"преобразование фигур и применение его на практике". Геометрические преобразования

Введение.

В школьном курсе геометрии с помощью темы: «Преобразования фигур» решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении не рассматривается. В связи с этим, цель исследовательской работы - выявить области практического применения преобразования фигур.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи :

изучить научно-популярную литературу по теме исследования;

изучить сведения о теме: Преобразование фигур;

собрать информацию о практическом применении преобразования фигур.

показать применение темы при решении экзаменационных задач;

показать практическое применение преобразования фигур при строительстве объектов МБОУ Шпалозаводская СОШ;

обработать собранные данные по теме.

Гипотеза: С помощь преобразования фигур можно решать не только математические задачи, но и успешно применять преобразования в практической деятельности.

Актуальность исследования: В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Научная новизна данной работы обусловлена тем, что в научный оборот введён обширный и малоизвестный материал.

Теоретической базой исследования сталитруды по изучению и использованию преобразования фигур: «Числа и фигуры» Радемахера Г., «Материал для внеклассной работы» Шустера Ф.М., «Симметрия – владычица стихов» Портера Л.Г., «Снежинки» Гончара В.

Методы исследования:

теоретический анализ литературы;

эвристический метод;

анкетирование;

метод практических работ.

Предмет исследования: преобразование фигур.

Объект исследования: практическое применение преобразования фигур.

Практическая значимость исследования: материал исследования может быть использован на дополнительных занятиях по математике и в классах углубленного изучения; при проектировании дизайна школьного двора, пришкольного участка; в архитектуре, строительстве.

Базой исследования является: МБОУ Шпалозаводская средняя общеобразовательная школа с. Новоильинск Заиграевского района Республики Бурятия.

Были выделены этапы :

Поиск и сбор информации;

Решение экзаменационных задач;

Анкетирование;

Решение практических задач по применению темы преобразования фигур;

Мы занимались поиском и сбором информации – изучали печатный материал, работали в сети Интернет, обрабатывали собранные данные. Решали экзаменационные и практические задачи по применению преобразования фигур. Провели анкетирование учащихся, учителей, родителей и обработали результаты. Было опрошено 50 учащихся 8-11 классов, 23 учителя и 27 родителей учащихся 9 класса.

Для своего исследования вначале изучили вопрос о преобразовании фигур пошкольным учебникам «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С. и Руденко В.Н., а также по учебнику Погорелова А.В. «Геометрия 7-11». Рассмотрели в данных учебниках задачи преобразования фигур. В Интернете мы ознакомилисьс практическим применением и экзаменационными задачами. Вопрос о практическом применении преобразования фигур в школьном учебнике геометрии Атанасяна Л.С., по которомузанимаемся, не освещен. Упоминается лишь немного о теоремах и о подобии треугольников. Это же упоминается и в учебнике геометрии Погорелова А.В. А вот в учебнике геометрии Руденко В.Н. по практическому применению теоремы решаются некоторые интересные задачи, хотя вопрос можно сказать, также не освещен.

Исследовав литературные источники, мы не нашли в них вопроса о практическом применении преобразования фигур. Поэтому самостоятельно изучить этот вопрос нам удалось только в Интернете, где мы и выяснили некоторые области их применения.

Нас заинтересовал дизайн пришкольного участка с точки зрения применения преобразования фигур, и мы решили провести исследования по проектированию школьного двора, рассмотрели вопрос о строительстве грядок и цветника на пришкольном участке МБОУ Шпалозаводская СОШ.

В заключении даны выводы о проделанной работе.

Библиография состоит из 10 источников и содержит информацию о той литературе, которая использовалась в исследовании, а также рекомендуемая литература по данной работе.

2.1 Преобразование фигур и его виды.

Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

Виды преобразования.

Гомотетия - простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X" луча OX, такую, что OX" = k*OX. (Приложение №1)

Свойство гомотетии:

Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).

Доказательство: Действительно, пусть O - центр гомотетии и ± - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости ±. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A" на луче OA, а точку B в точку B" на луче OB, причем OA"/OA = k, OB"/OB = k, где k - коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A"OB". Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA"B", а значит, параллельность прямых AB и A"B". Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости ±. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A"C". При рассматриваемой гомотетии плоскость ±перейдет в плоскость ±", проходящую через прямые A"B", A"C". Так как A"B"||AB и A"C"||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости ± и ±" параллельны, что и требовалось доказать. [ 5, 25]

Подобие - преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X", Y" фигуры F", в которые он переходят, X"Y" = k * XY.

