GIA. Quadratische Funktion

Zuvor haben wir andere Funktionen untersucht, beispielsweise lineare. Erinnern wir uns an ihre Standardform:

daher der offensichtliche grundlegende Unterschied - in lineare Funktion X steht im ersten Grad und in der neuen Funktion, die wir zu studieren beginnen, X steht zur zweiten Potenz.

Denken Sie daran, dass der Graph einer linearen Funktion eine gerade Linie ist und der Graph einer Funktion, wie wir sehen werden, eine Kurve ist, die Parabel genannt wird.

Beginnen wir damit, herauszufinden, woher die Formel stammt. Die Erklärung ist folgende: Wenn uns ein Quadrat mit einer Seite gegeben wird A, dann können wir seine Fläche wie folgt berechnen:

Wenn wir die Seitenlänge eines Quadrats ändern, ändert sich auch seine Fläche.

Dies ist also einer der Gründe, warum die Funktion untersucht wird

Denken Sie daran, dass die Variable X- Dies ist eine unabhängige Variable oder ein Argument in einer physikalischen Interpretation, es kann beispielsweise die Zeit sein. Die Entfernung ist dagegen eine abhängige Variable; sie hängt von der Zeit ab. Die abhängige Variable oder Funktion ist eine Variable bei.

Dies ist das Gesetz der Korrespondenz, nach dem jeder Wert X Es wird ein einzelner Wert zugewiesen bei.

Jedes Korrespondenzgesetz muss die Anforderung der Eindeutigkeit von Argument zu Funktion erfüllen. In einer physikalischen Interpretation sieht dies am Beispiel der Abhängigkeit der Entfernung von der Zeit ganz klar aus: Zu jedem Zeitpunkt befinden wir uns in einer bestimmten Entfernung vom Startpunkt, und es ist unmöglich, gleichzeitig zum Zeitpunkt t zu sein sowohl 10 als auch 20 Kilometer vom Beginn der Reise entfernt.

Gleichzeitig kann jeder Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden.

Wir müssen also einen Graphen der Funktion erstellen und dazu eine Tabelle erstellen. Studieren Sie dann die Funktion und ihre Eigenschaften anhand des Diagramms. Aber noch bevor wir einen Graphen basierend auf dem Funktionstyp konstruieren, können wir etwas über seine Eigenschaften sagen: Das ist offensichtlich bei kann keine negativen Werte annehmen, da

Machen wir also eine Tabelle:

Reis. 1

Aus dem Diagramm lassen sich leicht die folgenden Eigenschaften erkennen:

Achse bei- Dies ist die Symmetrieachse des Diagramms;

Der Scheitelpunkt der Parabel ist Punkt (0; 0);

Wir sehen, dass die Funktion nur nichtnegative Werte akzeptiert;

In dem Intervall wo die Funktion nimmt ab und auf dem Intervall, in dem die Funktion zunimmt;

Die Funktion erhält ihren kleinsten Wert am Scheitelpunkt, ;

Es gibt keinen größten Wert einer Funktion;

Beispiel 1

Zustand:

Lösung:

Seit X Durch Bedingungsänderungen in einem bestimmten Intervall können wir über die Funktion sagen, dass sie im Intervall zunimmt und sich ändert. Die Funktion hat in diesem Intervall einen Minimalwert und einen Maximalwert

Reis. 2. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈

Beispiel 2

Zustand: Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion:

Lösung:

Xändert sich im Laufe des Intervalls, was bedeutet bei nimmt im Intervall while ab und nimmt im Intervall while zu.

Also die Grenzen der Veränderung X und die Grenzen des Wandels bei und daher gibt es in einem gegebenen Intervall sowohl einen Minimalwert der Funktion als auch einen Maximalwert

Reis. 3. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Lassen Sie uns die Tatsache veranschaulichen, dass der gleiche Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden kann.

Wie die Praxis zeigt, bereiten Aufgaben zu den Eigenschaften und Graphen einer quadratischen Funktion ernsthafte Schwierigkeiten. Das ist ziemlich seltsam, weil sie in der 8. Klasse die quadratische Funktion studieren und dann im ersten Viertel der 9. Klasse die Eigenschaften der Parabel „quälen“ und ihre Diagramme für verschiedene Parameter erstellen.

