten fünf Faktoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, deren Produkt 300 ist. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60.
Sie finden auch das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen.
Zu Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache Um mehrere natürliche Zahlen zu erhalten, benötigen Sie:
1) faktorisiere sie in Primfaktoren;
2) Notieren Sie die Faktoren, die in die Entwicklung einer der Zahlen einfließen;
3) füge die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;
4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.
Beachten Sie, dass, wenn eine dieser Zahlen durch alle anderen Zahlen teilbar ist, diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist.
Beispielsweise ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12, 15, 20 und 60 60, weil es durch alle diese Zahlen teilbar ist.
Pythagoras (VI. Jahrhundert v. Chr.) und seine Schüler untersuchten die Frage der Teilbarkeit von Zahlen. Nummer, gleich der Summe Sie nannten alle ihre Teiler (ohne die Zahl selbst) eine perfekte Zahl. Beispielsweise sind die Zahlen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekt. Die nächsten perfekten Zahlen sind 496, 8128, 33.550.336. Die Pythagoräer kannten nur die ersten drei perfekten Zahlen. Der vierte – 8128 – wurde im 1. Jahrhundert bekannt. N. e. Der fünfte – 33.550.336 – wurde im 15. Jahrhundert gefunden. Bis 1983 waren bereits 27 perfekte Zahlen bekannt. Aber Wissenschaftler wissen immer noch nicht, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt oder ob es eine größte vollkommene Zahl gibt.
Das Interesse der alten Mathematiker an Primzahlen beruht auf der Tatsache, dass jede Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, d. h. Primzahlen sind wie Bausteine, aus denen die übrigen natürlichen Zahlen aufgebaut sind.
Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen ungleichmäßig vorkommen – in einigen Teilen der Reihe gibt es mehr davon, in anderen weniger. Aber je weiter wir uns in der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden Primzahlen. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine letzte (größte) Primzahl? Der antike griechische Mathematiker Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) bewies in seinem Buch „Elemente“, das zweitausend Jahre lang das wichtigste Lehrbuch der Mathematik war, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, d. h. hinter jeder Primzahl steht eine noch größere Primzahl Nummer.
Um Primzahlen zu finden, entwickelte ein anderer griechischer Mathematiker der gleichen Zeit, Eratosthenes, diese Methode. Er schrieb alle Zahlen von 1 bis zu einer Zahl auf und strich dann eine durch, die weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist, und strich dann durch eins alle Zahlen durch, die nach 2 kamen (Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind, also 4). 6, 8 usw.). Die erste verbleibende Zahl nach 2 war 3. Dann wurden nach zwei alle Zahlen nach 3 (Zahlen, die ein Vielfaches von 3 waren, also 6, 9, 12 usw.) durchgestrichen. letztlich blieben nur die Primzahlen ungekreuzt.
Die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest geteilt werden, heißt größter gemeinsamer Teiler diese Zahlen. Bezeichnen Sie GCD(a, b).
Betrachten wir die Ermittlung von GCD am Beispiel der beiden natürlichen Zahlen 18 und 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Und 432
Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Wenn wir aus der ersten Zahl die Faktoren streichen, die in der zweiten und dritten Zahl nicht vorkommen, erhalten wir:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Infolgedessen ist GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Finden von GCD mit dem euklidischen Algorithmus
Die zweite Möglichkeit, den größten gemeinsamen Teiler zu finden, ist die Verwendung Euklidischer Algorithmus. Der Euklid-Algorithmus ist der beste auf effiziente Weise finden GCD Wenn Sie es verwenden, müssen Sie ständig den Rest der Divisionszahlen finden und anwenden Wiederholungsformel.
Wiederholungsformel für GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), wobei a mod b der Rest von a dividiert durch b ist.
Euklids Algorithmus
Beispiel Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen 7920 Und 594
Finden wir GCD( 7920 , 594 ) unter Verwendung des euklidischen Algorithmus berechnen wir den Rest der Division mit einem Taschenrechner.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Als Ergebnis erhalten wir GCD( 7920 , 594 ) = 198
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Um zu finden gemeinsamer Nenner beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit verschiedene Nenner man muss es wissen und rechnen können kleinstes gemeinsames Vielfaches(NOK).
Ein Vielfaches der Zahl „a“ ist eine Zahl, die selbst ohne Rest durch die Zahl „a“ teilbar ist.
Zahlen, die ein Vielfaches von 8 sind (d. h. diese Zahlen sind ohne Rest durch 8 teilbar): Das sind die Zahlen 16, 24, 32 ...
Vielfache von 9: 18, 27, 36, 45…
Im Gegensatz zu den Teilern derselben Zahl gibt es unendlich viele Vielfache einer gegebenen Zahl a. Es gibt eine endliche Anzahl von Teilern.
Das gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist..
Kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die selbst durch jede dieser Zahlen teilbar ist.
So finden Sie NOC
LCM kann auf zwei Arten gefunden und geschrieben werden.
