Viele Aufgaben, die wir gewohnt sind, rein algebraisch zu rechnen, lassen sich mithilfe von Funktionsgraphen viel einfacher und schneller lösen; Sie sagen: „Wieso?“ etwas zeichnen, und was soll man zeichnen? Glauben Sie mir, manchmal ist es bequemer und einfacher. Sollen wir anfangen? Beginnen wir mit den Gleichungen!
Grafische Lösung von Gleichungen
Grafische Lösung linearer Gleichungen
Wie Sie bereits wissen, ist der Graph einer linearen Gleichung eine Gerade, daher der Name dieses Typs. Lineare Gleichungen lassen sich algebraisch recht einfach lösen – wir übertragen alle Unbekannten auf eine Seite der Gleichung, alles, was wir wissen, auf die andere und voilà! Wir haben die Wurzel gefunden. Jetzt zeige ich dir, wie es geht grafisch.
Sie haben also die Gleichung:
Wie kann man es lösen?
Option 1, und die häufigste Methode besteht darin, die Unbekannten auf eine Seite und die Bekannten auf die andere zu verschieben. Wir erhalten:
Jetzt lasst uns bauen. Was hast du bekommen?
Was ist Ihrer Meinung nach die Wurzel unserer Gleichung? Das ist richtig, die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen ist:
Unsere Antwort ist
Das ist die ganze Weisheit der grafischen Lösung. Wie Sie leicht überprüfen können, ist die Wurzel unserer Gleichung eine Zahl!
Wie ich oben sagte, ist dies die häufigste Option und kommt einer algebraischen Lösung nahe, aber Sie können sie auch auf andere Weise lösen. Um eine alternative Lösung in Betracht zu ziehen, kehren wir zu unserer Gleichung zurück:
Dieses Mal werden wir nichts von einer Seite zur anderen verschieben, sondern die Diagramme direkt so konstruieren, wie sie jetzt sind:
Gebaut? Mal sehen!
Was ist diesmal die Lösung? Das ist richtig. Das Gleiche – die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:
Und wieder lautet unsere Antwort.
Wie Sie sehen, mit lineare Gleichungen alles ist extrem einfach. Es ist Zeit, sich etwas Komplexeres anzusehen ... Zum Beispiel: grafische Lösung quadratischer Gleichungen.
Grafische Lösung quadratischer Gleichungen
Beginnen wir nun mit der Lösung der quadratischen Gleichung. Nehmen wir an, Sie müssen die Wurzeln dieser Gleichung finden:
Natürlich können Sie jetzt mit dem Zählen durch die Diskriminante oder nach dem Satz von Vieta beginnen, aber viele Leute machen Fehler beim Multiplizieren oder Quadrieren, insbesondere wenn das Beispiel mit ist große Zahlen, und wie Sie wissen, werden Sie für die Prüfung keinen Taschenrechner haben ... Versuchen wir daher, beim Lösen dieser Gleichung ein wenig zu entspannen und zu zeichnen.
Sie können Lösungen für diese Gleichung grafisch finden auf verschiedene Weise. Lassen Sie uns überlegen verschiedene Möglichkeiten, und Sie können wählen, welches Ihnen am besten gefällt.
Methode 1. Direkt
Wir erstellen einfach eine Parabel mit dieser Gleichung:
Um dies schnell zu erledigen, gebe ich Ihnen einen kleinen Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Konstruktion mit der Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel zu beginnen. Die folgenden Formeln helfen bei der Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel:
Sie werden sagen: „Stopp! Die Formel für ist der Formel zum Finden der Diskriminante sehr ähnlich.“ Ja, das ist sie, und das ist ein großer Nachteil der „direkten“ Konstruktion einer Parabel, um ihre Wurzeln zu finden. Aber lass uns bis zum Ende zählen, und dann zeige ich dir, wie es viel (viel!) einfacher geht!
Hast du gezählt? Welche Koordinaten haben Sie für den Scheitelpunkt der Parabel erhalten? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden:
Genau die gleiche Antwort? Gut gemacht! Und jetzt kennen wir bereits die Koordinaten des Scheitelpunkts, aber um eine Parabel zu konstruieren, brauchen wir mehr ... Punkte. Wie viele Mindestpunkte brauchen wir Ihrer Meinung nach? Rechts, .
Sie wissen, dass eine Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, zum Beispiel:
Dementsprechend benötigen wir zwei weitere Punkte auf dem linken oder rechten Ast der Parabel und werden diese Punkte in Zukunft symmetrisch auf der gegenüberliegenden Seite widerspiegeln:
Kehren wir zu unserer Parabel zurück. Für unseren Fall Punkt. Wir brauchen zwei weitere Punkte, damit wir positive Punkte mitnehmen können, oder können wir negative Punkte mitnehmen? Welche Punkte sind für Sie bequemer? Für mich ist es bequemer, mit positiven zu arbeiten, also rechne ich bei und.
