Уравнение плоскости волны. Волновой процесс

Волновые процессы

Основные понятия и определения

Рассмотрим некоторую упругую среду - твёрдую, жидкую или газообразную. Если в каком-либо месте этой среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, колебания будут, передаваясь от одной частицы среды к другой распространяться в среде с некоторой скоростью . Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .

Если частицы в среде колеблются в направлении распространения волны, то она называется продольной. Если колебания частиц происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то волна называется поперечной . Поперечные механические волны могут возникнуть только в среде, обладающей ненулевым модулем сдвига. Поэтому в жидкой и газообразной средах могут распространяться только продольные волны . Различие между продольными и поперечными волнами наиболее хорошо видно на примере распространения колебаний в пружине - см. рисунок.

Для характеристики поперечных колебаний необходимо задать положение в пространстве плоскости, проходящей через направление колебаний и направление распространения волны - плоскости поляризации .

Область пространства, в которой колеблются все частицы среды, называется волновым полем . Граница между волновым полем и остальным пространством среды называется фронтом волны . Иначе говоря, фронт волны - геометрическое место точек, до которых колебания дошли к данному моменту времени . В однородной и изотропной среде направление распространения волны перпендикулярно к фронту волны.

Пока в среде существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия. Пусть эти колебания являются гармоническими, и период этих колебаний равен Т . Частицы, отстоящие друг от друга на расстояние

вдоль направления распространения волны, совершают колебания одинаковым образом, т.е. в каждый данный момент времени их смещения одинаковы. Расстояние называется длиной волны . Другими словами, длина волны есть расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний .

Геометрическое место точек, совершающих колебания в одной фазе называется волновой поверхностью . Фронт волны – частный случай волновой поверхности. Длина волны – минимальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых точки колеблются одинаковым образом, или можно сказать, что фазы их колебаний отличаются на .

Если волновые поверхности являются плоскостями, то волна называется плоской , а если сферами – то сферической. Плоская волна возбуждается в сплошной однородной и изотропной среде при колебаниях бесконечной плоскости. Возбуждение сферической можно представить в виде результата радиальных пульсаций сферической поверхности, а также как результат действия точечного источника, размерами которого по сравнению с расстоянием до точки наблюдения можно пренебречь. Поскольку любой реальный источник имеет конечные размеры, на достаточно большом расстоянии от него волна будет близка к сферической. В то же время участок волновой поверхности сферической волны по мере уменьшения его размеров становится сколь угодно близким к участку волновой поверхности плоской волны.

Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки, как функцию координат равновесного положения точки и времени:

Если источник совершает периодические колебания, то функция(22.2) должна быть периодической функцией и координат и времени. Периодичность по времениследует из того, что функция описывает периодические колебания точки с координатами; периодичность по координатам - из того, что точки находящиеся на расстоянии вдоль направления распространения волны, колеблются одинаковым образом

Ограничимся рассмотрением гармонических волн, когда точки среды совершают гармонические колебания. Необходимо отметить, что любую негармоническую функцию можно представить в виде результата наложения гармонических волн. Поэтому рассмотрение только гармонических волн не приводит к принципиальному ухудшению общности получаемых результатов.

Рассмотрим плоскую волну. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси Ох и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение точек среды из положений равновесия будет зависеть только отх и t :

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости имеют вид:

(22.4)

Колебания в плоскости, находящейся на расстоянии х от начала координат, отстают по времени от колебаний в на промежуток времени , необходимый волне для преодоления расстояния х, и описываются уравнением

которое и является уравнением плоской волны, распространяющейся в направлении оси Ох.

При выводе уравнения (22.5) мы предполагали амплитуду колебаний одинаковой во всех точках. В случае плоской волны это выполняется, если энергия волны не поглощается средой.

Рассмотрим некоторое значение фазы, стоящей в уравнении (22.5):

(22.6)

Уравнение (22.6) даёт связь между временем t и местом - х , в котором указанное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив из уравнения (22.6) , мы найдём скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Дифференцируя(22.6), получаем:

Откуда следует (22.7)

Уравнение волны – это уравнение, выражающее зависимость смещения колеблющейся частицы, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени:

Эта функция должна быть периодической как относительно времени , так и относительно координат . Кроме того, точки, отстоящие на расстоянии l друг от друга, колеблются одинаковым образом.

Найдём вид функции x в случае плоской волны.