Dies liegt daran, dass die Schüler, wenn sie gezwungen werden, Parabeln zu konstruieren, praktisch keine Zeit damit verbringen, die Grafiken zu „lesen“, das heißt, sie üben nicht, die aus dem Bild erhaltenen Informationen zu verstehen. Anscheinend geht man davon aus, dass ein kluger Schüler nach der Erstellung von ein oder zwei Dutzend Diagrammen selbst die Beziehung zwischen den Koeffizienten in der Formel und entdecken und formulieren wird Aussehen Grafik. In der Praxis funktioniert das nicht. Für eine solche Verallgemeinerung sind ernsthafte Erfahrungen in der mathematischen Miniforschung erforderlich, über die die meisten Neuntklässler natürlich nicht verfügen. In der Zwischenzeit schlägt die staatliche Aufsichtsbehörde vor, die Vorzeichen der Koeffizienten anhand des Diagramms zu ermitteln.

Wir werden von Schulkindern nicht das Unmögliche verlangen und einfach einen der Algorithmen zur Lösung solcher Probleme anbieten.

Also eine Funktion der Form y = ax 2 + bx + c genannt quadratisch, sein Graph ist eine Parabel. Wie der Name schon sagt, lautet der Hauptbegriff Axt 2. Das heißt A sollte nicht gleich Null sein, die restlichen Koeffizienten ( B Und Mit) kann gleich Null sein.

Sehen wir uns an, wie sich die Vorzeichen ihrer Koeffizienten auf das Aussehen einer Parabel auswirken.

Die einfachste Abhängigkeit für den Koeffizienten A. Die meisten Schulkinder antworten selbstbewusst: „Wenn A> 0, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, und wenn A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

In diesem Fall A = 0,5

Und jetzt für A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

In diesem Fall A = - 0,5

Einfluss des Koeffizienten Mit Es ist auch ziemlich einfach zu befolgen. Stellen wir uns vor, wir möchten den Wert einer Funktion an einem Punkt ermitteln X= 0. Ersetzen Sie Null in der Formel:

j = A 0 2 + B 0 + C = C. Es stellt sich heraus, dass y = c. Das heißt Mit ist die Ordinate des Schnittpunkts der Parabel mit der y-Achse. Normalerweise ist dieser Punkt in der Grafik leicht zu finden. Und stellen Sie fest, ob er über oder unter Null liegt. Das heißt Mit> 0 oder Mit < 0.

Mit > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Mit < 0

y = x 2 + 4x - 3

Dementsprechend, wenn Mit= 0, dann verläuft die Parabel zwangsläufig durch den Ursprung:

y = x 2 + 4x

Schwieriger mit dem Parameter B. Der Punkt, an dem wir es finden, hängt nicht nur davon ab B aber auch von A. Dies ist die Spitze der Parabel. Seine Abszisse (Achsenkoordinate X) wird durch die Formel gefunden x in = - b/(2a). Daher, b = - 2ax in. Das heißt, wir gehen wie folgt vor: Wir finden den Scheitelpunkt der Parabel im Diagramm, bestimmen das Vorzeichen ihrer Abszisse, d. h. wir schauen rechts von Null ( x Zoll> 0) oder nach links ( x Zoll < 0) она лежит.

Das ist jedoch noch nicht alles. Wir müssen auch auf das Vorzeichen des Koeffizienten achten A. Schauen Sie sich also an, wohin die Äste der Parabel gerichtet sind. Und erst danach, so die Formel b = - 2ax in Bestimmen Sie das Vorzeichen B.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Die Äste sind nach oben gerichtet, das heißt A> 0, die Parabel schneidet die Achse bei unter Null, das heißt Mit < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x Zoll> 0. Also b = - 2ax in = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, Mit < 0.

Zuvor haben wir andere Funktionen untersucht, beispielsweise lineare. Erinnern wir uns an ihre Standardform:

daher der offensichtliche grundlegende Unterschied - in der linearen Funktion X steht im ersten Grad und in der neuen Funktion, die wir zu studieren beginnen, X steht zur zweiten Potenz.

Denken Sie daran, dass der Graph einer linearen Funktion eine gerade Linie ist und der Graph einer Funktion, wie wir sehen werden, eine Kurve ist, die Parabel genannt wird.

Beginnen wir damit, herauszufinden, woher die Formel stammt. Die Erklärung ist folgende: Wenn uns ein Quadrat mit einer Seite gegeben wird A, dann können wir seine Fläche wie folgt berechnen:

Wenn wir die Seitenlänge eines Quadrats ändern, ändert sich auch seine Fläche.