Da wir nun drei Punkte haben, können wir unsere Parabel leicht konstruieren, indem wir die letzten beiden Punkte relativ zu ihrem Scheitelpunkt spiegeln:
Was ist Ihrer Meinung nach die Lösung der Gleichung? Das ist richtig, Punkte, an denen, das heißt, und. Weil.
Und wenn wir das sagen, heißt das, dass es auch gleich sein muss, oder.
Nur? Wir haben die Gleichung auf komplexe grafische Weise gelöst, sonst werden es noch mehr sein!
Natürlich können Sie unsere Antwort algebraisch überprüfen – Sie können die Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta oder der Diskriminante berechnen. Was hast du bekommen? Das gleiche? Siehst du! Schauen wir uns nun eine sehr einfache grafische Lösung an. Ich bin sicher, sie wird Ihnen wirklich gefallen!
Methode 2. In mehrere Funktionen unterteilt
Nehmen wir die gleiche Gleichung: , aber schreiben wir sie etwas anders, nämlich:
Können wir es so schreiben? Wir können, da die Transformation äquivalent ist. Schauen wir weiter.
Lassen Sie uns zwei Funktionen separat konstruieren:
- - Der Graph ist eine einfache Parabel, die Sie leicht konstruieren können, auch ohne den Scheitelpunkt mithilfe von Formeln zu definieren und eine Tabelle zur Bestimmung anderer Punkte zu erstellen.
- - Das Diagramm ist eine gerade Linie, die Sie genauso einfach erstellen können, indem Sie die Werte im Kopf schätzen, ohne überhaupt auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.
Gebaut? Vergleichen wir mit dem, was ich habe:
Was sind Ihrer Meinung nach die Wurzeln der Gleichung in diesem Fall? Rechts! Die Koordinaten, die man durch den Schnittpunkt zweier Graphen erhält, und zwar:
Dementsprechend lautet die Lösung dieser Gleichung:
Was sagen Sie? Stimmen Sie zu, diese Lösungsmethode ist viel einfacher als die vorherige und sogar einfacher als die Suche nach Wurzeln durch eine Diskriminante! Wenn ja, versuchen Sie, die folgende Gleichung mit dieser Methode zu lösen:
Was hast du bekommen? Vergleichen wir unsere Grafiken:
Die Grafiken zeigen, dass die Antworten wie folgt lauten:
Hast du es geschafft? Gut gemacht! Schauen wir uns nun die Gleichungen etwas komplizierter an, nämlich die Lösung gemischter Gleichungen, also Gleichungen, die Funktionen unterschiedlichen Typs enthalten.
Grafische Lösung gemischter Gleichungen
Versuchen wir nun, Folgendes zu lösen:
Natürlich lässt sich alles reduzieren gemeinsamer Nenner Finden Sie die Wurzeln der resultierenden Gleichung und vergessen Sie nicht, die ODZ zu berücksichtigen. Wir werden jedoch erneut versuchen, sie grafisch zu lösen, wie wir es in allen vorherigen Fällen getan haben.
Dieses Mal erstellen wir die folgenden 2 Diagramme:
- - Der Graph ist eine Hyperbel
- - Das Diagramm ist eine gerade Linie, die Sie leicht erstellen können, indem Sie die Werte in Ihrem Kopf schätzen, ohne auch nur auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.
Haben Sie es erkannt? Beginnen Sie nun mit dem Bau.
Folgendes habe ich bekommen:
Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, sagen Sie mir, was die Wurzeln unserer Gleichung sind.
Das ist richtig, und. Hier ist die Bestätigung:
Versuchen Sie, unsere Wurzeln in die Gleichung einzubeziehen. Hat es funktioniert?
Das stimmt! Stimmen Sie zu, solche Gleichungen grafisch zu lösen ist ein Vergnügen!
Versuchen Sie, die Gleichung selbst grafisch zu lösen:
Ich gebe Ihnen einen Tipp: Verschieben Sie einen Teil der Gleichung auf die rechte Seite, sodass sich die am einfachsten zu konstruierenden Funktionen auf beiden Seiten befinden. Hast du den Hinweis verstanden? Werden Sie aktiv!
Nun wollen wir sehen, was Sie haben:
Jeweils:
- - kubische Parabel.
- - gewöhnliche gerade Linie.
Nun, lasst uns bauen:
Wie Sie vor langer Zeit geschrieben haben, lautet die Wurzel dieser Gleichung - .
Nachdem ich dies entschieden habe große Zahl Anhand der Beispiele haben Sie sicher erkannt, wie einfach und schnell Sie Gleichungen grafisch lösen können. Es ist an der Zeit, herauszufinden, wie man Systeme auf diese Weise lösen kann.