Рассмотрим плоскую гармоническую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию. В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны оси . Все величины, характеризующие колебательное движение частиц среды, зависят только от времени и координаты . Смещение будет зависеть только от и : . Пусть колебание точки с координатой (источник колебаний) задается функцией . Задача : найти вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению . Для того, чтобы пройти путь от плоскости до этой плоскости, волне требуется время . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости , будут отставать по фазе на время от колебаний частиц в плоскости . Тогда уравнение колебаний частиц в плоскости будет иметь вид:

В итоге получили уравнение плоской волны распространяющейся в направлении возрастания :

. (3)

В этом уравнении – амплитуда волны; – циклическая частота; – начальная фаза, которая определяется выбором начала отсчета и ; – фаза плоской волны.

Пусть фаза волны будет величиной постоянной (зафиксируем значение фазы в уравнении волны):

Сократим это выражение на и продифференцируем. В итоге получим:

или .

Таким образом, скорость распространения волны в уравнении плоской волны есть не что иное, как скорость распространения фиксированной фазы волны. Такую скорость называют фазовой скоростью .

Для синусоидальной волны скорость переноса энергии равна фазовой скорости. Но синусоидальная волна не несёт никакой информации, а любой сигнал это модулированная волна, т.е. не синусоидальная (не гармоническая). При решении некоторых задач получается, что фазовая скорость больше скорости света. Здесь нет парадокса, т.к. скорость перемещения фазы не есть скорость передачи (распространения) энергии. Энергия, масса не могут двигаться со скоростью больше чем скорость света c .

Обычно уравнению плоской волны придают симметричный относительно и вид. Для этого вводится величина , которая называется волновым числом . Преобразуем выражение для волнового числа. Запишем его в виде (). Подставим это выражение в уравнение плоской волны:

Окончательно получим

Это уравнение плоской волны, распространяющейся в сторону возрастания . Противоположное направление распространения волны будет характеризоваться уравнением, в котором поменяется знак перед членом .

Удобна запись уравнения плоской волны в следующем виде.

Обычно знак Re опускают, подразумевая, что берётся только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме этого вводится комплексное число.

Это число называется комплексной амплитудой. Модуль этого числа даёт амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны.

Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в следующем виде.

Всё рассмотренное выше относилось к среде, где отсутствовало затухание волны. В случае затухания волны, в соответствии с законом Бугера (Пьер Бугер, французский учёный (1698 – 1758)), амплитуда волны будет уменьшаться при её распространении. Тогда уравнение плоской волны будет иметь следующий вид.

a – коэффициент затухания волна. A 0 – амплитуда колебаний в точке с координатами . Это величина обратная расстоянию, при котором амплитуда волны уменьшается в e раз.

Найдем уравнение сферической волны . Будем считать источник колебаний точечным. Это возможно, если ограничиться рассмотрением волны на расстоянии, много большем размеров источника. Волна от такого источника в изотропной и однородной среде будет сферической . Точки лежащие на волновой поверхности радиуса , будут колебаться с фазой

Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не будет оставаться постоянной. Она убывает с расстоянием от источника по закону . Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

или

В силу сделанных предположений уравнение справедливо только при , значительно превышающих размеры источника волн. Уравнение (6) неприменимо для малых значений , т.к. амплитуда устремилась бы к бесконечности, а это абсурд.

При наличии затухания в среде уравнение сферической волны запишется следующим образом.

Групповая скорость

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность "горбов" и "впадин".

Фазовая скорость этой волны или (2)

С помощью такой волны нельзя передать сигнал, т.к. в любой точке волны все "горбы" одинаковы. Сигнал должен отличаться. Быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет гармонической, и не будет описываться уравнением (1). Сигнал (импульс) можно представить согласно теореме Фурье в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключёнными в некотором интервале Dw . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте,

называется волновым пакетом или группой волн .

Выражение для группы волн может быть записано следующим образом.

(3)

Значок w подчеркивает, что эти величины зависят от частоты.

Этот волновой пакет может быть суммой волн с мало отличающимися частотами. Там, где фазы волн совпадают, наблюдается усиление амплитуды, а там, где фазы противоположны, наблюдается гашение амплитуды (результат интерференции). Такая картина представлена на рисунке. Чтобы суперпозицию волн можно было считать группой волн необходимо выполнение следующего условия Dw << w 0 .

В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью v . Дисперсия это зависимость фазовой скорости синусоидальной волны в среде от частоты. Явление дисперсии мы рассмотрим позже в разделе "Волновая оптика". В отсутствии дисперсии скорость перемещения волнового пакета совпадает с фазовой скорость v . В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью. Поэтому волновой пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается.

Если дисперсия невелика, то расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Поэтому движению всего пакета можно приписать некоторую скорость U .