Der erste Weg, das LOC zu finden
Diese Methode wird normalerweise für kleine Zahlen verwendet.
- Wir schreiben die Vielfachen für jede Zahl auf eine Zeile, bis wir ein Vielfaches finden, das für beide Zahlen gleich ist.
- Das Vielfache der Zahl „a“ wird mit dem Großbuchstaben „K“ bezeichnet.
Beispiel. Finden Sie LCM 6 und 8.
Der zweite Weg, das LOC zu finden
Diese Methode ist praktisch, um das LCM für drei oder mehr Zahlen zu ermitteln.
Die Anzahl identischer Faktoren bei Zahlenzerlegungen kann unterschiedlich sein.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Antwort: LCM (24, 60) = 120
Sie können die Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) auch wie folgt formalisieren. Finden wir den LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Wie wir aus der Zerlegung von Zahlen sehen, sind alle Faktoren von 12 in der Zerlegung von 24 (der größten der Zahlen) enthalten, sodass wir nur eine 2 aus der Zerlegung der Zahl 16 zum LCM hinzufügen.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Antwort: LCM (12, 16, 24) = 48
Sonderfälle bei der Suche nach einem NOC
Beispiel: LCM (60, 15) = 60
Da Koprimzahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt dieser Zahlen.
Auf unserer Website können Sie außerdem mit einem speziellen Rechner das kleinste gemeinsame Vielfache online ermitteln und so Ihre Berechnungen überprüfen.
Ist eine natürliche Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar, so heißt sie Primzahl.
Jede natürliche Zahl ist immer durch 1 und sich selbst teilbar.
Die Zahl 2 ist die kleinste Primzahl. Dies ist die einzige gerade Primzahl, die übrigen Primzahlen sind ungerade.
Es gibt viele Primzahlen und die erste davon ist die Zahl 2. Allerdings gibt es keine letzte Primzahl. Im Bereich „Zum Studium“ können Sie eine Tabelle mit Primzahlen bis 997 herunterladen.
Viele natürliche Zahlen sind aber auch durch andere natürliche Zahlen teilbar.
- die Zahl 12 ist durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12 teilbar;
- Die Zahl 36 ist durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36 teilbar.
- Zerlegen Sie die Teiler von Zahlen in Primfaktoren.
Die Zahlen, durch die die Zahl durch ein Ganzes teilbar ist (für 12 sind das 1, 2, 3, 4, 6 und 12), nennt man Teiler der Zahl.
Der Teiler einer natürlichen Zahl a ist eine natürliche Zahl, die die gegebene Zahl „a“ ohne Rest teilt.
Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, heißt zusammengesetzt.
Bitte beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Faktoren haben. Diese Zahlen sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12.
Der gemeinsame Teiler zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest geteilt werden.
Größter gemeinsamer Teiler(GCD) zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist größte Zahl, durch die beide Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest dividiert werden.
Kurz gesagt wird der größte gemeinsame Teiler der Zahlen „a“ und „b“ wie folgt geschrieben::
Beispiel: ggT (12; 36) = 12.
Teiler von Zahlen im Lösungsdatensatz werden mit dem Großbuchstaben „D“ gekennzeichnet.
Die Zahlen 7 und 9 haben nur einen gemeinsamen Teiler – die Zahl 1. Solche Nummern werden aufgerufen Koprimzahlen.
Koprimzahlen- das sind natürliche Zahlen, die nur einen gemeinsamen Teiler haben – die Zahl 1. Ihr gcd ist 1.
So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler
Um den ggT von zwei oder mehr natürlichen Zahlen zu ermitteln, benötigen Sie:
Es ist praktisch, Berechnungen mit einem vertikalen Balken zu schreiben. Links von der Linie schreiben wir zunächst den Dividenden auf, rechts den Divisor. Als nächstes notieren wir in der linken Spalte die Werte der Quotienten.
Lassen Sie es uns gleich anhand eines Beispiels erklären. Zerlegen wir die Zahlen 28 und 64 in Primfaktoren.
- Wir betonen in beiden Zahlen die gleichen Primfaktoren.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Finden Sie das Produkt identischer Primfaktoren und notieren Sie die Antwort.
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Antwort: GCD (28; 64) = 4
Sie können die Position des GCD auf zwei Arten formalisieren: in einer Spalte (wie oben gemacht) oder „in einer Zeile“.
Der erste Weg, gcd zu schreiben
Finden Sie gcd 48 und 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Die zweite Möglichkeit, gcd zu schreiben
Schreiben wir nun die Lösung der GCD-Suche in einer Zeile auf. Finden Sie GCD 10 und 15.
Auf unserer Informationsseite können Sie auch den Online-Helfer „Größter gemeinsamer Teiler“ nutzen, um Ihre Berechnungen zu überprüfen.
Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, Methoden, Beispiele zum Finden des LCM.