Свойства подобия:

1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми.

3.Подобие переводит плоскости в плоскости.

4.Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия. [ 5, 23]

Движение - преобразование одной фигуры в другую, если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y

Свойства движения:

1.Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A 1 ,B 1 ,C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Доказательство: Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на одной прямой. Если точка A 1 ,B 1 ,C 1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC1 лежит на прямой A 1 C 1 . Первое утверждение теоремы доказано. Покажем теперь, что точка B 1 лежит между A 1 и C 1 . Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A 1 не может лежать между точками B 1 и C 1 .Аналогично доказываем, что точка C 1 не может лежать между точками A 1 и B 1 . Так как из трех точек A 1 ,B 1 ,C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки

3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Доказательство: Пусть AB и AC - две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A 1 B 1 и A 1 C 1 . Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

4. Движение переводит плоскость в плоскость.

Докажем это свойство. Пусть ± - произвольная плоскость. Отметим на ней любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость ±". Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость ± переходит в плоскость ±". Пусть X - произвольная точка плоскости ±. проведем через нее какую-нибудь прямую a в плоскости ±, пересекающую треугольник ABXC в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую a". Точки Y и Z прямой a перейдут в точки Y" и Z", принадлежащие треугольнику A"B"C", а значит, плоскости ±". Итак прямая a" лежит в плоскости ±". Точка X при движении переходит в точку X" прямой a", а значит, и плоскости ±", что и требовалось доказать.

В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением. [ 5, 28]

2.2. Виды движения.

1. Симметрия относительно точки.

Пусть О - фиксированная точка и X - произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX", равный OX. Точка X" называется симметричной точке X относительно точки O. Точка, симметричная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точка, симметричная точке X", есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка X переходит в точку X", симметричную относительно данной точке O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. При этом фигуры F и F" называются симметричными относительно точки O.

Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей.

Теорема: Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Доказательство: Пусть X и Y - две произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X" и Y". Рассмотрим треугольники XOY и X"OY". Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX=OX", OY=OY" по определению симметрии относительно точки O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X"Y". А значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана. (Приложение №2) [ 6, 28]

2. Симметрия относительно прямой.

Пусть g - фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр AX н прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок AX", равный отрезку AX. Точка X" называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X", есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка X переходит в точку X", симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F" называются симметричными относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры. Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, является осями симметрии прямоугольника. Прямые на которых лежат диагонали ромба, является его осями симметрии.

Теорема: Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Доказательство: Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат. Пусть произвольная точка A (x;y) фигуры F переходит в точку A" (x";y") фигуры F". Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A" равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x" = -x. Возьмем две произвольные точки A (x;y) и B (x;y). Они перейдут в точки A" (-x;y) и B" (-x;y). Имеем: AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

A"B"2=(-x2+ x1) 2+(y2-y1)2. Отсюда видно, что AB=A"B". А значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.(Приложение №3)

3.Симметрия относительно плоскости.

Пусть a - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость a и на его продолжении за точку A откладываем отрезок AX", равный XA. Точка X" называется симметричной точке X относительно плоскости a, а преобразование, которое переводит X в симметричную ей точку X", называется преобразованием симметрии относительно плоскости a.

Если точка X лежит в плоскости a, то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости a переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости a, а плоскость a называется плоскостью симметрии этой фигуры. [ 8, 53]

4.Поворот.

Поворот плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.
Это значит, что если при поворот около точки O точка переходит в точку X", то лучи OX и OX" образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом. (Приложение №4) [ 6, 57]

5.Параллельный перенос в пространстве.

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (x; y; z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где числа a,b,c одни и те же для всех точек (x; y; z). Параллельный перенос в пространстве задается формулами x"=x+a, y"=y+b, z"=z+c, выражающими координаты x", y", z" точки, в которую переходит точка (x; y; z) при параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса:

1. Параллельные перенос есть движение.

2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4. Каковы бы ни были точки A и A", существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A".

Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:

При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную её плоскость.

Действительно, пусть ± - произвольная плоскость, проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые a и b. При параллельном переносе прямые a и b переходят либо в себя, либо в параллельные прямые a" и b". Плоскость ± переходит в некоторую плоскость ±", проходящую через прямые a" и b". Если плоскость ±" не совпадает с ±, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, она параллельна a, что и требовалось доказать. (Приложение №5) [ 6, 58]

2.3 Решение экзаменационных задач.