Dies ist also einer der Gründe, warum die Funktion untersucht wird

Denken Sie daran, dass die Variable X- Dies ist eine unabhängige Variable oder ein Argument in einer physikalischen Interpretation, es kann beispielsweise die Zeit sein. Die Entfernung ist dagegen eine abhängige Variable; sie hängt von der Zeit ab. Die abhängige Variable oder Funktion ist eine Variable bei.

Dies ist das Gesetz der Korrespondenz, nach dem jeder Wert X Es wird ein einzelner Wert zugewiesen bei.

Jedes Korrespondenzgesetz muss die Anforderung der Eindeutigkeit von Argument zu Funktion erfüllen. In einer physikalischen Interpretation sieht dies am Beispiel der Abhängigkeit der Entfernung von der Zeit ganz klar aus: Zu jedem Zeitpunkt befinden wir uns in einer bestimmten Entfernung vom Startpunkt, und es ist unmöglich, gleichzeitig zum Zeitpunkt t zu sein sowohl 10 als auch 20 Kilometer vom Beginn der Reise entfernt.

Gleichzeitig kann jeder Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden.

Wir müssen also einen Graphen der Funktion erstellen und dazu eine Tabelle erstellen. Studieren Sie dann die Funktion und ihre Eigenschaften anhand des Diagramms. Aber noch bevor wir einen Graphen basierend auf dem Funktionstyp konstruieren, können wir etwas über seine Eigenschaften sagen: Das ist offensichtlich bei kann keine negativen Werte annehmen, da

Machen wir also eine Tabelle:

Reis. 1

Aus dem Diagramm lassen sich leicht die folgenden Eigenschaften erkennen:

Achse bei- Dies ist die Symmetrieachse des Diagramms;

Der Scheitelpunkt der Parabel ist Punkt (0; 0);

Wir sehen, dass die Funktion nur nichtnegative Werte akzeptiert;

In dem Intervall wo die Funktion nimmt ab und auf dem Intervall, in dem die Funktion zunimmt;

Die Funktion erhält ihren kleinsten Wert am Scheitelpunkt, ;

Es gibt keinen größten Wert einer Funktion;

Beispiel 1

Zustand:

Lösung:

Seit X Durch Bedingungsänderungen in einem bestimmten Intervall können wir über die Funktion sagen, dass sie im Intervall zunimmt und sich ändert. Die Funktion hat in diesem Intervall einen Minimalwert und einen Maximalwert

Reis. 2. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈

Beispiel 2

Zustand: Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion:

Lösung:

Xändert sich im Laufe des Intervalls, was bedeutet bei nimmt im Intervall while ab und nimmt im Intervall while zu.

Also die Grenzen der Veränderung X und die Grenzen des Wandels bei und daher gibt es in einem gegebenen Intervall sowohl einen Minimalwert der Funktion als auch einen Maximalwert

Reis. 3. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Lassen Sie uns die Tatsache veranschaulichen, dass der gleiche Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden kann.

Die Funktion y=x^2 heißt quadratische Funktion. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Gesamtansicht Die Parabel ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Quadratische Funktion

Abb. 1. Gesamtansicht der Parabel

Wie aus der Grafik ersichtlich ist, ist es symmetrisch zur Oy-Achse. Die Oy-Achse wird als Symmetrieachse der Parabel bezeichnet. Dies bedeutet, dass Sie im Diagramm eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse über dieser Achse zeichnen. Dann schneidet es die Parabel an zwei Punkten. Der Abstand dieser Punkte zur Oy-Achse wird gleich sein.

Die Symmetrieachse teilt den Graphen einer Parabel in zwei Teile. Diese Teile werden Parabeläste genannt. Und der Punkt einer Parabel, der auf der Symmetrieachse liegt, wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet. Das heißt, die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt der Parabel. Die Koordinaten dieses Punktes sind (0;0).

Grundlegende Eigenschaften einer quadratischen Funktion

1. Bei x =0, y=0 und y>0 bei x0

2. Die quadratische Funktion erreicht an ihrem Scheitelpunkt ihren Minimalwert. Ymin bei x=0; Außerdem ist zu beachten, dass die Funktion keinen Maximalwert hat.

3. Die Funktion nimmt im Intervall (-∞;0] ab und nimmt im Intervall zu – mit diesen x-Werten bewegen wir uns entlang der Parabel von links nach rechts „den Hügel hinunter“ (siehe Abb. 55) . Die Funktion y = x 2 wächst auf dem Strahl ;
b) auf dem Segment [- 3, - 1,5];
c) auf dem Segment [- 3, 2].