Das unten präsentierte Material ist eine logische Fortsetzung der Theorie aus dem Artikel mit dem Titel LCM – kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele, Zusammenhang zwischen LCM und GCD. Hier werden wir darüber reden Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM), Und besondere Aufmerksamkeit Konzentrieren wir uns auf die Lösung von Beispielen. Zunächst zeigen wir, wie der kgV zweier Zahlen mithilfe des GCD dieser Zahlen berechnet wird. Als nächstes schauen wir uns an, wie wir das kleinste gemeinsame Vielfache finden, indem wir Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Danach konzentrieren wir uns auf die Ermittlung des LCM von drei oder mehr Zahlen und konzentrieren uns auch auf die Berechnung des LCM von negativen Zahlen.
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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) über GCD
Eine Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Beziehung zwischen LCM und GCD. Die bestehende Verbindung zwischen LCM und GCD ermöglicht es uns, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver Ganzzahlen über einen bekannten größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Die entsprechende Formel lautet LCM(a, b)=ab:GCD(a, b). Betrachten wir Beispiele für die Ermittlung des LCM mithilfe der angegebenen Formel.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen 126 und 70.
In diesem Beispiel a=126 , b=70 . Lassen Sie uns den Zusammenhang zwischen LCM und GCD verwenden, ausgedrückt durch die Formel LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Das heißt, wir müssen zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70 und 126 finden, woraufhin wir den kgV dieser Zahlen mithilfe der geschriebenen Formel berechnen können.
Finden wir GCD(126, 70) mit dem euklidischen Algorithmus: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, also GCD(126, 70)=14.
Jetzt finden wir das benötigte kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Was ist LCM(68, 34) gleich?
Da 68 durch 34 teilbar ist, gilt GCD(68, 34)=34. Jetzt berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Beachten Sie, dass das vorherige Beispiel die folgende Regel zum Ermitteln des LCM für positive ganze Zahlen a und b erfüllt: Wenn a durch b teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen a.
Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren
Eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, besteht darin, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn Sie ein Produkt aus allen Primfaktoren gegebener Zahlen zusammenstellen und dann aus diesem Produkt alle gemeinsamen Primfaktoren ausschließen, die in den Zerlegungen der gegebenen Zahlen vorkommen, dann ist das resultierende Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der gegebenen Zahlen .
Die angegebene Regel zum Finden von LCM folgt aus der Gleichheit LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Tatsächlich ist das Produkt der Zahlen a und b gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung der Zahlen a und b beteiligt sind. GCD(a, b) ist wiederum gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Entwicklungen der Zahlen a und b vorkommen (wie im Abschnitt zum Ermitteln des GCD mithilfe der Entwicklung von Zahlen in Primfaktoren beschrieben).
Geben wir ein Beispiel. Lassen Sie uns wissen, dass 75=3·5·5 und 210=2·3·5·7. Stellen wir das Produkt aus allen Faktoren dieser Entwicklungen zusammen: 2·3·3·5·5·5·7 . Aus diesem Produkt schließen wir nun alle Faktoren aus, die sowohl in der Entwicklung der Zahl 75 als auch in der Entwicklung der Zahl 210 vorkommen (diese Faktoren sind 3 und 5), dann nimmt das Produkt die Form 2·3·5·5·7 an . Der Wert dieses Produkts entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 75 und 210, also LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Zerlegen Sie die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren und ermitteln Sie das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.
Zerlegen wir die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren: 
Wir erhalten 441=3·3·7·7 und 700=2·2·5·5·7.
Lassen Sie uns nun ein Produkt aus allen Faktoren erstellen, die an der Entwicklung dieser Zahlen beteiligt sind: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Schließen wir aus diesem Produkt alle Faktoren aus, die in beiden Erweiterungen gleichzeitig vorhanden sind (es gibt nur einen solchen Faktor – das ist die Zahl 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Somit ist LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Die Regel zum Ermitteln des LCM mithilfe der Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren kann etwas anders formuliert werden. Wenn die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Zahl b zu den Faktoren aus der Entwicklung der Zahl a addiert werden, dann ist der Wert des resultierenden Produkts gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a und b.
Nehmen wir zum Beispiel die gleichen Zahlen 75 und 210, ihre Zerlegung in Primfaktoren ist wie folgt: 75=3·5·5 und 210=2·3·5·7. Zu den Faktoren 3, 5 und 5 aus der Entwicklung der Zahl 75 addieren wir die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der Entwicklung der Zahl 210, wir erhalten das Produkt 2·3·5·5·7, dessen Wert ist gleich LCM(75, 210).
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.
Wir erhalten zunächst die Zerlegungen der Zahlen 84 und 648 in Primfaktoren. Sie sehen aus wie 84=2·2·3·7 und 648=2·2·2·3·3·3·3. Zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 aus der Entwicklung der Zahl 84 addieren wir die fehlenden Faktoren 2, 3, 3 und 3 aus der Entwicklung der Zahl 648, wir erhalten das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, was 4 536 entspricht. Somit ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648 4.536.
Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen
Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen kann ermittelt werden, indem nacheinander das kgV von zwei Zahlen ermittelt wird. Erinnern wir uns an den entsprechenden Satz, der eine Möglichkeit bietet, das kgV von drei oder mehr Zahlen zu ermitteln.
Seien positive ganze Zahlen a 1 , a 2 , …, a k gegeben, das kleinste gemeinsame Vielfache m k dieser Zahlen wird durch sequentielle Berechnung von m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ermittelt 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Betrachten wir die Anwendung dieses Theorems am Beispiel der Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von vier Zahlen.
Finden Sie den LCM der vier Zahlen 140, 9, 54 und 250.
Zuerst finden wir m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Dazu bestimmen wir mit dem Euklidischen Algorithmus GCD(140, 9), wir haben 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, daher ist GCD(140, 9)=1, woraus LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Das heißt, m 2 =1 260.
Nun finden wir m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). Berechnen wir es über GCD(1 260, 54), das wir ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus ermitteln: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Dann ist ggT(1,260, 54)=18, woraus ggT(1,260, 54)= 1,260·54:ggT(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Das heißt, m 3 =3 780.
Es bleibt noch m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). Dazu ermitteln wir GCD(3.780, 250) mithilfe des euklidischen Algorithmus: 3.780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Daher ist GCD(3.780, 250)=10, woraus GCD(3.780, 250)= 3.780·250:GCD(3.780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Das heißt, m 4 =94.500.
Das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen vier Zahlen ist also 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500 .
In vielen Fällen ist es praktisch, das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen mithilfe der Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahlen zu ermitteln. In diesem Fall sollten Sie sich an die folgende Regel halten. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkt, das sich wie folgt zusammensetzt: Die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl werden zu allen Faktoren aus der Entwicklung der ersten Zahl addiert, die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Die dritte Zahl wird zu den resultierenden Faktoren addiert und so weiter.
Schauen wir uns ein Beispiel für die Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Primfaktorzerlegung an.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der fünf Zahlen 84, 6, 48, 7, 143.
Zuerst erhalten wir Zerlegungen dieser Zahlen in Primfaktoren: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ist eine Primzahl, sie stimmt überein mit seiner Zerlegung in Primfaktoren) und 143=11·13.
Um den LCM dieser Zahlen zu ermitteln, müssen Sie zu den Faktoren der ersten Zahl 84 (es sind 2, 2, 3 und 7) die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl 6 hinzufügen. Die Zerlegung der Zahl 6 enthält keine fehlenden Faktoren, da sowohl 2 als auch 3 bereits in der Zerlegung der ersten Zahl 84 vorhanden sind. Als nächstes fügen wir zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Entwicklung der dritten Zahl 48 hinzu, wir erhalten eine Reihe von Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7. Das Hinzufügen von Multiplikatoren zu diesem Set ist im nächsten Schritt nicht erforderlich, da 7 bereits darin enthalten ist. Zu den Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7 fügen wir schließlich die fehlenden Faktoren 11 und 13 aus der Entwicklung der Zahl 143 hinzu. Wir erhalten das Produkt 2·2·2·2·3·7·11·13, was 48.048 entspricht.
Daher ist LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48.048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48.048 .
Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen negativer Zahlen
Manchmal gibt es Aufgaben, bei denen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen finden müssen, von denen eine, mehrere oder alle Zahlen negativ sind. In diesen Fällen alles negative Zahlen Sie müssen sie durch ihre Gegenzahlen ersetzen und dann den LCM positiver Zahlen ermitteln. Auf diese Weise lässt sich das kgV von negativen Zahlen ermitteln. Zum Beispiel LCM(54, −34) = LCM(54, 34) und LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Wir können dies tun, weil die Menge der Vielfachen von a dieselbe ist wie die Menge der Vielfachen von −a (a und −a sind entgegengesetzte Zahlen). Sei b tatsächlich ein Vielfaches von a, dann ist b durch a teilbar, und das Konzept der Teilbarkeit besagt, dass eine ganze Zahl q existiert, so dass b=a·q. Es gilt aber auch die Gleichheit b=(−a)·(−q), was aufgrund des gleichen Teilbarkeitskonzepts bedeutet, dass b durch −a teilbar ist, also b ein Vielfaches von −a ist. Das Umgekehrte gilt auch: Wenn b ein Vielfaches von −a ist, dann ist b auch ein Vielfaches von a.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der negativen Zahlen −145 und −45.
Ersetzen wir die negativen Zahlen −145 und −45 durch ihre Gegenzahlen 145 und 45. Wir haben LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Nachdem wir GCD(145, 45)=5 bestimmt haben (zum Beispiel unter Verwendung des euklidischen Algorithmus), berechnen wir GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Somit ist das kleinste gemeinsame Vielfache der negativen ganzen Zahlen −145 und −45 1.305.
