P=a+b+c
Как найти периметр треугольника:
Всем известно, что периметр найти проще простого – надо всего лишь сложить все три стороны треугольника. Однако существует несколько других способов, с помощью которых можно найти сумму длин сторон треугольника.
1 шаг
При известных радиусе вписанной в треугольник окружности и его площади найти периметр по формуле P=2S/r. 
2 шаг
Если ты знаешь два угла, например, α и β, прилежащих к стороне, и длину этой стороны, то для нахождения периметра используй формулу а+sinα∙а/(sin(180°-α-β)) + sinβ∙а/(sin(180°-α-β)).
3 шаг
Если в условии указаны смежные стороны и угол β между ними, при нахождении периметра учитывай теорему косинусов. Тогда P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), где a^2 и b^2 – квадраты длин смежных сторон. Выражение под корнем – длина третьей неизвестной стороны, выраженная через теорему косинусов. 
4шаг
Для равнобедренного треугольника формула периметра принимает вид P=2a+b, где а – боковые стороны, а b – его основание.
5 шаг
Периметр правильного треугольника рассчитай по формуле P=3a.
6 шаг
Найди периметр с помощью радиусов вписанных в треугольник или описанных около него окружностей. Так, для равностороннего треугольника помни и используй формулу P=6r√3=3R√3, где r – радиус вписанной окружности, а R – радиус описанной окружности.
7 шаг
Для равнобедренного треугольника примени формулу P=2R(2sinα+sinβ), в которой α – угол при основании, а β – угол, противолежащий основанию.
Как найти периметр треугольника? Таким вопросом задавался каждый из нас, учась в школе. Попробуем вспомнить все, что мы знаем об этой удивительной фигуре, а также ответить на заданный вопрос.
Ответ на вопрос о том, как найти периметр треугольника, обычно является довольно-таки простым - требуется всего-лишь выполнить процедуру сложения длин всех его сторон. Однако есть ещё несколько простых методов искомой величины.
Советы
В том случае, если радиус (r) окружности, которая вписана в треугольник, и его площадь (S) известны, то ответить на вопрос о том, как найти периметр треугольника, довольно просто. Для этого вам необходимо воспользоваться обычной формулой:
Если известны два угла, допустим, α и β, которые прилегают к стороне, и сама длина стороны, то периметр можно найти с помощью весьма и весьма популярной формулы, которая имеет вид:
sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а
Если вы знаете длины смежных сторон и угол β, находящийся между ними, то для того, чтобы найти периметр, требуется воспользоваться Периметр вычисляется по формуле:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),
где b2 и а2 являются квадратами длин смежных сторон. Подкоренное выражение - это длина третьей стороны, которая неизвестна, выраженная посредством теоремы косинусов.
Если вы не знаете, как найти периметр то здесь, на самом деле, нет ничего сложного. Вычислите его по формуле:
где b - основание треугольника, а - его боковые стороны.
Для нахождения периметра правильного треугольника следует воспользоваться простейшей формулой:
где а - длина стороны.
Как найти периметр треугольника, если известны только радиусы окружностей, которые описаны около него или вписаны в него? Если треугольник является равносторонним, то тогда следует применить формулу:
P = 3R√3 = 6r√3,
где R и r являются радиусами описанной и вписанной окружности соответственно.
Если треугольник является равнобедренным, то для него применима формула:
P=2R (sinβ + 2sinα),
где α - это угол, который лежит у основания, а β - угол, который противолежит основанию.
Зачастую для решения математических задач требуется глубочайший анализ и специфическое умение находить и выводить требуемые формулы, а это, как многим известно, довольно непростая работа. Хотя некоторые задачи можно решить всего лишь с помощью одной-единственной формулы.
Давайте рассмотрим формулы, которые являются базовыми для ответа на вопрос о том, как найти периметр треугольника, по отношению к самым разнообразным типам треугольников.
Безусловно, главное правило для нахождения периметра треугольника - это данное утверждение: для нахождения периметра треугольника требуется сложить длины всех его сторон по соответствующей формуле:
где b, a и с - это длины сторон треугольника, а Р - периметр треугольника.
Есть несколько частных случаев данной формулы. Допустим, ваша задача формулируется следующим образом: «как найти периметр прямоугольного треугольника?» В таком случае вам следует воспользоваться следующей формулой:
P = b + a + √(b2 + a2)
В этой формуле b и а являются непосредственными длинами катетов прямоугольного треугольника. Несложно догадаться, что вместо стороны с (гипотенузы) используется выражение, полученное по теореме великого ученного древности - Пифагора.
Если требуется решить задачу, где треугольники являются подобными, то логично было бы воспользоваться данным утверждением: отношение периметров соответствует коэффициенту подобия. Допустим, у вас есть два подобных треугольника - ΔABC и ΔA1B1C1. Тогда для нахождения коэффициента подобия необходимо разделить периметр ΔABC на периметр ΔA1B1C1.