Lösung,

a) Konstruieren wir eine Parabel y = x 2 und wählen wir aus dem Segment den Teil davon aus, der den Werten der Variablen x entspricht (Abb. 56). Für den ausgewählten Teil des Diagramms finden wir den Namen. = 1 (bei x = 1), y max. = 9 (bei x = 3).

b) Konstruieren wir eine Parabel y = x 2 und wählen wir aus dem Segment [-3, -1,5] den Teil davon aus, der den Werten der Variablen x entspricht (Abb. 57). Für den ausgewählten Teil des Diagramms finden wir y Namen. = 2,25 (bei x = - 1,5), y max. = 9 (bei x = - 3).

c) Konstruieren wir eine Parabel y = x 2 und wählen wir aus dem Segment [-3, 2] den Teil davon aus, der den Werten der Variablen x entspricht (Abb. 58). Für den ausgewählten Teil des Diagramms finden wir y max = 0 (bei x = 0), y max. = 9 (bei x = - 3).

Beratung. Um zu vermeiden, dass Sie die Funktion y - x 2 jedes Mal Punkt für Punkt zeichnen müssen, schneiden Sie eine Parabelschablone aus dickem Papier aus. Mit seiner Hilfe zeichnen Sie sehr schnell eine Parabel.

Kommentar. Indem wir Sie einladen, eine Parabelvorlage vorzubereiten, scheinen wir die Rechte der Funktion y = x 2 und anzugleichen lineare Funktion y = kx + m. Schließlich ist der Graph einer linearen Funktion eine Gerade, und um eine Gerade darzustellen, wird ein gewöhnliches Lineal verwendet – dies ist die Vorlage für den Graphen der Funktion y = kx + m. Lassen Sie sich also eine Vorlage für den Graphen der Funktion y = x 2 geben.

Beispiel 2. Finden Sie die Schnittpunkte der Parabel y = x 2 und der Geraden y - x + 2.

Lösung. Konstruieren wir in einem Koordinatensystem die Parabel y = x 2 und die Gerade y = x + 2 (Abb. 59). Sie schneiden sich an den Punkten A und B, und aus der Zeichnung ist es nicht schwer, die Koordinaten dieser Punkte A und B zu finden: Für Punkt A gilt: x = - 1, y = 1 und für Punkt B gilt: x - 2, y = 4.

Antwort: Die Parabel y = x 2 und die Gerade y = x + 2 schneiden sich in zwei Punkten: A (-1; 1) und B (2; 4).

Wichtiger Hinweis. Bisher waren wir recht mutig und haben aus der Zeichnung Rückschlüsse gezogen. Allerdings vertrauen Mathematiker Zeichnungen nicht allzu sehr. Nachdem der Mathematiker in Abbildung 59 zwei Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden entdeckt und anhand der Zeichnung die Koordinaten dieser Punkte ermittelt hat, prüft er normalerweise selbst: ob der Punkt (-1; 1) tatsächlich auf beiden Geraden liegt und die Parabel; Liegt der Punkt (2; 4) wirklich sowohl auf einer Geraden als auch auf einer Parabel?

Dazu müssen Sie die Koordinaten der Punkte A und B in die Gleichung der Geraden und in die Gleichung der Parabel einsetzen und dann sicherstellen, dass in beiden Fällen die richtige Gleichheit erhalten wird. In Beispiel 2 sind die Gleichungen in beiden Fällen wahr. Diese Prüfung wird besonders häufig dann durchgeführt, wenn Zweifel an der Genauigkeit der Zeichnung bestehen.

Abschließend stellen wir eine interessante Eigenschaft der Parabel fest, die gemeinsam von Physikern und Mathematikern entdeckt und bewiesen wurde.

Betrachten wir die Parabel y = x 2 als Schirm, als reflektierende Fläche und platzieren an diesem Punkt eine Lichtquelle, dann bilden die von der Parabel des Schirms reflektierten Strahlen einen parallelen Lichtstrahl (Abb. 60) . Der Punkt wird als Brennpunkt der Parabel bezeichnet. Diese Idee wird bei Autos angewendet: Die reflektierende Oberfläche des Scheinwerfers hat eine parabolische Form, und die Glühbirne wird im Brennpunkt platziert – dann breitet sich das Licht des Scheinwerfers weit genug aus.

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