Задача №1: Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Решение: По свойству подобия треугольников AB /AK =AC /AL =BC /KL .

BC /KL =160/80=2; h =AO *2=250*2=500 (см). Ответ: 500 см. [ 7,45]

Задача №2: Человек ростом 1,7 м стоит на некотором расстояние от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,1 м, при этом длина его тени 10 м. Найдите расстояние человека до фонаря.

Решение: k = 5,1:1,7=3; 10*3=30 (м); 30-10= 20 (м). Ответ: 20 (м). (Приложение №6)

2.4 Анкетирование.

После того как нами был собран теоритический материал, были решены экзаменационные задачи. Мы провели анкетирование в Шпалозаводской школе среди учащихся, учителей, родителей с целью: выявить количество учащихся, их родителей и учителей, которые владеют сведениями о преобразование фигур и их применения на практике. Было опрошено 50 учащихся 8-11 классов, 23 учителя и 25 родителей учащихся 9 класса. Мы предложи опрашиваемым 3 вопроса. По первому вопросу, знают, что такое преобразование фигур: учителя-65,2%, родители-18,5%, затруднились ответить-81,5%, учащиеся-100%. По второму вопросу: учителя-52,1%, затруднились ответить-47,9%, родители-14,8%, затруднились ответить-81,5%, учащиеся-46%, затруднились ответить-54%. По третьему вопросу: учителя- 100%, родители – 55,5%, затруднились ответить-44,5%, учащиеся -96,4%, затруднились ответить-4%,. (Приложение №7) [ 1, 44]

2.5 Практическое применение преобразования фигур.

Рассмотрим примеры практического применения преобразования фигур. Не будем пытаться привести все примеры использования преобразования - это вряд ли было бы возможно. Область применения преобразования достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Пришкольно-опытный участок.

Пришкольно-опытный участок школы является практической базой для проведения не только уроков труда и биологии, но и лабораторией для проведения опытнической работы для уроков геометрии. При размещении на пришкольном участке грядок и клумб часто встаёт вопрос: как сделать участок практичным и эстетичным. В связи с этим мы предлагаем приметить разработанную нами схему цветника в виде бабочки и огорода с грядками в виде подобных геометрических фигур.

Симметрия в изготовлении цветника.

Фигуру бабочки выкладываем из кирпича, там где должна пройти ось симметрии, мы проложим дорожку (для облегчения посадки, полива, обработки цветов). На оси симметрии от одной точки влево и вправо отмечаем одинаковые отрезки, намечаем фигуру бабочки. (Приложение №8)

Подобие фигур в дизайне огорода.

Аккуратные грядки могут украсить небольшой участок земли. Мы предлагаем применить подобие фигур в нашем огороде, грядки могут разной формы прямоугольные и треугольные (большие и маленькие). (Приложение №9)

Применение преобразования при укладке паркета.

К юбилею МБОУ Шпалозаводская СОШ мы решили подготовить проект: «Школа будущего». Одним элементов нашего проекта является прокладывание дорожки. Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются "паркеты" (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства. Укладка дорожки перед школой схожа с укладкой паркета, в этом случае мы используем один из видов преобразования движения или поворот. (Приложение №10)

Применение подобия в установке проектора.

Взяв за основу решение экзаменационных задач, мы рассчитали расстояние от экрана до проектора в кабинете №11. Чтобы установить экран надо выполнить расчёты. Высота экрана 120 см. Если проектор установить на расстояние 150 см от экрана, то высота изображения равна 60 см. Нам необходимо поставить проектор на такое расстояние, чтобы была заполнена вся площадь экрана. Решение: 120 / 60 = 2, 150 * 2 = 300 (см) Ответ: проектор нужно установить на расстояние 300 см от экрана. (Приложение № 11)

Применения подобия в дизайне помещений.

На сегодняшний день модно дизайнерское оформление жилья. Мы предлагаем разработанный нами коврик для стульев, выполненный с применением правильных шестиугольников.

Преобразование фигур в архитектуре и литературе.

Мало кто знает, что преобразование фигур играет также большую роль в архитектуре и литературе. (Приложение № 12)

Модульное оригами.