Grafische Lösung von Systemen
Das grafische Lösen von Systemen unterscheidet sich im Wesentlichen nicht vom grafischen Lösen von Gleichungen. Wir werden auch zwei Graphen erstellen und ihre Schnittpunkte werden die Wurzeln dieses Systems sein. Ein Graph ist eine Gleichung, der zweite Graph ist eine andere Gleichung. Alles ist extrem einfach!
Beginnen wir mit der einfachsten Sache – dem Lösen linearer Gleichungssysteme.
Lösen linearer Gleichungssysteme
Nehmen wir an, wir haben das folgende System:
Lassen Sie uns es zunächst so umwandeln, dass auf der linken Seite alles ist, womit etwas verbunden ist, und auf der rechten Seite alles, was damit verbunden ist. Mit anderen Worten, schreiben wir diese Gleichungen als Funktion in unserer üblichen Form:
Jetzt bauen wir einfach zwei gerade Linien. Was ist in unserem Fall die Lösung? Rechts! Der Punkt ihrer Kreuzung! Und hier muss man sehr, sehr vorsichtig sein! Denken Sie darüber nach, warum? Lassen Sie mich Ihnen einen Hinweis geben: Wir haben es mit einem System zu tun: Im System gibt es beides, und ... Haben Sie den Hinweis verstanden?
Das stimmt! Beim Lösen eines Systems müssen wir beide Koordinaten betrachten, und zwar nicht nur wie beim Lösen von Gleichungen! Ein anderer wichtiger Punkt- Schreiben Sie sie richtig auf und verwechseln Sie nicht, wo wir die Bedeutung haben und wo die Bedeutung ist! Hast du es aufgeschrieben? Vergleichen wir nun alles der Reihe nach:
Und die Antworten: und. Führen Sie eine Überprüfung durch – setzen Sie die gefundenen Wurzeln in das System ein und stellen Sie sicher, dass wir das Problem grafisch richtig gelöst haben?
Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen
Was wäre, wenn wir statt einer geraden Linie eine hätten? quadratische Gleichung? Es ist okay! Statt einer Geraden baut man einfach eine Parabel! Glauben Sie mir nicht? Versuchen Sie, das folgende System zu lösen:
Was ist unser nächster Schritt? Das ist richtig, schreiben Sie es auf, damit wir bequem Diagramme erstellen können:
Und jetzt kommt es auf die Kleinigkeiten an – bauen Sie es schnell auf und hier ist Ihre Lösung! Wir bauen:
Sind die Grafiken gleich geworden? Markieren Sie nun die Lösungen des Systems in der Abbildung und notieren Sie die gefundenen Antworten richtig!
Hast du alles gemacht? Vergleichen Sie mit meinen Notizen:
Ist alles richtig? Gut gemacht! Du knackst solche Aufgaben bereits wie verrückt! Wenn ja, geben wir Ihnen ein komplizierteres System:
Was machen wir? Rechts! Wir schreiben das System so, dass es bequem zu erstellen ist:
Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis, da das System sehr kompliziert aussieht! Wenn Sie Diagramme erstellen, bauen Sie sie „mehr“ auf und lassen Sie sich vor allem nicht von der Anzahl der Schnittpunkte überraschen.
Also, los geht's! Ausgeatmet? Beginnen Sie jetzt mit dem Bau!
Wie also? Schön? Wie viele Schnittpunkte haben Sie erhalten? Ich habe drei! Vergleichen wir unsere Grafiken:
Auch? Schreiben Sie nun sorgfältig alle Lösungen unseres Systems auf:
Schauen Sie sich nun das System noch einmal an:
Können Sie sich vorstellen, dass Sie das in nur 15 Minuten gelöst haben? Stimmen Sie zu, Mathematik ist immer noch einfach, besonders wenn Sie einen Ausdruck betrachten, haben Sie keine Angst davor, einen Fehler zu machen, sondern nehmen Sie ihn einfach und lösen Sie ihn! Du bist toll!
Grafische Lösung von Ungleichungen
Grafische Lösung linearer Ungleichungen
Nach dem letzten Beispiel können Sie alles tun! Jetzt ausatmen – im Vergleich zu den vorherigen Abschnitten wird dieser sehr, sehr einfach sein!
Wir beginnen wie üblich mit einer grafischen Lösung lineare Ungleichung. Zum Beispiel dieses hier:
Lassen Sie uns zunächst die einfachsten Transformationen durchführen – öffnen Sie die Klammern perfekter Quadrate und präsentieren Sie ähnliche Begriffe:
Die Ungleichung ist nicht streng, daher ist sie nicht im Intervall enthalten, und die Lösung sind alle Punkte, die rechts liegen, da mehr, mehr usw.:
Antwort:
Das ist es! Leicht? Lösen wir eine einfache Ungleichung mit zwei Variablen:
Zeichnen wir eine Funktion im Koordinatensystem.