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Wir studieren weiterhin Division. In dieser Lektion werden wir uns Konzepte ansehen wie GCD Und NOC.
GCD ist der größte gemeinsame Teiler.
NOC ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Das Thema ist ziemlich langweilig, aber man muss es unbedingt verstehen. Wenn Sie dieses Thema nicht verstehen, können Sie nicht effektiv mit Brüchen arbeiten, die in der Mathematik ein echtes Hindernis darstellen.
Größter gemeinsamer Teiler
Definition. Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen A Und B A Und B ohne Rest geteilt.
Um diese Definition gut zu verstehen, ersetzen wir die Variablen A Und B B. zwei beliebige Zahlen anstelle einer Variablen A Ersetzen wir die Zahl 12 und anstelle der Variablen B Nummer 9. Versuchen wir nun, diese Definition zu lesen:
Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen 12 Und 9 ist die größte Zahl, um die 12 Und 9 ohne Rest geteilt.
Aus der Definition geht klar hervor, dass es sich um den gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 9 handelt, und dieser Teiler ist der größte aller existierenden Teiler. Dieser größte gemeinsame Teiler (GCD) muss gefunden werden.
Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu ermitteln, werden drei Methoden verwendet. Die erste Methode ist recht arbeitsintensiv, ermöglicht es Ihnen jedoch, das Wesentliche des Themas klar zu verstehen und seine volle Bedeutung zu spüren.
Die zweite und dritte Methode sind recht einfach und ermöglichen das schnelle Auffinden einer GCD. Wir werden uns alle drei Methoden ansehen. Und welche Sie in der Praxis anwenden möchten, bleibt Ihnen überlassen.
Die erste Methode besteht darin, alle möglichen Teiler zweier Zahlen zu finden und den größten zu wählen. Schauen wir uns diese Methode anhand des folgenden Beispiels an: Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 9.
Zuerst suchen wir alle möglichen Teiler der Zahl 12. Dazu dividieren wir 12 durch alle Teiler im Bereich von 1 bis 12. Wenn der Teiler es uns erlaubt, 12 ohne Rest zu teilen, dann markieren wir ihn in Blau und geben Sie in Klammern eine entsprechende Erklärung ein.
12: 1 = 12
(12 wird ohne Rest durch 1 geteilt, was bedeutet, dass 1 ein Teiler der Zahl 12 ist)
12: 2 = 6
(12 wird ohne Rest durch 2 geteilt, was bedeutet, dass 2 ein Teiler der Zahl 12 ist)
12: 3 = 4
(12 wird ohne Rest durch 3 geteilt, was bedeutet, dass 3 ein Teiler der Zahl 12 ist)
12: 4 = 3
(12 wird ohne Rest durch 4 geteilt, was bedeutet, dass 4 ein Teiler der Zahl 12 ist)
12: 5 = 2 (2 übrig)
(12 lässt sich nicht ohne Rest durch 5 teilen, d. h. 5 ist kein Teiler der Zahl 12)
12: 6 = 2
(12 wird ohne Rest durch 6 geteilt, was bedeutet, dass 6 ein Teiler der Zahl 12 ist)
12: 7 = 1 (5 übrig)
(12 lässt sich nicht ohne Rest durch 7 teilen, d. h. 7 ist kein Teiler der Zahl 12)
12: 8 = 1 (4 übrig)
(12 lässt sich nicht ohne Rest durch 8 teilen, d. h. 8 ist kein Teiler von 12)
12: 9 = 1 (3 übrig)
(12 lässt sich nicht ohne Rest durch 9 teilen, d. h. 9 ist kein Teiler der Zahl 12)
12: 10 = 1 (2 übrig)
(12 lässt sich nicht ohne Rest durch 10 teilen, d. h. 10 ist kein Teiler der Zahl 12)
12: 11 = 1 (1 übrig)
(12 lässt sich nicht ohne Rest durch 11 teilen, d. h. 11 ist kein Teiler von 12)
12: 12 = 1
(12 wird ohne Rest durch 12 geteilt, was bedeutet, dass 12 ein Teiler der Zahl 12 ist)
Suchen wir nun die Teiler der Zahl 9. Überprüfen Sie dazu alle Teiler von 1 bis 9
9: 1 = 9
(9 wird ohne Rest durch 1 geteilt, was bedeutet, dass 1 ein Teiler der Zahl 9 ist)
9: 2 = 4 (1 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 2 teilen, d. h. 2 ist kein Teiler der Zahl 9)
9: 3 = 3
(9 wird ohne Rest durch 3 geteilt, was bedeutet, dass 3 ein Teiler der Zahl 9 ist)
9: 4 = 2 (1 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 4 teilen, d. h. 4 ist kein Teiler der Zahl 9)
9: 5 = 1 (4 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 5 teilen, d. h. 5 ist kein Teiler der Zahl 9)
9: 6 = 1 (3 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 6 teilen, d. h. 6 ist kein Teiler der Zahl 9)
9: 7 = 1 (2 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 7 teilen, d. h. 7 ist kein Teiler der Zahl 9)
9: 8 = 1 (1 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 8 teilen, d. h. 8 ist kein Teiler der Zahl 9)
9: 9 = 1
(9 wird ohne Rest durch 9 geteilt, was bedeutet, dass 9 ein Teiler der Zahl 9 ist)
Schreiben wir nun die Teiler beider Zahlen auf. Die blau hervorgehobenen Zahlen sind Teiler. Schreiben wir sie auf:
Durch Ausschreiben der Teiler können Sie sofort feststellen, welcher der größte und häufigste ist.