Скорость, с которой перемещается центр волнового пакета (точка с максимальным значением амплитуды) называется групповой скоростью .

В диспергирующей среде v¹ U . Вместе с движением самого волнового пакета происходит движение "горбов" внутри самого пакета. "Горбы" перемещаются в пространстве со скоростью v , а пакет в целом со скоростью U .

Рассмотрим подробнее движение волнового пакета на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными частотами w (разными длинами волн l ).

Запишем уравнения двух волн. Примем для простоты начальные фазы j 0 = 0.

Здесь

Пусть Dw << w , соответственно Dk << k .

Сложим колебания и проведём преобразования с помощью тригонометрической формулой для суммы косинусов:

В первом косинусе пренебрежём Dwt и Dkx , которые много меньше других величин. Учтём, что cos(–a) = cosa . Окончательно запишем.

(4)

Множитель в квадратных скобках изменяется от времени и координаты значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой, описываемой первым сомножителем. Графически волна, описываемая выражением (4) представлена на рисунке, изображённом выше.

Результирующая амплитуда получается в результате сложения волн, следовательно, будут наблюдаться максимумы и минимумы амплитуды.

Максимум амплитуды будет определяться следующим условием.

(5)

m = 0, 1, 2…

x max – координата максимальной амплитуды.

Косинус принимает максимальное значение по модулю через p .

Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн.

Разрешив (5) относительно x max получим.

Так как фазовая скорость , то называется групповой скоростью. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды волнового пакета. В пределе, выражение для групповой скорости будет иметь следующий вид.

(6)

Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн.

Следует отметить, что при точном учёте всех членов разложения (для произвольного числа волн), выражение для амплитуды получается таким, что из него следует, что волновой пакет со временем расплывается.
Выражению для групповой скорости можно придать другой вид.

В отсутствии дисперсии

Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Этот случай наблюдается в области аномальной дисперсии. Это мы будем рассматривать в разделе "Волновая оптика".

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, у, z. Периодичность по времени вытекает из того, что описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние К, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания иосят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от Пусть колебания точек, лежащих в плоскости (рис. 94.1), имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х= 0 до этой плоскости, волне требуется время - скорость распространения волны).

Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости т. е. будут иметь вид

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

Величина а представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны а определяется выбором начал отсчета При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы а была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись нулю, как правило, не удается.

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (94.2), положив

(94.3)

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающеё из него значение дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (94.3), получим

Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении (94.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Согласно (94.4) . Следовательно, уравнение (94.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Действительно, приравняв константе фазу волны (94.5) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

из которого следует, что волна (94.5) распространяется в сторону убывания х.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину

которая называется волновым числом. Умиожив числитель и знаменатель выражения (94.6) на частоту v, можно представить волновое число в виде

(см. формулу (93.2)). Раскрыв в (94.2) круглые скобки и приняв во внимание (94.7), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (94.8) только знаком при члене

При выводе формулы (94.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волиы не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны С удалением от источника колебаний постепенно уменьшается - наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: с убыванием во времени амплитуды затухающих колебаний; см. формулу (58.7) 1-го тома). Соответственно уравнение плоской волны имеет следующий вид:

Амплитуда в точках плоскости

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса , будут колебаться с фазой

Функция (78.1) должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат x, у и z. Периодичность по t следует из того, что описывает колебания точки с координатами x , у, z . Периодичность по координатам вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии , колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от х и t:

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х=0 (рис. 195), имеют вид

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х=0 до этой плоскости, волне требуется время

Где - скорость распространения волны. Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x, будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости х=0, т.е. будут иметь вид

Итак, уравнение плоской волны запишется следующим образом;

Выражение (78.3) дает связь между временем (t) н тем местом (х), в котором зафиксированное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив вытекающее из него значение dx /dt , мы найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (78.3), получим:

Действительно, приравняв константе фазу волны (78.5) и продифференцировав, получим:

откуда и следует, что волна (78.5) распространяется в сторону убывания х.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно t и х вид. Для этого введем так называемое волновое число k ;

Заменив в уравнении (78.2) его значением (78.7) и внеся в скобки , получим уравнение плоской волны в виде

(78 .8)

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, будет отличаться от (78.8) только знаком при члене kx .

В случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна и та же, порождаемая точечным источником волна будет сферической. Предположим, что фаза колебании источника равна . Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r , будут колебаться с фазой (чтобы пройти путь r , волне требуется время ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной - она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r (см. §82). Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

(78 .9)

где а - постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности амплитуды, умноженной на размерность длины (размерность r ).