Hast du so einen Zeitplan bekommen? Schauen wir uns nun genau an, welche Ungleichheit wir dort haben? Weniger? Das heißt, wir übermalen alles, was links von unserer Geraden liegt. Was wäre, wenn es mehr gäbe? Richtig, dann würden wir alles übermalen, was rechts von unserer Geraden liegt. Es ist einfach.
Alle Lösungen dieser Ungleichung sind „ausgeblendet“ orange. Damit ist die Ungleichung mit zwei Variablen gelöst. Dies bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes aus dem schattierten Bereich die Lösungen sind.
Grafische Lösung quadratischer Ungleichungen
Jetzt werden wir verstehen, wie man quadratische Ungleichungen grafisch löst.
Aber bevor wir zur Sache kommen, schauen wir uns etwas Material zur quadratischen Funktion an.
Wofür ist die Diskriminante verantwortlich? Das stimmt, was die Position des Graphen relativ zur Achse betrifft (wenn Sie sich nicht daran erinnern, lesen Sie unbedingt die Theorie über quadratische Funktionen).
Auf jeden Fall hier eine kleine Erinnerung für Sie:
Nachdem wir nun das gesamte Material in unserem Gedächtnis aufgefrischt haben, kommen wir zur Sache: Lösen Sie die Ungleichung grafisch.
Ich sage Ihnen gleich, dass es zwei Möglichkeiten gibt, das Problem zu lösen.
Option 1
Wir schreiben unsere Parabel als Funktion:
Mit den Formeln bestimmen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel (genau wie beim Lösen quadratischer Gleichungen):
Hast du gezählt? Was hast du bekommen?
Jetzt nehmen wir noch zwei weitere verschiedene Punkte und berechne für sie:
Beginnen wir mit dem Aufbau eines Astes der Parabel:
Wir spiegeln unsere Punkte symmetrisch auf einen anderen Ast der Parabel:
Kehren wir nun zu unserer Ungleichung zurück.
Wir benötigen jeweils einen Wert kleiner Null:
Da in unserer Ungleichung das Vorzeichen strikt kleiner ist als, schließen wir die Endpunkte – „Punktion aus“ – aus.
Antwort:
Langer Weg, oder? Nun zeige ich Ihnen eine einfachere Version der grafischen Lösung am Beispiel derselben Ungleichung:
Option 2
Wir kehren zu unserer Ungleichung zurück und markieren die Intervalle, die wir brauchen:
Stimmen Sie zu, es ist viel schneller.
Schreiben wir nun die Antwort auf:
Betrachten wir eine andere Lösung, die den algebraischen Teil vereinfacht, aber die Hauptsache ist, nicht verwirrt zu werden.
Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:
Versuchen Sie, Folgendes selbst zu lösen quadratische Ungleichung wie auch immer Sie möchten: .
Hast du es geschafft?
Schauen Sie, wie meine Grafik ausgefallen ist:
Antwort: .
Grafische Lösung gemischter Ungleichungen
Kommen wir nun zu komplexeren Ungleichungen!
Wie gefällt dir das:
Es ist gruselig, nicht wahr? Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich das algebraisch lösen soll ... Aber es ist nicht notwendig. Grafisch ist daran nichts Kompliziertes! Die Augen haben Angst, aber die Hände tun es!
Als erstes beginnen wir mit der Konstruktion zweier Diagramme:
Ich werde nicht für jedes einzelne eine Tabelle aufschreiben – ich bin mir sicher, dass Sie es perfekt selbst machen können (wow, es gibt so viele Beispiele zu lösen!).
Hast du es gemalt? Erstellen Sie nun zwei Diagramme.
Vergleichen wir unsere Zeichnungen?
Geht es dir auch so? Großartig! Ordnen wir nun die Schnittpunkte an und verwenden wir die Farbe, um zu bestimmen, welches Diagramm theoretisch größer sein sollte. Schauen Sie, was am Ende passiert ist:
Schauen wir uns nun einfach an, wo unser ausgewähltes Diagramm höher ist als das Diagramm? Nehmen Sie gerne einen Bleistift und übermalen Sie diesen Bereich! Sie wird die Lösung für unsere komplexe Ungleichheit sein!
In welchen Abständen entlang der Achse liegen wir höher als? Rechts, . Das ist die Antwort!
Nun können Sie mit jeder Gleichung, jedem System und noch mehr mit jeder Ungleichung umgehen!
KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen mithilfe von Funktionsgraphen:
- Lassen Sie es uns durch ausdrücken
- Definieren wir den Funktionstyp
- Lassen Sie uns Diagramme der resultierenden Funktionen erstellen
- Suchen wir die Schnittpunkte der Diagramme
- Schreiben wir die Antwort richtig (unter Berücksichtigung der ODZ- und Ungleichheitszeichen)
- Lassen Sie uns die Antwort überprüfen (setzen Sie die Wurzeln in die Gleichung oder das System ein)
Weitere Informationen zum Erstellen von Funktionsgraphen finden Sie im Thema „“.
Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.
Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!
Jetzt das Wichtigste.
Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.
Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...
Wofür?
Für Erfolg Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für die Zulassung zum College mit kleinem Budget und vor allem lebenslang.
Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...
Menschen, die empfangen haben gute Ausbildung, verdienen viel mehr als diejenigen, die es nicht erhalten haben. Das ist Statistik.
Aber das ist nicht die Hauptsache.
Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil vor ihnen viel mehr Offenheit liegt mehr Möglichkeiten und das Leben wird heller? Ich weiß es nicht...
Aber denken Sie selbst...
Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?
Gewinnen Sie Ihre Hand, indem Sie Probleme zu diesem Thema lösen.
Während der Prüfung werden Sie nicht nach Theorie gefragt.
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Sie können unsere Aufgaben (optional) nutzen und wir empfehlen diese selbstverständlich weiter.
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Wie? Es gibt zwei Möglichkeiten:
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Ja, wir haben 99 solcher Artikel in unserem Lehrbuch und der Zugriff auf alle Aufgaben und alle darin versteckten Texte kann sofort geöffnet werden.
Der Zugriff auf alle versteckten Aufgaben ist für die GESAMTE Lebensdauer der Website gewährleistet.
Und zum Schluss...
Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, finden Sie andere. Hören Sie einfach nicht bei der Theorie auf.
„Verstanden“ und „Ich kann lösen“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.
Finden Sie Probleme und lösen Sie sie!
Hallo. In diesem Artikel werde ich versuchen, es Ihnen zu zeigen mögliche Wege Lösen quadratischer Gleichungen mithilfe von Diagrammen.
Nehmen wir an, wir müssen die Gleichung x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 lösen. Anhand dieses Beispiels betrachten wir Möglichkeiten, die quadratische Gleichung grafisch zu lösen.
1) Wir können unsere Gleichung in der Form x 2 = 2x + 3 darstellen. Als nächstes erstellen wir Diagramme der Funktionen y = x 2 und y = 2x + 3 im gleichen Koordinatensystem. Das Diagramm y = x 2 ist in Abbildung 1 dargestellt und beide Diagramme in Abbildung 2.
Abbildung 1 
Abbildung 2
Die Graphen schneiden sich in zwei Punkten, unsere Gleichung hat eine Lösung x = – 1 und x = 3.
2) Sie können die Gleichung aber auch anders darstellen, zum Beispiel x 2 ‒ 2x = 3 und Graphen der Funktionen y = x 2 ‒ 2x und y = 3 in einem Koordinatensystem konstruieren. Sie können sie in den Abbildungen 3 und 4 sehen. Abbildung 3 zeigt den Graphen y = x 2 ‒ 2x und Abbildung 4 zeigt beide Graphen y = x 2 ‒ 2x und y = 3.
Abbildung 3 
Abbildung 4
Wie wir sehen, schneiden sich diese beiden Graphen auch an zwei Punkten, wobei x = -1 und x = 3. Das bedeutet Antwort: - 1; 3.
3) Es gibt eine andere Möglichkeit, diese Gleichung x 2 ‒ 3 = 2x darzustellen. Und wieder erstellen wir Graphen der Funktionen y = x 2 ‒ 3 und y = 2x im gleichen Koordinatensystem. Das erste y = x 2 ‒ 3 in Abbildung 5 und beide Diagramme in Abbildung 6.
Abbildung 5 
Abbildung 6
Antwort: - 1; 3.
4) Sie können eine Parabel y = x 2 ‒ 2x ‒ 3 konstruieren.
Der Scheitelpunkt der Parabel x 0 = - b/2a = 2/2=1, y 0 = 1 2 ‒ 2 1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Das ist Punkt (1; ‒ 4). Dann ist unsere Parabel symmetrisch bezüglich der Geraden x =1. Nehmen wir zwei Punkte, die symmetrisch zur Geraden x = 1 sind, zum Beispiel: x = - 2 und x = 4, dann erhalten wir zwei Punkte, durch die die Zweige des Graphen verlaufen.
Wenn x = -2, dann y =(- 2) 2 ‒ 2(-2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5.