В заключение можно отметить, что периметр треугольника можно найти при помощи самых различных методик, в зависимости от тех исходных данных, которые у вас имеются. Необходимо добавить, что существуют некоторые частные случаи для прямоугольных треугольников.
В статье на примерах покажем, как находить периметр треугольника . Рассмотрим все основные случая, как найти периметры треугольников , даже когда не все значения сторон известны.
Треугольником
называется простая геометрическая фигура состоящая из трех прямых линий пересекающих друг друга. В которой точки пересечения прямых, называются вершинами, а прямые линии соединяющие их, называются сторонами.
Периметром треугольника
называется сумма длин сторон треугольника. От того сколько мы имеем изначальных данных, для вычисления периметра треугольника, зависит каким из вариантов мы воспользуемся, для его вычисления.
Первый вариант
Если мы знаем длины сторон n, y и z треугольника, то периметр мы можем определить с помощью следующей формулы: в которой P - это периметр, n, y, z- стороны треугольника
периметр прямоугольника формула
P = n + y + z
Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =8см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 10 + 10 + 8 = 28.
Ответ: Р = 28см.
Для равностороннего треугольника находим периметр так - длина одной стороны умноженная на три. формула выглядит следующим образом:
Р = 3n
Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =10см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 10 * 3 = 30
Ответ: Р = 30см.
Для равнобедренного треугольника находим периметр так - к длине одной боковой стороны умноженной на два, прибавляем сторону основания
Равнобедренным треугольником называется простейший многоугольник у которого две боковые стороны равны, а третья сторона называется основанием.
P = 2n + z
Рассмотрим на примере:
Дан треугольник ksv стороны которого k = 10см, s = 10 см, v =7см. найти его периметр.
Пользуясь формулой получаем 2 * 10 + 7 = 27.
Ответ: Р = 27см.
Второй вариант
Когда нам не известна длина одной стороны, но мы знаем величины длины двух других сторон и угла между ними, а периметр треугольника возможно найти только после того как мы узнаем длину третьей стороны. В этом случае неизвестная сторона будет равна корню квадратному из выражения в2 + с2 - 2 ∙ в ∙ с ∙ cosβ
P = n + y + √ (n2 + y2 - 2 ∙ n ∙ y ∙ cos α)
n, y - длины сторон
α - размер угла между известными нам сторонами
Третий вариант
Когда нам не известны стороны n и y, но мы знаем длину стороны z и величины прилегающих к ней. Периметр треугольника в этом случае мы сможем найти только тогда когда узнаем длины двух неизвестных нам сторон, определим их с помощью теоремы синусов, с помощью формулы
P = z + sinα ∙ z / (sin (180°-α - β)) + sinβ ∙ z / (sin (180°-α - β))
z - длина известной нам стороны
α, β - размеры известных нам углов
Четвертый вариант
Так же можно найти периметр треугольника по радиусу вписанному в его окружность и площади треугольника. Определяем периметр по формуле
P = 2S / r
S - площадь треугольника
r - радиус вписанной в него окружности
Мы с вами разобрали четыре разных варианта, как можно найти периметр треугольника.
Находить периметр треугольника в принципе не сложно. Если у вас появились какие то вопросы по статье, дополнения, то обязательно пишите их в комментариях.
Кстати, на referatplus.ru вы можете скачать рефераты по математике бесплатно .
Треугольник являет собой одну из фундаментальных геометрических фигур, представляющих собой три пересекающихся отрезка прямых. Эта фигура была известна еще ученым Древнего Египта, Древней Греции и Древнего Китая, которые и вывели большинство формул и закономерностей, используемых учеными, инженерами и конструкторами до сих пор.
К основным составным частям треугольника относятся:
Вершины - точки пересечения отрезков.
Стороны - пересекающиеся отрезки прямых.
Исходя из этих составных частей, формулируют такие понятия, как периметр треугольника, его площадь, вписанная и описанная окружность. Еще со школы известно, что периметр треугольника представляет собой числовое выражение суммы всех трех его сторон. В то же время формул для нахождения данной величины известно великое множество, в зависимости от тех исходных данных, которые есть у исследователя в том или ином случае.
1. Самый простой способ нахождения периметра треугольника используется в том случае, когда известны числовые значения всех трех его сторон (x,y,z), как следствие:
2. Периметр равностороннего треугольника можно найти, если вспомнить, что у данной фигуры все стороны, впрочем, как и все углы, равны. Зная длину этой стороны, периметр равностороннего треугольника можно определить по формуле:
3. У равнобедренного треугольника, в отличие от равностороннего, только две боковые стороны имеют одно и то же числовое значение, поэтому в этом случае в общем виде периметр будет находиться следующим образом:
4. Следующие способы необходимы в тех случаях, когда известны числовые значения не всех сторон. Например, если в исследовании есть данные о двух сторонах, а также известен угол между ними, то периметр треугольника может быть найден с помощью определения третьей стороны и известного угла. В этом случае эта третья сторона будет найдена по формуле:
z= 2x+2y-2xycosβ
Исходя из этого, периметр треугольника будет равен:
P= x+y+2x+(2y-2xycos β)
5. В том случае, когда изначально дана длина не более чем одной стороны треугольника и известны числовые величины двух углов прилегающих к ней, то периметр треугольника можно вычислить, опираясь на теорему синусов:
P = x+sinβ х/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))
6. Бывают случаи, когда для нахождения периметра треугольника используются известные параметры вписанной в него окружности. Данная формула также известна большинству еще со школьной скамьи:
P= 2S/r (S - площадь окружности, тогда как r - ее радиус).