Размер листочков бумаги для складывания модулей может быть различным - большим или маленьким. От этого зависит величина будущей поделки. Для треугольных модулей удобно использовать листочки размером 1/16 или 1/32 стандартного листа формата А4. Для изготовления поделки «Лебедь» нам понадобились модули размером ½, 1/16, 1/32 стандартного листа А4. Мы изготовили трёх подобных лебедей. Размер поделок разный, а количество модулей одинаковое.

Заключение.

В результате проведённого исследования мы выяснили некоторые области применения преобразования фигур. Нами собрано и обработано много материала из литературных источников и Интернета по данной теме. Мы изучили некоторые сведения о преобразование фигур, решили ряд экзаменационных задач на применение преобразования фигур. Главным в работе считаем предложения по решению выдвинутых нами двух проблем: применениепреобразования фигур в дизайне пришкольного участка, укладке паркета, установке проектора. В результате решения поставленных задач мы пришли к выводу, что выдвинутая гипотеза нашла подтверждение. Да, действительно, с помощью преобразования фигур можно решать не только математические задачи. Тема о преобразовании фигур нашла своё применение в строительстве и архитектуре, литературе. А также практическое применение тема найдёт и при решении тех проблем, которые мы обозначили в своей работе.

Результатом нашей работы является:

приобретение навыка работы с литературными источниками;

приобретение навыка поиска нужного материала в Интернете;

работа с большим объёмом информации, отбор нужной информации;

приобретение опыта обработки данных и написания исследовательского проекта.

Библиография.

Ананьев Б.Г. Познавательная потребность и интересы. М: Знание, 2000

Беляева Н.А. Пути повышения интереса к учению. Труды 4 научной конференции, том 2, книга 1, Новосибирск, 1958.

Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М: Мир, 1986

Гончар В. «Снежинки», Математика №1- 2005

Cтраница 1

Преобразования фигур изучаются в курсе геометрии на плоскости и в пространстве. Если каждую точку данной фигуры на плоскости или в пространстве сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной.

Преобразование фигуры F в F2 есть преобразование подобия, так как при нем сохраняются отношения расстояний между соответствующими точками, однако это преобразование не является гомотетией.

Преобразование фигуры F в фигуру F называется центрально-подобным преобразованием или гомотетией.

Преобразование фигуры F в фигуру Р называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно - и то же число раз.

Пусть преобразование фигуры F в фигуру FI переводит различные точки фигуры F в различные топки фигуры F. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку Х фигуры F. Преобразование фигуры FI в фигуру F, при котором точка Х перейдет в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Преобразование, обратное движению, является также движением.

В геометрии преобразование фигур такого характера называется преобразованием подобия.

При этом преобразование фигуры понимается как ее смещение. Среди преобразований выделяются движения и преобразование подобия. Рассматриваются частные виды движений: осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос. Частным видом преобразования подобия является гомотетия.

Соответствующие при этом преобразовании фигуры наз. Фигура, совпадающая со своей взаимно полярной, наз.

В геометрии такого рода преобразования фигур называются подобными.

Под перемещением будем понимать такое преобразование фигур, когда все их точки, не меняя взаимного расположения, изменяют его относительно неподвижных плоскостей проекций. При плоскопараллельном перемещении все точки фигуры перемещаются в параллельных плоскостях. Обычно это плоскости уровня или проецирующие плоскости. Линии, по которым перемещаются точки, называются их траекториями, это плоские кривые.

Однако во многих случаях бывает полезным использование преобразования фигуры в подобную ей фигуру. Такое подобие сохраняет углы, но может изменять расстояния. При этом все расстояния увеличиваются (или уменьшаются) в одном и том же отношении, называемом коэффициентом подобия.

Часто удается притти к решению задачи с помощью метода преобразования фигур, и даже во многих случаях успех этого метода можно предвидеть с первого взгляда. Этот метод состоит в замене данной, или искомой фигуры, или какой-нибудь части их, новой фигурой, связанной с первоначальной определенным построением и позволяющей решить задачу или приблизиться к ее решению. Мы рассмотрим пока только такие преобразования, при которых новая фигура равна старой и отличается от нее только положением.

Построение дезарговой конфигурации приводит к интересному следствию, относящемуся к преобразованиям фигур и построению перспективных проекций. При решении предыдущей задачи было дано пять точек - дезаргова прямая, определенная двумя точками М и Р, дезаргова точка S и две точки А и А, расположенные на одном ребре пирамиды в различных ее сечениях. Для двух других точек одного сечения пирамиды (ее основания) В и С были найдены соответственные им точки В и С в другом сечении. Соответственными точками называются точки, расположенные на одном и том же ребре.