Ebenso gilt x = 4, y = 4 2 ‒ 2 · 4 ‒ 3 = 16 – 8 – 3 = 5. Die resultierenden Punkte sind (-2; 5); (1; 4) und (4; 5) markieren wir in der Ebene und zeichnen eine Parabel (Abbildung 7).
Abbildung 7
Die Parabel schneidet die x-Achse in den Punkten 1 und 3. Dies sind die Wurzeln der Gleichung x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0.
Antwort: – 1 und 3.
5) Und Sie können das Quadrat des Binomials isolieren:
x 2 ‒ 2x ‒ 3= 0
(x 2 ‒ 2x + 1) ‒ 1 ‒ 3= 0
(x -1) 2 - 4 = 0
Erstellen Sie dann Diagramme der Funktionen y = (x - 1) 2 und y = 4 in einem Koordinatensystem. Das erste Diagramm ist y = (x - 1) 2 in Abbildung 8, und beide Diagramme sind y = (x - 1). 2 und y = 4 in Abbildung 9.
Abbildung 8 
Abbildung 9
Sie schneiden sich auch an zwei Punkten, an denen x = -1, x = 3.
Antwort: - 1; 3.
6) Da x = 0 nicht die Wurzel der Gleichung x 2 ‒ 2x ‒ 3 = 0 ist (ansonsten würde die Gleichung 0 2 – 2 0 –3 = 0 gelten), können alle Terme der Gleichung durch x geteilt werden. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x – 2 – 3/x = 0. Bewegen wir 3/x nach rechts und erhalten die Gleichung x – 2 = 3/x. Dann können wir Diagramme der Funktionen y = 3/x erstellen und y = x – 2 in einem Koordinatensystem.
Abbildung 10 zeigt einen Graphen der Funktion y = 3/x und Abbildung 11 zeigt beide Graphen der Funktionen y = 3/x und y = x – 2.
Abbildung 10 
Abbildung 11
Sie schneiden sich auch an zwei Punkten, an denen x = -1, x = 3.
Antwort: - 1; 3.
Wenn Sie aufgepasst haben, werden Sie bemerkt haben, dass Sie unabhängig davon, wie Sie die Gleichung als zwei Funktionen darstellen, immer die gleiche Antwort erhalten (natürlich machen Sie keine Fehler, wenn Sie Ausdrücke von einer Seite der Gleichung auf eine andere übertragen). und beim Erstellen von Diagrammen). Wählen Sie daher beim grafischen Lösen einer Gleichung die Methode zur Darstellung der grafischen Funktionen, die für Sie einfacher zu konstruieren ist. Und noch ein Hinweis: Wenn die Wurzeln der Gleichung keine ganzen Zahlen sind, ist die Antwort nicht korrekt.
Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.
Quadratische Gleichungen sind Ihnen bereits im Algebrakurs der 7. Klasse begegnet. Denken Sie daran, dass eine quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 ist, wobei a, b, c beliebige Zahlen (Koeffizienten) sind und a . Mit unserem Wissen über einige Funktionen und ihre Graphen sind wir nun in der Lage, einige quadratische Gleichungen auf unterschiedliche Weise zu lösen, ohne auf eine systematische Untersuchung des Themas „Quadratische Gleichungen“ warten zu müssen; Wir werden diese Methoden am Beispiel einer quadratischen Gleichung betrachten.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung x 2 - 2x - 3 = 0.
Lösung.
Methode I
. Erstellen wir einen Graphen der Funktion y = x 2 - 2x - 3 mit dem Algorithmus aus § 13:
1) Wir haben: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Das bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Parabel der Punkt (1; -4) und die Achse der Parabel die Gerade x = 1 ist.
2) Nehmen Sie zwei Punkte auf der x-Achse, die symmetrisch zur Achse der Parabel sind, zum Beispiel die Punkte x = -1 und x = 3.
Wir haben f(-1) = f(3) = 0. Konstruieren wir die Punkte (-1; 0) und (3; 0) auf der Koordinatenebene.
3) Durch die Punkte (-1; 0), (1; -4), (3; 0) zeichnen wir eine Parabel (Abb. 68).
Die Wurzeln der Gleichung x 2 - 2x - 3 = 0 sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse; Das bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung sind: x 1 = - 1, x 2 - 3.
II-Methode. Lassen Sie uns die Gleichung in die Form x 2 = 2x + 3 umwandeln. Lassen Sie uns Diagramme der Funktionen y - x 2 und y = 2x + 3 in einem Koordinatensystem erstellen (Abb. 69). Sie schneiden sich in zwei Punkten A(- 1; 1) und B(3; 9). Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Punkte A und B, was x 1 = - 1, x 2 - 3 bedeutet.