Per Definition ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 9 die Zahl, die 12 und 9 ohne Rest teilt. Der größte und gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 9 ist die Zahl 3
Sowohl die Zahl 12 als auch die Zahl 9 sind ohne Rest durch 3 teilbar:
Also ggT (12 und 9) = 3
Der zweite Weg, GCD zu finden
Schauen wir uns nun die zweite Methode zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers an. Die Essenz diese Methode besteht darin, beide Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen und die gemeinsamen zu multiplizieren.
Beispiel 1. Finden Sie den gcd der Nummern 24 und 18
Zerlegen wir zunächst beide Zahlen in Primfaktoren:
Nun multiplizieren wir ihre gemeinsamen Faktoren. Um Verwirrung zu vermeiden, können gemeinsame Faktoren hervorgehoben werden.
Wir betrachten die Entwicklung der Zahl 24. Ihr erster Faktor ist 2. Wir suchen nach demselben Faktor in der Entwicklung der Zahl 18 und stellen fest, dass er auch dort vorhanden ist. Wir betonen beides:
Wir schauen uns noch einmal die Entwicklung der Zahl 24 an. Ihr zweiter Faktor ist ebenfalls 2. Wir suchen den gleichen Faktor in der Entwicklung der Zahl 18 und sehen, dass er zum zweiten Mal nicht mehr vorhanden ist. Dann betonen wir nichts.
Die nächsten beiden in der Erweiterung der Zahl 24 fehlen auch in der Erweiterung der Zahl 18.
Kommen wir zum letzten Faktor in der Entwicklung der Zahl 24. Das ist Faktor 3. Wir suchen nach demselben Faktor in der Entwicklung der Zahl 18 und sehen, dass er auch dort ist. Wir betonen beide drei:
Die gemeinsamen Faktoren der Zahlen 24 und 18 sind also die Faktoren 2 und 3. Um GCD zu erhalten, müssen diese Faktoren multipliziert werden:
Also ggT (24 und 18) = 6
Der dritte Weg, GCD zu finden
Schauen wir uns nun den dritten Weg an, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass die zu findenden Zahlen für den größten gemeinsamen Teiler in Primfaktoren zerlegt werden. Dann werden aus der Entwicklung der ersten Zahl Faktoren gestrichen, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die verbleibenden Zahlen in der ersten Erweiterung werden multipliziert und man erhält GCD.
Lassen Sie uns beispielsweise mit dieser Methode den GCD für die Zahlen 28 und 16 ermitteln. Zunächst zerlegen wir diese Zahlen in Primfaktoren:
Wir haben zwei Erweiterungen erhalten: und
Nun werden wir aus der Zerlegung der ersten Zahl die Faktoren löschen, die nicht in der Zerlegung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl umfasst nicht die Sieben. Streichen wir es aus der ersten Erweiterung:
Jetzt multiplizieren wir die restlichen Faktoren und erhalten GCD:
Die Zahl 4 ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 16. Beide Zahlen sind ohne Rest durch 4 teilbar:
Beispiel 2. Finden Sie den ggT der Zahlen 100 und 40
Faktorisierung der Zahl 100
Faktorisierung der Zahl 40
Wir haben zwei Erweiterungen bekommen:
Nun werden wir aus der Zerlegung der ersten Zahl die Faktoren löschen, die nicht in der Zerlegung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl enthält keine Fünf (es gibt nur eine Fünf). Streichen wir es aus der ersten Erweiterung
Multiplizieren wir die restlichen Zahlen:
Wir haben die Antwort 20 erhalten. Das bedeutet, dass die Zahl 20 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 100 und 40 ist. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 20 teilbar:
GCD (100 und 40) = 20.
Beispiel 3. Finden Sie den gcd der Zahlen 72 und 128
Faktorisierung der Zahl 72
Faktorisierung der Zahl 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Nun werden wir aus der Zerlegung der ersten Zahl die Faktoren löschen, die nicht in der Zerlegung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl umfasst keine zwei Drillinge (sie sind überhaupt nicht vorhanden). Streichen wir sie aus der ersten Erweiterung:
Wir haben die Antwort 8 erhalten. Das bedeutet, dass die Zahl 8 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 72 und 128 ist. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 8 teilbar:
GCD (72 und 128) = 8
GCD für mehrere Zahlen finden
Der größte gemeinsame Teiler kann für mehrere Zahlen ermittelt werden, nicht nur für zwei. Dazu werden die zu findenden Zahlen für den größten gemeinsamen Teiler in Primfaktoren zerlegt und anschließend das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen ermittelt.