Малоязовская башкирская гимназия

Геометрия Реферат

“Преобразования фигур”

Выполнил: ученик 10 Б класса

Халиуллин А.Н.

Проверила: Исрафилова Р.Х.

Малояз 2003 год

I. Преобразование.

II. Виды преобразований

1. Гомотетия

2. Подобие

3. Движение

III. Виды движения

1. Симметрия относительно точки

2. Симметрия относительно прямой

3. Симметрия относительно плоскости

4. Поворот

5. Параллельный перенос в пространстве

I. Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

II. Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.

Подобие Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.

Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми

3. Подобие переводит плоскости в плоскости.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Гомотетия

Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.

Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).

Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.

Движение

Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y

Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A 1 ,B 1 ,C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1.

Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на одной прямой.

Если точка A 1 ,B 1 ,C 1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B 1 лежит на прямой A 1 C 1 . Первое утверждение теоремы доказано.

Покажем теперь, что точка B 1 лежит между A 1 и C 1 . Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A 1 не может лежать между точками B 1 и C 1 .

Аналогично доказываем, что точка C 1 не может лежать между точками A 1 и B 1 .

Так как из трех точек A 1 ,B 1 ,C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки

3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A 1 B 1 и A 1 C 1 . Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

С2. Треугольники А2ВС2 и А1В1С1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2ВС2 и А1В1С1. Значит, углы ABC и А1В1С1 равны, что и требовалось доказать. 3. ПОДОБИЕ ФИГУР Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F" читается...

Медианы треугольников; 4. , где BH и B1H1 высоты треугольников. §5. Опытная работа Цель опытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» в средней школе. Идея: для выявления методических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработанной методики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которой можно судить о...

Различия между испытуемыми контрольной и экспериментальной групп послужили основанием для проведения целенаправленной педагогической работы по развитию представлений детей экспериментальной группы о форме предметов. 2.2 Использование задач-головоломок в развитие представлений о форме предметов у детей экспериментальной группы Представления детей о форме предметов имеет большое значение при...

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Классическая симметрия «левого-правого», когда одна половина формы является как бы зеркальным отражением другой. Воображаемая плоскость, которая делит такие фигуры на две зеркально равные части называется плоскостью симметрии, и обозначается латинской литерой «м».

ЦЕНТРАЛЬНО-ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ (осевая, симметрия вращения).

Симметрия относительно центральной (зачастую вертикальной) оси, образованной пересечением двух или более плоскостей симметрии. При полном обороте (360*) форма несколько раз совмещается сама с собой. Число таких совмещений определяет порядок оси симметрии (колличество трансформаций), которая обозначается латинской литерой «n» и числом. Квадрат имеет четверную ось («n4»), шестиугольник – шестерную, пентаграмма – пятерную.

ПЕРЕНОСНАЯ СИММЕТРИЯ (трансляционная симметрия).

Простейшее преобразование, приводящее к «бесконечным» фигурам – перенос элемента вдоль прямой на отрезок конечной длины – «а». Направляющая называется осью переносов, а интервалы – периодами трансляции. Если вдоль оси переносится несимметричный элемент, то говорят о полярной оси, это означает, что свойства линейной формы в одном направлении иные чем в обратном. Тем самым в архитектуре подчеркивается поступательное движение в одном направлении.

Кроме оси переносов в трансформации могут быть задействованы иные типы преобразований – отражение и поворот. Более сложные «рисунки» дает использование неполных интервалов (1/2, ¼, ¾, и т.д.). Подобным образом создаются линейные бесконечные орнаменты, именуемые «бордюры» (фр. Границы). Такой вид симметрических преобразований именуют – СИММЕТРИЕЙ БОРДЮРОВ, и в ней, как и в трансляционной симметрии различают полярные (направленные) формы и не полярные.

СИММЕТРИЯ СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТОВ И ПЛОТНЫХ УПАКОВОК. («ПАРКЕТЫ»).

Этот вид симметрии привлекается для описания и анализа однородных, состоящих из одинаковых элементов структур, как объемных так и плоскостных.

Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелограммов. Плоская сетка имеет две непараллельных оси переносов, или точнее «плоская» сетка представляет собой такое разбиение плана на конечные участки, которое кроме тождественного преобразования допускает еще два неколленеарных автоморфизма сдвига. Одной и той же системе узлов отвечает бесконечное множество сеток в зависимости от способов соединения узлов. У всех систем точек кроме осей переносов содержатся и другие элементы симметрии. Например, правильная треугольная сетка, в каждой вершине которой пересекаются три направляющие, и имеет шестерные вертикальные оси в узлах.