III-Methode . Lassen Sie uns die Gleichung in die Form x 2 - 3 = 2x umwandeln. Konstruieren wir Graphen der Funktionen y = x 2 - 3 und y = 2x in einem Koordinatensystem (Abb. 70). Sie schneiden sich in zwei Punkten A (-1; - 2) und B (3; 6). Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Punkte A und B, also x 1 = - 1, x 2 = 3.
IV-Methode.
Lassen Sie uns die Gleichung in die Form x 2 -2x 4-1-4 = 0 umwandeln
und weiter
x 2 - 2x + 1 = 4, d. h. (x - IJ = 4.
Konstruieren wir eine Parabel y = (x - 1) 2 und eine Gerade y = 4 in einem Koordinatensystem (Abb. 71). Sie schneiden sich in zwei Punkten A(-1; 4) und B(3; 4). Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Punkte A und B, also x 1 = -1, x 2 = 3.
V-Methode. Wenn wir beide Seiten der Gleichung Term für Term durch x dividieren, erhalten wir
Konstruieren wir eine Hyperbel und eine Gerade y = x - 2 in einem Koordinatensystem (Abb. 72).
Sie schneiden sich in zwei Punkten A (-1; -3) und B (3; 1). Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Punkte A und B, daher ist x 1 = - 1, x 2 = 3.
Also haben wir die quadratische Gleichung x 2 - 2x - 3 = 0 grafisch auf fünf Arten gelöst. Lassen Sie uns die Essenz dieser Methoden analysieren.
Methode I Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion am Schnittpunkt mit der x-Achse.
II-Methode. Transformieren Sie die Gleichung in die Form ax 2 = -bx - c, konstruieren Sie eine Parabel y = ax 2 und eine Gerade y = -bx - c, finden Sie ihre Schnittpunkte (die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Schnittpunkte). , wenn es natürlich welche gibt).
III-Methode. Transformieren Sie die Gleichung in die Form ax 2 + c = - bx, konstruieren Sie eine Parabel y - ax 2 + c und eine gerade Linie y = -bx (sie geht durch den Ursprung); Finden Sie ihre Schnittpunkte.
IV-Methode. Transformieren Sie die Gleichung mit der Methode der Isolierung eines vollständigen Quadrats in die Form
Konstruieren Sie eine Parabel y = a (x + I) 2 und eine gerade Linie y = - m, parallel zur x-Achse; Finden Sie die Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden.
V-Methode. Wandeln Sie die Gleichung in die Form um
Konstruieren Sie eine Hyperbel (dies ist eine Hyperbel, vorausgesetzt, dass) und die gerade Linie y = - ax - b; Finden Sie ihre Schnittpunkte.
Beachten Sie, dass die ersten vier Methoden auf alle Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0 anwendbar sind und die fünfte nur auf Gleichungen mit c. In der Praxis können Sie die Methode wählen, die für eine bestimmte Gleichung am besten geeignet erscheint oder die Ihnen besser gefällt (oder Sie besser versteht).
Kommentar
. Trotz der Fülle an Möglichkeiten, quadratische Gleichungen grafisch zu lösen, sind wir zuversichtlich, dass wir jede quadratische Gleichung lösen können
Wir können es grafisch lösen, nein. Angenommen, Sie müssen zum Beispiel die Gleichung x 2 - x - 3 = 0 lösen (nehmen wir konkret eine Gleichung, die der in enthaltenen ähnelt).
betrachtetes Beispiel). Versuchen wir es zum Beispiel auf die zweite Art zu lösen: Transformieren Sie die Gleichung in die Form x 2 = x + 3, konstruieren Sie eine Parabel y = x 2 und
Gerade y = x + 3, sie schneiden sich in den Punkten A und B (Abb. 73), was bedeutet, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat. Aber was bedeuten diese Wurzeln? Wir können mit Hilfe einer Zeichnung
Wir können nicht sagen, dass die Punkte A und B nicht so „gute“ Koordinaten haben wie im obigen Beispiel. Betrachten Sie nun die Gleichung
x 2 - 16x - 95 = 0. Versuchen wir es beispielsweise auf die dritte Art zu lösen. Lassen Sie uns die Gleichung in die Form x 2 - 95 = 16x umwandeln. Hier müssen wir eine Parabel konstruieren
y = x 2 - 95 und Gerade y = 16x. Die begrenzte Größe des Notizbuchblattes lässt dies jedoch nicht zu, da die Parabel y = x 2 um 95 Zellen nach unten abgesenkt werden muss.
Grafische Methoden zur Lösung einer quadratischen Gleichung sind also schön und angenehm, bieten jedoch keine hundertprozentige Garantie für die Lösung einer quadratischen Gleichung. Dies werden wir in Zukunft berücksichtigen.