Lassen Sie uns zum Beispiel GCD für die Zahlen 18, 24 und 36 ermitteln
Lassen Sie uns die Zahl 18 faktorisieren
Lassen Sie uns die Zahl 24 faktorisieren
Lassen Sie uns die Zahl 36 faktorisieren
Wir haben drei Erweiterungen erhalten:
Lassen Sie uns nun die gemeinsamen Faktoren in diesen Zahlen hervorheben und unterstreichen. In allen drei Zahlen müssen gemeinsame Faktoren vorkommen:
Wir sehen, dass die gemeinsamen Faktoren für die Zahlen 18, 24 und 36 die Faktoren 2 und 3 sind. Wenn wir diese Faktoren multiplizieren, erhalten wir den gesuchten gcd:
Wir haben die Antwort 6 erhalten. Das bedeutet, dass die Zahl 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 18, 24 und 36 ist. Diese drei Zahlen sind ohne Rest durch 6 teilbar:
GCD (18, 24 und 36) = 6
Beispiel 2. Finden Sie GCD für die Nummern 12, 24, 36 und 42
Lassen Sie uns jede Zahl in Primfaktoren zerlegen. Dann ermitteln wir das Produkt der gemeinsamen Faktoren dieser Zahlen.
Faktorisieren Sie die Zahl 12
Lassen Sie uns die Zahl 42 faktorisieren
Wir haben vier Erweiterungen erhalten:
Lassen Sie uns nun die gemeinsamen Faktoren in diesen Zahlen hervorheben und unterstreichen. Gemeinsame Faktoren müssen in allen vier Zahlen vorkommen:
Wir sehen, dass die gemeinsamen Faktoren für die Zahlen 12, 24, 36 und 42 die Faktoren von 2 und 3 sind. Die Multiplikation dieser Faktoren miteinander ergibt den ggT, nach dem wir suchen:
Wir haben die Antwort 6 erhalten. Das bedeutet, dass die Zahl 6 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12, 24, 36 und 42 ist. Diese Zahlen sind ohne Rest durch 6 teilbar:
GCD (12, 24, 36 und 42) = 6
Aus der vorherigen Lektion wissen wir, dass man eine Zahl, die ohne Rest durch eine andere geteilt wird, als Vielfaches dieser Zahl bezeichnet.
Es stellt sich heraus, dass mehrere Zahlen ein gemeinsames Vielfaches haben können. Und jetzt interessiert uns das Vielfache zweier Zahlen, und es sollte so klein wie möglich sein.
Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von Zahlen A Und B- A Und B A und Zahl B.
Die Definition enthält zwei Variablen A Und B. Ersetzen wir diese Variablen durch zwei beliebige Zahlen. Zum Beispiel anstelle einer Variablen A Ersetzen wir die Zahl 9 und anstelle der Variablen B Ersetzen wir die Zahl 12. Versuchen wir nun, die Definition zu lesen:
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von Zahlen 9 Und 12 - ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von ist 9 Und 12 . Mit anderen Worten: Es handelt sich um eine so kleine Zahl, dass sie ohne Rest durch die Zahl teilbar ist 9 und nach Nummer 12 .
Aus der Definition geht hervor, dass das KGV die kleinste Zahl ist, die ohne Rest durch 9 und 12 teilbar ist. Dieses KGV muss gefunden werden.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zu finden, können Sie zwei Methoden verwenden. Die erste Möglichkeit besteht darin, die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufzuschreiben und dann aus diesen Vielfachen eine Zahl auszuwählen, die beiden Zahlen gemeinsam und klein ist. Lassen Sie uns diese Methode verwenden.
Lassen Sie uns zunächst die ersten Vielfachen der Zahl 9 ermitteln. Um die Vielfachen von 9 zu ermitteln, müssen Sie diese Neun einzeln mit Zahlen von 1 bis 9 multiplizieren. Die resultierenden Antworten sind Vielfache der Zahl 9. Also, fangen wir an. Wir werden Vielfache rot hervorheben:
Nun ermitteln wir die Vielfachen der Zahl 12. Dazu multiplizieren wir 12 einzeln mit allen Zahlen 1 bis 12.
GCD ist der größte gemeinsame Teiler.
Um den größten gemeinsamen Teiler mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:
- Bestimmen Sie die gemeinsamen Faktoren beider Zahlen.
- Finden Sie das Produkt gemeinsamer Faktoren.