Существует только пять параллелограммических систем точек, отличающихся друг от друга по симметрии и параметрам ячеек:

Квадратная система узлов,

Правильная треугольная система узлов,

Ромбическая система узлов,

Прямоугольная система узлов,

Косая параллелограммическая система узлов.

На осонве непрямоугольных сеток получаются достаточно выразительные системы расчленения плоскостей.

В случае трехмерного пространства можно выделить уже не пять систем точек, а 14 бесконечных фигур, именуемых решетками Бравэ.

СПИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ (винтовая).

Эта группа симметрии образована последовательным преобразованием формы, с использованием двух типов – поворот и перенос. Фигура обладает «винтовой осью» симметрии, если она приходит в совмещение сама с собой после произвенных последовательно двух операций: поворота на угол и переноса на расстояние равное 1 вдоль оси поворота. Если угол равен 360*/ n, то винтовую ось называют ось порядка n/... . Так как закручивание можно проиводить как вправо, так и влево, то различают винтовые оси правые и левые. Спираль представляет собой геометрическое место точек, которое удовлетворяют единому правилу построения, как например архимедова спираль r = a

CИММЕТРИЯ ПОДОБИЯ.

В соответствии с характером преобразований фигур различают ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ (ортогональные) и НЕИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ (аффинные, проективные и т.д.) группы симметрии.

Изометрические – группы вращений, отражений, переносов, сохраняют метрические свойства исходных элементов. К ним относятся все рассмотренные выше группы симметрии. Изометрические преобразования бесконечных фигур иначе называют «ДВИЖЕНИЯМИ».

АФФИННЫЕ группы состоят из совокупностей ОДНОРОДНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ – растяжение, сжатие, перспективные сокращения, допускаемые бесконечными фигурами.

Группы ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ являются частным случаем аффинных групп. Элементы последовательного ряда подобных фигур согласуются между собой пропорциональной зависимостью. Они могут быть связаны величинами арифметической, геометрической или гармонической прогрессии.

Таким образом существует СЕМЬ основных групп симметрии. Комбинирование числа осей симметрии и другие преобразования позволяют получить на базе этих групп 230 возможных типов точечных решеток, делящих пространство на однородые элементы.

1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия). Симметрия относительно точки определяется так. Пусть О - фиксированная точка и X - произвольная точка. Точка называется симметричной точке X относительно точки если точки лежат на одной прямой и Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. На рисунке 203 точки X и симметричны друг другу относительно точки О.

Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру при котором каждая ее точка X переходит в точку симметричную X относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. На рисунке 204 изображен симметричный относительно центра О.

На рисунке 205 изображены два куба, симметричные относительно точки О.

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит

фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О - ее центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центром его симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 206, а). Окружность с центром О тоже центральносимметричная фигура с центром симметрии О (рис. 206, б). Все перечисленные фигуры плоские.

В пространстве, так же как и на плоскости, много примеров центрально-симметричных фигур. Например, на рисунке 207 изображены такие фигуры: это куб, сфера, параллелепипед.

2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пусть l - фиксированная прямая (рис. 208). Точка называется симметричной точке X относительно прямой l, если прямая перпендикулярна прямой l и где О - точка пересечения прямых и l. Если точка X лежит на прямой 2, то симметричная ей точка есть сама точка X. Точка, симметричная точке есть точка X. На рисунке 208, а точки симметричны относительно прямой l.

Преобразование фигуры F в при котором каждая точка X переходит в точку симметричную относительно прямой называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и называются симметричными отно

сительно прямой I. На рисунке 208, б изображены окружности, симметричные относительно прямой I.

На рисунке 209 изображены две сферы, симметричные относительно прямой I.

Если преобразование симметрии относительно прямой I переводит фигуру F в себя, то фигура называется симметричной относительно прямой I, а прямая I называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 210, а). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 210, б). Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр (рис. 210, в). Все эти фигуры плоские.

В пространстве, как и на плоскости, много примеров фигур, имеющих оси симметрии. На рисунке 211 изображены такие фигуры: это прямоугольный параллелепипед, конус, правильная четырехугольная пирамида.