>>Mathematik: Grafische Lösung von Gleichungen
Grafische Lösung von Gleichungen
Fassen wir unser Wissen darüber zusammen Grafiken Funktionen. Wir haben gelernt, wie man Diagramme der folgenden Funktionen erstellt:
y =b (gerade Linie parallel zur x-Achse);
y = kx (Linie durch den Ursprung);
y - kx + m (gerade Linie);
y = x 2 (Parabel).
Die Kenntnis dieser Diagramme ermöglicht es uns, bei Bedarf die analytische zu ersetzen Modell geometrisch (grafisch) betrachten Sie beispielsweise anstelle des Modells y = x 2 (das eine Gleichheit mit zwei Variablen x und y darstellt) eine Parabel in der Koordinatenebene. Insbesondere ist es manchmal nützlich, um Gleichungen zu lösen. Lassen Sie uns anhand einiger Beispiele besprechen, wie dies geschieht.
A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen
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Thema:Funktion
Lektion:Funktion. Grafische Lösung von Gleichungen
Die grafische Lösung von Gleichungen basiert auf der Kenntnis von Funktionsgraphen und ihren Eigenschaften. Lassen Sie uns die Funktionen auflisten, deren Graphen wir kennen:
1) ist der Graph eine gerade Linie parallel zur Abszissenachse, die durch einen Punkt auf der Ordinatenachse verläuft. Schauen wir uns ein Beispiel an: y=1:
Für unterschiedliche Werte erhalten wir eine Schar von Geraden parallel zur x-Achse.
2) Funktion der direkten Proportionalität, der Graph dieser Funktion ist eine gerade Linie, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Wir haben diese Diagramme bereits in früheren Lektionen erstellt. Denken Sie daran, dass Sie zum Erstellen jeder Linie einen Punkt auswählen müssen, der diese erfüllt, und den Koordinatenursprung als zweiten Punkt verwenden müssen.
Erinnern wir uns an die Rolle des Koeffizienten k: Mit zunehmender Funktion wird der Winkel zwischen der Geraden und der positiven Richtung der x-Achse spitz; Wenn die Funktion abnimmt, ist der Winkel zwischen der Geraden und der positiven Richtung der x-Achse stumpf. Darüber hinaus besteht die folgende Beziehung zwischen zwei Parametern k mit demselben Vorzeichen: Für positives k gilt: Je größer es ist, desto schneller nimmt die Funktion zu, und für negative nimmt die Funktion bei großen Werten von k im Absolutwert schneller ab .
3) Lineare Funktion. Wenn - wir den Schnittpunkt mit der Ordinatenachse erhalten und alle Geraden dieses Typs durch den Punkt (0; m) verlaufen. Darüber hinaus ist der Winkel zwischen der Geraden und der positiven Richtung der x-Achse mit zunehmender Funktion spitz; Wenn die Funktion abnimmt, ist der Winkel zwischen der Geraden und der positiven Richtung der x-Achse stumpf. Und natürlich beeinflusst der Wert von k die Änderungsrate des Funktionswerts.
4). Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel.
Schauen wir uns Beispiele an.
Beispiel 1 – Lösen Sie die Gleichung grafisch:
Funktionen dieser Art kennen wir nicht, daher müssen wir transformieren gegebene Gleichung um mit bekannten Funktionen zu arbeiten:
Auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir bekannte Funktionen:
Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen:
Die Diagramme haben zwei Schnittpunkte: (-1; 1); (2; 4)
Prüfen wir, ob die Lösung richtig gefunden wurde und setzen die Koordinaten in die Gleichung ein:
Der erste Punkt wurde richtig gefunden.
, 
, , , , ,
Auch der zweite Punkt wurde richtig gefunden.
Die Lösungen der Gleichung lauten also und
Wir gehen ähnlich wie im vorherigen Beispiel vor: Wir transformieren die gegebene Gleichung in uns bekannte Funktionen, konstruieren ihre Graphen, ermitteln die Schnittströme und geben von hier aus die Lösungen an.
Wir erhalten zwei Funktionen:
Lassen Sie uns Diagramme erstellen:
Diese Diagramme haben keine Schnittpunkte, was bedeutet, dass die gegebene Gleichung keine Lösungen hat
Fazit: In dieser Lektion haben wir die uns bekannten Funktionen und ihre Graphen überprüft, uns an ihre Eigenschaften erinnert und sie untersucht grafische Methode Gleichungen lösen.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. und andere. Algebra 7. 6. Auflage. M.: Aufklärung. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. und andere. Algebra 7.M.: Aufklärung. 2006
Aufgabe 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. und andere. Algebra 7, Nr. 494, Art. 110;
Aufgabe 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. und andere. Algebra 7, Nr. 495, Art. 110;
Aufgabe 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. und andere. Algebra 7, Nr. 496, Art. 110;
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