Напомним, что в силу сделанных вначале предположений уравнение (78.9) справедливо только при значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r .

Имеются в виду координаты равновесного положения точки.

Установим связь между смещением колеблющейся частицы среды (точки) от положения равновесия и временем, отсчитанным от момента начала колебания источника, который находится на расстоянии х от «нашей» частицы в начале координат.

Пусть колебания источника S гармонические, т.е. описываются уравнением ξ (t ) = A sinωt . С течением времени все частицы среды также будут совершать синусоидальные колебания с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет гармоническая бегущая волна.

Частица среды, находящаяся на оси ОХ на расстоянии х от источника S (рис. 1.2), начнёт колебаться позже, чем источник, на время, необходимое, чтобы волна, распространяющаяся от источника со скоростью V , преодолела расстояние х до частицы. Очевидно, что если источник колеблется уже в течение времени t , то частица среды колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от источника до частицы.

Тогда уравнение колебания для этой частицы будет

ξ (x,t ) =A sinω(t- τ),

но t =x /V , где V – модуль cкорости распространения волны. Тогда

ξ (x,t ) =A sinω(t-x/V )

– уравнение волны.

С учётом того, что и , уравнению можно придать вид

ξ (x,t )=A sin2 (t/T-x/λ ) = A sin2 (νt -x/λ ) = A sin (ωt -2πx/λ ) = A sin (ωt -kx ),(1.1)

где k = 2p/l – волновое число.Здесь (1.1) – уравнение плоской гармонической монохроматической волны (рис. 1.3), распространяющейся в направлении оси ОХ . График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны.

График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени. График волны – смещение всех частиц среды в данный момент времени на всем расстоянии от источника колебаний до волнового фронта. График волны является как бы моментальной фотографией волны.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении, имеет вид:

ξ (x,y,z,t ) = A sin = A sin(ωt – k x x – k y y – k z z ), (1.2)

где ξ – мгновенное смещение колеблющегося элемента среды (точки) с координатами x, y, z ; А – амплитуда смещения; ω – круговая частота колебаний;

– волновой вектор, равный ( – единичный вектор, указывающий направление распространения волны); ; - орты;

λ – длинна волны (рис. 1.3), т.е. расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды; – радиус-вектор, проведённый в рассматриваемую точку, ;

– фаза волны, где .

Здесь – углы, составленные волновым вектором с соответствующими осями координат.

Если волна распространяется в среде, не поглащающей энергию, то амплитуда волны не изменяется, т.е. А = const.

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы волны (фазовая скорость). В однородной среде скорость волны постоянна. Если фазовая скорость волны в среде зависит от частоты, то такое явление называется дисперсией волн, а среда – дисперсирующей средой.

При переходе из одной среды в другую может меняться скорость распространения волн, так как меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что припереходе из одной среды в другую будет меняться длина волны l.

Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны.

Таким образом, фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать, используя принцип Гюйгенса , сущность которого в следующем.

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1 (рис. 1.4). Требуется найти его положение через промежуток времени Dt .

В соответствии с принципом Гюйгенса, каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение принципа Гюйгенса).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом Dx = V Dt , где V – скорость волны. На рис. 1.4 показаны такие сферы. Здесь кружочки – сечения сферических поверхностей плоскостью чертежа.

Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса), то есть, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта (штриховая линия). Положения 1 и 2 волнового фронта

− в нашем случае плоскости.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а, следовательно, и Dх неодинаковы в различных направлениях.

Так как прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию и импульс. Перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется интенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии W , переносимой волною сквозь площадь S ┴ , перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади:

I = W/ (∆t∙S ┴),

откуда численно I=W , если ∆t =1 и S ┴ =1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт /м 2 ).

Получим выражение для интенсивности волны. При концентрации n 0 частиц среды, каждая из которых имеет массу m , объемная плотность w 0 энергии складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии, являющейся энергией деформированного объема. Объемная плотность энергии определяется выражением:

w 0 = n 0 mw 2 A 2 / 2 = rw 2 A 2 / 2,

где r =n 0 m . Подробный вывод выражения для объемной плотности энергии упругих волн приведен в учебном пособии . Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 м 2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 м 2 и высотой, численно равной скорости V (рис. 1.5), следовательно интенсивность волны

I = w 0 V = rVw 2 A 2 / 2. (1.3)

Таким образом, интенсивность волны пропорциональна плотности среды, скорости, квадрату круговой частоты и квадратуамплитуды волны .

Вектор , модуль которого равен интенсивности волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), определяется выражением.