3. Симметрия относительно плоскости. Пусть а - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X опускают перпендикуляр на плоскость а (О - точка пересечения его с плоскостью а) и на его продолжении за точку О

откладывают отрезок равный ОХ. Точки X и называют симметричными относительно плоскости а (рис. 212).

Преобразование фигуры F в при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку симметричную X относительно плоскости а, называется преобразованием симметрии относительно плоскости а. При этом фигуры F и называются симметричными относительно плоскости

На рисунке 213 изображены две сферы, симметричные относительно плоскости а.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а, а плоскость а называется плоскостью симметрии.

На рисунке 214 изображены две плоскости симметрии сферы. Заметим, что у сферы таких плоскостей симметрии бесконечное множество. У куба также имеются плоскости симметрии. На рисунке 215 изображены две на них.

4. Гомотетия Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка (рис. 216). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок равный где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку построенную указанным способом, называется гомотетией относительно

центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры называются гомотетичными. На рисунке 216 четырехугольник гомотетичен четырехугольнику с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии

На рисунке гомотетичен с центром О и коэффициентом гомотетии, равным 1,6.

На рисунке 218 изображены две гомотетичные сферы с коэффициентом гомотетии 2.

Пример. В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре его вершины лежали на ребрах, а четыре - на основании пирамиды.

Решение. Проведем любое сечение пирамиды с вершиной S, параллельное ее основанию (рис. 219). На этом сечении (квадрате) как на верхнем основании строим куб Взяв в качестве центра гомотетии вершину S пирамиды, проведем полупрямые (на рисунке их нет). Точки их пересечения с основанием пирамиды (точнее, с диагоналями основания) будут вершинами

одного из оснований искомого куба. Вершины А, В, С, D другого основания получим, если через проведем прямые» параллельные до пересечения с ребрами пирамиды.

76. Понятие движения. Свойства движений.

Определение движения одинаково и в плоскости, и в пространстве. Преобразование фигуры F в фигуру называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки А и В фигуры F в точки фигуры так, что Рассмотренные в п. 75 симметрии относительно точки, прямой и плоскости являются движениями.

Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Преобразование симметрии относительно плоскости является движением.

Сформулируем некоторые свойства движения.

При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Из теоремы 5.4 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки.

При движении сохраняются углы между полупрямыми. При движении плоскость переходит в плоскость.

Рассмотрим еще два движения - поворот на плоскости и вращение вокруг оси в пространстве.

Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на одни и тот же угол в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки). На рисунке повернут на 60° по часовой стрелке около данной токи О. Углы между лучами ОА и и равны 60°.

Вращением вокруг оси на угол называется преобразование пространства, при котором:

1) имеется единственная прямая I, все точки которой переходят сами в себя;

2) любая точка А, не принадлежащая I, переходит в такую точку

а) точки лежат в плоскости а, перпендикулярной

б) является постоянным по величине и направлению (точка О есть точка пересечения плоскости а с осью ).

Прямую I называют осью вращения, угол углом вращения (рис. 221).

Неподвижными элементами вращения являются точки оси вращения, а также все плоскости, перпендикулярные этой оси. Если то вращение можно считать тождественным преобразованием.

Симметрию относительно прямой можно рассматривать как частный случай вращения, когда

Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Результат выполнения этих движений называется композицией движений.

На рисунке 222 Изображено последовательное выполнение двух движений, фигура получена из фигуры F симметрией относительно оси , а фигура получена из фигуры симметрией относительно точки О, в результате последовательного выполнения этих движений сохранились расстояния между соответствующими точками, а значит, фигура получена из фигуры F движением.

Композиция двух вращений с одной и той же осью есть вращение.

Пусть преобразование фигуры F в фигуру переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку фигуры Преобразование фигуры в фигуру F, при котором точка перейдет в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Преобразование, обратное движению, является также движением.

Как на плоскости, так и в пространстве рассматриваются равные фигуры. Фигуры F и называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур употребляется знак равенства. Запись означает, что фигура F равна .

На рисунке 213 шары симметричны относительно плоскости, а значит, они равны. На рисунке 205 кубы симметричны относительно точки, а значит, они равны. На рисунке 222 треугольники равны, так как все они получены один из другого в результате движения.

Пример 1. На рисунке 223 изображены два треугольника ABC и у которых Доказать, что эти треугольники совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину - в .

Решение. Решение задачи зависит от расположения треугольников.