Из всего вышеприведенного видно, что величина периметра треугольника может быть найдена множеством способов, исходя из тех данных, которыми владеет исследователь. Кроме того, есть еще несколько частных случаев нахождения данной величины. Так, периметр является одной из важнейших величин и характеристик прямоугольного треугольника.
Как известно, таким треугольником называют фигуру, две стороны которой образуют прямой угол. Периметр прямоугольного треугольника находится через числовое выражение суммы обоих катетов и гипотенузы. В том случае, если исследователю известны данные только о двух сторонах, оставшуюся можно вычислить с помощью знаменитой теоремы Пифагора: z= (x2 + y2), если известны оба катета, или x= (z2 - y2), если известна гипотенуза и катет.
В том случае, если известна длина гипотенузы и один из прилежащих у ней углов, то две другие стороны находятся по формулам: х= z sinβ , y= z cosβ. В этом случае периметр будет равен:
P= z(cosβ + sinβ +1)
Также частным случаем является вычисление периметра правильного (или равностороннего) треугольника, то есть такой фигуры, у которой все стороны и все углы равны. Вычисление периметра такого треугольника по известной стороне никакой проблемы не составляет, однако, зачастую исследователю известны какие-то другие данные. Так, если известен радиус вписанной окружности, периметр правильного треугольника находится по формуле:
А если дана величина радиуса описанной окружности, периметр правильного треугольника будет найден следующим образом:
Формулы нужно запомнить, чтобы успешно применть на практике.
Периметр фигуры – сумма длин всех ее сторон. Соответственно, дабы обнаружить периметр треугольника , нужно знать, чему равна длина всякой из его сторон. Для поиска сторон применяются свойства треугольника и основные теоремы геометрии.
Инструкция
1. Если все три стороны треугольника теснее даны в условии задачи, легко сложите их. Тогда периметр будет равен: P = a + b + c.
2. Пускай даны две стороны a, b и угол между ними?. Тогда третью сторону дозволено обнаружить по теореме косинусов: c? = a? + b? – 2 a b cos(?). Помните, что длина стороны может быть только позитивной.
3. Частный случай теоремы косинусов – теорема Пифагора, которая применима для прямоугольных треугольников. Угол? в данном случае равен 90°. Косинус прямого угла обращается в единицу. Тогда c? = a? + b?.
4. Если в условии дана только одна из сторон, но при этом вестимы углы треугольника, две другие стороны дозволено обнаружить по теореме синусов. Кстати, углы могут быть заданы не все, следственно благотворно помнить, что сумма всех углов треугольника равна 180°.
5. Выходит, пускай дана сторона a, угол? между a и b, ? между a и c. 3-й угол? между сторонами b и c легко обнаружить из теоремы о сумме углов треугольника: ? = 180° – ? – ?. По теореме синусов, a / sin(?) = b / sin(?) = c / sin(?) = 2 R, где R – радиус окружности, описанной около треугольника. Дабы обнаружить сторону b, дозволено выразить ее из этого равенства через углы и сторону a: b = a sin(?) / sin(?). Подобно выражается и сторона c: c = a sin(?) / sin(?). Если, скажем, дан радиус описанной окружности, но не дана длина ни одной из сторон, задачу также допустимо решить.
6. Если в задаче дана площадь фигуры, нужно записать формулу для площади треугольника через стороны. Выбор формулы зависит от того, что еще знаменито. Если, помимо площади, заданы две стороны, поможет использование формулы Герона. Площадь дозволено выразить также через две стороны и синус угла между ними: S = 1/2 a b sin(?), где? – угол между сторонами a и b.
7. В некоторых задачах может быть задана площадь и радиус окружности, вписанной в треугольник. В таком случае выручит формула r = S / p, где r – радиус вписанной окружности, S – площадь, p – полупериметр треугольника. Полупериметр из этой формулы выразить легко: p = S / r. Осталось обнаружить периметр: P = 2 p.
Треугольник – это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр?
Инструкция
1. Периметр треугольника – это сумма длин всех его 3 сторон.Обозначим стороны треугольника а, b, c. Периметр в математических формулах обозначается латинской буквой Р. Значит, исходя из правила, Р = а + b + cДопустим, наши стороны треугольника имеют такие длины: а = 3 см, b = 4 см, с = 5 смЧтобы обнаружить периметр данного треугольника – необходимо сложить длины всех его сторон.Т.е. Р = 3 + 4 + 5Р = 12 смНе трудная задача, чай правда?
Видео по теме
Видео по теме
Загрузка...