Ein Beispiel für die Suche nach GCD:
Lassen Sie uns den gcd der Nummern 315 und 245 ermitteln.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Schreiben wir die gemeinsamen Faktoren beider Zahlen auf:
3. Finden Sie das Produkt gemeinsamer Faktoren:
GCD(315, 245) = 5 * 7 = 35.
Antwort: GCD(315, 245) = 35.
Das NOC finden
LCM ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:
- Faktorisieren Sie Zahlen in Primfaktoren;
- Schreiben Sie die Faktoren auf, die in die Entwicklung einer der Zahlen einfließen.
- Fügen wir ihnen die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl hinzu;
- Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.
Ein Beispiel für die Suche nach dem LOC:
Finden wir das LCM der Zahlen 236 und 328:
1. Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Schreiben wir die Faktoren auf, die in der Entwicklung einer der Zahlen enthalten sind, und fügen wir ihnen die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl hinzu:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren:
LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Antwort: LCM(236, 328) = 19352.
Um den GCD (größten gemeinsamen Teiler) zweier Zahlen zu ermitteln, müssen Sie Folgendes tun:
2. Finden (unterstreichen) Sie alle gemeinsamen Primfaktoren in den resultierenden Erweiterungen.
3. Finden Sie das Produkt gemeinsamer Primfaktoren.
Um das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) zweier Zahlen zu ermitteln, benötigen Sie:
1. Teilen Sie die angegebenen Zahlen in Primfaktoren.
2. Die Entwicklung einer von ihnen wird durch diejenigen Faktoren der Entwicklung der anderen Zahl ergänzt, die nicht in der Entwicklung der ersten Zahl enthalten sind.
3. Berechnen Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.
Um zu lernen, wie man den größten gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Zahlen ermittelt, müssen Sie verstehen, was natürliche, primäre und komplexe Zahlen sind.
Eine natürliche Zahl ist jede Zahl, die zum Zählen ganzer Objekte verwendet wird.
Wenn eine natürliche Zahl nur in sich selbst und eins teilbar ist, nennt man sie Primzahl.
Alle natürlichen Zahlen können durch sich selbst und eins geteilt werden, aber die einzige gerade Primzahl ist 2, alle anderen können durch zwei geteilt werden. Daher können nur ungerade Zahlen Primzahlen sein.
Es gibt viele Primzahlen vollständige Liste sie existieren nicht. Um GCD zu finden, ist es praktisch, spezielle Tabellen mit solchen Zahlen zu verwenden.
Die meisten natürlichen Zahlen können nicht nur durch eins selbst, sondern auch durch andere Zahlen geteilt werden. So kann beispielsweise die Zahl 15 durch 3 und 5 geteilt werden. Alle werden als Teiler der Zahl 15 bezeichnet.
Der Teiler eines beliebigen A ist also die Zahl, durch die es ohne Rest geteilt werden kann. Wenn eine Zahl mehr als zwei natürliche Faktoren hat, wird sie zusammengesetzt genannt.
Die Zahl 30 kann Teiler wie 1, 3, 5, 6, 15, 30 haben.
Sie werden feststellen, dass 15 und 30 die gleichen Teiler 1, 3, 5, 15 haben. Der größte gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen ist 15.
Somit ist der gemeinsame Teiler der Zahlen A und B die Zahl, durch die sie vollständig geteilt werden können. Das Größte kann als das Maximum angesehen werden Gesamtzahl, in die sie unterteilt werden können.
Zur Lösung von Problemen wird die folgende Kurzinschrift verwendet:
GCD (A; B).
Beispiel: GCD (15; 30) = 30.
Um alle Teiler einer natürlichen Zahl aufzuschreiben, verwenden Sie die Notation:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
In diesem Beispiel haben die natürlichen Zahlen nur einen gemeinsamen Teiler. Sie werden relativ prim genannt, daher ist Eins ihr größter gemeinsamer Teiler.
So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen
Um den gcd mehrerer Zahlen zu ermitteln, benötigen Sie:
Finden Sie alle Teiler jeder natürlichen Zahl einzeln, d. h. faktorisieren Sie sie in Faktoren (Primzahlen);
Wählen Sie alle identischen Faktoren gegebener Zahlen aus;
Multiplizieren Sie sie miteinander.
Um beispielsweise den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 30 und 56 zu berechnen, würden Sie Folgendes schreiben:
Um Verwirrung zu vermeiden, empfiehlt es sich, Faktoren in vertikalen Spalten zu schreiben. Auf der linken Seite der Linie müssen Sie den Dividenden und auf der rechten Seite den Divisor platzieren. Unter der Dividende sollten Sie den resultierenden Quotienten angeben.
In der rechten Spalte befinden sich also alle für die Lösung erforderlichen Faktoren.
Identische Teiler (gefundene Faktoren) können der Einfachheit halber unterstrichen werden. Sie sollten umgeschrieben und multipliziert und der größte gemeinsame Teiler notiert werden.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
So einfach ist es wirklich, den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden. Wenn Sie ein wenig üben, können Sie dies fast automatisch tun.
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